CC BY
33
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 17 Выпуск 2
УДК 511.43
ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ СИСТЕМ
СЧИСЛЕНИЯ ФИБОНАЧЧИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
К ТЕОРИИ ЧИСЕЛ1
Е, П, Давлетярова, А. А. Жукова, А. В, Шутов (г, Владимир)
Аннотация
Обобщенные числа Фибоначчи |р(я) определяемые с помощью рекуррентного соотношения
р(я) _ др(я) + р(я)
ri+2 _ УГг+1 + Гг ,
и начальных условий Р0(я) _ 1, Р-[я) _ д определяют способ представления натуральных чисел в виде жадного разложения
к
п _ £еДп)р(я),
i=0
описываемого при помощи естественных условий на еДп). В частности, при д _ 1 получаем хорошо известную систему счисления Фибоначчи. Разложения, получаемые при д > 1 будем называть представлениями натуральных чисел в обобщенных системах счисления Фибоначчи.
Настоящая работа посвящена изучению множеств Е(я) (е0,... , е;), состоящих из натуральных чисел, имеющих заданное окончание представления в обобщенной системе счисления Фибоначчи. Основным результатом работы является теорема геометризации, описывающая множества Е(я) (е0,..., е;) в терминах дробных дол ей вида {птя}, тя _ ^я +4-Более строго, для любого допустимого окончания (е0,..., е;) существуют эффективно вычислимые а, Ь € ^ что п € Е(я) (е0,...,е;) тогда и только тогда, когда дробная доля {(п + 1)тя} принадлежит отрезку [{-атя}; {— Ьтя}]. Ранее аналогичная теорема была доказана авторами для классической системы счисления Фибоначчи.
В качестве приложения рассматривается ряд аналогов классических теоретико-числовых задач над множествами Е(я) (е0,..., е;). В частности получены асимптотические формулы для количества чисел из данных множеств, принадлежащих заданной арифметической прогрессии, для количества простых чисел из заданного множества, для количества представлений натурального числа в виде суммы заданного числа чисел из данных множеств, а также для чисел решений аналогов задач Лагранжа, Гольдбаха и Хуа-Локена над данными множествами.
Ключевые слова: обобщенные системы счисления Фибоначчи, теорема геометризации, распределение по прогрессиям, проблемы гольдбахова типа.
Библиография: 33 названий.
1 Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант N 14-01-00360-а
GEOMETRIZATION OF THE GENERALIZED FIBONACCI NUMERATION SYSTEM WITH APPLICATIONS
TO NUMBER THEORY
E. P. Davlet'varova, A. A. Zhukova, A. V. Shutov (Vladimir)
Abstract
Generalized Fibonacci numbers are defined by the recurrence relation
Fi+2 - 9Fi+1 + Fi
with the initial conditions F0g) — 1, F(g) — g. These numbers generater representations of natural numbers
cls cl
greedy expansions
k
n — £ £i(n)F-9\
i=o
with natural conditions on e^n). In particular, when g — 1 we obtain the well-known Fibonacci numeration system. The expansions obtained by g > 1 are called representations of natural numbers in generalized Fibonacci numeration systems.
This paper is devoted to studying the sets F(g) (e0,..., e;), consisting of natural numbers with a fixed end of their representation in the generalized Fibonacci numeration system. The main result is a following geometrization theorem that describe the sets F(g) (e0,..., e;) in terms of
the fractional parts of the form [nr9 }, t9 — ^9 +4--. More precisely, for any admissible ending (e0,..., e;) there exist effectively computable a, b G Z such that n G F(g) (e0,..., e;) if and only if the fractional part {(n + 1)t9} belongs to the segment [|-ar9}; {— br9}]. Earlier, a similar theorem was proved by authors in the case of classical Fibonacci numeration system.
As an application some analogues of classic number-theoretic problems for the sets F(9) (e0,..., e;) are considered. In particular asymptotic formulaes for the quantity of numbers from considered sets belonging to a given arithmetic progression, for the number of primes from considered sets, for the number of representations of a natural number
cis ci sum
of a
predetermined number of summands from considered sets, and for the number of solutions of Lagrange, Goldbach and Hua Loken problem in the numbers of from considered sets are established.
Keywords: generalized Fibonacci numeration system, geometrization theorem, distribution in progressions, Goldbach type problem.
Bibliography: 33 titles.
Введение
Рассмотрим последовательность | | определяемую с помощью рекуррентного соотношения
*Й2 = + (1)
где г ^ 0 и начальных условий = 1, = при д = 1, 2, 3,....
Известно, что любое целое неотрицательное п может быть разложено в сумму различных чисел [8]
к
п = Е * (п)^(й), (2)
г=0
где ео(п) может быть равно 0,1,..., д — 1, а еДп), соответственно, 0,1,..., д, при г _ 1, 2,..., к, причем если е^+1 (п) _ д, то е^(п) _ 0 при всех 0 ^ г ^ к — 1. Разложение (2) назовем п
Для произвольного набора (ео,..., ег) такого, что если е^+1(п) _ д, то еДп) _ 0 при всех 0 ^ г ^ I — 1, определим множество
^д) (ео,... ,ег) _ {п € Ъ : п > 0,ео(п) _ ео,... ,ег(п) _ е} .
Множества F(g) (ео,... ,ег) представляют собой множества целых неотрицательных чисел, у которых фиксированы I + 1 последних цифр разложения в обобщенную систему счисления Фибоначчи.
Множество F(g) (ео,..., ег) является примером так называемой квазирешетки. В последние годы появилось много работ, посвященных решению различных теоретико-числовых задач над квазирешетками [13], [15], [16], [19], [20], [24].
В частности, В. Г. Журавлев в работе [17] рассмотрел множество F(1)(0) и решил на этом множестве бинарную аддитивную задачу, а также получил оценки тригонометрических сумм по этому множеству. Метод В.Г. Журавлева основывался на использовании так называемого о-умножения Фибоначчи-Кнута-Матиясевича [21], [22], [2] и на существовании специального отображения 5 из о-кольца Фибоначчи в кольцо Ъ . Позднее И. К. Швагирева [23],
используя этот метод, решила бинарную аддитивную задачу на множестве F(1) (0,..., 0) для любого числа нулей.
Новый подход к решению ряда теоретико-числовых задач над множеством F(1) (е1,..., ег) предложен в работе Е. П. Давлетяровой, А. А. Жуковой, А. В. Шутова [12]. Этот метод основан на геометризации системы счисления Фибоначчи и позволил решить ряд задач, в том числе аддитивную задачу, задачу Лагранжа о четырех квадратов, тернарную проблему Гольдбаха на множестве F(1) (е1,..., ег).
Рассмотрим функцию х(п), определяемую как
Х(п) _ {(п + 1)тд} ,
где {ж} — дробная часть числа ж, а Тд - меньший корень уравнения т^ + дтд — 1 _ 0, т.е. т _ Уд2+4—
2
-. Определим множество
X (ео,..., ег) _ {х(п) : п € ^д) (ео,..., ег)}.
Основным результатом работы является следующая теорема о геометризации.
Теорема 2. Для любых наборов ео, ..., ег, состоящих из целых чисел от нуля до д', где д' _ д — 1 щи г _ 0 и д' _ д Щ>и г ^ 1, тлких что если е^+1 (п) _ д, то еДп) _ 0 при всех 0 ^ г ^ I — 1, множество X (ео,..., ег) есть отрезок [{—атд}; {—Ьтд}\, где а, Ь — эффективно вычислимые целые числа, такие что 0 ^ а, Ь < + Р+1 •
Теорема о геометризации позволяет свести решение теоретико-числовых задач над множеством F(g) (ео,...,ег) к ^^^^^^ю задач над множествами {п : {птд} € I} для некоторых эффективно вычислимых интервалов I.
Отметим, что множество отрезков X (ео,..., ег), где е^.., ег, пробегая все допустимые наборы нулей и единиц, порождает разбиение ТП(1) отрезка [0; 1], называемое модифицированным разбиением Фибоначчи. Соответствующие разбиения и их приложения к задачам равномерного распределения дробных долей линейной функции рассматривались в работах [14], [25]-[27], [30]—[32], [5]. Эти разбиения также тесно связаны с так называемой гипотезой Штейнгауза, утверждающей, чт0 для любого целого N и иррационального а точки {га}, где 1 < г < N
разбивают интервал (0; 1) на интервалы не более, чем трех различных длин [4]. В данной статье используется тот же подход, что и в [12].
Работа организована следующим образом. В §2 доказывается ряд свойств обобщенных систем счисления Фибоначчи и функции х(п), необходимых в дальнейшем. В §3 дается определение модифицированных разбиений Фибоначчи и доказываются их основные свойства. В §4 мы доказываем теорему геометризации. Наконец §5 посвящен приложениям теоремы геометризации к решению ряда теоретико-числовых задач над множеством F(g) (во,..., вг)• В §5 получены следующие результаты:
1) асимптотическая формула для количества чисел из F(g) (во,... , вг), не превосходящих
А;
2) асимптотическая формула для количества чисел из F(g) (во,... ,вг), не превосходящих N и принадлежащих заданной арифметической прогрессии;
3) асимптотическая формула для количества простых чисел из F(g) (во,..., вг), не превосходящих А;
4) асимптотическая формула для числа решений аддитивной задачи щ + П2 + ... + пт = п в числах из F(g) (во,..., вг);
5) асимптотическая формула для числа решений задачи Лагранжа о четырех квадратах п"2 + п2 + п3 + п2 = п в числах из F(g) (во,..., вг);
6) асимптотическая формула для числа решений тернарной проблемы Гольдбаха р + р2 + Рз = п в простых числах из F(g) (во,..., вг);
7) асимптотическая формула для числа решений задачи Хуа-Локена + ... + = п в простых числах с условием р2 £ F(g) (во,..., вг);
8) асимптотическая формула для количества чисел из F(g) (во,..., вг), не превосходящих N и являющихся значениями заданного многочлена с целыми неотрицательными коэффициентами.
1. Обобщенные системы счисления Фибоначчи
.. /д2+4_д 2
Число тд = ——2-является решением уравнения т^ + $Тд — 1 = 0.
Применяя метод математической индукции и рекуррентное соотношение (1) можно доказать следующее предложение.
Предложение 1. Для любого натурального г справедливо равенство
^ = Т^) +(—Тд)< .
п
имеет место равенство
к
п(д)
'д ] " .........
г=о
[(п +1)Тд]= £ в; (п)^ ,
здесь [х] — целая часть от числа, х.
Доказательство. Преобразуем (п + 1)тд, используя представление (2) и утверждение предложения 1. Имеем
кк
(п + 1)Тд = Тд £ вг(п)^;(д) + Тд = Тд + £ в^Тд (т-^ + ("'д)^
;=о ;=о
к к к = Тд + £ вг(п)^_1 + £ (—1); в;(п)Тд+1 = £ в;(п)^;_)1 + г(п),
к
где г(п) = Тд + ¿2 (—1); в»(п)тд+1.
;=о
Покажем вначале, что г(п) < 1:
2[ к ] + 1
г(п) ^ Тд + во(п)Тд + в2(п)Тй3 + в4(п)Тй5 + ... + в2[к] (п)тд [ 2 ] ^
< Тд + (£ — 1)Тд + 0ТЯ3 + 4Т,5 + . . . + ^Тд2[ ^]+1 = 1 — Тд2 [ ^]+2 < 1. Убедимся теперь, что г(п) ^ 0
г(п) ^ тд — в1(п)тд — вз(п)тд — в5(п)тд — ... ^ тд — дтд2 — дтд — дтд — ... = 0. Таким образом получаем, что 0 ^ г(п) < 1, поэтому
[(п + 1)Тд ] =
£ в; (п)^ 1 + Г(п) ,г=о
£ в;(п)^;_)1 + [г(п)] = £ вг(п)^;_)1.
;=о ;=о
В разложении (2) заменим ^(д) на и получим новое натуральное число г^, предста-вимое как
к
П = £ в;(п)^+1, (3)
;=о
где если в;+1(п) = 1, то в; (п) = 0 при всех 0 ^ г ^ I — 1, называемое д-сдвигом Фибоначчи п
п
п = дп + [(п + 1)Тд].
Доказательство. Преобразуем разность п — дп с помощью представления (2) и (3)
кк
(д) _ -
П — дп = £ вг(п)^г+1 — д £ в;(п)^
;=о ;=о
= £ в;(п) — д^(д)) = £ в;(п)^;_1.
;=о ;=о
Используя предложение 2, получаем п — дп = [(п + 1)тд] ши п = дп + [(п + 1)тд].
Пусть функция х(п) = {(п + 1)тд}, где {х} — дробная часть числа ж. Значения функции х(п) равномерно распределены по интервалу (0; 1), так как согласно теореме Вейля при любом иррациональном а последовательность {ап}, где п = 1,2,..., равномерно распределена по модулю 1 и {ап} = 0 только при п = 0.
п
X (пП) = 1 — (д — 1 + х(п)) тд.
Доказательство. По определению х(П) = {Птд + тд}, поэтому воспользовавшись предложением 3, находим
X ) = {(дп + [(п + 1)Тд]) Тд + Тд } = { (дп + 1)Тд + [(п + 1)Тд] Тд } .
Зная, что [ж] _ ж — {ж}, имеем
X (1) _ {(дп + 1)тд + ((п + 1)тд — {(п + 1)тд}) тд} _ _ {(дп + 1)тд + (п + 1)(1 — дтд) — {(п + 1)тд} тд} _
_ { —(д — 1)тд — Х(п)тд} _ {— (д — 1 + Х(п)) тд} .
Согласно определению х(п) € (0; 1) следовательно, д — 1+ х(п) € (д — 1; д) и (д — 1 + х(п)) тд € € ((д — 1)тд;дтд) С (0; 1). Кроме того известно, что если 0 < ж ^ 1, то {—ж} _ 1 — {ж}, поэтому
X
() _ {— (д — 1 + х(п)) тд} _ 1 — (д — 1 + х(п)) тд.
Предложение 5. Для любого целого неотрицательного п и целых 0 ^ £ ^ д — 1м 0 ^ Ъ ^ д — 1 справедливы соотношения
X(г? + £) € (1 — (д — £)тд; 1 — (д — £ — 1)тд), (4)
х(+ £ + Ъ) € (д — £ — (д2 — д£ — Ъ)тд; д — £ + 1 — (д2 — д£ + д — Ъ)тд) , (5)
X + Ъ) € (д — (д2 — Ъ)тд; д + 1 — (д2 + д — Ъ)тд) , (6)
X + д2) € (0; 1 — дтд), (7)
X (1 + д2 + ъ) € (д + 1 — (д2 + д — Ъ)тд; 1 — (д — Ъ — 1)тд) . (8)
Доказательство. Значения функции х(n) равномерно распределены по интервалу (0; 1), поэтому
д — 1 + х(п) € (д — 1;g), (д — 1 + х(п))тд € ((д — 1)тд;дтд^
1 — (д — 1 + х(п))тд € (1 — дтд;1 — (д — 1)тд). Воспользуемся утверждением предложения 4 и получим
X(г?) € (1— дтд;1 —(д — 1)тд). (9)
Распишем по определению
X (г? + £) _ {(г? + £ + 1) тд } _ {х (г?)+ £тд } .
Учитывая (9), получим
х(г?) + £тд € (1 — (д — £)тд; 1 — (д — £ — 1)тд).
Убедимся, что х ) + £тд € (0; 1). Для этого введем две функции 1(£) _ 1 — (д — £)тд и г(£) _ 1 — (д — £ — 1)тд. Так как 1'(£) _ г'(£) _ тд > 0 значит функции 1(£) и г(£) возрастают на отрезке [1;д — 1], то 1(1) _ т2 + тд > 0 - наименьшее значение 1(£), а г(д — 1) _ 1 - наибольшее значение функции г(£) на указанном отрезке. Следовательно, соотношение (4) доказано. Рассуждая аналогично, получаем остальные утверждения предложения 5. Пусть п представимо в виде (2). Обозначим Fj• (г) _ {п : е^(п) _ ]}, F-(г) _ {п : е^+1(п) _ ]},
Fj(г) _ {п : е^-1(п) _ ]}, где ] _ 0,1,..., д'. Здесь и далее будем полагать д' _ д — 1 при г _ 0 ид' _ д при г ^ 1.
Предложение 6. Для любого г ^ 0 и ] =0,1,... ,9' справедливо равенство
Fj(г + 2) = ^Ц (—?(г + 1) + ^ и + 92) . (Ю)
Доказательство. Вначале докажем, что
+ и (? + 9^ С ^(г + 2). (11)
Пусть п е Fj (г + 1), т.е. е^+^п) = ^ тогда если п' = т0 £г+2(п') = т.е. п' е ———+—?,
так как согласно определению ^ (г + 1) = {п' : £г+2(п') = j}, причем £о(п') может быть равно 0, 1, . . . , 9 1
Таким образом, разложение числа п' удовлетворяет условиям разложения (2) с дополнительным условием £г+2(п') = ^ т.е. п' е Fj (г + 2).
Пусть теперь п е Fj• (г), т.е. £^(п) = Если п' = п, то £г+2(п') = ^ т.е. п' е Fj• (г), так
как Fj(г) = {п' : £г+2(п') = j}, причем выбрав £о(п') = 0, а £1(п') = 9, то получим числа
п' е Fj(г) + 92, у которых выполнены условия разложения (2). Тем самым прямое включение (11) доказано.
Докажем обратное включение. Пусть п е Fj(г + 2), т.е. £г+2(п) = j. Рассмотрим два случая: е1(п) = в, где 0 ^ в ^ 9 — 1, или е1(п) = 9.
Если е1(п) = в, где 0 ^ в ^ 9 — 1, то число п' = " таково, что £о(п') = в, т.е. п' е Fj• (г + 2) = = {п' : £¿+1 (п') = ,?'}. Поэтому для числа п' выполнены условия разложения (2).
Если же £1 (п) = 9, то согласно свойствам разложения (2) £2(п) = 0. Положим п' =
тогда п' е Fj(г + 2) где Fj• (г + 2) = {п' : £^(п') = j}, причем £о(п') = 0, т.е. п' удовлетворяет условиям разложения (2). Таким образом,
Fj(г + 2) С (Т— ( : + 1) + и + 92) .
Из справедливости включений в ту и другую сторону следует, что равенство (10) выполняется.
Обозначим через X?(г) замыкание множества значений функции х(п), где п е Fj(г), то есть X?(г) = {х(п) : п е Fj• (г)} где j = 0,1,... ,9'.
г
X?(г + 2) = 11 I (1 — (* + X? (г + 1)) тй) ) и т2х? (г), (12)
2) = ^Ц (1 — (* + X? (г + 1)) тЙ^ и г2Х? (г)
где j = 0,1,... ,9'. Более того, множества X?(г) состоят из конечного числа, от,резкое.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по г. Вначале рассмотрим случай г = 0. Если j = 0, то по определению Xо(0) = {х(т) : т е Fо(0)}. Очевидно, что число т е Fо(0) можно получить двумя способами: т = ? и т = ?? + 92, где п е 2, п ^ 0.
Применим соотношения (4) при Ь = 0, (7) и получим
Хо(0) С х (") и х (" + д2) £ (1 — дтд; 1 — (д — 1)тд) и (0; 1 — дтд) С
С (0; 1 — (д — 1)тд).
В силу теоремы Вейля можно утверждать, что Хо(0) = [0; 1 — (д — 1)тд].
Если 1 ^ ^ ^ д — 1, то множество X? (0) = {х(т) : т £ F?• (0)}. Любое т из F?• (0) может быть получено с помощью д-сдвига Фибоначчи и добавления натурального числа т.е. т = " + где п £ Ъ, п ^ 0.
Таким образом, пользуясь (4), имеем
X?(0) С (1 — (д — ;)тд; 1 — (д — j — 1)тд)
и, следовательно, в силу теоремы Вейля X? (0) = [1 — (д — ^')тд; 1 — (д — j — 1)тд]. Очевидно, д_1
что и X? (0) = [0; 1].
?=о _
Пусть г = 1, тогда если j = 0, то Хо(1) = {х(т) : т £ F0(1)}. Число т из множества Fо(1) может быть получено одним из четырех способов: либо т = Т^, либо т = " + Н, либо
т = п + д2, либо т = п + д2 + Н, где 1 ^ Н ^ д — 1 п ^ 0 и п Н £ Ъ, поэтому
Используя соотношения (6) и (8), получаем
/д-1
Ао(1) С и ((д — (д2 — Ь)тд;д + 1 — (д2 + д — Н)тд) и
\^=о
и (д + 1 — (д2 + д — Н)тд; 1 — (д — Н — 1)тд))) = д-1
= и (д — (д2 — Н)тд; 1 — (д — Н — 1)тд).
^=о
Пользуясь равномерностью распределения значений функции х(п), можем записать
д-1
Хо(1)= и [д — (д2 — Н)тд; 1 — (д — Н — 1)тд] . ^=о
Если 1 ^ j ^ д — 1, то согласно определению X?(1) = {х(т) : т £ F?• (1)}, поэтому если
т £ Fj (1), то т = " +или т = " + j + Н, где 1 ^ Н ^ д — 1 п ^ 0 и п Н £ Ъ. Применяя (5), имеем
X? (1) С ^и х ("+1 + н)] £ \й=о )
д-1
£ и (д — j — (д2 — gj — Н)тд; д — j +1 — (д2 — gj + д — Н)тд).
^=о
В силу теоремы Вейля можно утверждать, что д-1
Х?(1) = и [д— j — (д2 — gj — Н)тд; д— j +1 — (д2—gj+д— Н)тд].
^=о
Если же j = д, то множество Хд(1) = {х(т) : т £ Fg(1)} Все числа т, принадлежащие Fg(1), получаются только одним способом т = " + д2, где п £ Ъ, п ^ 0. Соотношение (7)
д
позволяет прийти к выводу, что
Хд(1) С х (" + д2) £ (0; 1 — дтд).
х(п)
Хд (1) = [0; 1 — дтд].
д
Непосредственной проверкой убеждаемся, что и X? (1) = [0;1].
?=о
Все остальные X?(г), где г ^ 2 и j = 0,1, ...,д можно найти, пользуясь утверждением предложения 6, согласно которому
X?(г + 2) = |х(т) : т £ (—— — 1) + н)^ и (?) + д2) |.
Если т £ ( — + 1) + Н, то т = " + Н, где п £ F?• (г + 1), и 0 ^ Н ^ д — 1, а если т £ Ё——) + д2, то т = " + д2, где п £ F?• (г). По определению
х (" + Н) = {х (") + Нтд} и х (" + д2) = {х (") + д2тд},
значит применив предложение 4, получим
х (") + Нтд = 1 — (д — Н — 1 + х(п)) тд С (0; 1) ()
х (") + д2Тд = (д + х(п)) т2 + д2Тд С (д;д + т2), поэтому х (" + Н) = 1 — (д — Н — 1+ х(п)) тд, а х + д2) = (х(п)) т2, следовательно,
X?(г + 2) = ( [ (1 — (д — Н — 1 + X? (г + 1)) Тд)] и т2^ (г) = \й=о )
^Ц (1 — (Ь + X? (г + 1)) Тд)) и т2^ (г).
Преобразования 1 — (д — Ь + X? (г — 1)) тд и т2А? (г — 2) переводят отрезок в отрезок. Множества X? (1) и X? (0) — это отрезки, следовательно, при любом натуральном г множества X? (г) — объединение конечного числа отрезков.
2. ^-разбиения Фибоначчи
Пусть имеется некоторое разбиение Я(г) отрезка [0; 1] на части, длины которых равны ¿1 и ¿2) причем таковы, что 9^1 < ¿2 и (9 + 1)^1 > ¿2- Введем два преобразования £1 и £2 данного разбиения.
Преобразование £1(Л(г)) состоит в откладывании 9 раз от левых концов отрезков разбиения Л(г) наименьшего из отрезков этого разбиения. В результате получаем новое разбиение Л(г + 1) начинающееся с наименьшего из отрезков разбиения Л(г) и имеющее большее число отрезков.
При выполнении преобразования £2(Л(г)) от правых концов отрезков разбиения Л(г) откладывается 9 раз наименьший го отрезков разбиения Л(г). Полученное разбиение Л(г + 1) будет иметь больше отрезков, чем Л(г), причем крайним правым отрезком разбиения будет наименьший из отрезков разбиения Л(г).
Определим преобразование 1 + Л(г), где 1 = 1,2,... ,9, как сдвиг всех отрезков разбиения Л(г) на 1 единиц вправо.
Также введем преобразование 1 — Л (г), заключающееся в откладывании от единицы влево отрезков разбиения Л(г), начиная с крайнего левого.
Предложение 8. Пусть Л(г) некоторое разбиение отрезка [0; 1] на, части, длины, которых могут быть только и 12, причем 911 < ¿2, я (9 + 1)11 > ¿2; тогда
£1 (1 — Л(г)) = 1 — £2 (Л(г)) « £2 (1 — Л(г)) = 1 — £1 (Л(г)).
Доказательство. Докажем справедливость равенства
£1 (1 — Л(г)) = 1 — £2 (Л(г)).
Преобразование В1 (1 — Л(г)) состоит из двух более простых преобразований. В результате выполнения 1 — Л(г) получим разбиение, у которого порядок следования отрезков обратный к Л(г), а длины отрезков те же. Затем осуществляем преобразование £1. В итоге получим, что от всех левых концов отрезков разбиения 1 — Л(г) отложен 9 раз наименьший из отрезков разбиения Л(г).
При осуществлении преобразования 1 — £2 (Л(г)) сначала от правых концов отрезков разбиения Л(г) 9 раз откладывается наименьший из отрезков, а затем меняется порядок следования отрезков на противоположный. Таким образом, получим точно такие же отрезки, как и в результате преобразования В1 (1 — Л(г)).
Предложение 9. Пусть Л(г) некоторое разбиение отрезка [0; 1] на, части, длины, которых могут быть только Ь и 12, причем 9/1 < ¿2, я (9 + 1)^1 > ¿2, тогда
£1 (г + Л(г)) = I + £1 (Л(г)) « £2 + Л(г)) = I + £2 (Л(г)).
Доказательство. Убедимся в справедливости равенства
£1 (* + Л(г)) = I + £1 (Л(г)).
Преобразование £1 (^ + Л(г)) состоит из двух преобразований. При выполнении I + Л(г) все отрезки разбиения Л(г) сдвигаются на I вправо, поэтому порядок следования и длины отрезков у разбиений I + Л(г) и Л(г) одинаковые. Затем делаем преобразование £1. В итоге получим, что от каждого из левых концов отрезков разбиения I + Л(г) 9 раз отложен наименьший из отрезков разбиения Л (г).
Выполняя преобразования I + £1 (Л(г)) вначале от левых концов отрезков разбиения Л(г)
разбиения на I единиц вправо. Значит в результате получится такое же разбиение как и после выполнения преобразования В1 (I + Л (г)).
Рассмотрим разбиение ТН(1), состоящее из д + 1 отрезка:
[°; Тд2] , [тд2; тд + Тд2] , [тд + Тд2; 2Тд + Тд2] , ..., [(д — 1)тд + Тд2;1] .
Индуктивно определим разбиение ТП(г + 1), получаемое из разбиения ТП(г) с помощью преобразования В, задаваемого следующим образом:
В (ТП(')) = / Б1 (Т11(г)), если г — нечетное, ( ( | В2 (ТП(г)), если г — четное.
Разбиения ТИ(г) называются модифицированными разбиениями Фибоначчи. Впервые они были определены другим способом в работе [33] при изучении проблемы Гекке-Кестена, заключающейся в получении явных оценок остаточного члена проблемы равномерного распределения дробных долей линейной функции для множеств, на которых данный остаточный член имеет порядок 0(1) (множествах ограниченного остатка).
Предложение 10. Разбиение ТИ(г) состоит из отрезков только двух длин тд и тд+1.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по г. Разбиение ТП(1) состоит из д отрезков длины тд и одного длины т2.
Предположим, что разбиение ТИ(г) состоит из отрезков длины тд и тд+1. Найдем длины отрезков разбиения ТП(г+1) = В (ТН(г)). Преобразование В состоит в откладывании от одного из концов длинных отрезков разбиения ТП(г) д отрезков наименьшей длины, т.е. длины тд+1. При этом отрезок длиной тд разобьется на д + 1 отрезков: д отрезков длиной тд+1 и один отрезок длины тд — дтд+1 = тд(1 — дтд) = тд+2, что и требовалось доказать.
Предложение 11. Для любого г ^ 1 справедливо равенство
Т11(г + 2) = ^Ц (1 — (Ь + Т11(г + 1)) Тд^ и т2Т11(г)
и т„2Т11(г). (13)
Доказательство. Применим индукцию по г. При г = 1 разбиение ТН(1) состо-д т т 2 [0; 1 дт ] [1 дт ; 1 (д 1)т ]
[1 (д 1)т ; 1 (д 2)т ] [1 дт ; 1]
Т11(1) : [0; 1 — дтд] , [1 — вТд; 1 — (в — 1)тд] , где 1 < в < д. (14)
По определению ТП(2) = В (ТП(1)) = В1 (ТП(1)). Если от левых концов отрезков разбиения ТП(1) отложить по д отрезков длиной т2, то каждый из длинных отрезков данного разбиения разделится на д + 1 отрезков, из которых д имеют длину т2 и один т3, а именно: [0; 1 — дтд], [1 — ¿Тд + (р — 1)Тд2; 1 — ¿Тд + рТд2], [1 — ¿Тд + дТд2; 1 — (8 — 1)тд], где 1 ^ 8 ^ д и 1 ^ р ^ д.
В свою очередь ТН(3) = В (ТП(2)) = В2 (ТП(2)), поэтому отложив от правых концов отрезков разбиения ТП(2) д раз отрезок меньшей длины, равной т3, получим разбиение ТП(3):
01 — дтд— дтд3И О1 — дтд— 1т«?3;1 — дтд— (И— 1)тй3И О1 — втд + (р — 1)тд;1 — втд + ртд — дтд],
1 — вТд + рт| — /т3; 1 — вТд + рт| — (/ — 1)т3], [1 — вТд + дТд2; 1 — (в — 1)тд^е 1 < в < д,
1^ р ^ д и1^/^ д-
т 3 = д + д2 + 1 т т 2 = 1 дт
отрезков разбиений ТН(2), ТИ(3) к виду а — Ьтд. В таком случае
Т11(2) : [0; 1 — дтд] , [р — (рд — д + в)тд; р + 1 — (рд + в)тд] ,
[9 + 1 — (92 + в)тя; 1 — (в — 1)тя] ; (15)
Т11(3) : [0; 92 + 1 — (93 + 29) тя] , [9* + 1 — (9^ + I + 9) тй; 9^ — 9 + 1 —
— (921 — 92 + I + 9 — 1) тя] , [р — (р9 — 9 + в)тй; 92 + р + 1 — (93 + Р9+ +9 + в) тй], [9^ + р + 1 — (9^ + р9 + в + тя; 9^ — 9 + р + 1 — (9^ + Р9—
—92 + ^ + в — 1) тй] , [9 + 1 — (92 + в) тй; 1 — (в — 1)тя] , (16)
где 1 ^ в ^ 9, 1 ^ р ^ 9 и 1 ^ I ^ 9.
Зная вид разбиения ТП(1) (14) находим
т2Т11(1): [0; 92 + 1 — (93 + 29) тй] ,
[в9 + 1 — (в92 + в + 9) тй; в9 — 9 + 1 — (в92 — 92 + в + 9 — 1) тя] ,
где 1 ^ в ^ 9. Заменяя переменную в на переменную I, убеждаемся, что т2ТП(1) является частью разбиентия ТП(3).
Применяя результат (15) получаем
й-1
У (1 — (Ь + Т11(2)) тй) : [9 + 1 — (92 + Ь + 1)тя; 1 — ] , [р9 + в + 1 —
4=о
— (р92 + в9 + р + Ь + 1) ; р9 — 9 + в + 1 — (р92 — 92 + в9 + р + тя] ,
[в — (в9 — 9 + Ь + 1) тй; 92 + в + 1 — (93 + в9 + в + Ь + 1)тя] , (17)
где 1 ^ в ^ 9, 1 ^ р ^ 9 и 0 ^ Ь ^ 9 — 1.
Покажем, что полученные отрезки эквивалентны отрезкам разбиения ТП(3), записанные в (16). Заменим в (17) все р на I, а в на р имеем
[9 + 1 — (92 + Ь + 1)тя; 1 — ] , ^ + р + 1 —
— (92^ + р9 + I + Ь + 1) тй; 9^ — 9 + р + 1 — (9^ — 92 + р9 + I + Ь) тй] ,
[р — (р9 — 9 + Ь + 1) тй; 92 + р + 1 — (93 + р9 + р + Ь + 1)тя] ,
где 1 ^ I ^ 9 1 ^ р ^ 9 и 0 ^ Ь ^ 9 — 1. Затем замен яем Ь на в — 1 и получаем отрезки, совпадающие с частью отрезков (16).
Таким образом, справедливо равенство
Т1(3) = ^Ц (1 — (Ь + Т11(2)) тй^ и т2Т11(1).
г=т
Т11(т + 2) = ^Ц) (1 — (Ь + Т11(т + 1)) тЙ) ^ и т2Т11(т). (18)
Пусть г = т + 1, тогда согласно определению ТП(т + 3) = £ (ТП(т + 2)) где £ = £1 или £ = £2
Т11(т + 3) = £ ^ Ц (1 — (Ь + Т!1(т + 1)) тй) ^ и т2Т11(т) ^ .
Длины отрезков разбиений 1 — (Ь + ТИ(ш + 1)) тд и т2ТН(т) согласно предложению 10
равны т^^2 и т^^3. После выполнения преобразования В длины отрезков станут т^^3 и т^^4.
Преобразование В состоит в откладывании наименьшего из отрезков от одного из концов
/д-1 \
отрезков разбиения I У (1 — (Ь + ТИ(ш + 1)) тд ) I и т2ТП(т). Очевидно, что \*=о )
К ( Ц1 (1 — (Ь + Т^т + 1)) тд)) и т2Т11(т^ =
= (3-1 В (1 — (Ь + ТИ(ш + 1)) тд^ и В (т2Т11(ш)) .
Воспользуемся предложениями 8 и 9, и получим
В (1 — (Ь + ТИ(Ш + 1))Тд) = 1 — (Ь + В (ТИ(Ш + 1)))Тд = 1 — (Ь + Т11(Ш + 2))Тд
В (т2Т11(т)) = т2В (Т11(ш)) = тд2Т11(ш + 1).
Таким образом, находим, что
Т11(ш + 3) = ^ Ц (1 — (Ь + ТИ(ш + 2)) тд)^ и тд2Т11(ш + 1).
Рассмотрим разбиение Т(г) отрезка [0; 1] на отрезки вида [{—атд}; {—Ьтд}], где а, & — целые неотрицательные числа, определяемые по следующему правилу:
а = т, где 0 ^ т < ^.(д1 + ^.(д);
г
г
п(д)
(д)
Ь =
т + если 0 ^ т < ^(д),
т — ^,(д), если ^(д) < т < + ^(д)
( )
( )
Ь=
т + ^ , если 0 ^ т < т — , если < т < + ^¿(д).
Если Ь = 0, то отрезок имеет вид [{—атд}; 1].
Предложение 12. Разбиения ТП(г) и Т(г) совпадают при всех г > 1.
Доказательство. Вначале убедимся, что длины отрезков разбиения Т(г) равны т,5+1 и
т 'я
г
{—ттд}; { — (т + ) Тд}
где 0 ^ т < ^.(д), и
{—ттд}; { — ( т — ^(дМ тд} , где ^(д) ^ т < + ^(д). Длины этих отрезков равны длинам
(д)
(д)
(д)
отрезков
0; {—*Й1тд }
Легко убедиться, что
0; {^(д)тд}
(—1)г ^(д)Тд | = тд+1, поэтому длины указанных отрезков равны
, соответственно.
—^¿(д)тд }■ = тд и \ ^¿(д)тд }■ = тд+1, причем отрезков длины тд в разбиении Т(г) всего ^¿(д1, а
(д)
гг+1
(д)
длины соответственно, В случае нечетного г аналогично получаем отрезки только двух длин и т^ в тех же количествах.
Рассматривая координаты концов отрезков разбиений Т(г) и Т(г + 1), убеждаемся, что все короткие отрезки разбиения Т(г) становятся длинными в разбиении Т(г + 1). Каждый из длинных отрезков разбиения Т(г) распадается на д + 1 отрезков: один короткий и д длинных разбиения Т(г + 1) причем при г нечетном слева будет короткий, а при г четном — справа.
Итак, имеем
В1 (Т(г)), если г — нечетное,
Т(г + 1) | В2 (Т(г)), если г — четное.
Для доказательства предложения остается проверить, что ТП(1) = Т(1) и воспользоваться г
Доказанное предложение означает, что разбиения ТП(г) получаются сдвигом классических разбиений Фибоначчи, определенных в [14].
3. Теорема о геометризации
Теорема 1. Множество Хо(г), где г ^ 0; состоит из всех коротких и такого же числа, длинных отрезков разбиения ТИ(г + 1), причем каждый короткий, объединяется с идущим, вслед за, ним, длинным,. Множество X,(г), где 1 ^ j ^ д — 1, состоит из всех (^ + 1)-ы,х длинных, идущих после каждого короткого отрезка разбиения ТИ(г + 1). Множество (г), состоит из всех оставшихся отрезков разбиения ТИ(г + 1). Порядок от,счет,а, отрезков при г
Доказательство. Согласно предложению 10, разбиение ТН(г) состоит из отрезков, длины которых равны т* и Обозначим ч ерез Ь(г) объединение длинных отрезко в, а через Б (г) — объединение коротких отрезков разбиения ТИ(г). Очевидно, что для .¿(г) и Б (г) справедливы равенства аналогичные тождеству (13).
г = 0 г = 1
г
В представлении (2) зафиксируем первые I + 1 значений ег, т.е. ео, •••, ег. Обозначим через F(g) (ео,...,ег) множество целых неотрицательных чисел, у которых фиксированы значения ео(п) = ео, ..., ег(п) = £г-
Пусть X (ео,..., £г) — замыкание множества значений функции х(п) при п € F(g) (ео,..., ег). Очевидно, что множество X(ео,..., ег) является пересечением множеств X,(г) где г = 0,1,..., I, а j = 0,1,..., д', т. е.
X (ео ,...,ег) = П X,- (г), где j = ^ 1 еСЛИ ег = 1, (19)
г=о ' ' '
Теорема 2. Для любых наборов ео, ...; ег, состоящих из целых чисел от нуля до д'; где д' = д — 1 щи г = 0 и д' = д при г ^ 1; таких что если е^+1 = д, то ег = 0 при всех 0 ^ г ^ I — 1; множест во X (ео,..., ег) есть отрезок [{—атй}; {—Ьтй }], где а, Ь — эффективно вычислимые целые числа, такие что 0 ^ а, Ь < + .
Доказательство. Согласно (19) X (ео, ...,ег) — это пересечение множеств X,(г), где г = 0,1,..., I, а j = 0,1, 2 ..., д', являющихся объединением конечного числа отрезков разбиения ТП(1 + 1) Следовательно, X (ео, ...,ег) представляет собой объединение конечного числа отрезков разбиения ТП(1 + 1). Докуем, что X (е1,..., ег) состоит из одного отрезка.
0, если ег = 0,
1, если ег = 1,
д , если ег =д
Подсчитаем количество возможных комбинаций ••• 5 таких что еели £¿+1 = д, то е% = 0, где 0 ^ г ^ I — 1, а j = 0,1,... ,д'. Комбинация, дающая наименьшее из возможных чисел, состоит из всех нулей, т.е. е = 0 при всех 0 ^ г ^ I. Комбинации, дающие наибольшее из возможных натуральных чисел при четном и нечетном I различны.
Если I четное, то ео = д — 1, е2 = е4 = ... = е = д е1 = е3 = ... = £г-1 = 0; если I нечетное, то ео = е2 = е4 = ... = £г-1 = 0 е1 = е3 = ... = е = д- Числа, соответствующие этим комбинациям, подсчитаем, используя (1). При I четном:
+ др-2 + ... + д^2(й) + (д — 1)^ = (др(й) + — рй+
+ (д*й + р-3) — р-3 +... + + — р;(й) + (д — 1)^ =
= — + — + р- — ... — ^ + (д — 1)р(й) = р+ — 1; при I нечетном:
др(й) + др- + ... + д^ + др(й) = (д^ + р(-1) — р(-1 +
+ (д^-2 + *й) — *й + ... + Ий) + р?0) — р(й) + (д^ + р(й)) — ^ =
= р(й) _ р(й) + р(й) _ р(й) + р(й) _ _ р(й) + р(й) _ р(й) = р(й) _ 1 = р 1+1 р-1 + р 1-1 р 1-3 + р1 -3 ... р2 + р2 ро = р 1+1 1.
Таким образом, наименьшее из чисел множества F(g) (ео,...,ег) - это ноль, а наибольшее р+1 — 1. Все промежуточные комбинации (ео,...,ег) также задают натуральные числа, следовательно, имеется р(+1 различных множеств F(g) (ео,...,ег), и каждому из этих множеств соответствует свое X (ео,...,ег)• Ясно, что множества, соответствующие различным наборам (ео,..., е) при фиксированном I те пересекаются. Следовательно, У X (ео,..., е) должно содержать не менее чем р(+1 отрезков.
В ходе доказательства предложения 12 было показано, что в разбиении Т(I + 1) имеется р(й) коротки и р(+1 длинных отрезков. Согласно теореме 1 множества Х^-(г), где j = 0,1,..., д', состоят из отдельно стоящих длинных отрезков и только Хо(г) — это множество всех коротких, объединенных с таким же количеством длинных отрезков, расположенных рядом с короткими.
Это означает, что общее количество отрезков, соответствующих числу различных множеств X (ео,..., е) равно р(+1-
Согласно предложению 12 разбиения ТП(1 + 1) и Т(I + 1) совпадают, поэтому количество I ( )
комбинаций Р| Х^- (г) равн о р(+1 отрезкам, являющихся непересекающимися частями разбие-¿=о
ния Т(I +1) Следовательно, каждому из множеств X (ео,..., е) соответствует в точности один отрезок, концы которого совпадают с точками разбиения Т(I).
4. Теоретико-числовые приложения
Пусть — число натуральных чисел и, меньших или равных А, таких что все члены последовательности {па} принадлежат отрезку [а; Ь], т.е.
= Й {и : 1 < и < А, {па} е /0>ь} ,
где 1о,ь = [а, Ь].
В силу теоремы Вейля для любого иррационального а справелива асимптотическая формула
Ам = (Ь — а)Ж + о(Ж). (20)
Во многих случаях остаточный член асимптотики (20) может быть улучшен. В частности, а
дробь, то [18], [3]
Ам = (Ь — а)Ж + 0(1п N). (21)
Кроме того, известна теорема Гекке [1], утверждающая, что если для длины интервала /„,5 справедливо включение Ь — а € Ъ + аЪ, то
АМ = (Ь — а^ + 0(1). (22)
Обозначим через Ам (ео,..., ег) — число натуральных чисел, не превосходящих N, у которых в представлении (2) зафиксированы первые I + 1 значений ео,..., ег, то есть
Ам (ео ,...,ег) = Й {п : 1 < п < N,n € F(й) (ео,...,ег )} . Теорема 3. Для любого натурального N справедлива асимптотическая формула
Ам (ео,...,ег) = cN + 0(1), где с — эффективно вычислимая, константа, зависящая только от, (ео,... ,ег). Доказательство. Согласно теореме 2, если п € F(й) (ео,..., ег), то
Х(п) € [{—атй}; {—Ьтй}] =
аЬ
Ам (ео,..., ег) = Й {п : 1 < п < N, х(п) € Л,ь} .
Поскольку длина интервала принадлежит Ъ + аЪ, учитывая определение х(п) и теорему Гекке (22), имеем
Ам (ео,...,ег) = + 0(1).
Отсюда получаем утверждение теоремы с константой
с = |{—атй } —{—Ьтй }|.
Следствие 1. Пусть р (ео,..., ег) — плотность распределения чисел множества
(ео,...,ег)
на числовой прям,ой, тогда
если ег = 1,
Р(ео,...,ег) = { 1 + тг I 'й "Г" 'й'
й + т?, если ег = 0.
Доказательство. Согласно определению плотность распределения множества точек на числовой прямой — это
р (ео,..., ег) = 11т ---.
М^те N
Воспользуемся утверждением теоремы 3 и запишем
р(во,... ,вг) = Иш
|{-атй }-{-К }|Ж + 0(1)
N
0(1) м^Гго N
Аз) „„„„„„„„ „ 77.(й)
= |{-атй} - {-Ьтз}| + 11ш = |{-атд} - {—Ьтй}|.
Разбиение ТН(1 +1) состоит из ) коротких и длинных отрезков. В ходе доказательства
I ( )
теоремы 2 было показано, что количество различных комбинаций Р| Х^- (г) совпадавт с
г=0
отрезками, дающими при объединении отрезок [0; 1]. Следовательно, отрезков разбиения
ТП(1 + 1) являются составляющими частями отрезков, совпадающих с числом возможных I
вариантов Р| Х^-(г).
г=0
Согласно определению множество Хо (1) представляет собой объединение коротких и стоящих рядом с ними длинных отрезков разбиения ТП(1 + 1), длины которых равны + а множества Х^-(1), где ] = 1, 2,... ,д — объединение длинных отрезков разбиения ТН(1 + 1), длины которых равны т^^1.
Обозначим через А^9 (во,..., в) — число натуральных чисел, меньших или равных N, принадлежащих множеству F(g) (во,... ,вг) и являющихся членами арифметической прогрессии в* + д, где в, * € N д ^ 0 ^ д ^ 8 — 1, то есть
А^ (во,..., в) = Й {п : 1 < п < N, п € F(з) (во,..., в), п = в* + д} .
Теорема 4. Для фиксированного в и любого натурального N справедлива, асимптотическая формула
з N / N
А^ (во,..., вг) = р (во,..., в) у + Ог ( 1п у
Доказательство. Зная, что условие п € F(g) (во,..., вг) эквивалентно тому, что х(п) € € и воспользовавшись принадлежностью п арифметической прогрессии в* + д, можно утверждать, что
АМ9 (во,..., вг) = Й {* : 1 < в* + д < N {(в* + д + 1)тя} € 70,ь} .
тт л/й2+4-1 I И
Число тз = ——2- — квадратичная иррациональность, значит числа т^ = втз и т^' =
= (д + 1)тз, где в, д € N также являются квадратичными иррациональностями.
Пусть АМ = {п :1 ^ п ^ N пт^ + т^' € Согласно теореме Лагранжа разложение
квадратичной иррациональности в цепную дробь является периодическим, возможно с пред-периодом. Это означает, что неполные частные разложения квадратичной иррациональности в цепную дробь ограничены. Поэтому, в силу (21),
АМ = |{—атй} — {—К}| N + Ог(1п
Из неравенств 1 ^ в* + д ^ N получаем 1 ^ * ^ причем [—] ^ ^ ^ — 5 так как
0 < 3 <1 * 3 3
N / NN
АМ (во,...,вг) = = |{—атз} — {—Ьтз}| - + Ог (ъ.
Далее остается воспользоваться равенством
р(во,...,вг) = |{—атй} —{—Ьтй}| . (23)
Пусть п (во,..., £7; n) — количество простых чисел, не превосходящих n и принадлежащих множеству F(g) (во,..., £), а п(п) — количество простых чисел, не превосходящих n.
Теорема 5. Множество F(g) (во,..., £) содержит бесконечно много прост,их чисел. Более того
п(£о,..., £ ; n) = р (во,..., £ ) п(п)(1 + o(1)).
Доказательство. Пусть pn — n-e простое число. Согласно теореме И. М. Виноградова [7] для любого иррационального а последовательность {pna} равномерно распределена по модулю один, то есть
tt{n : pra < N, {praa} G [a; b]} = (b - a)n(n)(1 + o(1))
для любого отрезка [a; b] G [0; 1) Следовательно, последовательность {x(p™)} также равномерно распределена на промежутке [0; 1) в силу иррациональности Tg.
Известно, что x(n) G Ja,b, если n G F(g) (e0,...,£). Значит, если p G F(g) (e0,...,£), то значения функции x(p) = {(p + 1)rg} также принадлежат Ja,b, откуда, с учетом равномерной распределенности и равенства (23), немедленно вытекает требуемый результат.
Обозначим через sm (во ,...,£ ; n) число решений уравнения
ni + n2 + ... + nm = n, (24)
где n^ G F(g) (ео,...,£ ) i = 1, 2,..., l.
Теорема 6. Справедлива асимптотическая формула
Sm (£о, . . . ; n) = Cm (во, ...,£, {nTg }) nm-i + Om,l (nm-2 ln n) , g(9e cm (во,..., в, ô) _ некоторая эффективно вычислимая, функция.
Доказательство. Пусть rm (а, Д,..., /m, n) — число решений уравнения (24) с дополнительным условием {n^a} g /¿, где / — некоторый интервал, i = 1, 2,..., m.
В работах [28], [29] получена следующая асимптотическая формула
rm (a, Ii,..., /m, n) = Cm (/i,..., /m, {na}) nm-i + Om (nm-2A(a, n)) , (25)
где cm (a, /i,..., /m, ô) — периодическая, с периодом один, функция, вычисляемая по формуле
Cm (/i,...,/m,£) = -^ I Cm-1 (/i, . . . ,/m-i, x) dx.
m — 1 J
Здесь /m(ô) = (/m), и функция ci (/i, ô) задается на периоде [0; 1) условиями
1, при ô G /i,
С1(/Ь£) = ч ,
I 0^и о е 11,
и Д(а, и) = 0(1пи), если а — квадратичная иррациональность. Более того, в работе [29] показано, что функция ст (а, /1,..., /т, {иа}) является кусочным многочленом степени т — 1. Кроме того, эта функция непрерывна при т ^ 2.
По условию и е F(g) (ео, ...,ег), то есть х(и) е Очевидно, что если х(и») =
{(и + 1) тЙ} е 70)ь, то {и^} е причем / = 70-1>ь-1 — некоторый отрезок на еди-
ничной окружности.
Это означает, что для нахождения асимптотической формулы для вт (во,..., вг; п) можно воспользоваться (25) в случае а = тз — квадратичной иррациональности и /1 = ... = /т = I. Получим
вт (во,... ,вг; п) = Ст (/,/,...,/, {птй }) пт-1 + 0т,г (пт-2 1п п) ,
откуда и следует утверждение теоремы.
Пусть * (во,..., вг; п) — число решений задачи Лагранжа, т.е. количество решений уравнения
п2 + п2 + п2 + п2 = п, (26)
с дополнительным условием п € F(g) (во,..., вг), г = 1, 2, 3, 4. Теорема 7. Справедлива асимптотическая формула
* (во,..., вг; п) = р4 (во,..., вг) £(п) + Ог (>9+г) ,
где ф(п) представляет собой число решений задачи Лагранжа без дополнительного условия пг € F(g) (во,..., вг) 5 > 0 — произвольное положительное число.
Доказательство. Пусть О(п) — число решений уравнения (26) с дополнительным условием а < {апг} < Ь, г = 1,2,3,4 В работе [10] в случае квадратичной иррациональности а найдена асимптотическая формула
О(п) = (Ь — а)4д(п) + О (п°,9+г)
По условию пг € F(g) (во,...,вг), значит х(пг) € а, следовательно, {пгтз} € I для некоторго интервала I той же самой длины, что и Воспользуемся приведенным выше утверждением и равенством (23) и получим доказываемую асимптотическую формулу. Тернарная проблема Гольдбаха состоит в нахождении числа решений уравнения
Р1 + Р2 + рз = п, (27)
где п — нечетное натуральное число ир^ р2, рз — простые числа.
Пусть V (во,..., вг; п) — число решений уравнения (27) с дополнительным условием рг € € F(g) (во,..., вг), г = 1,2,3.
Теорема 8. Справедлива асимптотическая формула
V (во,..., вг; п) = фзд(п)а(п, а, Ь) + Ог (п21пс п) ,
где
<?»(") = ^ П (^(¡Г^з) П (1 — 1
21п3 пХ1\ (р — 1)3МА\ Р2 — 3р + 3
Р 4 у 7 7 р|п 4
а(п, а, Ь) = ^ в2пгт(Гэп-1,5(«+ь)) йп3Х(3-а):
|т|<те
и а Ь — некоторые эффективно вычислимые чиела из кольца, Z[тз].
а
асимптотическая формула для Озд — числа решений уравнения (27) с условием а < {арг} < Ь, г = 1, 2, 3
Озд(п) = Озд(п)ст(п, а, Ь) + О (п21пс п) .
Согласно условию теоремы рг е F(g) (е0,..., е^), что означает х(рг) е J0,b, а, следовательно, {р»тй } е / для некоторго интервала /. Применим сформулированное выше утверждением и получим доказываемую асимптотическую формулу.
Проблема Хуа-Локена состоит в нахождении числа решений уравнения
р? + ... + р2 = и, (28)
где и = 5 (шоё 24) и р1,.. .р5 — простые числа.
Пусть ^ (ео,...,е^; и) — число решений уравнения (28) с дополнител ьным условием р2 е е F(g)) (ео,...,е), г = 1,..., 5
Теорема 9. Справедлива асимптотическая формула
Мео,..., е; и) = д5,2(иЬ(и, а, Ь) + Ог (и3/2-0,00002) , где ^5,2 (и) — число решений задачи Хуа-Локена без дополнителеных ограничений на р2;
<п(и,а,Ь) = £ е2п^т(т9п-2,5(0+ь)),
и а Ь — некоторые эффективно вычислимые чиела из кольца, ].
а
на асимптотическая формула для ^5,2(и) — числа решений уравнения (28) с условием а < {арг} < Ь, г = 1,..., 5
С5,2(и) = д5,2(и)^1(и, а, Ь) + О (и3/2-0,00002) .
Согласно условию теоремы р2 е F(g) (е0, ...,ег), т.е. х (р?) е J0,b, а, следовательно, {р2тй} е / для некоторго интервала /. Применим сформулированное в начале доказательства утверждение и получим доказываемую асимптотическую формулу.
Обозначим через А^ (ео, ...,е^) — число натуральных чисел, меньших или равных А,
принадлежащих множеству F(g) (ео,...,ег) и являющихся членами значениями многочлена
к
и = Р (*) с целыми неотрицательными коэффициентами, где * е N Р (*) = X] а^ аг е
г=0
аг > 0 при 0 < г < к ак > 0 то есть
А^ (ео,..., е) = Й {и : 1 < и < А, и е F(g) (ео,..., ег), и = Р(*), * е м} .
к
Теорема 10. Для любого фиксированного многочлена Р(*) = ^ аг*г с целым,и неотри-
г=0
ак > 0 А
ческая формула
А^ (ео,... ,ег) - р(ео,... ,ег)
Доказательство. Пусть (А) - количество натуральных чисел, не превосходящих А и представимых в виде А = Р(*) для некоторого натурального Легко видеть, что
(А) - Ак/А. ак
Согласно теореме Вейля [6], для любого многочлена P' (t) с иррациональным старшим коэффициентом последовательность дробных долей {P'(t)} равномерно распределена по модулю один, то есть
Й {t : 1 < t < K, {P'(t)} e I} ~ |I |K
для любого отрезка I e [0; 1) Следовательно, в силу иррациональности Tg, последовательность {x(P(t))} также является равномерно распределенной по модулю один, то есть
Й {t : 1 < t < K,x(P(t)) e I}~|/|K.
Выбирая I = Ja,b и K = BP(N), немедленно получаем требуемый результат.
5. Заключение
В настоящей работе получена геометрическая интерпретация принадлежности натурального числа множеству F(g) (eo,...,£i)• Найдены асимптотические формулы для количества натуральных чисел из указанного множества, удовлетворяющих тем или иным условиям, количество решений задачи Лагранжа о четырех квадратах nf + + + n| = n в числах из F(g) (eo,...,£i); тернарной проблемы Гольдбаха pi + Р2 + Рз = n в простых числах из задачи Хуа-Локена pf + ... + p5 = n в простых числах с условием р| e F(g) (eo,...,ei)
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hecke Е. Eber Analvtische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math. Sem. Hamburg Univ. 1921. №5. P. 54-76.
2. Knuth D. E. Fibonacci multiplication // Appl. Math. Lett. 1988. V. 1. P. 57-60.
3. Pinner C. G. On Sums of Fractional Parts {na+7} //J. Number Theory. 1997. V. 65. P. 48-73.
4. Van Ravenstein T. The three gap theorem (Steinhaus conjecture) //J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1988. V. 45. P. 360-370.
5. Shutov A. V. New estimates in the Hecke-Kesten problem // Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory, A. Laurincikas and E. Manstavicius (Eds). 2007. P. 190-203. Vilnius:TEV
6. Wevl H. Uber die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphanomene // Rendi-contidel Circolo Mathematico di Palermo. 1910. №30. P. 377-407.
7. Виноградов И. M. Новый метод в аналитической теории чисел // Труды MIIAII. 1937. Т. 10. С. 5-122.
8. Грехэм Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика // М.: Мир. 1998.
9. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Задача Хуа-Локена с простыми числами специального вида // ДАН республики Таджикистан. 2009. Т. 52, №7. С. 497-500.
10. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. О некоторых аддитивных задачах теории чисел // Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. 2010. Т. 5(76), №18. С. 83-87.
11. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Об одном варианте тернарной проблемы Гольдбаха // ДАН республики Таджикистан. 2009. Т. 52, №6. С. 413-417.
12. Давлетярова Е. П., Жукова А. А., Шутов А. В. Геометризация системы счисления Фибоначчи и ее приложения к теории чисел // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25, №6. С. 1-23.
13. Журавлев В. Г. Одномерные квазирешетки Фибоначчи и их приложения к диофантовым уравнениям и алгоритму Евклида // Алгебра и анализ. 2007. Т. 19, №3. С. 177-208.
14. Журавлев В. Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71, №2. С. 89-122.
15. Журавлев В. Г. Суммы квадратов над о-кольцом Фибоначчи // Записки научного семинара ПОМИ. 2006. Т. 337. С. 165-190.
о
пара ПОМИ. 2008. Т. 350. С. 139-159.
17. Журавлев В. Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распрделение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, №3. С. 18-46.
18. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей // М.: Мир. 1985.
19. Красильщиков В. В., Шутов А. В. Некоторые вопросы вложения решеток в одномерные квазипериодические разбиения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. №7(57). С. 84-91.
20. Красильщиков В. В., Шутов А. В. Одномерные квазипериодические разбиения, допускающие вложение прогрессий // Известия вузов. Математика. 2009. №7. С. 3-9.
21. Матиясевич Ю. В. Связь систем уравнений в словах и длинах с 10-й проблемой Гилберта // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 8. С. 132-144.
22. Матиясевич Ю. В. Две редукции 10-й проблемы Гилберта // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 8. С. 145-158.
о
алы VII международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы, Тула, 11-16 мая 2010 года ТГПУ, Тула. 2010. С. 198-200.
24. Шутов А. В. Арифметика и геометрия одномерных квазирешеток // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11. С. 255-262.
25. Шутов А. В. Неоднородные диофантовы приближения и распределение дробных долей // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, №6. С. 189-202.
26. Шутов А. В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, вып. 3. С. 112-121.
27. Шутов А. В. О распределении дробных долей II // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. 2005. №3. С. 146-158.
28. Шутов А. В. Об одной аддитивной задаче с числами специального вида // Математика, информатика и методика их преподавания. Материалы Всероссийской конференции, посвященной 110-летию математического факультета МИГУ. М. 2011. С. 102-104.
29. Шутов А. В. Об одной аддитивной задаче с дробными долями // Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. 2013. Т. 5(148), №30. С. 111-120.
30. Шутов А. В. Перенормировки вращений окружности // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, вып. 4. С. 125-143.
31. Шутов А. В. Последовательности Штурма: графы Рози и форсинг // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 2. С. 128-139.
32. Шутов А. В. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Записки научных семинаров ПОМИ. 2004. Т. 314. С. 272-284.
33. Шутов А. В. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2006. Т. 7, вып. 3. С. 110-128.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hecke Е. 1921. "Eber Analvtische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins", Math. Sem. Hamburg Univ., no. 5, pp. 54-76.
2. Knuth D. E. 1988. "Fibonacci multiplication", Appl. Math. Lett., Vol. 1, pp. 57-60. doi: 10.1016/0893-9659(89)90131-6.
3. Pinner C. G. 1997. "On Sums of Fractional Parts {na + 7}", J. Number Theory, Vol. 65, pp. 48-73. doi:10.1006/jnth. 1997.2080.
4. Van Ravenstein T. 1988. "The three gap theorem (Steinhaus conjecture)", J. Austral. Math. Soc. Ser. A, Vol. 45, pp. 360-370. doi:10.1017/S1446788700031062.
5. Shutov A. V. 2007. "New estimates in the Hecke-Kesten problem ", Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory, A. Laurincikas and E. Manstavicius (Eds), pp. 190-203. Vilnius: TEV
6. Wevl H. 1910. "Uber die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphanomene", Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo, no. 30, pp. 377-407.
7. Vinogradov I.M. 1937. "Novvj metod v analiticheskoj teorii chisel", Trudy MIAN, Vol. 10, pp. 5-122. (Russian)
8. Graham R., Knuth D., Patashnik O. 1994. "Concrete Mathematics ", Addison-Wesley.
9. Gricenko S. A., Mot'kina N.N. 2009. "Zadacha Hua-Lokena s prostvmi chislami special'nogo vida", DAN respubliki Tadzhikistan, Vol. 52, no. 7, pp. 497-500. (Russian)
10. Gricenko S. A., Mot'kina N.N. 2010. "O nekotorvh additivnvh zadachah teorii chisel", Nauchnye vedomosti BelGU. Serija Matem,atika. Fizika, Vol. 5(76), no. 18, pp. 83-87. (Russian)
11. Gricenko S. A., Mot'kina N.N. 2009. "Ob odnom variante ternarnoj problemv Gol'dbaha", DAN respubliki Tadzhikistan, Vol. 52, no. 6, pp. 413-417. (Russian)
12. Davletj'varova E. P., Zhukova A. A., Shutov A. V. 2013. "Geometrizacija sistemv schislenija Fibonacci i ее prilozhenija к teorii chisel", Algebra i analiz, Vol. 25, no. 6, pp. 1-23. (Russian) translation in St. Petersburg Mathematical Journal, 2014, 25:6, 893-907. doi:10.1090/S1061-0022-2014-01321-0.
13. Zhuravlev V. G. 2007. "Odnomernve kvazireshetki Fibonacci i ih prilozhenija k diofantovvm uravnenijam i algoritmu Evklida", Algebra i analiz, Vol. 19, no. 3, pp. 177-208. (Russian) translation in St. Petersburg Mathematical Journal, 2008, 19:3, 431-454. doi:10.1090/S1061-0022-08-01005-4.
14. Zhuravlev V. G. 2007. "Odnomernve razbienija Fibonacci", Izv. RAN. Ser. matem., Vol. 71, no. 2, pp. 89-122. (Russian) translation in Izvestiva: Mathematics, 2007, 71:2, 307-340. doi: 10.1070/IM2007v071n02ABEH002358.
15. Zhuravlev V. G. 2006. "Summv kvadratov nad o-kol'com Fibonacci", Zapiski nauchnogo seminara POMI, Vol. 337, pp. 165-190. (Russian) translation in Journal of Mathematical Sciences, 2007, 143:3, 3108-3123. doi: 10.1007/sl0958-007-0195-l.
o
POMI, Vol. 350, pp. 139-159. (Russian) translation in Journal of Mathematical Sciences, 2008, 150:3, 2084-2095. doi: 10.1007/sl0958-008-0123-z.
17. Zhuravlev V. G. 2008. "Chetno-fibonachchevv chisla: binarnaja additivnaja zadacha, ras-predelenie po progressijam i spectr", Algebra i analiz, Vol. 20, no. 3, pp. 18-46. (Russian) translation in St. Petersburg Mathematical Journal, 2009, 20:3, 339-360. doi: 10.1090/S1061-0022-09-01051-6.
18. Kuipers L., Niederreiter G. 1974. "Uniform Distribution of Sequences ", New York, Wiley.
19. Krasil'shhikov V. V., Shutov A. V. 2007. "Nekotorve voprosv vlozhenija reshetok v odnomernve kvaziperiodicheskie razbienija", Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaja serija, no. 7(57), pp. 84-91. (Russian)
20. Krasil'shhikov V. V., Shutov A. V. 2009. "Odnomernve kvaziperiodicheskie razbienija, dopu-skajushhie vlozhenie progressij", Izvestija vuzov. Matematika, no. 7, pp. 3-9. (Russian), translation in Russian Mathematics, 2009, 53:7, 1-6. doi: 10.3103/S1066369X09070019.
21. Matijasevich Ju. V. 1968. "Svjaz' sistem uravnenij v slovah i dlinah s 10-j problemoj Gilberta", Zapiski nauchnyh seminarov LOMI, Vol. 8, pp. 132-144. (Russian)
22. Matijasevich Ju. V. 1968. "Dve redukcii 10-j problemv Gilberta", Zapiski nauchnyh seminarov LOMI, Vol. 8, pp. 145-158. (Russian)
o
rialy VII mezhdunarodnoj konferencii "Algebra i teorija chisel: sovremennye problemy i prilozhenija posvjashhennoj pamjati professora Anatolija Alekseevicha Karatsuby, Tula, 11-16 maja 2010 goda TGPU, Tula, pp. 198-200. (Russian)
24. Shutov A. V. 2010. "Arifmetika i geometrija odnomernvh kvazireshetok", Chebyshevskii sbornik, Vol. 11, pp. 255-262. (Russian)
25. Shutov A. V. 2010. "Neodnorodnve diofantovv priblizhenija i raspredelenie drobnvh dolej", Fundam,entaVnaja i prikladnaja matematika, Vol. 16, no. 6, pp. 189-202. (Russian), translation in Journal of Mathematical Sciences (New York), 2012, 182:4, 576-585. doi: 10.1007/sl0958-012-0762-v.
26. Shutov A. V. 2004. "O raspredelenii drobnvh dolej", Chebyshevskii sbornik, Vol. 5, no. 3, pp. 112-121. (Russian)
27. Shutov А. V. 2005. "О raspredelenii drobnvh dolej II", Issledovanija po algebre, teorii chisel, funkcional'nomu analizu i smezhnym voprosam, no. 3, pp. 146-158. (Russian)
28. Shutov A. V. 2011. "Ob odnoj additivnoj zadache s chislami special'nogo vida", Matematika, inform,at,ika i, metodika ih prepodavanija. Materialy Vserossijskoj konferencii, posvjashhennoj 110-letiju matematicheskogo fakul'teta MPGU. M., pp. 102-104. (Russian)
29. Shutov A. V. 2013. "Ob odnoj additivnoj zadache s drobnvmi doljami", Nauchnye vedomosti BelGU. Serija Matematika. Fizika, Vol. 5(148), no. 30, pp. 111-120. (Russian)
30. Shutov A. V. 2004. "Perenormirovki vrashhenij okruzhnosti", Chebyshevskii, sbornik, Vol. 5, no. 4, pp. 125-143. (Russian)
31. Shutov A. V. 2007. "Posledovatel'nosti Sturma: grafv Rauzv i forcing", Chebyshevskii, sbornik, Vol. 8, no. 2, pp. 128-139. (Russian)
32. Shutov A. V. 2004. "Proizvodnve povorotov okruzhnosti i podobie orbit", Zapiski nauchnyh seminarov POMI, Vol. 314, pp. 272-284. (Russian), translation in Journal of Mathematical Sciences, 2006, 133:6, 1765-1771. doi: 10.1007/sl0958-006-0088-8.
33. Shutov A. V. 2006. "Sistemv schislenija i mnozhestva ogranichennogo ostatka", Chebyshevskii, 1 sbornik, Vol. 7, no. 3, pp. 110-128. (Russian)
Владимирский филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы
при Президенте Российской Федерации
Владимирский государственный университет имени А. Г. и Н. Г. Столетовых
Получено 5.04.2015 г.
Принято в печать 10.06.2016 г.
