Некоторые вопросы вложения решеток в одномерные квазипериодические разбиения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВЛОЖЕНИЯ РЕШЕТОК В ОДНОМЕРНЫЕ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РАЗБИЕНИЯ1

© 2007 В.В. Красильщиков^ А.В.Шутов3

В работе рассматриваются одномерные квазипериодические разбиения, которые определяются на основе подхода, использующего иррациональные повороты окружности. Получено полное описание широкого класса прогрессий, вкладывающихся в данные разбиения.

Введение

Работа посвящена изучению одномерных квазипериодических разбиений. На сегодняшний день существует несколько способов построения квазипериодических разбиений [1], [5], в том числе разработанные Н. де Брей-ном [2] и позднее В.И. Арнольдом [6]. Их подходы основаны на сечении периодических разбиений n-мерного пространства плоскостями меньшей размерности— метод проекции (cut and project method) [3]. Эти разбиения можно также определить с помощью пересечения луча y = ax с иррациональным углом наклона a и целочисленной решетки 12 [4]. В результате получают бесконечное слово из нулей и единиц — последовательность Штурма — по правилу: 0, если луч y = ax пересекает вертикальную линию целочисленной решетки; 1, если луч y = ax пересекает горизонтальную линию целочисленной решетки. Если поставить в соответствие нулю из этого слова интервал длины ¡i, а единице — ¡2, то получим одномерное квазипериодическое разбиение луча на интервалы двух типов. Данная конструкция эквивалентна следующей [4]. Определим последовательность {xn} по следующему правилу: 1) x-i = 0, 2) переход от xn к xn+i осуществляется

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант 05-01-00435).

2Красильщиков Василий Вячеславович ([email protected]), кафедры алгебры и теории чисел Владимирского государственного педагогического университета, 600024, Россия, г. Владимир, пр-т Строителей, 11.

3 Шутов Антон Владимирович ([email protected]), кафедра информатики Владимирского государственного педагогического университета, 600024, Россия, г. Владимир, пр-т Строителей, 11.

по формуле:

хп + а, если (па) е [0; 1 - а),

Х"+1 хп + 1 - а, если (па) е [1 - а;1),

где (■) — дробная доля, а — некоторая иррациональность. Последовательность {хп} порождает на положительном действительном луче одномерное квазипериодическое разбиение. Нами рассмотрен более общий случай таких разбиений.

Определение 1. Последовательность {х^} определяется по правилу:

х-1 = 0,

(в) I х^"* + /1, если (па) е [0; в), Хп+1 = | х(п) + ¡2, если (па) е [в; 1),

где (■) — дробная доля, а — некоторая иррациональность, ¡1, ¡2, в — произвольные действительные числа.

Последовательность {х^} порождает на положительном действительном луче разбиение ТИ^,(а, ¡1, ¡2), состоящее из интервалов двух типов. На рис. 1 изображен пример такого разбиения для случая, когда ¡1 > ¡2.

0

Рис. 1. Разбиение ТИх>(а, ¡1, ¡2), ¡1 > ¡2

Пусть решетка — множество вида

Ь = {И0 + пкЬ}, где п = 0,1,2,....

Определение 2. Будем говорить, что решетка Ь сильно вкладывается в разбиение ТИХ(а, ¡1, ¡2), если каждый интервал разбиения содержит единственную точку решетки Ь.

Определение 3. Будем говорить, что решетка Ь слабо вкладывается в разбиение ТИХ(а, ¡1, ¡2), если

1) каждый длинный интервал разбиения содержит единственную точку решетки Ь;

2) короткие интервалы разбиения не содержат точек решетки Ь.

В данной работе мы дадим обзор результатов о вложении решеток в одномерные квазипериодические разбиения, полученных в работах [8-10].

Авторы выражают глубокую благодарность за постановку задачи, постоянное внимание к работе и ценные советы проф. В.Г.Журавлеву, а также признательность за предоставленную возможность выступить с докладом организаторам Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию проф. В.Е.Воскресенского.

1. Сильное вложение

На рис. 2 изображено разбиение ТИ^,(а, ¡1, ¡2) и решетка, сильно вкладывающаяся в него.

Рис. 2. Сильное вложение решетки

Дадим полное описание сильно вкладывающихся решеток [10]. Теорема 1. Если в £ a1 +1, то при любых ¡i и ¡2 не существует сильно вкладывающейся решетки.

Теорема 2. Если решетка L = {ho + nhi} сильно вкладывается в разбиение Tiloo(a, ¡i, ¡2), то

hL = ¡1в + ¡2(1 - в).

Следствие 1. Решетка, сильно вкладывающаяся в разбиение THca(a, ¡i, ¡2), единственна с точностью до параллельного переноса. Определим остаток ri(a, я) по формуле:

r1(a,я) = Ni(a,я) - яв,

где Ni(a, я) = #{0 ^ i < я : <ia> е [0; в)}. Определим функции:

r+ = sup ri(a, я), r- = inf ri(a, я),

n,<na>е^l n,<na>€h

r+ = sup ri(a, я), r- = inf ri(a, я).

n,<na>е^2 Mrn^h

Доказано необходимое и достаточное условие сильной вложимости решетки.

Теорема 3. Решетка L сильно вкладывается в разбиение THo(a, ¡i, ¡2) тогда и только тогда, когда выполняются три условия.

1. При ¡i > ¡2: , + ¡i

1) r+l-r~l<1-

2) r+ -r~2<

¡max ¡т/я

3) rt -r~ < --Ц—, если r7 > rZ: rt - r7 < ——,—, если rZ > r7.

7 i 2 7 _ 7 7 i 2 7 2 i ¡max ¡mm 2 i

1) r+ - r- <

2) r+ - r- <

¡max- ¡mM

h

¡max- ¡mM

w

1 max- ¡mM

¡i:

h

¡max- ¡mM

h

¡¡

max m

max lmm

0

l

3) rt - г, < --Ц—, если г+ < r+; rt - < —Ц—, если < г+

' 2 1 / _ / . 1 21 2 lmax lmin 2 1

l — l .7 1 2 ? 1 2 lmax lmin ? 2

'max Jmm

Теорема 3 позволяет получить необходимые и достаточные условия сильной вложимости решетки L в разбиение Til^ (a, I1, I2) при любых частных значениях в е aZ + Z, если известны оценки для ^(a, n).

Введем обозначение: X = Определим функцию r(a):

lmin

r(a) = sup |r1(a, n)|.

n

Сформулируем достаточное условие сильной вложимости решеток. Теорема 4. Пусть r(a) < тогда решетка L сильно вкладывается в

разбиение Til(a, I1, I2).

Теорема 5. Пусть в е aZ + Z. Пусть h определяется условием в - ah е Z. Пусть \h\ < тогда решетка L сильно вкладывается в разбиение

Tilx (a, l1, l2).

2. Слабое вложение

На рис. 3 изображено разбиение Til(a, li, l2) и решетка, слабо вкладывающаяся в него.

0

Рис. 3. Слабое вложение решетки Определим следующие функции: [x > y] 1 если и Д =

= [l1 > Ув + [l2 > l1](1 - в).

Получено описание слабо вкладывающихся решеток [8]. Теорема 6. Если решетка L слабо вкладывается в разбиение Tilx>(a,

,по HL nvetanaeuuo е fe - >±LMzll.

Теорема 7. Решетка L слабо вкладывается в разбиение Tilx>(a, l1, l2) тогда и только тогда, когда

sup r1(a, n) - inf r1(a, n) < ДХ.

nn

Теорема 7 позволяет получить необходимые и достаточные условия слабой вложимости решетки L в разбиение Til(a, l1, l2) при любых частных значениях в е aZ + Z, если известны оценки для ^(a, n).

Сформулируем достаточное условие слабой вложимости решеток.

ДХ

Теорема 8. Пусть г(а) < —, т,огда решетка L слабо вкладывается в разбиение Tilx>(a, l1, l2).

Теорема 9. Пусть в е аЖ + Ж. Пусть к определяется условием в -

М

— а/г е2. Пусть \к\ < —, тогда решетка Ь слабо вкладывается в разбиение ТИт(а, ¡\, ¡2).

3. Случай в = 1 - а

На основе данных результатов получены полные описания сильно и слабо вкладывающихся решеток в квазипериодические разбиения для случая в = 1 - а [9].

Теорема 10. Решетка Ь сильно вкладывается в разбиение ТИ^(а, ¡1, ¡2) тогда и только тогда, когда

¡1 > (1 — а)[ 2 '](1тах — ¡т1п\ ¡2 > 1 2(¡тах - ¡т1п)-

Теорема 4 может быть переформулирована в следующем виде. Теорема 11. Решетка Ь сильно вкладывается в разбиение ТИ^(а, ¡1, ¡2) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

1тт > а[/1 > /2] + (1 - а)[/2 > /1].

тах - тИп

Теорема 12. Если решетка Ь = {ко + пкь} сильно вкладывается в разбиение ТИоо(а, ¡1, ¡2), то

1) кь = ¡1(1 - а) + ¡2а;

2) если ¡1 > ¡2, то ко е (¡1 - ¡2; ¡1(1 - а) + ¡2а), если ¡1 < ¡2, то ко е (0; ¡1 + (1 - а)(А - ¡2));

3) любое ко, удовлетворяющее условию 2), допустимо для сильной вложи-мости решетки.

Теорема 13. Решетка Ь слабо вложится в разбиение ТИ&,(а, ¡1, ¡2) при любых иррациональных а и действительных ¡1 и ¡2.

Теорема 14. Решетки Ь, слабо вкладывающиеся в разбиение ТИх>(а, ¡1, ¡2), имеют следующий вид:

¡1(1 - а) + ¡2а

1) пт =-;

/ Ь Д

2) й0 е (-— - /ь —^—| при /1 > 12,

1 - а 1 - а

ко е (¡1 - ¡2; 0) при ¡2 > ¡1;

3) любое ко, удовлетворяющее условию 2), допустимо для слабой вложи-мости решетки.

Примером для случая в = 1 - а может служить разбиение, порождаемое на действительной оси четными по Фибоначчи числами: 0, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13, ... . Существует явная формула [7] для этих чисел: а(п) = п + [(п + л[5 - 1

+ 1)т], где т = —---золотое сечение, п — любое целое число. С помощью

определения 1 можно описать четные по Фибоначчи числа, если положить

¡1 = 2, ¡2 = 1 и а = 1 - т, и каждую вершину множества {xn} сдвинуть на ¡1 + ¡2 влево вдоль действительной оси.

Предложение 1. Пусть ß = т7 тогда Ii = [0; т) и I2 = [т;1). Множество a(n) определяется по правилу:

a(-1) = -3,

J a(n) + 2, если (n(1 - т)> е [0; т), ^ a(n) + 1, если (n(1 - т)> е [т; 1),

где (•> — дробная доля.

Теорема 15. Решетка L, сильно вкладывающаяся в разбиение, порождаемое четными по Фибоначчи числами, имеет следующие характеристики:

1) hL = 1 + т,

2) ho е (-1; т - 1).

Теорема 16. Решетка L, слабо вкладывающаяся в разбиение, порождаемое четными по Фибоначчи числами на множестве действительных чисел, будет описана следующим образом: 1 + т 1) hL = ——;

1 + 3т 1 + 2т

2) h0e(--;--.

т т

Сформулируем результаты для разбиения, эквивалентного [4] получаемому по конструкции Штурма. Пусть а >

Теорема 17. Решетка L сильно вкладывается в разбиение Tilo(а, а, 1 - а)

л/2

тогда и только тогда, когда выполняется условие: а < -j-.

Теорема 18. Если решетка L = {ho + nhi} сильно вкладывается в разбиение

Tilo(а, а, 1 - а), то

1) hL = 2а(1 - а);

2) ho е (2а - 1;2а(1 - а));

3) любое ho, удовлетворяющее условию 2), допустимо для сильной вложи-мости решетки.

Теорема 19. Решетки L, слабо вкладывающиеся в разбиение Tilo(а, а, 1 -— а), имеют следующий вид:

1) hL = 2а;

2) ho е (-2а; -1);

3) любое ho, удовлетворяющее условию 2), допустимо для слабой вложи-мости решетки.

4. Заключение

Используя результаты А.В. Шутова [11,12], которые дают оценки остатков п(а, n) для некоторых а, достаточные условия сильной и слабой вло-жимости решеток можно существенно улучшить [10]. Пусть

1) ß е аХ + Z, величина h определяется условием ß - аh е Z;

2) \|/(и) = log7( V5п + V5 + где х=

3) а0 = шт{а, 1 - а}.

Теорема 20. Пусть все неполные частные разложения ао в цепную дробь

меньше К, С(К) = -. Пусть

' К ' 2(К + 2)(К - 1) У

л/5 _сзд ,

1) \h\ < -^-т и 7 тогда решетка L сильно вкладывается в разбиение Tilo (а, li, ¡i);

V5

2) \h\ < ——x^^)^ тогда решетка L слабо вкладывается в разбиение Tilo (а, ¡i, 12).

Теорема 21. Пусть разложение ао в цепную дробь имеет вид ао = = [0;qi,^2,---]- Пусть g(x) —монотонно возрастающая функция, удовлетворяющая условию

k

J] q, = g(k)-i= 1

1. Пусть

. rg2(y(m)) + 3g(y(m)) + 2 1

min{---, \h\\ <

2 " " 2Л - 1'

тогда решетка Ь сильно вкладывается в разбиение ТИо(а, ¡1, ¡2). 2. Пусть

тогда решетка Ь слабо вкладывается в разбиение ТИо(а, ¡1, ¡2).

Литература

[1] Tilings, quasicrystals, discrete planes, generalized substitutions and multidimencional continued fractions / P. Arnoux [et al.] // Discrete models: combinatirics, computation and geometry. - Paris. - 2001. -P. 59-78.

[2] De Brujin, N.G. Sequences of zeros and ones generated by special production rules / N.G. De Brujin // Kon. Nederl. Acad. Wetensch. Proc. - 1982. - Ser.A. - V. 84. - P. 38-52.

[3] Moody, R.V. Model sets: a survey. Quasicrystals to More Complex Systems / R.V. Moody . Les Houches, 1998. (F. Alex, J.-P. Gazeau, eds.) Centre de Physique des Houches. Springer-Berlin, 2000. - V. 13. -P. 145-166.

[4] Fogg, N. Pytheas Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics / N. Pytheas Fogg. - Springer, 2002.

[5] Zhuravlev, V.G. One-dimensional Fibonacci tilings and derivatives of two-colour rotations of a circle / V.G. Zhuravlev // Max-Plank-Institut fur Mathematik. Preprint Series. - 2004. - V. 59. - P. 1-43.

[6] Арнольд, В.И. Замечания о квазикристаллической симметрии / В.И. Арнольд // Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. - М.: Наука. - 1989. - С. 291-300.

[7] Журавлев, В.Г. Суммы квадратов над о-кольцом Фибоначчи /

B.Г. Журавлев // Записки науч. семинаров ПОМИ. - 2006. - Т. 337. -

C. 165-190.

[8] Красильщиков, В.В. Об одном классе прогрессий, вкладывающихся в одномерные квазипериодические разбиения / В.В. Красильщиков // Чебышевский сборник. - Тула: Изд. ТГПУ. - 2007 (в печати).

[9] Красильщиков, В.В. Вложение решеток в квазипериодические решетки / В.В. Красильщиков, А.В. Шутов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвузовский сборник научных трудов. - Саратов: Изд-во Саратовского университета. - 2007. - Вып. 4. - С. 45-55.

[10] Красильщиков, В.В. Одномерные квазипериодические разбиения, допускающие вложение прогрессий / В.В. Красильщиков, А.В. Шутов,

B.Г. Журавлев // Известия вузов. Математика. - Казань, 2007 (в печати).

[11] Шутов, А.В. О распределении дробных долей / А.В. Шутов // Чебышевский сборник. - Тула: Изд. ТГПУ. - 2004. - Т. 5. - Вып. 3. -

C. 112-121.

[12] Шутов, А.В. О распределении дробных долей II / А.В. Шутов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам.: межвуз. сб. науч. тр. - Саратов: Из-во Саратовского Университета. - 2005. - Вып 3. - С. 146-158.

Поступила в редакцию 17/IX/2007; в окончательном варианте — 17/IX/2007.

ASPECTS OF PUTTING LATTICES IN ONE-DIMENSIONAL QUASIPERIODICAL TILINGS

© 2007 V.V. Krasil'shchikovf A.V. Shutov5

One-dimensional quasiperiodical tilings defined on the basis of the approach using irrational turns of a circle are considered in the paper. We obtaine a complete description of a wide class of progressions included in given tilings.

Paper received 17/IX/2007. Paper accepted 17/IX/2007.

4Krasil'shchikov Vasiliy Vyatcheslavovich ([email protected]), Dept. of Algebra and Number Theory, Vladimir State Pedagogical University, Vladimir, 600024, Russia.

5 Shutov Anton Vladomirovich ([email protected]), Dept. of Informatics, Vladimir State Pedagogical University, Vladimir, 600024, Russia.