CC BY
31что и требовалось доказать.
Рассмотрим случай, когда {0,},=1 имеют кратность к, = 1. Тогда
5(/, шой ра) = £ ехр ((0,)) • (^^^• М • р!.
В случае, когда кратность к, ^ 1, воспользуемся формулой
5Ск+1(е,,ра) = рк 5См(е„ра-к*-1),
если а ^ к, + 1. Если же а = 2,3, ...,к,, то легко показать, что 5Ск8+1(£,,ра) = ра-1.
Отсюда и из оценок сумм 5Ска+1(£,,р) следуют нетривиальные оценки для 5(/, той ра).
УДК 511.23
Г.И. Гусев
МНОГОМЕРНЫЕ ИЗОМЕТРИИ В ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ НЕАРХИМЕДОВЫХ ПОЛЯХ
Пусть к — локально компактное неархимедово поле, V — кольцо нормирования поля к, Р — идеал нормирования этого поля, V" — п-я декартова степень V, а = (а1, а2,..., ап) € V", ||а|| = тах |а«| — норма а.
Определение 1. Отображение
а : Vп —> Vп
называется изометрией компакта Vп, если для произвольных а, в из Vп выполняется равенство
||а(а) — а(в )|| = ||а — в ||.
Отметим свойства изометрий компакта Vn.
1. Если а и т — изометрии компакта Vп, то т о а также является изометрией.
2. Изометрия а является биекцией компакта Vй.
3. Обратное отображение а-1 является изометрией Vй. Поэтому изометрии компакта V" образуют группу.
Определение 2. Квадратная матрица и = (и^)пхп называется унимо-дулярной, если все ее элементы и^ принадлежат V, а определитель det и является единицей поля к.
Приведем важный пример п-мерной изометрии компакта V".
Пусть и = (щ)пхп — унимодулярная матрица, X = (х1, х2,..., хп) Е Е V", Г^Х) = с!ъ...,5п • ...хП — степенной ряд с коэффици-
(i) -X S
-Л / ф rp 1 ry^n
I ,...,Sn xl ...-xn
S1 + ... + S
n
ентами из V, i = 1,n, причем lim cSi1)...sn = 0.
Y, Sv^^
v=1
Тогда отображение a : Vn —> Vn, определяемое условием
/ Fi(X) ^
XT —> UXT + n
\ Fn(X) )
где п — простой элемент поля k, является изометрией компакта Vn.
Изометричность данного отображения легко устанавливается в терминах сравнений по mod пт.
Определение 3. Унимодулярные матрицы порядка п
и* =
/1 0
0 1
0 0
00
и* =
00
/1 0 01
00
0 0
0
0 ... 1
\
0 ... 0 0 ... 0
0 0
.. 1 ... а ^ ... 0
у 0 0 ... 0 ... 0 ... 1 у
где £ — единица поля к, а^ € V и а^ находится на пересечении г-й строки и ]-го столбца матрицы будем называть элементарными.
Используя элементарные унимодулярные матрицы порядка п, легко доказать следующее утверждение.
Теорема 1. Для произвольной квадратной матрицы А = (а^)пхп существует, по крайней мере, одна пара унимодулярных матриц (Ц^ и2) порядка п такая, что произведение и1Аи2 является диагональной матрицей вида
В =
/
п^1 0
0
0 0
п
0 0
V
00
0 0
0 0
п^ 0
00
00
0 0
0 0
0
\
/
£
где г — ранг матрицы А, целые числа щ подчинены условию: ^ ^ ^ ... ^ .
При этом диагональная матрица Б определена единственным способом.
Числа vi, i = 1,r назовем инвариантными показателями матрицы A. Обозначим v0 = min vp(aii1)...Sn).
S1 + ... + S
n
Теорема 2. Пусть для вектор-функции f (X) = (fi(X),..., fn(X)), где fi(X) = asi1)...snx^1 ...хПп) — степенной ряд с целыми п-
адическими коэффициентами, причем lim aS1...Sn = 0, выполнены условия:
J2 Sv
v=1
1. Существует точка c = (ci, ...,cn) G Vn такая, что матрица Яко-би
A =
( f (c) ^/l (c) \
dxiV ' ' ' V /
f(c) ... f(c)/
является невырожденной и имеет инвариантные показатели Vi, V2, ..., Vn.
2. Точка c = (ci, ...,cn) является решением системы сравнений:
fi(X) = 0( mod )
/n(X) = 0( mod )
где v* = vn + max(0; vn + 1 — v0).
Тогда в компакте Kn(c) = c + nvVn, где v = max(0; vn + 1 — v0), суще-
ствует и притом единственное решение системы уравнений
fi(X ) = 0
fn(X ) = 0
Доказательство Разложим fi(X) в ряды Тейлора с центром в точке с:
n ^ d f
fi(X ) = fi(c) + X] f (c)(xj- cj) + gi(x - c) j=i j
n df
fn(X) = fn(c) + ^ f(c)(xj - Cj) + gn(x - c)' j=1 j
где gi(x - c) = bii1)...s„(xi - ci)si •... • (xn - Cn)Sn — степенные ряды
si>0,...,sn>0 S1 + ... + S n
с целыми п-адическими коэффициентами, причем min (bii1)...sn) >
si >0,...,Sn>0 n
n
> v0 при всех i, 1 ^ i ^ n.
Обозначим через Ui и U2 — унимодулярные матрицы порядка n, с помощью которых матрица Якоби A = (д^(см приводится к диаго-
V j / nxn
нальной форме: D = UiAU2, где D = [nvi, ...,nVn].
Тогда
( fi(x) ^
Ui
^ fn(x) /
= Ui
( fi(c) Х
^ fn(c) У
+ DU
i
^ xi — ci ^
V
xn cn
+ Ui
(
gi(x - c)
\
^ gn(x - c) /
Положим для всякого x G Kn(a,pz/) x = с + n'v, где v = (vi,..., vn) G G Vn. Тогда
( fi( + npv^ / fi(c) \ / vi \ / gi(npv) ^
2
Ui
^ fn(+ ПPv) У
= Ui
V fn(c) )
+ п 'du-1
vn
+ Ui
V gn(n'v) /
При этом gi(nvv) представляется в виде ряда
g^v ) = п2р £ cg..Sn vi1 ...vnn,
si>0,...,sn>0 S1 + ... + S n
где сЦ...^ e V и lim с^...^ = 0.
n
22 sj
j=1
Введем новые переменные (ui,...,un), связанные с переменными (vi,...,vn) следующим образом:
( gi(v) ^
DU
i
= DU
i
\ un /
,(i)
vi
vn
+ п pUi
V gn(v) )
(*)
где g*(v)= E cS1)...Snvs1 ...vnn.
s1>0,...,sn>0 S1 + ... + S n >2
Докажем, что преобразование (*) является изометрией компакта Vn.
Действительно, из (*) следует, что
/Ч \
\ un /
vi
vn
+ пр U2D-1 Ui
/ g*(v) ^
^ gn(v) )
где n^D-1 = [np-V1 ,...,np-vn]. Отсюда следует, что
n^U2D-1Ui = пВ,
где В = (Ьу )пхп _ матрица с целыми п-адическими элементами.
Следовательно, преобразование (*) является изометрией компакта^п По условию система линейных уравнений
fi(c) + £ f (c)(Xj - Cj) = 0
j=i
dxj V 7 V j j,
n
fn(c) + E f(c)(Xj - Cj) = 0 1 j j=i
имеет единственное решение в компакте Кп(с).
В силу биективности изометрии система уравнений
Л(Х ) = 0
fn(X) = 0
также имеет единственное решение, принадлежащее компакту Kn(c). Теорема доказана.
УДК 519.21
В.В. Красильщиков, А.В. Шутов
ВЛОЖЕНИЕ РЕШЕТОК В КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ
РЕШЕТКИ*
Работа посвящена изучению одномерных квазипериодических разбиений Фибоначчи. Их можно определить различными способами [1-3], например, с помощью пересечения луча y = ax и целочисленной решетки Z2, где a — иррациональный угол наклона . В работе используется альтернативный подход, основанный на иррациональном повороте окружности.
Определение 1. Множество вершин {xn} разбиения Ti/TO(a, /i, /2) определяется по правилу: x-1 = 0,
J xn + /1, если (na) £ [0; 1 — a),
xn+1 = \
У xn + /2, если (na) £ [1 — a; 1),
где (•) - дробная доля.
*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант (05-01-00435).
