О точных значениях и оценках рациональных тригонометрических сумм Текст научной статьи по специальности «Математика»

где mi — модуль характера Xi- Последняя оценка дает |gN (1)| ^ C. А |gN(1)| = S(N), что и доказывает утверждение теоремы.

Таким образом, нами показано, что в качестве обобщенных характеров можно взять норменные.

В заключении можно высказать гипотезу, аналогичную гипотезе Н.Г. Чудакова:

Гипотеза. Любой обобщенный характер числового поля, отличный от единичного, является характером Дирихле этого поля.

Библиографический список

1. Чудаков Н.Г., Родосский К.А. Об обобщенном характере // ДАН СССР. 1950. Т.73.

2. Hecke E. Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen // Math. Ann. 1926. №97. P.240-242.

3. Hecke E. Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Bezenhungen zur Verteilung der Primzahlen // Math. Z. 1920. №6. P.11-67.

4. Сецинская Е.В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2005.

УДК 511.23

Г.И. Гусев

О ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ И ОЦЕНКАХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ

Пусть р — простое, Qp — поле р-адических чисел, Ор — кольцо целых

p-адических чисел и Up — группа единиц поля Qp, f (x) = ^ akxk

k=0

многочлен из кольца Op[x], n ^ 1.

Разложим производную /'(х) на неприводимые множители над полем рациональных чисел:

/'(х)= с • (х) • ... • (х),

где с — целое и ^¡(х) — примитивный многочлен.

Далее, обозначим через д(х) = (х) • ... • <рк(х), а через Res(<i,<j), г = ] — результант многочленов <г(х) и <(х), и Res(<pi,<p'i) — результант ^¡(х) и его производной <[(х). Тогда для результантов имеют место равенства:

Res(<i, <) = щ(х) • Aij(х) + <(х) • Б^(х), (1)

Res(^pi, <) = щ(х) • О^х) + <р[(х) • Б^х), (2)

где Aij (х), Бу (х), О-1(х), О^х) являются многочленами с целыми коэффициентами.

Определение 1. Простое число р называется /-регулярным, если на р не делится произведение

в

с • ^ Res(<pi,<p'i) • ^ Res(<pi,<pj). i=l 1«

Известно, что Res(g(х),д'(х)) можно представить в виде произведения

Res(g,g') = (-lУ2 П • П Res2(<i,<j),

i=1

где а2 = deg < • deg < .

Отсюда следует, что простое число р является /-регулярным тогда и только тогда, когда на р не делится произведение с • Res(g,g').

Теорема 1. Предположим, что для /-регулярного простого числа р существует корень в производной /'(х) кратности к, принадлежащий

кольцу Ор. Тогда имеют место равенства

* () =0,

ур(к + 1) = 0.

Доказательство Пусть р = р, (ж) — неприводимый многочлен, входящий в каноническое разложение /'(ж), корнем которого является р-адическое число 9. Тогда

/<^>(9) = с ■ к,!(((9))к Д (9).

Отсюда следует, что

—к!—) = иР(с) + к, (9)) + XIк ир(Р*(9)).

3' ¡=3

Покажем, что ир(рг(9)) = 0 при % = ]. Действительно, из равенства (1)

следует, что при % = 3

^р(рг(9)Лгз (9)) = ир(Яев(р{,рз)).

Далее, так как ир(Яез(рг,рз)) = 0 и Л,(9) е Ор, то (9)) = 0 при всех %, не равных 3.

Аналогично, из равенства (2) получаем, что (9)) = 0. Ввиду /-регулярности простого числа р ^р(с) = 0, а поэтому (^-^кт^) = 0. Теперь легко установить, что г/р(к, + 1) = 0.

Действительно, по условию (^к+щг^ ^ 0 или ир ( — ир(к+

+1) ^ 0, что и приводит нас к неравенству ^р(к, + 1) ^ 0, равносильному условию ир(к + 1) = 0. Теорема доказана.

Лемма 1. Пусть р — простое нечетное и п — натуральное, п ^ 2, такое, что Ур(п) = 0. Тогда р-адический аналог ряда Ньютона

(1+ж)П=1+± й(п—1)...(п—*+1) х (3)

сходится, если ^р(ж) ^ 1.

Доказательство Прежде всего отметим, что для натурального s

ир(,в) =

- ар^)

р — 1 '

т т

где ар(^) — сумма цифр р-ичного разложения s = ^ ар, ар^) = ^ а1.

1=0 1=0

Тогда при х = ри, и е Ор

* (йП (П — 1) - (П — * + 1) р*и') > — ^ + ^ + »р(и),

отсюда следует, что ряд (3) сходится при ир(х) ^ 1. Более того, при s ^ 1

+ ^ 1,

— ар (в)

р — 1

то есть ряд (3) при х = ри представляет собой сумму 1 + рТ(и), где

то

Т(и) = ¿^р" — ряд с целыми р-адическими коэффициентами, сходящийся в Ор.

то

Следствие. Предположим, что степенной ряд С(и) = ^ gsus имеет целые р-адические коэффициенты, сходящиеся к нулю. Тогда в условиях

то

леммы существует такой же степенной ряд Г (и) = ^ Ьвив, что выполем

няется равенство

1 + рО(и) = (1 + рГ (и))п.

Теорема 2. Пусть при /-регулярном р существует корень в е Ор производной /'(х) кратности к.

Тогда на компакте Ко = в + рОр имеет место изометрическая эквивалентность

/ (х) = / (в) + /к~р§(х — в)к+1.

Доказательство Положим х = в + ри, где и е Ор. Тогда, используя формулу Тейлора, получим:

/х = /(в) + Ор-и*1 + £ ^р'«?.

Обозначим ее = f(k++|je). По теореме 1 ее £ Up. Тогда

/ deg f -i

f (x) = f (e) + eepk+iuk+l 1 + p £ ее \ vps-k-2us~

\ s»

\ s=k+2

,k+i I -I i \ л ее lf (5)(в) s—k—2„ ,s—k—i

deg f _! f(s)(e)

Для ряда G(u) = £ £g f, ( )ps-k-2us-k-i в силу следствия леммы при

S!

s=k+2

n = k + 1 получим ряд F(u) с указанными свойствами. Поэтому

f (в + pu) = f (в) + ее pk+iuk+i(1 + pF (u))k+l.

Далее отметим, что a(u) = u(1 + pF(u)) является изометрией Op. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть p — f-регулярное нечетное и в1,...,вг — множество всех корней производной соответственно кратностей ki,...,kr. Тогда при произвольных i и j, i = j ф ej (mod p) и для полной тригонометрической суммы

S (f,modpa)= £ exp(—nif (ха)\

xa\mod pa

при всех а ^ 2 имеет место тождество

" ' 2ni

a

S (f, mod pa) = ^ expl --f (в.,)) • SGks+i(es,pa),

s=i vp'

где es = и SGks+i(eS)pa) = £ exp (2^е.хУ1) .

Xa\pa

Доказательство Предположим, что ei и ej являются корнями различных многочленов ipi(x) и ifj(x). Тогда из равенства (1) следует, что fj(ei) £ Up. Отсюда следует, что ei ф ej (mod p).

В случае, когда ei и ej являются корнями одного и того же многочлена fi(x), из равенства

deg ^ f(s)(e.)

т)(вг - ej)+ £ ^r1 (ei - ej)2 = 0

s=2 S'

следует, что O, ф Oj (mod p) при i = j.

Дополним множество всех корней до полной системы вычетов по модулю p числами a1,a2, ...,ap-r. Тогда имеет место тождество

i x,

S(f\modpa) = Y^ exp[ ~f WJ+E exp[ ~f (Xa)

s=1 Xa\mod pa t=1 Xa\mod pa

xa=9s{mod p) xa=at(mod p)

Докажем, что

£ ехр[(ха)) =0

xa|mod ра хаФа,1(тос1 р)

при I = 1, 2, ...,р — г.

Действительно, /'(аъ) ф 0(modp). В противном случае по лемме Ген-зеля о подъеме решения, существовал бы корень /'(х), принадлежащий компакту К = аъ + рОр, что невозможно. Поэтому на К имеет место изометрическая эквивалентность

/ (х) = / (а) + / '(а)(х — а).

И, следовательно, указанная сумма обращается в 0. Таким образом,

S (f,modpa) = ^ ^ exp( 2P^f (ха П .

s=1 xa\mod pa xa^9s{mod p)

Далее, ввиду изометрической эквивалентности на компакте K* = Os+ +pOp f (x) = f (Os) + f^ffl) (x - Os)ks+1 и равенства

v- (2ni efn Л (2ni f (ks+1\O) Л

E exp—f (Os)) exp[ | (xa - Os))=0

, d a vP^ 7 \Pa (^3 + 1)!

xaymod pa

Vp(xa-6s)=0

получим

S(f, mod pa) = ¿ exp(^ f (08)) • SGks+i (>?

что и требовалось доказать.

Рассмотрим случай, когда {es}s=i имеют кратность ks = 1. Тогда

S (f, mod pa) = £ exp ((es)) • ( J • W • pa.

В случае, когда кратность ks ^ 1, воспользуемся формулой SGks+i(es,pa) = pks SGks+i(es,pa-ks-i),

если а ^ ks + 1. Если же а = 2,3,...,ks, то легко показать, что SGks+i(es,pa) = pa-i.

Отсюда и из оценок сумм SGks+i(es,p) следуют нетривиальные оценки для S(f, mod pa).

УДК 511.23

Г.И. Гусев

МНОГОМЕРНЫЕ ИЗОМЕТРИИ В ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ НЕАРХИМЕДОВЫХ ПОЛЯХ

Пусть k — локально компактное неархимедово поле, V — кольцо нормирования поля k, P — идеал нормирования этого поля, Vn — n-я декартова степень V, а = (ai, а2, ...,ап) £ Vn, \\а\\ = max |а^ — норма а.

i^i^n

Определение 1. Отображение

а : Vп —> Vп

называется изометрией компакта Vп, если для произвольных а, в из Vп выполняется равенство

| |а(а) — а(в )\\ = \ \а — в \\.