CC BY
95
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 18 Выпуск 4
УДК 511.43 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-4-221-244
ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
А. А. Жукова (г. Владимир), А. В. Шутов (г. Владимир)
Аннотация
В работе получена теорема геометризации для систем счисления, где основанных на жадных разложениях знаменатели подходящих дробей произвольного иррационального числа, большего нуля, но меньшего единицы.
Знаменатели ^г(а)} подходящих дробей произвольного иррационального а е (0; 1)
дают способ представления любого натурального числа в виде разложения Островского-
к
Цеккендорфа п = ^ .г^(а, п)^(а) с естественными условиями па гг(а,п), описываемыми
г=0
при помощи неполных частных цг(о.). В случае а = ^^1 получается хорошо известная
л/д2+4—д
ситстема счисления Фибоначчи. Если же а = ——^-> где д ^ 2, то соответсвующее разложение порождает представление натуральных чисел в обобщенных системах счисления Фибоначчи.
Настоящая работа посвящена изучению множеств Z (х0,... ,Х1), состоящих из натуральных чисел, имеющих заданное окончание представления в виде разложения Островского-Цеккендорфа. Основным результатом работы является теорема геометризации, описывающая множества Z(г0,...,Х1) в терминах дробных долей вида {па}. В частности, для любого допустимого окончания (¿0,..., ) существуют эффективно вычислимые а, Ь е Ъ такие, что п е Ъ (г0,..., г^, тогда и только тогда, когда дробная доля {(п + 1)г0(а)}, где i0(a) = тах {а, 1 — а}, принадлежит от резку [{аа}; {Ъа}]. Данная теорема обобщает теоремы о геометризации классической и обобщенных системы счисления Фибоначчи, доказанные авторами ранее.
Ключевые слова: системы счисления, представление Островского-Цеккендорфа, теорема геометризации.
Библиография: 33 названия.
GEOMETRIZATION OF NUMERATION SYSTEMS
A. A. Zhukova (Vladimir), A. V. Shutov (Vladimir)
Abstract
We obtain geometrization theorem for numeration systems based on greedy expansions oa natural numbers on denomirators of partial convergents of an arbitrary irrational a from the interval (0; 1).
More precisely, denomirators {Qi(a)} of partial convergents of an arbitrary irrational
a e (0; 1) generate Ostrowski-Zeckendorf representations of natural numbers. These represen-
k
tations have the form n = ^ zi(a,n)Qi(a) with natural conditions on zi(a,n) described
i=0
in the terms of partial quotients qi(a). In the case a = we obtain well-known
Fibonacci numeration system. For a = ^3 +4-- with g > 2 corresponding expansion is called representation of natural numbers in generalized Fibonacci numeration system.
In the paper we study the sets Z(z0,...,zi), of natural numbers with given ending of Ostrowski-Zeckendorf representation. Our main result is the geometrization theorem, describing the sets Z(z0,...,zl) in the terms of fractional parts of the form {na}. Particularly,for any admissible ending (z0,..., zl) there exist effectively computable a, b e Z such that n e Z (z0,..., zl), if and only if the fractional part{(n + 1)i0(a)}, io(a) = max {a;1 — a}-, lies in the segment [{aa}; {ba}]. This result generalizes geometrization theorems for classical and generalized Fibonacci numeration systems, proved by authors earlier.
Keywords: numeration systems, Ostrowski-Zeckendorf representation, geometrization theorem.
Bibliography: 33 titles.
1. Введение
Пусть а € (0; 1) — иррационально и имеет разложение в цепную дробь вида
1
а
qi(a) +
92 («)Н---
или, более коротко,
а = [0; дх(а),д2(а),д3(а),...).
Пусть {^¿(а:)} - последовательность знаменателей подходящих дробей к а. Хорошо известно [3], что любое натуральное число п может быть представлено в виде
к
п = ^2 гг(а, п)Яг(&),
г=0
где г0(а,п) ^ д\(а) — 1, а Хг(а,п) ^ ^г+\(ос) при г ^ 1, причем го того, что Х1(а,п) = д1+\(а) следует, что Хг-\(а,п) = 0. Данное разложение, часто называемое разложением Островского-Цеккендорфа, может быть построено по так называемому жадному алгоритму.
Набор (х0,..., г{) будем называть а-допустимым, если х0 ^ д\(а) — 1, Хг ^ ПРИ
г ^ 1, причем из х^ = д1+\(а) следует, что = 0. Пусть (х0,... ,хI) - ^-допустимый набор. Определим множество Ъ(х0, ...,г{) = {п € Ъ,п ^ 0, х0(а, п) = х0,..., хг(а, п) = х{}.
Множество Ъ(х0,..., Х[) является примером так называемой квазирешетки. В последние годы появилось много работ, посвященных решению различных теоретико-числовых задач над квазирешетками [14], [16], [17], [19], [20], [25].
В частности, В. Г. Журавлев в работе [18] рассмотрел множество Ж(0) в случае а = т = ^Г1 и решил на этом множестве бинарную аддитивную задачу, а также получил оценки тригонометрических сумм по этому множеству. Метод В.Г. Журавлева основывался на использовании так называемого о-умножения Фибоначчи-Кнута-Матиясевича [1], [22], [23] и на существовании специального отображения 6 из о-кольца Фибоначчи в кольцо
Z Р+г^ • Позднее И.К.
Швагирева [24], используя этот метод, решила бинарную аддитивную задачу на множестве
Ъ(0,..., 0) в случ ае а = тд =^я ++4—гд е д ^ 2, для любого числа нулей.
Множества ... ,хг) в важных частных случаях а = т и а = тд изучались в работах [12] и [13] соответственно. В данных работах было показано, что множество ... ,х{) допускает достаточно простое геометрическое описание: замыкание образа данного множства под действием отображения х(п) = {(п + 1)т} (х(п) = {(п + 1)тд}) представляет собой некоторый эффективно вычислимый отрезок. Данный факт был использован для решения ряда аналогов классических теоретико-числовых задач, рассматриваемых в числах из данных множеств.
1
Целью настоящей работы является обобщение описанного результата на случай произвольного иррационального а £ (0;1). Пусть х(®,п) = {(п + 1)fo(a:)}, где io(a) = max{а;1 — а}. Для произвольного а-допустимого набора (zo,... ,zi) определим множество
X(zo, ...,zi) = {х(а, п) : п £ Z(zo,..., zx)}.
Нами получен следующий результат.
Теорема. Для произвольного а-допустлш,ого набора (z0,... ,zi) множество X(z0,... ,z{) представляет собой отрезок вида, [{аа}; {Ьа}] с эффективно вычислимыми a, b £ Z.
Отметим, что множество отрезков X(zo,... ,Zi), где Zo, ■■■, Zi, пробегая все допустимые наборы значений, порождает разбиение Til(Z) отрезка [0;1]. Соответствующие разбиения и их приложения к задачам равномерного распределения дробных долей линейной функции рассматривались в работах [5], [15], [26]—[28], [30]—[32]. Эти разбиения также тесно связаны с так называемой гипотезой Штейнгауза, утверждаюшей, что для любого целого N и иррационального а точки {га}, где 1 < г < N, разбивают интервал (0; 1) на интервалы не более, чем трех различных длин [4].
Пусть I С [0; 1] - некоторый отрезок, N(a, I) = {п £ N : {па} £ I}. Полученная нами теорема показывает, что множества вида Z(zo,... ,zi) фактически являются частными случаями множеств N(a,I). Отметим, что в работе [29] была решена линейная аддитивная задача для чисел из множеств N(a,I). Далее в работах [6]-[11] в случае квадратичной иррациональности а для чисел из N(a, I) были решены аналоги проблем Гольдбаха, Варинга и Хуа-Локена, а также получен аналог теоремы Лагранжа о четырех квадратах. Таким образом, полученная нами характеризация может быть использована для решения ряда задач теории чисел в числах, принадлежащих множествам Z(zo,..., zi).
2. Доказательство некоторых соотношений для числителей и знаменателей подходящих дробей
Для любого иррационального а е (0; 1) определим ^а выражением
^' если 0 <«< 1
d а
2'
1, если 1 < а < 1.
а ' 2
Предложение 1. Справедливо равенство
[0
dla = { [0 [0
qi(a) — 1,q2(a),q3(а),...), если q\(a) ^ 2,
1,q2(а) — 1,q3(a),...) , если q\(a) = 1, q2(a) ^ 2,
^з(а) + (а),...), если д1(а) = 1, д2(а) = 1,
где q1{a), д2(а),... ^ неполные частные разложения а в цепную дробь.
Доказательство. Данное предложение доказано в работах [2], [32]. Обозначим через Р^а) и Я^а) — числители и знаменатели подходящих дробей числа а. Для них при всех г ^ 1 справедливы рекуррентные соотношения
Рг(а) = 9г(а)Рг-1(а) + Рг-2(а), (1)
где Р-1(а) = 1, Р0(а) = ql(а);
Я^а) = дг(а)Яг-1(а) + Яг-2(а), (2)
где Я-1 (а) = 0 Яо(а) = 1.
Обозначим через г0(а) — максимальное из двух значений а и 1 — а, через ||х|| — расстояние до ближайшего целого, т.е.
• / Ч Г 1 ||||/ М, вСЛИ {х} < 2,
г0(а) = а, 1 — а\; ||х|| = < , с , г , 1
0у ' 1 ' н и | 1 — {х}, если {х} > 2.
Сформулируем и докажем предложение, отражающее связь знаменателей подходящих дробей чисел а и й1а.
Предложение 2. Для любого иррационального а = [0; д1(а), д2(а), Чз(&),...) справедливы равенства
Яг(а)г0(а) — Яг (й1а) = (—1)г—1ЦаЯг(а)Ц
при д1(а) ^ 2 и г^ 1;
Яг(а)%0(а) — Яг {й1а) = (—1)ЦаЯг(а)Ц (3)
при д1(а) = 1, д2(а) ^ 2 и г^ 1;
Яг(о)ъ(а) — Яг—2 (й1а) = (—1)*ЦаЯг(а)Ц
при д1(а) = 1, д2(а) = 1 и г^ 2;
Я1(а) г0(а) — Я—1 (с^а) =1 — ||аф1(а:)||
при д1(а) = 1, д2(а) = 1.
Доказательство. Методом математической индукции докажем равенство (3). Все остальные тождества доказываются аналогично. При г = 1 должно выполняться равенство
Я1(а) г0(а) —Я1 {(1а) = — ||а:(21(а:)||.
Используя рекуррентное соотношение (2), находим Я1(а) = Я1 (^а) = 1,
Я1(а) г0(&) — Я1 {(1а) = —(1 — а), —|а^1(о;)| = — ||а:|| = —(1 — а),
так как если д1(а) = 1, то 2 < а < 1.
Таким образом, равенство (3) верно при г = 1.
Убедимся в справедливости этого равенства при г = 2, т.е. что
Я2(а)к(а) — Я2 {(1а) = ЦаЯ2(а)||. (4)
Вначале найдем Я2(а) = Ц2(а) + 1 и Я2 (^а) = д2(а), используя формулу (2), и зная, что д2 ( й1^ = д2(а) — 1. Подставим полученные выражения для Я2(а) и Я2 {й1а) в левую часть равенства (4), тогда
Я2(а) г0 (а) — Я2 {(1а) = ( (а) + 1) а — д2(а) = ^Г^а) + 1,
так как число а можно записать в виде ---, где 0 < г2(0.) < 1, д2(&) ^ 2, а, следова-
' Я2(а) + Г2(а)
92 (о1)+г 2(а)
тельно, а = 2 М—2\11 •
' 92(а)+Г2(а)+1
Правая часть равенства (4) при заданных условиях принимает вид
Ц^ш =
Ыа) + 1) • 92(а)+ Г2(а)
д2(а) + г 2 (а) + 1
г 2( а)
д2(а) + г 2 (а) + 1'
Итак, соотношение (4) верно при г = 2.
Предположим, что равенство (3) выполняется при г = к — 2 и г = к — 1,и докажем его справедливость при г = к, т.е.
Як(аМа) — Як {й1а) = (—1)к\\aQk(а)||. (5)
Пользуясь рекуррентным соотношением (2), распишем Як (о) и Як {Л1а), учитывая, что дк {(I1а) = дк(а) при всех к ^ 2:
Як (а) = дк (а)Як-1(а) + Як-2(а)
и
Як {(11а) = Як(а)Як-1 {(11а) + Як-2 {Л1 а) .
Подставим данные выражения в левую часть соотношения (5) и получим
Як(а)го(а) — Як {^а) = = Як (а) (Як-1 (а)го (а) — Як-Л^а)) + (Як-2(а)го (а) — Як-2(^а)) =
= дк(а) ■ (—1)к-1 \\аЯк-М)\\ + (—1)к-2\\аЯк-2(а)\\, (6)
т.к. по предположению индукции равенство (3) справедливо при г = к — 2 и г = к — 1. Правая же часть равенства (5), с использованием тождества
\\аЯг(а)\\ = (—1) (аЯг(а) — Рг(а)), (7)
и равенств (1) и (2), приводится к виду
(—1)к\\аЯк(а)\\ = (—1)к ■ (—1)к (аЯк(а) — Рк(а)) = = дк(а) (аЯк-1(а) — Рк-1 (а)) + (аЯк-2(а) — Рк-2(а)) =
= дк(а) ■ (—1)к-1 \\аЯк-1(а)\\ + (—1)к-2\\аЯк-2(а)\\. (8)
Из равенств (6) и (8) следует справедливость тождества (5), а, следовательно, и справедливость соотношения (3) при любых г ^ 1.
Далее нам также потребуется следующее утверждение.
Предложение 3. При всех натуральных гит, справедливо неравенство дг+1(а)\\аЯг(а)\\ + дг+зз(а)\\аЯг+2(а)\\ + ... + +Чг+2ш+1(а)\\аЯг+2ш(а)\\ < \\аЯ^1(а)\\. Доказательство. Заметим, что при всех г ^ 2 справедливо равенство
\\аЯг(а)\\ = \\аЯг-2(а)\\ — дг(а)\\аЯг-1(а)\\. (9)
Из равенства (9) следует, что при всех г ^ 2
дг(а)\\аЯг-1(а)\\ = \\аЯ^2(а)\\ — \\аЯ^а)\\,
поэтому при г ^ 1
дг+1(а)\\аЯг(а)\\ = \\аЯ^1(а)\\ — \\aЯi+l(a)\\, д1+з(а)\\аЯ1+2(а)\\ = — \\а:^+з(а:)\\,
qí+2m+l(0L)\\aЯí+2m(0L)\\ = \\aЯí+2m-l(a)\\ — \\oLq ^2т+1(а)\\. Сложив левые и правые части записанных выше равенств, получим, что
дг+1(а)\\аЯг(а)\\ + дг+зз(а)\\аЯг+2(а)\\ + ... + д1+2ш+1(а)\\аЯг+2ш(а)\\ = = \\аЯ^1(а)\\ — \\aЯi+2m+l(a)\\ < \\аЯ^1(а)\\.
3. Оценка разности чисел, имеющих заданное разложение
Разложим натуральное число п в системе счисления Яг(а), где д1(а) ^ 2, и получим
к
п = ^ Zí(a,n)Qí(a), (10)
г=0
где г0(а,п) ^ д1(а) — 1, а ^(а,п) ^ дг+1(а) при г ^ 1, причём го того, что гг(а,п) = дг+1(а) следует, что гг—1(а,п) = 0. Пусть
к
^п = ^ гг (й1а, п) Яг (^а) , (11)
г=0
где XI {сС1а,п) = гг(а,п) при г ^ 0 если %0(а,п) ^ д1(а) — 2;
г0 ( с^а,^ = х0(а,п) — 1, а ^ (й1а,п) = Хг(а, п) при г ^ 1, если х0(а,п) = д1(а) — 1.
Предложение 4. Пусть пи ^п при 0 < а < 2 имеют разложения (10) и (11), соответственно. Тогда
а
< (п + 1)г0(а) — ^й < 1, если г0(а,п) ^ д1(а) — 2, (12)
1 < (п + 1)г0( а) — <п < 1 + а, если г0(а,п) = д1(а) — 1. (13)
Доказательство. Пользуясь равенствами (10) и (11), преобразуем разность
(п + 1) г0(а) — <п
к виду
к
10(а) + ( г^а, п)Яг(а) 10(а) — Хг (й1а, п) 0,г (й1^) . (14)
г=0
Докажем неравенство (12). Если х0(а,п) ^ д1(а) — 2, где д1(а) ^ 2, то по условию гг{й1а,^ = гг(а,п) при г ^ 0 и, пользуясь утвержением предложения 2, выражение (14) можно переписать в виде
1 — а — ах0(а,п) + г1(а,п)Ца<^1(а)Ц — г2(а,п)Ца<^2(а)Ц +
+гз(а,п)ЦаЯз(а)Ц — ... + (—1)к—1 гк (а,п)ЦаЯк (а)||. (15)
Для того, чтобы получить оценку сверху выражения (15), отбросим все отрицательные слагаемые, начиная с аг0(а, п). Пользуясь ограничением на Хг(а,п) и предложением 3, получим,
(п + 1)%0(а) — ^ 1 — а + Zl(a,n)||aQl(a)|| + г3(а, n)||aQ3(a)Ц + + ... + Z2m+l(a,n)||aQ2m+l(a)|| ^ 1 — а + д2(а)ЦаЯ1(а)Ц + +д4(а)ЦаЯз(а)Ц + ... + д2т+2(а)ЦаЯ2т+1(а)Ц < 1 — а + ||а:^0(а)|| = 1,
где к — 1 ^ 2т + 1 ^ к.
Сделаем оценку снизу выражения (п+1) 10(01) —^Н , отбросив все положительные слагаемые, начиная с г1(а, n)ЦaQl(a)Ц, в выражении (15). Имеем
(п + 1)г0( а) — <п ^ 1 — а — аг0(а,п) — г2(а, ^Цс^^а)! —
и
- ... - z2m(a,n) \ \ aQ2 {(У) \ \, где к — 1 ^ 2т ^ к. Применим предложение 3 к
azo{a,n) + Z2{а,п)\\aQ2(a)\\ + Z4{a,n)\\aQ^a)\\ + ... + Z2m{a,n)\\aQ2m{o¡)\ \ ^
^ а {qi{a) — 2) + q3 {а,п) \ \ aQ2{a) \ \ + q5{a,n) \ \ aQA{a) \ \ + + ... + q2m+i{a,n)\\aQ2m{a)\\ < aqi{a) — 2а + \ \ aqi(а)\\,
и найдем, что
{п + 1)г0(а) — ^й > 1 — а — aq\{a) + 2а — \\aq\{a)\\ = 1 + а{1 — q\{o¡)) — \\aq\{a)\\ >
qi{a)
> 1 + 1 — Qi{g)
qi{a) + п{а)
qi{a) + ri{a)
= а,
qi{a) + ri{a)
т.к. а = 0 < ri(а) < 1 и qi{a) ^ 2. Таким образом, неравенство (12) доказано.
Неравенство (13) доказыватся аналогично.
4. Определение и свойства разбиения единичного отрезка
Пусть имеется некоторое разбиение Til отрезка [0; 1] на части, длины которых s и I, причем s < I. Введем два преобразования Bi и В2 данного разбиения.
Преобразование Bi (Til)) состоит в откладывании отрезка длины s от левых концов всех отрезков разбиения Til. В результате получим новое разбиение, начинающееся с наименьшего из отрезков разбиения Til, и имеющее число частей большее, чем Til.
При выполнении преобразования В2 (Til) от правых концов всех отрезков разбиения Til откладывается отрезок длины s. Новое разбиение вновь будет иметь больше отрезков, чем разбиение Til, причем крайним правым отрезком нового разбиения является наименьший из отрезков разбиения Til.
п
Введем обозначение а(п, а) = Qi(a)irRе Qí(&) — неполные частные разложения числа а
i=i
в цепную дробь.
Пусть 0 < а < Рассмотрим разбиение ТИо(а) отрезка, [0; 1], состоиящее из двух отрезков [0; а] и [а; 1^. Индуктивно определим р азбиение Tilm+i(a), получаемое из раз биения Tilm(a) с помощью преобразования В, задаваемого следующим образом:
В (TiIm(a)) = Bi (TilUa)), (16)
если 0 ^ m ^ qi(a) — 2 или a(2n, a) — 1 ^ m ^ a(2n + 1,a) — 2;
В (TilUa)) = B2 (TilUa)), (17)
если a(2n — 1,a) — 1 ^ m ^ a(2n, a) — 2.
Длины коротких отрезков sm(a) и длинных отрезков lm(a) разбиения Tilm(a) находятся по следующим формулам.
Предложение 5. Если 0 ^ m, ^ qi(a) — 2, то
Smfa) = oL, lm(a) = 1 — (т + 1)а; (18)
если а(п, а) — 1 ^ т ^ а(п + 1,а) — 2, то
sm(a) = \\aQn(a)\\, lm(a) = \\aQn-i(a)\\ — (т + 1 — а(п,а)) \\aQn(a)\\. (19)
Доказательство. Согласно определению, разбиение Тг 10(а) состоит из двух отрезков, длины которых 0(0;) = а и 10(а) = 1 — а, значит при т = 0 формулы (18) верны.
Предположим, что равенства (18) верны при т = к, где к ^ (а) — 2, т.е. 8к(а) = а, и Iк(а) = 1 — (к + 1)а. Докажем справедливость формул (18) при т = к + 1.
Разбиение Тг 1к+1(а) получается из разбиения Тг 1к(а;) с поморю преобразования В. По условию 0 < а < Т-е- а = Я1(а)+г1(а) ^ гДе 0 < г1(а) < 1, д1(а) ^ 2. Из равенства ад 1(а) + аг1(а) = 1 следует, что в отрезке единичной длины помещается д1(а) отрезков длины а и еще один отрезок, длина которого меньше, чем а.
Рассмотрим случай, когда к ^ д1(а) — 3, тогда 1 — (к+2)а ^ 1 — ад1(а)+а = а + аг1(а) > а. Таким образом, отрезок [0; 1] будет состоять из к + 2 отрезков длины а и одного отрезка длины 1 — ( к + 2) а > а, поэтому 8к+1(а) = а, а 1к+1(а) = 1 — (к + 2)а, т.е. при к ^ д1(а) — 3 формулы (18) верны.
Теперь предположим, что равенства (18) выполняются при т = к, где к = д1(а)—2, т.е. если 8к (а) = 1к (°0 = аг1(а)+а. После выполнения преобразования В отрезок 1к (а) распадется на два отрезка, длины которых а и аг1(а). Очевидно, что а > аг1(а), поэтому короткие отезки разбиения Тг 1к(а) станут длинными отрезками разбиения Тг1к+1(а), т.е. 1к+1(а) = вк(а), а короткие отрезки вк+1(а) = Iк(а) — вк(а).
Аналитические выражения для Iк+1(а) и к+1(а) будут следующими:
к+1(а) = а = ||а:^0(а)|| — (к + 2 — д1(а)) ЦaQl(а)||;
Як+1(а) = 1 — ад1 (а) = ||а;ф_1(а:)|| — д1(а)Цад0(а)Ц = Ц^Я1(о)Ц, т.к. при любых г ^ 1 справедливо равенство
ЦаЯг(а)Ц = Цадг—2(а)Ц — дг(а)Цадг—1(а)Ц. (20)
Итак, при всех 0 ^ т ^ д1(а) — 1 утверждение предложения 5 справедливо.
Предположим, что соотношения (19) верны при т = к, где а(п, а) — 1 ^ т ^ а(п + 1, а) — 2,
т.е.
8 к(а) = Цадп(а)||, 1к(а) = Ца(^п—1(а)Ц — (к + 1 — а(п,а)) Цадп(а)Ц
т = к + 1
Рассмотрим случай, когда а(п,а) — 1 ^ т ^ (г(п + 1,а) — 3, где дп+1(а) ^ 3. Так как при любом г ^ 1 справедливо равенство (20), то внутри отрезка 1к(а) точно уместится еще не менее двух отрезков зк(а), поэтому 8к+1(а) = ||а;фп(а:)||, а
к+1 ( а) = к ( а) — « к (а) = Ца (^п—1(а)Ц — (к+ 2 — а(п,а)) Ца(^п(а)Ц.
В случае, когда к = а(п + 1,а) — 2, после выполнения преобразования В над над разбиением Тг 1к(а), все короткие отрезки разбиения Тг 1к(а) станут длинными отрезками разбиения Тг 1к+1(а), а короткие будут равны разности длин 1к(а) ж 8к(а), т. е.
1к+1(а) = ЦаЯп(а)Ц = ЦаЯп(а)Ц — (к + 2 — а(п + 1,а)) ЦаЯп+МЦ,
вк+Ла) = Цадп—1(а)Ц — дп+1(а)ЦаЯп(а)Ц = ЦаЯп+1 (а)||, в силу равенства (20).
т
Подсчитать количество Бт(а) коротких 8т(а) и Ьт(а) длинных 1т(а) отрезков разбиения Тг 1т(а) можно, воспользовавшись следующим предложением.
а
Предложение 6. Если 0 ^ т ^ д1(а) — 2, то
Бт(а) = т + 1, Ьт(а) = 1; (21)
если а(п, а) — 1 ^ т ^ а(п + 1,а) — 2,
Бт(а) = дп-г(а) + (т + 1 — а(п,а)) Яп(а), Ьт(а) = Яп(а). (22)
Доказательство. Разбиение ТИо(а) состоит из одного короткого и одного длинного отрезков, поэтому равенства (21) верны при т = 0.
Предположим, что формулы (21) верны при т = к, где 0 ^ к ^ Цг(о1) — 3 и д\(а) ^ 3, т.е. (&) = к + 1 Ьк(а) = 1. Докажем справедливость равенств (21) при т = к + 1.
По условию единичный отрезок состоит из Ц\(а) отрезков длины а и еще одного, длина которого меньше а. Согласно предположению индукции разбиение ТИк(а) содержит к + 1 отрезков длины а и одного отрезка длины 1 — (к + 1)а. При выполнении преобразования В число коротких увеличится на один, а длинных останется тем же, т.е. Бк+1(а) = Бк(а) + 1 = к + 2, Ек+г(а) = Ьк (а) = 1.
Если же т = к, где к = дг(а) — 2, то к + 1 = дг(а) — 1. При выполении преобразования В над разбиением ТИк (а;), имеющем Бк (а) = дг (а) — 1 коротких и Ьк (а) = 1 длинных отрезков, все короткие отрезки разбиения ТИк (а) и еще один станут длинными отрезками разбиения ТИк+1(а), т.е. Ьк+1(а) = Бк(а) + 1 = дг(а) = Я1(а), а оставшийся отрезок будет коротким, т.е.
Як+Ла) = 1 = Яо(а) + (дг(а) — дг(а)) Ql(а) = Яо(а) + (к + 2 — дг(а)) Ql(a).
Это означает, что утверждение предложения 6 верно при всех 0 ^ т ^ дг(а) — 1.
Предположим, что равенства (22) справедливы при т = к, где а(п, а) — 1 ^ к ^ а(п+1, а)—3 и дп+1 (а) ^3. При данных уеловиях 1к(а) > 2вк(а), поэтому при выполнении преобразования В число коротких отрезков Б к (а) увеличится на количество длинных Ьк (а), т.е.
Бк+1(а) = Бк(а) + Ьк(а) = Яп-1(а) + (к + 2 — а(п, а)) Яп(а),
а число длинных отрезков остается прежним, т.е. Ьк+1(а) = Ьк (а) = Яп(а)-
В случае т, = к = &(п, а) — 2, после выполнения преобразования В все короткие отрезки разбиения ТИк (а^ ^ еще Ьк (а) отрезков станут длинными отрезками разбиения ТИк+1(а), а оставшиеся отрезки — короткими, т.е. Ьк+1(а) = Бк(а) + Ьк (а) = Qn-1(a) + дп+1(^)Яп(^) а Як+1(а) = Ьк(а) = Яп(а) = Яп(а) + (к + 2 — а(п, а)) Яп+1 (а).
Это означает, что утверждение предложения 6 справедливо при любых т.
Найдем координаты концов отрезков разбиения ТИт(а).
Предложение 7. Отрезки разбиения ТИт(а) имеют координаты, [{аа} ; {Ьа}], где
а = г, 0 < г < Ьт(а) + Бт(а) — 1; (23)
при 0 ^ т ^ д1(а) — 2:
Ь = % + 1, 0 ^ % ^ т, Ь = 0, г = т + 1;
при а(2п — 1,а) — 1 ^ т ^ а(2п, а) — 2
Ь = г + Бт(а), 0 ^ г ^ Ьт(а) — 1, Ь = г — Ьт(а), Ьт(а) ^ г ^ Ьт(а) + Бт(а) — 1;
при а(2п, а) — 1 ^ т ^ а(2п + 1,а) — 2
Ь = г + Ьт(а), 0 ^ г ^ Бт(а) — 1, Ь = г — Бт(а), Бт(а) ^ г ^ Ьт(а) + Бт(а) — 1;
(24)
(25)
Если Ъ = 0, то считаем, ч,т,о {0 ■ а} = 1.
Доказательство. Вначале покажем, что координаты концов отрезков разбиения Тг 10(0:) удовлетворяют формулам (23) и (24). Разбиение Тг 10(0:) состоит из одного короткого ,§0(а) и одного длинного 10(0:) отрезков, идущих слева направо. Следовательно, их координаты будут [0;0 + 8 0(а)] = [{0 а} ; {1а}] и [0 + 80(а);0 + 8 0(а) +10(а)] = [{1а} ; {0 а}]. Это означает, что при т = 0
Предположим, что данные формулы справедливы при т = к, где 0 ^ к ^ (¡1(0) — 3, т.е. разбиение Тг 1к(а) состоит го отрезков [{0а} ; {1а}], [{1а} ; {2а}],..., [{ка} ; {(к + 1)а}] и
Найдем координаты отрезков разбиения Тг 1к+1(а), полученного из разбиения Тг 1к(а),
В1
ними. Действительно, если при всех 0 ^ г ^ к от точки {га} вправо отложить отрезок длиной а, то получим точку {га} + а = {(г + 1)а}, т.к. при данных условиях а ^ (г + 1)а ^ (к + 1)а ^ (д1(а) — 2) а < 1.
Последний из отрезков [{(к + 1)а} ; {0 а}] при выпоиении этого преобразования разобьется на два [{(к + 1)а} ; {(к + 2)а}]ж [{(к + 2)а} ; {0а}], т.к. 2а ^ (к + 2) а ^ (д1(а) — 1)а < 1. Итак, при 0 ^ т ^ д1(а) — 3 утверждение предложения 7 справедливо. В случае т = к = д1(а) — 2 отрезки разбиения Тг 1к (а) имеют координаты
[{0а} ; {1а}] , [{1а} ; {2а}],..., [{( д-(сс) — 2) а} ; {(д1(а) — 1) а}], [{(д1(а) — 1) а} ; {0а}] ,
длины которых вк(а) = а, 1к(а) = 1 — (д1(а) — 1) а.
В1
ми же. Действительно, по условию а ^ (г + 1)а ^ (к + 1)а ^ (д1(а) — 1)а < 1, поэтому [{га} ; {га} + а] = [{га} ; {(г+ +1)а}], а последний из отрезков [{(д1 (а) — 1) а} ; {0а}] распадется па два [{(д1(а) — 1) а} ; {д 1(а)а}]ш [{д1(а)а} ; {0а}].
Таким образом, координаты отрезков [{а а} ; {Ъа}] разбиения Тг 1к+1(а) удовлетворяют соотношениям (23) и (25).
Итак, предложение 7 справедливо при всех 1 ^ к ^ д1(а) — 1.
т = к
[{(к + 1)а}; {0а}].
а(2п — 1,а) — 1 ^ т ^ а(2п, а) — 3,
т. е. разбиение Тг 1к(а) состоит из отрезков, координаты которых
[{Iа} ; {(г + вк(а)) а}] , 0 < г < Ьк(а) — 1,
[{га} ; {(г — Ьк(а)) а}] , Ьк(а) < г < Ьк(а) + вк(а) — 1.
Отложив от правых концов отрезков [{га} ; {( г + Бк(а)) а}] отрезок длиной
8 к(а) = Цад2п—1(а)Ц,
получим точки с координатами
{( г + Бк(а)) а} — вк(а)
{( г + Я2п—2(а) + (к + 1 — а(2п — 1, а)) Q2п—l(a)) а} + {ад2п—1(а)} — 1 = {(г + Я2п—2(а) + (к + 2 — а(2п — 1, а)) Я2п—1(а)) а} = {(г + Бк+1(а)) а} ,
т к
{&Яп(а)} , если п — четное, 1 — {а<^п(а)} , если п — печетное.
Это означает, что каждый из отрезков [{га} ; {(I + Бк(а)) а}] разделился на отрезки [{га} ; {(г + Бк+1(а)) а}]ш [{(г + Бк+1 (а)) а} ; {(г + Бк(а)) а;}]. Обозначим г + Бк+1(а) = тогда
Як+1(а) — вк(а) = Я2п-2(а) + (к + 2 — а(2п — 1, а)) Я2п-1(а) — (Я2п-2(а) +
+ (к + 1 — а(2п — 1, а)) Я2п-1(а)) = Я2п-1(а) = Ьк(а) = Ьк+1(а).
Значит [{(г + Бк+1(а)) а} ; {(г + Бк(а)) а}] = [{¿а} ; {^ — Ьк+1(а)) а}], где
вк+1(а) ^ ] ^ Ьк+1(а) + Бк+1 (а) — 1.
Отложим отрезок длиной 8к (а) = | | аЯ2П-1(®) \ \ от точки {(г — Ьк (а)) а} и получим новую точку
{(г — Ьк(а)) а} — \\аЯ2П-1(а)\\ = {(г — Ьк(а)) а} — (1 — {а(^2П-1 (а)}) = = {(г — (а)) а} + {аЯ2П-1(а)} — 1 = {(I — Ьк(а) + Я2п-1(а)) а} = {1а} .
Это означает, что разбиение ТИк+1(а) состоит из отрезков:
[{га} ; {(г + Бк+1(а)) а}], 0 < г < Ьк+1 (а) — 1,
[{1а} ; {(I — Ьк+1(а)) а}], Ьк+1(а) ^ г ^ Ьк+1(а) + Бк+1(а) — 1.
Теперь предположим, что соотношения (23) и (25) справедливы при т, = к, где к = = а(2п, а) — 2, т. е. разбиение ТИк(а) — это объединение отрезков
[{1а} ; {(I + вк(а)) а}] , 0 < г < Ьк(а) — 1,
[{1а} ; {(г — Ьк(а)) а}] , Ьк(а) < г < Ьк(а) + вк(а) — 1.
После выполнения перобразования В2 получится новое раз биение ТИк+1(а), при котором каждый из отрезков [{га} ; {(I + Бк(а)) а}] разделится на два отрезка точкой
{(I + Бк(а)) а} — вк(а) = {(I + Бк(а)) а} — \\аЯ2П-1(а) \\ =
= № + Я2п-2(а) + (а(2п, а) — а(2п — 1, а)) Я2п-1(а)) а} = = № + Я2п(а)) а} = {(г + Ьк+1(а)(а)) а} .
Это означает, что отрезок [^а} ; {(г + Бк(а)) а}] распадается на два отрезка [^а} ; {(г + Ьк+1(а)) а}] и [{(г + Ьк+1(а)) а} ; {(г + Бк(а)) 0 ^ г ^ Бк+1(а) — 1. Обозначим
г + Ьк+1(а) = тогда
Рк+1(а) — (а) = Я2п(а) — (Я2п-2(а) + (а(2п, а) — 1 —
—а(2п — 1, а)) Я2п-1(а)) = Я2п(а) — (Я2п-2(а) + (д2п(а) — 1) Я2п-1(а)) = = Я2п-1(а) = в2п (а) = Бк+1(а).
Итак, отрезок [{(г + Ьк+1(а)) а} ; {(г + Бк(а)) а}] может быть записан как {а} ; {(?' — Зк+1(а)) а}], где Ьк+1(а) ^ ] ^ Бк+1 (а) + Ьк+1(а) — 1.
Все остальные отрезки [{га} ; {(г — Ьк (а)) а}] при выполнении преобразования В2 перейдут сами в себя и их координаты можно записать как [{га}; {(г — Бк+1(а)) а}], где ^ я ^ Рк+\_(а) — 1. Действительно,
{(I — Ьк(а)) а} — вк(а) = {(I — Ьк(а)) а} — \\аЯ2П-1(а) \\ =
= № — Я2п-1(а)) а} — (1 — {ад2п-1(а)}) = {(г — Я2п-1(а)) а} + + {ад2п-1(а)} — 1 = {1а} ,
т.к. Ьк(а) = Я2п—1(а) = Я2п(а) = $к+1(а) и
Бк(а) + Ьк(а) = Я2п—2(а) + (к + 1 — (г(2п — 1, а)) Я2п—1(а) + Я2п—1 (а) =
= Я2п—2(а) + (к + 2 — а(2п — 1, а)) Я2п—1(а) = в2п(а) = вк+1(а). Итак, разбиение Тг 1к+1(а) состоит из отрезков
[{га} ; {( г + Ьк+1(а)) а}], 0 < г < Зк+1(а) — 1,
[{га} ; {( г — Бк+1(а)) а}], Бк+1(а) ^ г ^ Ьк+1(а) + Бк+1(а) — 1.
Следовательно, предложение 7 справедиво при т = а(2п, а) — 1.
т = к
а(2п, а) — 1 ^к^ а(2п + 1,а) — 3,
т. е. разбиение Тг 1к(а) состоит из отрезков
[{Iа} ; {(I + Ьк(а)) а}], 0 < г < Бк(а) — 1,
[{Iа} ; {(I — Бк(а)) а}], Бк(а) ^ г ^ Ьк(а) + Бк(а) — 1.
Отложив от левых концов отрезков [{га} ; {( г + Ьк(а)) а}], где 0 ^ г ^ Бк(а) — 1, отрезок длиной к(а), получим точку с координатой
{га} + вк(а) = {га} + Ц^2п(а)Ц = {(г + Я2п(а)) а} = {(I + Ьк+1(а)(а)) а} .
Выполним такое же преобразование с отрезком [{га} ; {( г — Бк(а)) а}] и получим два отрезка, разделенных точкой {(г + Ьк+1(а)) а}, т.е. отрезки [{га} ; {(г + Ьк+1(а)) а}] и [{(I + Ьк+1(а)) а} ; {(I — Бк(а)) а}], где Бк(а) ^ г ^ Ьк(а) + Бк(а) — 1. Обозначив г + Ьк+1(а) = ], получим
Lk+l(a) + вк(а) = Я2п(а) + Я2п—1(а) + (к + 1 — а(2п, а)) Я2п(а) =
= Я2п—1(а) + (к + 2 — а(2п, а)) Я2п(а) = вк+1(а),
кроме того Ьк(а) + Бк(а) = Ьк+1(а) + Бк(а) = Зк+1(а). Следовательно, разбиение Тг 1к+1(а) состоит из отрезков
[{га} ; {( г + Ьк+1(а)) а}], 0 < г < Зк+1(а) — 1,
[{га} ; {( г — Бк+1(а)) а}], Бк+1(а) ^ г ^ Ьк+1(а) + Бк+1(а) — 1.
Предположим, что формулы (23) и (26) справедливы при т = к, где к = а(2п — 1,а) — 2, т.е. разбиение Тг 1к(а) состоит из отрезков
[{Iа} ; {(I + Ьк(а)) а}], 0 < г < Бк(а) — 1,
[{га} ; {(г + вк(а)) а}], вк(а) < г < Ьк(а) + вк(а) — 1.
Отложим от левого конца отрезка [{г а} ; {(г + Ьк (а)) а}] отрезок дли ной вк (а) = Ца^2п(а)Ц и получим точку
{га} + вк(а) = {га} + Ца(^2п(а)Ц = {(г + Я2п(а)) а} = {(I + Бк+1 (а)) а} ,
т к
Зк+1(а) = <^2п(а) + (с(2п + 1,а) — а(2п + 1, а)) Я2п+1(а) = Ьк(а).
Следовательно, каждый из отрезков [{га} ; {(г + Ьк(а)) а}] совпадает с одним из отрезков [{1а} ; {(г + Бк+1(а)) а}], где 0 < г < Бк(а) — 1.
Выполнив с отрезком [{га} ; {(г — Бк(а)) а}] такое же преобразование, получим два отрезка [{га} ; {(г + Бк+1(а)) а}] ж [{(г + Бк+1(а)) а} ; {(г — Бк(а)) а}]. Обозначив ] = г + Бк+1(а), и зная, что
Бк (а) + вк+1(а) = Бк (а) + Ьк (а) = = Я2п-1(а) + (а(2п, а) — 1 — а(2п — 1, а)) Я2п(а) + Я2п(а) = = Я2п-1(а) + Я2п+1(а)Я2п(а) = Я2п+1(а) = Ьк+1(а),
приходим к выводу, что каждый из отрезков [{га} ; {( г — Бк(о;)) а}] распадется на отрезки [{Iа} ; {(I + Зк+1(а))а}}, где Бк(а) ^ г ^ Ьк+1(а) — 1, и [{Iа} ; {(I — Ьк+1(а)) а}}, где Рк+1(а) ^ г ^ Ьк+1 (а) + Бк+1(а) — 1.
В итоге получаем, что разбиение Тг 1к+1(а) состоит из отрезков
[{Iа} ; {(г + Бк+1(а)) а}], 0 < г < Ьк+1 (а) — 1,
[{Iа} ; {(I — Ьк+1(а)) а}], Ьк+1(а) ^ г ^ Ьк+1(а) + Бк+1(а) — 1.
Таким образом, формулы (23) и (26) справедливы при т = а(2п — 1,а) — 1. Предложение 7 полностью доказано.
Отметим, что рассмотренные нами разбиения Тг 1т(а) впервые были определены другим способом в работе [33] при изучении проблемы Гсккс Ксегсна. заключающейся в получении явных оценок остаточного члена проблемы равномерного распределения дробных долей линейной функции для множеств, на которых данный остаточный член имеет порядок 0(1) (множествах ограниченного остатка). Данные разбиения известны как модифицированные разбиения Фибоначчи. Дополнительную информацию об их приложениях к изучению распределения дробных долей линейной функции можно найти в работах [26], [5]. В работе [31] данные разбиения использовались для изучения так называемой последовательности Штурма.
Построенные нами разбиения также тесно связаны с так называемой гипотезой Штейн-гауза, утверждаюшей, что для любого целого N и иррационального а точки {га}, 1 < г < N (0; 1)
зать, что разбиния Тг 1т(а) в точности соответствуют случаю, когда различных длин ровно две.
В частных случаях а = т и а = тд разбиения, получаемые сдвигом разбиений Тг 1т(а) впервые были введены в работах [15] и [21] соответственно.
5. Отображения первого возвращения
Выясним, в какие отрезки переходят отрезки разбиения Тг 1т(а) при сдвиге на а вдоль окружности единичной длины.
Разбиение Тг 1т(а) состоит из Ьт(а) длинных и вт(а) коротких отрезков, координаты которых определяются предложением 7. Используя это предложение, зададим на множествах длинных и коротких отрезков разбиения Тг 1т(а) некоторые нумерации и обозначим Ь™ и Б™, соответственно, ]-т длинный и ]-т короткий отрезки разбиения Тг 1т(а) относительно вводимых нумераций.
При 0 ^ т ^ 41(0) — 2 короткие отрезки разбиения Тг 1т(а) имеют координаты [{га} ; {(г + 1)а;}], где 0 ^ г ^ т, а длинный [{(т + 1) а} ; {0а}] = [{(т + 1) а} ;1]. Пусть ] = г + 1, тогда г = ] — 1, где 1 ^ ] ^ т + 1 Б™ = [{(?' — 1) а}; ^а}] при 1 ^ ] ^ т + 1; Ц? = [{(т + 1) а} ;1].
При а(2п — 1,а) — 1 ^ т ^ а(2п, а) — 2 длинные отрезки — это
[{Iа} ; {(I + Бт(а)) а}},
где 0 ^ г ^ Ьт(а) — 1, а короткие отрезки — это
[{Iа} ; {( г — Ьт(а)) а}],
где Ьт(а) ^ г ^ Ьт(а) + Бт(а) — 1-
Для того, чтобы перенумеровать длинные отрезки, положим ] = г + 1, тогда
Ьт = [{(! — 1) а} ; {и + вт(а) — 1) а}], где 1 ^ j ^ Ьт(а). Если же отрезки короткие, то положив ] = г — Ьт(а) + 1, получим
вт = [{(3 + Ьт(а) — 1)а} ; Ш — 1) а}],
где 1 ^ з ^ вт(а)-
Итак, при а(2п — 1,а) — 1 ^ т ^ а(2п, а) — 2
ьт = [{(з — 1)«} ; {(з+Ят(а) — 1)а}] , где 1 < 3 < Ьт(а);
вт = [{0 + Ьт(а) — 1) а} ; Ш — 1) а}] , где 1 < ^ вт(а).
При а(2п, а) — 1 ^ т ^ а(2п+1, а) — 2 отрезки [{га} ; {(г + Ьт(а)) а}], где 0 ^ г ^ Зт(а) — 1, являются короткими, а отрезки [{га} ; {( г — Бт(а)) а}], где вт(а) ^ г ^ Ьт(а) + вт(а) — 1, — длинными.
Положим ] = г +1, чтобы перенумеровать короткие отрезки, тогда 8т = [{(_/ — 1) а} ; {(¿+ Ьт(а) — 1) а}], где 1 ^ ] ^ Бт(а). В случае длинных отрезков обозначим ] = г — вт(а) + 1, тогда ^ = [{и + вт(а) — 1) а} ; {^ — 1) а}], где 1 ^ 3 ^ Ьт(а). Таким образом, при а(2п, а) — 1 ^ т ^ а(2п + 1,а) — 2
вт = [{() — 1)«} ; {(з+Ьт(о) — 1)а}] , где 1 < ^ вт(а);
^ = [{И + вт(а) — 1)а} ; {(.] — 1) а}] , где 1 ^^Ьт(а). Сдвинем все отрезки разбиения Тг 1т(а) на а.
Предложение 8. При сдвиге а отрезок Ьт, где 1 ^ ] ^ Ьт(а) — 1, перейдет, в отрезок ит+1, отрезок вт, где 1 ^ ,] ^ вт(а) — 1, — в отрезок Зт+1, а объединение отрезков вт (а) и
Ьт /а) в объединение отрезков в-т и Ьт, причем порядок следования отрезков поменяется. (а)
Доказательство. Очевидно, что отрезки Ьт, где 1 ^ 3 ^ Ьт(а) — 1, и 8т, где 1 у ^ 8т(а) — 1, при сдвиге па а перейдут в отрезки Ь^- и З^-, соответственно.
Теперь убедимся, что Ьт (а) и Зт (а) ^^^йдет в вт и Ьт■ Рассмотрим различные случаи.
Если 0 ^ т ^ д1(а) — 2, то вт (а) = [{та} ; {(т + 1)а}] и Ьтг (а) = [{(т + 1)а}; 1], а
(а) (а)
следовательно, вт (а) и Ьт (а) = [{та} ; 1].
При сдвиге па а вдоль единичной окружности отрезок [{та} ; 1] перейдет в отрезок [{( т + 1)а} ; а], состоящий го двух отрезков [{(т + 1)а} ; 1] и [0; а], которые совпадают с отрезками вт = [0; а] и Ьт = [{(т + 1)а} ; 1].
Если а(2п — 1,а) — 1 ^ т ^ а(2п,а) — 2, то отрезки вт (а) ъ Щт (а) имеют координаты [{(Бт(а) + Ьт(а) — 1)а} ; {(Бт(а) — 1) а}]ш [{(Ьт(а) — 1)а} ; {(Бт(а) + Ьт(а) — 1) а}}, соответственно, а их объединение — это отрезок [{(Ьт(а) — 1) а} ; {(5т(а) — 1) а}]. Выполнив
сдвиг на а, полним отрезок [{Ьт(а)а} ; {5т(а;)а:}], состоящий из отрезков Б™ = [{Ьт(а)а} ; 1] и ЬТ = [0; {Зт((а)а}].
Если а(2п,а) — 1 ^ т ^ а(2п + 1,а) — 2, то отрезки Б™ (а) и Ь™ (а) — это отрезки [{(Бт( а) — 1)а} ; {(Бт(а) + Ьт(а) — 1) а}} и [{(Бт(а) + Ьт(а) — 1)а} ; {(Ьт(а) — 1) а}}, соответственно. При сдвиге на а объединение этих отрезков [{(5'т(о;) — 1) а} ; {(Ьт(а) — 1) а}] переходит в отрезок [{5'т(о;)о;} ; {Ьт(а)а}], являющийся объединением отрезков
ЬТ = (а)а} ; 1]
и
Б? = [0; {Ьт(а)а}].
Итак, объединение отрезков Б™ (а) и Ь™ ^ при сдвиге на а переходит в Ь™ и 5причем порядок следования отрезков меняется.
Пусть точка х принадлежит полупитервалу [0; 1). Рассмотрим преобразование Ка, переводящее точку х в точку {х + а}, т.е.
Ка : х ^ {х + а}.
Выберем отрезок I С [0; 1). Предположим, что х € I и точка {х + ка}, где к € М, первый раз попадает в I. Преобразование х ^ {х + ка} назовем отображением первого возвращения и обозначим ¿1Яа.
Пусть имеется разбиение Тг 1т(а) отрезка [0; 1]. В предложении 8 нами доказано, что после выполнения отображения первого возвращения й/тДа над отрезком 1т = Ь™ и Б™, составляющие его отрезки 5™ и Ь™ поменяются местами. Это означает, что данное отображение первого возвращения изоморфно сдвигу
: х ^ {х + с1та}
для некоторого (та. Отображения первого возвращения для сдвига Ка были изучены в работе [32]. Там же было проведено вычисление всех (та. В частности, в данной работе было показано, что при т = 1 данное определение (-а эквивалентно определению, использованному нами ранее. Также были доказаны следующие формулы
з (а-)+1 (а), если справа от нуля короткий отрезок, —, , ^, если справа от нуля длинныи отрезок
И
(т+1а = (Г (й1а) = й1 ((Га).
6. Основной результат
Рассмотрим иррациональное а € (0; 2), разложение которого в цепную дробь имеет вид
а = [0; д1(а), д2(а), дз(а),...), где д1(а) ^ 2. Тогда 1 — а раскладывается в следующую цепную дробь
1 — а = [0; 1, д1(а), д2(а), дз(а),...) и при всех г ^ 1 справедливо равенство
(г(1 — а) = (г-1(а). (28)
Разложение натурального числа п в системе счисления Ш^а), где а < 2, имеет вид (10), а в системе счисления Qi(1 - а)
к+1
п = ^ х[ (п)ш.(1 -а), (29)
i=l
где г'1(п) ^ д1(а) — 1, а х\(п) ^ д^а) при г ^ 2.
В силу равенства (10) при всех г ^ 1 справедливо тождество х[(п) = х.-1(п). Заменим го(п) набором из д\(а) — 1 нулей и единиц, причем сначала идут д\(а) — хо(п) — 1 пулей, а затем г0(п) единиц. Каждое (п), где г^ 1, также заменим набором из д-1+1(а) пулей и единиц, где вначале идут д^1(а) — Zi(п) нулей, а затем х.(п) единиц. Выстроим все наборы нулей и единиц, соответствующих я. (п) в порядке возрастания номера г и перенумеруем полученные числа е0(п), е1(п), ..., е8(п), где в = а(к + 1,а) — 2. В таком случае разложение (10) числа п в системе счисления Qi(а), где а < 2, примет вид
п = £ е^пШа), (30)
i=0
где (а) = Ш0(а) при 0 ^ г ^ д^а) — 1, Ш[(а) = (а) при а(], а) ^ г ^ а(] + 1,а) — 1. Проведем аналогичные операции со всеми наборами х[(п) в разложении (29) и получим
п = ^ £г(п)<'г (1 — а), (31)
i=0
где 8 = а(к + 1,а) — 2, Ш[(1 — а) = Ш1 (1 — а), если 0 ^ г ^ д^а) — 1, <<[(1 — а) = (1 — а), если а(] — 1,а) ^ г ^ а(], а) — 1.
В силу равенства (28) разложения (30) и (31) полностью совпадают.
Обозначим через (а, п) коэффициенты разложения (30) числа п в системе счисления а. Если стереть во(а, п), а все остальные е^а,п), где г^ 1, оставить без изменения, то получим корректную запись разложения некоторого натурального числа ЪГ в системе счисления й1 а. При стирании еще одной цифры Е1(а,п) в разложении (30) получим разложение числа Ъ2 в системе счисления й1 (^а) = й2а. Продолжая стирать цифры в разложении (30), всего I +1 цифр, получим разложение числа ^п 1+1 в системе счисления й1+1а, причем при всех ] ^ 0 справедливо равенство
е, [йт+1а, Ът+1) = е3+т+1 (а,п). (32)
Пусть все ео(а,п), £1(а,п), ..., £1 (а,п) в разложении (30) будут фиксированными: е0(а, п) = е0, £1(а, п) = е1,..., £1 (а, п) = е^ Обозначим через F (е0,..., ег) множество таких чисел, т.е. F (е0,..., £\) = {п : е^а, п) = £.1, V 0 ^ г ^ I}. Определим множество
X (ео,..., £1) = {х(а, п) : п е F (ео,..., £1)}, где х(а, п) = {(п + 1) 10(а)}, а 10(а) = тах {а; 1 — а}.
Теорема 1. Множеству X (е0,..., £1) для допустимого при заданном, а набора, (£0,..., е{) соответствует в точности один отрезок разбиения ТгЦ (1 — г0(а)), причем этот отрезок длинный, если £1 = 0, и короткий, еели £1 = 1.
Доказательство. Доказательство проведем используя метод математической индукции.
На первом шаге индукции покажем, что X(ео) — это ровно один отрезок разбиения Т о (1 — о( а)) о = 0 о = 1
Вначале будем полагать, что а < Возможны два случая:
1) в разложении (10) коэффициент го(п) ^ Я1(а) — 2, тогда в разложении (30) ео = 0. Согласно предложению 4, справедливо неравенство (12), а значит
Ъг + а < (п + 1)го(а) < Ъг +1, а < {(п + 1)го(а)} < 1,
и, следовательно, х(а,п) € (а; 1).
В силу равномерности распределения значений {(п + 1) г о ( а)} получаем, что
X (£0 = 0) = [а; 1];
2) если же в разложении (10) коэффициент хо(п) = д1(а) — 1, то в разложении (30) £о = 1В таком случае воспольземся неравенством (13) из предложения 4 и получим
^п +1 < (п + 1)го(а) < Ъ + а + 1, 0 < {(п + 1)г0(а)} < а и х(а,п) € (0; а). Зная, что значения х(а,п) равномерно распределены, имеем
X(ео = 1) = [0; а].
Итак, доказано, что если а < 1, то X(ео = 0) = [а;1], а X(е0 = 1) = [0;а], причем X(ео = 0) — длинный, а X(ео = 1) — короткий отрезки разбиений Тг 1о (а).
Рассмотрим случай а > Как было показан о все £г(п) в разложениях (30) и (31) одинаковые при а < 2ша> Значения х(а,п) ПРИ а < 2 равномерно распределены по длинному отрезку, если £ о = 0, и по короткому отрезк у, если £ о = 1. Очевидно, что при а > 2 значения х(®, п), точно такие же как и при а < 2, поэтому X(ео = 0) = [1 — а;1] и X(ео = 1) = [0; 1 — а], где а > 1- Таким образом, первый шаг индукции, при I = 0, доказан.
Предположим, что при I = т утверждение теоремы 1 верно, т.е. X (ео,..., £т) — это в точности один отрезок разбиения Тг 1т (1 — ¿о (&0) > пРичем Длинный при ет = 0 и короткий при ет = 1.
Опираясь на это предположение докажем, что X (ео,..., £т+1) — это ровно один отрезок разбиения Тг 1т+1 (1 — ¿о(о0)> пРичем Длинный, если ет+1 = 0, и короткий, если ет+1 = 1. Коэффициент ет может принимать только два значения либо 0, либо 1. Рассмотрим оба эти случая.
В первом случае, когда ет = 1 значение ет+1 однозначно определяется номером т:
1) если 0 ^ т ^ д1 (а) — 2 или а(], а) ^ т ^ а(] + 1,а) — 2, то ет+1 = 1;
2) если т = а(], а) — 1, то ет+1 = 0.
Значит X (ео,..., ет+1) = X (ео,..., ет), если ет = 1.
По предположению индукции X (ео,..., ет) — это короткий отрезок разбиения Тг 1т (1 — ¿о(оО)> с К0Т0РЫМ ПРИ пеРеходе к разбиению Тг 1т+1 (1 — го(а)) никаких преобразований не производится и этот отрезок останется коротким отрезком разбиения Тг 1т+1 (1 — го(а)), если 0 ^ т ^ Я1((х) — 2 или а(],а) ^ т ^ а(] + 1,а) — 2, и становится длинным, если т = а(], а) — 1.
Во втором случае, когда ет = 0, значение ет+1 однозначно не определяется и может быть как 0, так и 1. Пусть п € F (ео,..., ет), где ет = 0 тогда х(®, п) € X (ео,..., ет), где X (£о,..., ет) — длинный отрезок разбиения Тг 1т (1 — го(а)).
Как было показано выше, в результате стирания т+1 цифры в разложении (30) получается корректная запись разложения числа Ъгт+1 в системе счисления йт+1а.
Очевидно, что если п € F (£о,..., £т), то ет+1(а,п'), ет+2(а,п),... пробегают все а-допустимые комбинации, следовательно, ео (йт+1а, Ъ т+1 , е1 [йт+1а, .
гут быть любыми из (1т+1 а-допустимых комбинаций.
Определим множество значений х(а,п) для чисел, удовлетворяющих условию ет+1(а,п) =0 или ет+1(а,п) = 1. В силу равенства (32) можно воспользоваться случаем I = 0 для чисел Ът+1 в системе счисления йт+1а. Если ео ( йт+1а, Ъ т+м = 0, то х \йт+1а,
_ эт0
больший, а если е о (йт+1а, = 1, то х (йт+1а, Ъ т+м — менынии из отрезков, состав-
ляющих X (ео,..., ет). Если йт+1а < 2шео
а,
Ът+1) = 1, то х (йт+1а, Ът+1) е й1, где
|(к1 = йт+1а ■ 1т(а) =-$т+1(а)— . ^(а) = вт+1(а).
5 т+1(а) + I т+1 (а)
Если йт+1а < 2шео
а,
Ъ т+1
= 0 х а, Ът+1) е й2, где
1(21 = (1 — йт+1а) 1т(а) =(1--8(т+1(а) , л ) 1т(а) = 1т+1(а).
V 8 т+1(а) + Iт+1 (а))
Если йт+1а > 2 и ео а, Ъ т+1)
= 1 х
а,
Ът+1) е йз, где 1йз1 = (1 — йт+1а) 1т(а) = 8т+1(а). Если же йт+1а > 2 и ео (<(т+1 а, Ът+1) = 0 х (<(т+1
а,
Ът+1) е й4, где
1й41 = йт+1а ■ 1т(а) = 1т+1(а).
Итак, если ео (йт+1а, = 1, а значит и ет+1(а,п) = 1, то значения х (а,п) е й,1,
где | (к I = вт+1(а) если же ео (<(т+1 а, Ът+1)
= 0, т.е. ет+1(а,п) = 0, то х (а,п) е йц, где
1йц | = 1т+1( а).
Теперь убедимся, что отрезки (1 и йц расположены внутри отрезка X (ео,..., ет) также
Т т (1 — о( а))
Рассмотрим последовательность натуральных чисел пк е F (ео,..., ет), где ео,..., ет —
пк а
писать ео(а),..., ет(а),.. .К аждому числу пк поставим в соответствие число Ъ т+\ такое что Ът+1 (ео (йт+1а) ,..., ет (йт+1 а)), где е, (йт+1а) = е,+т+1 (а).
Известно, что х (а,пк) е X (ео,..., ет). Растянем этот отрезок до длины единица и обозначим [0; 1]. Назовем эту операцию кх растяжением. Имеем
кх (х (а, п)) = кх (х (йт+1а, Ътт+1)) .
Очевидно, что
{(пк + 1) го(а)} = {(пк + 1) а} при а> 1/2, (33)
{(пк + 1) го(а)} = 1 — {(пк + 1)а} при а< 1/2, (34)
{ (ут^ + 1) го {йт+1а^ = { (Ът+1 + 1) йт+1а} при йт+1а > 1/2, (35)
{(—т+1 + 1) г о (йт+1а)} = 1 — {(—т+1 + 1)йт+1а} при йт+1а< 1. (36) Рассмотрим различные варианты значений а и йт+1а:
1. если а < 1 и йт+1а < 1, то исходя из (34) и (36) получаем, что точки последовательностей {пк} и ™+1| откладываются от одноименных концов соответствующих отрезков;
2. если а < ^ и йт+1а > 2, то используя (34) и (35) приходим к выводу, что точки последовательности ™+1| идут в обратном порядке по сравнению с токами последовательности {пк };
3. если а > 2 и йт+1а < 2> т0 применяя (33) и (36) получаем, что точки последовательностей {пк} и ™+1| откладываются от разноименных концов соответствующих отрезков;
4. если а > 1й йт+1а > 2, то воспользовавшись (33) и (35) заключаем, что порядок следования точек последовательностей {пк} и ™+1| одинаковый.
Итак, порядок следования точек в последовательностях {пк} и ™+1|, а значит и отрезков
и йц внутри отрезка X (во,..., £т) одинаковый, если (а — 1) [йт+1а — 1) > 0, и противоположный, если (а — 1) (йт+1а — 2) < 0.
Убедимся, что отрезки вт+1(а) и 1т+1 (а) разбиения Тг 1т+1 (а) внутри отрезка 1т(а) разбиения Тг 1т (а), где 0 < а < 2, располагаются также как и отрезки йх и йц внутри отрезка
X (£0, ... , £т)-
При 0 ^ т ^ д1 (а) — 3 или а(2п, а) — 1 ^ т ^ а(2п + 1,а) — 3 согласно (16) все короткие отрезки 8т(а) своей длины не изменят, а каждый длинный отрезок 1т(а) разобьется на два отрезка: вт+1(а) = вт(а) и Iт+1(а) = Iт(а) — вт(а) > вт(а), причем слева от нуля будет находиться отрезок в т+1( а), а отрав а 1т+1(&)• В таком случае, согласно (27),
(Ш+1а = Эт+1(а) < 1
8т+1(а) + 1т+1(а) 2.
С другой стороны при а < 2 й йт+1а < 1 порядок точек в последовательностях {пк} и
■{^а"^} одинаковые, т.е. внутри отрезка X (ео,..., ет) слева а отрава (ц.
Итак, при 0 ^ т ^ ^1(0) — 3 ми а(2п, а) — 1 ^ т ^ а(2п + 1,а) — 3 порядок следования отрезков одинаковый.
При т = (г(2п — 1,а) — 2 в силу (16) отрезки 8т(а) станут длинными 1т+1((х), а каждый длинный Iт(а) распадется на два Iт+1(а) = вт(а) и вт+1(а) = Iт(&) — $т(&) < $т(&), причем слева от нуля будет длинный отрезок Iт+1(<^), а справа — короткий 8т+1(а). В данном случае, опираясь на (27), получим
йт+1а = 1т+1(а) > 1
5 т+1(а) + I т+1(а) 2'
Ранее было показано, что если а < 2 и йт+1а > 2, то порядок следования отрезков йх и йхх противоположный, т.е. внутри отрезка X (е о,..., £т) слев а йхх, а справа йх-
Таким образом, при т = а(2п — 1,а) — 2 порядок следования отрезков сохраняется. При а(2п — 1,а) — 1 ^ т ^ а(2п,а) — 3 согласно (17) имеем 8т+1(а) = зт(а) и I т+^ы) = I т(&) — $ т(&) > ^ т(а) и слева от нуля будет отрезок I т+1(а), а отрав а в т+1(а). В соответствии с (27),
¿т+1а = 1т+1(а) > 1
5 т+1(а) + I т+1(а) 2'
При а < 2 и йт+1а > 1 получаем, что слева йц, а справа йI.
Следовательно, при а(2п — 1,а) — 1 ^ т ^ а(2п,а) — 3 порядок расположения отрезков одинаковый.
При т = а(2п, а)—2, в силу (17), отрезки 1т+1(а) = 8т(а)и 8т+1(а) = 1т(а)— вт(а) < вт(а) расположены так, что слева находится короткий отрезок т+1(а), а справа длинный Iт+1(а). Согласно (27),
¿т+1а = Эт+1(а) < 1
5 т+1(а) + I т+1(а) 2'
При а < 2 и йт+1а < 2 слева будет отрезок й^ а справа йц.
Итак, при всех т ^ 0 порядок расположения отрезков 8т+1(а) и 1т+1(а) разбиения Тг 1т+1 (а) внутри отрезка 1т(а) разбиения Тг 1т (а) такой же как и порядок расположения отрезков й_1 и йц внутри отрезка X (ео,..., ет). Таким образом, теорема 1 полностью доказана.
Отметим, что множество X (ео,..., £1) можно вычислить в явном виде, рассматривая, согласно теореме 1, вложенную последовательность длинных и коротких интервалов разбиений Тг 1о(1 — го(а)),ТИ1(1 — i0(а)),... ,ТгЬ(1 — го(а)), соответствующих наборам (ео), (ео,е1), ..., (£о, £1, . . ., £1).
Теорема 2. Для произвольного а-допуст,имого набора (го,..., г[) множест,во Х(го,..., г1) представляет собой отрезок вида, [{аа}; {Ьа}] с эффективно вычислимыми а,Ь е Ъ.
Доказательство. Пусть (го,..., х{) а-допустимый набор. Поставим ему в соответствие набор (£ 1,..., £3) по следующему правилу. 3аменим го набором из Ц1(а) — 1 пулей и единиц, причем сначала идут Ц1(а) — го — 1 нулей, а затем го единиц. Каждое г^ где 1 ^ г ^ I, также заменим набором из <^+1 (а) нулей и единиц, где вначале идут д^^а) — нулей, а затем единиц. Выстроим все наборы нулей и единиц, соответствующих г. в порядке возрастания номера г и перенумеруем полученные числа ео, £1, ..., £3- Тогда выполняется равенство
Ъ( го,..., г{) = F( е 1,..., £3)
и, следовательно,
Х( го,..., гг) = X (е 1,..., е3).
Используя теорему 1, получаем, что Х(го,..., г{) представляет собой отрезок разбиения Тг 1Я(1—"1о(а)) с эффективно вычислимым Далее остается воспользоваться предложением 7 и равенством го(а) = тах{а, 1 — а}. Отметим, что значения а, Ь оказываются неотрицательными для а < 2 и неположительными для а > 2-
7. Заключение
В настоящей работе получена геометрическая интерпретация принадлежности натурального числа множеству Ъ (го,..., г{) натуральных чисел, имеющих заданное окончание разложения в систему счисления Островского-Цеккендорфа. Данный результат может быть использован для получения асимптотических формул для числа решений ряда аналогов клас-сическиих теоретико-числовых задач над данными множествами.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Knuth D. Е. Fibonacci multiplication // Appl. Math. Lett. 1988. V. 1. P. 57-60.
2. Mintchev S. Continued fraction expansions and self-similarity of rotation on the circle //J. Phvs. A. Math. Gen. 2002. V. 36. P. 1-14.
3. Ostrowski A. Bemerkugen zur Theorie der Diophantischen Approximationen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1922. V. 1. P. 77-98.
4. Van Ravenstein T. The three gap theorem (Steinhaus conjecture) //J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1988. V. 45. P. 360-370.
5. Shutov A. V. New estimates in the Hecke-Kesten problem // Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory, A. Laurincikas and E. Manstavicius (Eds). 2007. P. 190-203. Vilnius:TEV
6. Гриценко С. A. , Мотькина H. И. Задача Хуа-Локена с простыми числами специального вида // ДАН республики Таджикистан. 2009. Т. 52, M 7. С. 497-500.
7. Гриценко С. А. , Мотькина H. Н. О вычислении некоторых особых рядов // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4. С. 85-92.
8. Гриценко С. А. , Мотькина H. Н. О некоторых аддитивных задачах теории чисел // Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. 2010. Т. 5(76), M 18. С. 83-87.
9. Гриценко С. А. , Мотькина Н. И. О теореме Чудакова в простых числах специального вида // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4. С. 75-84.
10. Гриценко С. А. , Мотькина Н. И. Об одном варианте тернарной проблемы Гольдбаха // ДАН республики Таджикистан. 2009. Т. 52, M 6. С. 413-417.
11. Гриценко С. А. , Мотькина H. Н. Проблема Варинга с натуральными числами специального вида // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15, вып. 3. С. 31-47.
12. Давлетярова Е. П. , Жукова А. А. , Шутов А. В. Геометризация системы счисления Фибоначчи и ее приложения к теории чисел // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25, N 6. С. 1-23.
13. Давлетярова Е. П. , Жукова А. А. , Шутов А. В. Геометризация обобщенных систем счисления Фибоначчи и ее приложения к теории чисел // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, вып. 2. С. 88-112.
14. Журавлев В. Г. Одномерные квазирешетки Фибоначчи и их приложения к диофантовым уравнениям и алгоритму Евклида // Алгебра и анализ. 2007. Т. 19, M 3. С. 177-208.
15. Журавлев В. Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71, Я 2. С. 89-122. DOI: http://dx. doi. org/10. 4213/im620
o
нара ПОМИ. 2006.' T. 337. С. 165-190.
o
napa ПОМИ. 2008. T. 350. С. 139-159.
18. Журавлев В. Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распрделение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, M 3. С. 18-46.
19. Красильщиков В. В. , Шутов А. В. Некоторые вопросы вложения решеток в одномерные квазипериодические разбиения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. M 7(57). С. 84-91.
20. Красильщиков В. В. , Шутов А. В. Одномерные квазипериодические разбиения, допускающие вложение прогрессий // Известия вузов. Математика. 2009. M 7. С. 3-9.
21. Мануйлов H. Н. Рекуррентные самоподобные разбиения // Чебышевский сборник. 2001. Т. 4, вып. 2. С. 87-91.
22. Матиясевич Ю. В. Связь систем уравнений в словах и длинах с 10-й проблемой Гилберта // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 8. С. 132-144.
23. Матиясевич Ю. В. Две редукции 10-й проблемы Гилберта // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 8. С. 145-158.
o
алы VII международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы, Тула, 11-16 мая 2010 года ТГПУ, Тула. 2010. С. 198-200.
25. Шутов А. В. Арифметика и геометрия одномерных квазирешеток // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11. С. 255-262.
26. Шутов А. В. Неоднородные диофантовы приближения и распределение дробных долей // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, Я 6. С. 189-202.
27. Шутов А. В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, вып. 3. С. 112-121.
28. Шутов А. В. О распределении дробных долей II // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. 2005. Я 3. С. 146-158.
29. Шутов А. В. Об одной аддитивной задаче с дробными долями // Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. 2013. Т. 5(148), Я 30. С. 111-120.
30. Шутов А. В. Перенормировки вращений окружности // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, вып. 4. С. 125-143.
31. Шутов А. В. Последовательности Штурма: графы Рози и форсинг // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 2. С. 128-139.
32. Шутов А. В. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Записки научных семинаров ПОМИ. 2004. Т. 314. С. 272-284.
33. Шутов А. В. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2006. Т. 7, вып. 3. С. 110-128.
REFERENCES
1. Knuth D. Е. 1988. "Fibonacci multiplication", Appl. Math. Lett. , Vol. 1, pp. 57-60. doi:10. 1016/0893-9659(89)90131-6.
2. Mintchev S. 2002. "Continued fraction expansions and self-similarity of rotation on the circle", J. Phys. A. Math. Gen. , Vol. 36, pp. 1-14.
3. Ostrowski A. 1922. "Bemerkugen zur Theorie der Diophantischen Approximationen", Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. , Vol. 1, pp. 77-98.
4. Van Ravenstein T. 1988. "The three gap theorem (Steinhaus conjecture)", J. Austral. Math. Soc. Ser. A, Vol. 45, pp. 360-370. doi:10. 1017/S1446788700031062.
5. Shutov A. V. 2007. "New estimates in the Hecke-Kesten problem" , Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory, A. Laurincikas and E. Manstavicius (Eds), pp. 190-203. Vilnius: TEV
6. Gricenko S. A. k Mot'kina N. N. 2009. "Zadacha Hua-Lokena s prostvmi chislami special'nogo vida", DAN respubliki Tadzhikistan, Vol. 52, no. 7, pp. 497-500. (Russian)
7. Gricenko S. A. k Mot'kina N. N. 2011. "On the computation of some singular series", Chebyshevskii sbornik, Vol. 12, no. 4, pp. 85-92. (Russian)
8. Gricenko S. A. k Mot'kina N. N. 2010. "O nekotorvh additivnvh zadachah teorii chisel", Nauchnye vedomosti BelGU. Serija Matem,atika. Fizika, Vol. 5(76), no. 18, pp. 83-87. (Russian)
9. Gricenko S. A. k Mot'kina N. N. 2011. "On Chudakov's theorem involving primers of a special type", Chebyshevskii sbornik, Vol. 12, no. 4, pp. 75-84. (Russian)
10. Gricenko S. A. k Mot'kina N. N. 2009. "Ob odnom Variante ternarnoj problemv Gol'dbaha", DAN respubliki Tadzhikistan, Vol. 52, no. 6, pp. 413-417. (Russian)
11. Gricenko S. A. k Mot'kina N. N. 2014. "Waring's promblem involving natural numbers of a special type", Chebyshevskii sbornik, Vol. 15, no. 3, pp. 31-47. (Russian)
12. Davletjarova E. P. , Zhukova A. A. k Shutov A. V. 2013. "Geometrizacija sistemv schislenija Fibonacci i ee prilozhenija k teorii chisel", Algebra i analiz, Vol. 25, no. 6, pp. 1-23. (Russian) translation in St. Petersburg Mathematical Journal, 2014, 25:6, 893-907. doi:10. 1090/S1061-0022-2014-01321-0.
13. Davletjarova E. P. , Zhukova A. A. k Shutov A. V. 2016. "Geometrizacija obobshhennvh sistem schislenija Fibonacci i ee prilozhenija k teorii chisel", Chebyshevskii sbornik, Vol. 17, no. 2, pp. 88-112. (Russian)
14. Zhuravlev V. G. 2007. "Odnomernve kvazireshetki Fibonachchi i ih prilozhenija k diofantovvm uravnenijam i algoritmu Evklida", Algebra i analiz, Vol. 19, no. 3, pp. 177-208. (Russian) translation in St. Petersburg Mathematical Journal, 2008, 19:3, 431-454. doi:10. 1090/S1061-0022-08-01005-4.
15. Zhuravlev V. G. 2007. "Odnomernve razbienija Fibonacci", Izv. RAN. Ser. matem. , Vol. 71, no. 2, pp. 89-122. (Russian) translation in Izvestiva: Mathematics, 2007, 71:2, 307-340. doi: 10. 1070/IM2007v071n02ABEH002358.
16. Zhuravlev V. G. 2006. "Summv kvadratov nad o-kol'com Fibonachchi", Zapiski nauchnogo seminara POMI, Vol. 337, pp. 165-190. (Russian) translation in Journal of Mathematical Sciences, 2007, 143:3, 3108-3123. doi: 10. 1007/sl0958-007-0195-l.
o
seminara POMI, Vol. 350, pp. 139-159. (Russian) translation in Journal of Mathematical Sciences, 2008, 150:3, 2084-2095. doi: 10. 1007/sl0958-008-0123-z.
18. Zhuravlev V. G. 2008. "Chetno-fibonachchevv chisla: binarnaja additivnaja zadacha, ras-prdelenie po progressijam i spectr", Algebra i analiz, Vol. 20, no. 3, pp. 18-46. (Russian) translation in St. Petersburg Mathematical Journal, 2009, 20:3, 339-360. doi: 10. 1090/S1061-0022-09-01051-6.
19. Krasil'shhikov V. V. k Shutov A. V. 2007. "Nekotorve voprosv vlozhenija reshetok v odno-mernve kvaziperiodicheskie razbienija", Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaja serija, no. 7(57), pp. 84-91. (Russian)
20. Krasil'shhikov V. V. k, Shutov A. V. 2009. "Odnomernve kvaziperiodicheskie razbienija, do-puskajushhie vlozhenie progressij", Izvestija vuzov. Matematika, no. 7, pp. 3-9. (Russian), translation in Russian Mathematics, 2009, 53:7, 1-6. doi: 10. 3103/S1066369X09070019.
21. Manujlov N. N. 2001. "Rekurrentnve samopodobnve razbienija", Chebyshevskii sbornik, Vol. 4, no. 2, pp. 87-91. (Russian)
22. Matijasevich Ju. V. 1968. "Svjaz' sistem uravnenij v slovah i dlinah s 10-j problemoj Gilberta", Zapiski nauchnyh seminarov LOMI, Vol. 8, pp. 132-144. (Russian)
23. Matijasevich Ju. V. 1968. "Dve redukcii 10-j problemv Gilberta", Zapiski nauchnyh seminarov LOMI, Vol. 8, pp. 145-158. (Russian)
24. Shvagireva I. K. 2010. "Binarnve additivnve zadachi nad o-progessijami Fibonachchi", Ma-terialy VII mezhdunarodnoj konferencii "Algebra i teorija chisel: sovremennye problemy i prilozhenija posvjashhennoj pamjati professora Anatolija Alekseevicha Karatsuby, Tula, 11-16 maja 2010 goda TGPU, Tula, pp. 198-200. (Russian)
25. Shutov A. V. 2010. "Arifmetika i geometrija odnomernvh kvazireshetok", Chebyshevskii sbornik, Vol. 11, pp. 255-262. (Russian)
26. Shutov A. V. 2010. "Neodnorodnve diofantovv priblizhenija i raspredelenie drobnvh dolej", Fu,ndam,entaVnaja i prikladnaja matematika, Vol. 16, no. 6, pp. 189-202. (Russian) translation in Journal of Mathematical Sciences (New York), 2012, 182:4, 576-585. doi: 10. 1007/sl0958-012-0762-v.
27. Shutov A. V. 2004. "O raspredelenii drobnvh dolej", Chebyshevskii sbornik, Vol. 5, no. 3, pp. 112-121. (Russian)
28. Shutov A. V. 2005. "O raspredelenii drobnvh dolej II", Issledovanija po algebre, teorii chisel, funkcional'nomu analizu i smezhnym voprosam, no. 3, pp. 146-158. (Russian)
29. Shutov A. V. 2013. "Ob odnoj additivnoj zadache s drobnvmi doljami", Nauchnye vedomosti BelGU. Serija Matematika. Fizika, Vol. 5(148), no. 30, pp. 111-120. (Russian)
30. Shutov A. V. 2004. "Perenormirovki vrashhenij okruzhnosti", Chebyshevskii sbornik, Vol. 5, no. 4, pp. 125-143. (Russian)
31. Shutov A. V. 2007. "Posledovatel'nosti Shturma: grafv Rozi i forsing", Chebyshevskii sbornik, Vol. 8, no. 2, pp. 128-139. (Russian)
32. Shutov A. V. 2004. "Proizvodnve povorotov okruzhnosti i podobie orbit", Zapiski nauchnyh seminarov POMI, Vol. 314, pp. 272-284. (Russian) translation in Journal of Mathematical Sciences, 2006, 133:6, 1765-1771. doi: 10. 1007/sl0958-006-0088-8.
33. Shutov A. V. 2006. "Sistemv schislenija i mnozhestva ogranichennogo ostatka", Chebyshevskii sbornik, Vol. 7, no. 3, pp. 110-128. (Russian)
