Корневые тождества для рациональных тригонометрических сумм Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Freiling G., Kaufman F. J. On Uniform and ¿''-convergence of Eigenfunction Expantions for Indefinite Eigenvalue Problems. Integral Equations and Operator Theory. 1990. Vol. 13. P. 193-215.

4. Stone M. H. A Comparison of the Series of Fourier and Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. Vol. 28, № 4. P. 695 - 761

УДК 512.3

Г. И. Гусев

КОРНЕВЫЕ ТОЖДЕСТВА ДЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ

Пусть Q - поле /7-адических чисел, Ор - кольцо целых р-адических чисел [1], Z[x] — кольцо многочленов с целыми коэффициентами,

к к

F(x)&Z[x\ - многочлен положительной степени, F'(x) = c0q>j1 (х)...ср/(х) - разложение производной F'(x) на примитивные множители ср,(х), взаимно простые между собой, и с0 - наибольший общий делитель коэффициентов F\x).

Положим = ф,(х)...ф5(х). Тогда результант R(g(x), g'(x)) является целым числом, не равным нулю. При этом

R(g,g') = ± П Res2(ф,- 1 Ф_/) "Г1 R-es(ф|>Ф;') 0)

1 <i<j<s 1=1

и результанты Л(ф(-,ф.) и R{ф;,ф,') представляются в виде линейных

комбинаций многочленов

й(ф„фу) = ^,{x)Aij(x) + ^j{x)Bij(x), (2)

Л(ф,.,ф,') = Ф¡<х)С,(х) + Ф/(х)0,(х), (3)

где Ajj, Вц, С;, /1 - многочлены из кольца 2[х\.

ЛЕММА 1. Предположим, что р - простое число, удовлетворяющее условиям:

1) огс?рД(ф;,фу) = 0 для некоторой пары (г,у) г * у,

2) существует целый />адический корень 9 многочлена фДх). Тогда ordptyj(8) = 0 и ordрф,.'(9) = 0. Доказательство. Из (2) следует равенство

Л(Ф„ФУ) = Ф, (9)5^(6).

Тогда из первого условия леммы следует, что ordpq>j (9) = 0. Аналогично из (3) получаем ordpф, '(6) = 0.

ЛЕММА 2. Пусть ordpR(q>¡,(pJ) = О, г Ф ) , и 9,-, 9у - соответственно корни многочленов срД.х) и фу(х), принадлежащие кольцу Ор Тогда р не делит разность 8, - 9 у.

Доказательство. Предположим, что 0,- = 9у(шос!р). Тогда Ф;(9,) = Фу(6у) = 0(шос1 р)

и

Яез(ф/)фу) = 9/0,^.(0,.) = 0(тос1 р), что невозможно по условию.

ЛЕММА 3. Предположим, что р - простое число, не делящее результанта и 0,,...,9, - все корни многочлена ¿(х), принадлежащие кольцу Ор, попарно различные между собой. Тогда огЛр(9,- — 0у-) = 0 для всех пар (/,/), /' * у , т.е. р не делит разность 0,- - & ■.

Доказательство. Ввиду леммы 2 достаточно рассмотреть случай, когда 0/5 0 . являются корнями одного многочлена фДх). Тогда из условий

леммы следует, что

<1едч>, -О")/о \ V х/___^ (9 . °

т=2 т\ 1

Ф/Че,)=- I

поэтому

О^рф/(0,.)>Ог^(0у-0,)>О. По лемме 1 огй?рф/'(0/) = 0, а поэтому огс1р (0у - 0,) = 0.

ЛЕММА 4. Пусть р - простое число, подчиненное условию оге1р(с0Ке^,£)) = 0,

и 0 - целый р-адический корень примитивного многочлена ф(х), входящего в разложение /•"'(■*) с кратностью к.

Тогда огс1п --^ = 0 и огс1п(к +1) = 0.

р (¿ + 1)! р

Доказательство. Известно, что

^(*+1)(0) = ео&!(ф'(0))* ПФ^(9)

и — ^ принадлежит кольцу Ор. Тогда с учётом равенств огс1р Ф'(9) = 0 и ог(1рфу (9) = 0 получим

С,

чв))* п ф,(в)

Фу * Ф 7

{ \

= огс1 0

р * + 1

^ )

I = -0«//>(* + 1),

откуда следует утверждение леммы.

ЛЕММА 5. В условиях леммы 4 при нечётном р на компакте К = 8 + рОр имеет место изометрическая эквивалентность

F(x) = F(8) - 9)t+1.

Доказательство. Для произвольного степенного ряда

СО

£cvXu е О р\\Х\\, сходящегося в Ор, существует и притом един-

V — ]

00

ственный степенной ряд Т(Х) = еОр[[Х]\, сходящийся в Ор, та-

У = 1

кой, что выполняется тождество

- <¡4 I 1 1 ( 1

^ Л + Г 211 + 1^ + 1

= 1 + РТ(Х). Тогда по формуле Тейлора получим

1 \p2S2(X) + ...

F(Q + pX) = F(Q)+'

{Q)pk+lXk+](\ + pS(X)),

(к+ 1)1

где Б(Х) - степенной ряд с целыми р-адическими коэффициентами, сходящийся в Ор. Тогда

Г(9 + рХ) = ,Р(9) + ^¡ур рк+1*к+\Х),

где х(А') - изометрия компакта О вида

х(А') = X + рХТ(Х).

Лемма доказана.

ТЕОРЕМА. Пусть р - простое нечётное число, не делящее с0 и Яез^д:),£'(*))> и 0,,82,...,0, - все корни производной многочлена ДА) соответственно кратностей т,, т2,..., т,, принадлежащие кольцу Ор.

Тогда для произвольного натурального числа а , а > 1 имеет место корневое тождество

где sv =

X ехр

x|mod рс

F<m*+1)(9v)

^F(x) v Ра

= ZexP

v=l

2ni

f{ ev)

К+1)!

+1

-р-адическая единица и

(ev,pa)= 2 exP

xmod pa

2ni „ +i

—7-e„x

Доказательство следует из леммы 5 и изометрической эквивалентности

F(x) = F(a) + F'(a)(x-a) на компакте Ка = а + pOf, для каждого целого а такого, что р tie делит разность а- в, при всех i-\,t.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1964.

УДК 519 853.3

С. И. Дудов, А. С. Дулова ОБ ОТДЕЛИМОСТИ СИЛЬНО ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ

1. Понятие сильно выпуклого множества было впервые введено в [1]. Определение. Множество D a R' называется г -сильно выпуклым, если оно может быть представлено в виде пересечения евклидовых шаров радиуса г>0, то есть

D = П В(х,г),

хе А

где B(x,r) = е Rp :|х-.у| - '' } _ евклидов шар с центром в точке х и радиусом г, I • || - евклидова норма, А - множество центров шаров.

В работах Е.С. Половинкина (см., напр. [2]} и других математиков основные факты из выпуклого анализа получили соответствующее усиление в формулировках на случай сильно выпуклых множеств.

Как известно, важное свойство замкнутых выпуклых множеств заключается в том, что они могут быть представлены в виде пересечения опорных к ним полупространств. Для сильно выпуклых множеств этот факт усиливается следующим образом.

ТЕОРЕМА А [2]. Выпуклый компакт D являе.ся r-сильно выпуклым тогда и только тогда, когда

/>= П B(Xg-rg,r), (1)

WH

где для каждого ge Rr, || g || = 1 вектор xg e D таков, что

<x ,g>=max<x,g> (2)

k xeD

Здесь <y> - скалярное произведение.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).