Суммируемость по Риссу спектральных разложений оператора дифференцирования с интегральным условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Re4,0(z0,X)<Re(m0-l)/2, XeA, z0eSro. (6)

Так как неравенство (2) для п = п0 влечёт принадлежность log s„ (z0, X) как функции к, при каждых /0 eF0, zeL,b и соответствующем выборе ветви логарифма, семейству функций, равностепенно ограниченных внутри круга | Х- Х0 |<е0/и0, то из неравенства (6) следует, что существует такое е, = 8](г0,60,и0,е0), 0<е,<ео/ио, что log|j„3(z0,>.)|<log|s„o(z0A0)| = logr0 Для всех f0eF0, zeLrfj и Х.еА, | А, — Л-о )< е,. Последнее означает, что е( и п0 есть искомые значения для е» и /?., соответственно, и заканчивает доказательство леммы,

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Yoccoz J. С. Petits diviseurs en dimension 1 // Astérisque. 1995. Vol. 231.

2. Gumenuk P. A Lower Estimate for the Distance of an Attracting Fixed Point to the Boundary of Its Basin via Univalence Radius // Comput. Methods Funct. Theory. 2003. Vol. 3, № 2. P. 413-424

3. Bargmann D. Conjugations on rotation domains as limit functions of the geometric means of the iterates // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 1998. Vol. 23, № 2. P. 507 - 524.

4. Голузин Г. M. Геометрическая теория функций комплексного переменного, М: Наука, 1966.

5. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М: Наука, 1969.

УДК 517.927.25

А. П. Гуревич, А. П. Хромов

СУММИРУЕМОСТЬ ПО РИССУ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ*

Рассмотрим оператор дифференцирования

¿У = У(Х),хе[ 0,1], (1)

с условием

1

¡1у(0Ж = 0. (2)

о

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №> 03-01-00169), гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1) и программы «Университеты России» (проект ур.04.0! .041).

В данной статье изучаются обобщённые средние Рисса вида —\g(X,r)RxfdX, где Rk=(L~XE)~> - резольвента оператора L, Е -

2п'\Х\tr

единичный оператор, X - спектральный параметр. Функция g(X,r) удовлетворяет следующим условиям:

1) g(X,r) непрерывна по X в круге и аналитична по А, в круге ] X |< г при любом г > 0;

2) при фиксированном X lim g(X,r) = 1;

г-»оо

3) существует такая константа С > 0, что | g(X,r) |< С при всех г > О и\Х\<г-

(\ „ г4

4) существует у > 0 такое, что ,§■(>• ехр(кр),г) = О

\ л. п

В статье найдены достаточные условия на /(je) , при выполнении которых указанные выше средние Рисса сходятся к /(х) в пространстве С[0,1]. Кроме того, установлено, что средние Рисса при у > 1 для любой

/(х)еС[0,1] сходятся к /(х) в пространстве C[h,\-h], где 0<h<~. При

доказательстве основных результатов используется асимптотическое представление резольвенты оператора L, а также метод контурного интегрирования по спектральному параметру.

Отметим, что вопросы суммируемости средних Рисса спектральных разложений для различных классов дифференциальных и интегральных операторов изучались в [1 — 4].

ЛЕММА 1. Для того чтобы обобщённые Рисса по собственным функциям оператора L сходились к /(х) в С[0,1], необходимо, чтобы функция /(х)еС[0,1] и удовлетворяла условиям: i i 1) jtf(t)dt = 0, 2) /(1) - jf(t)dt = 0. о о

ЛЕММА 2. Справедлива формула

/« + ¡g(hr)Rkfdk = Дх)( 1 - g(0,r)) + g(0,r)(/(x) - /0(х)) + JXr + J2r,

Im r

где

2л/r к ' ' 2тп'г

/0(х) e С [0,1] и удовлетворяет (2), Гг - окружность | X j= г.

ЛЕММА 3. Предположим, что /(х) удовлетворяет условиям.

i i a) f(x) 6 С[0,1] П С'[1 - h,Y\ (0 < А < 1); б) \tf{t)dt = 0; в) /(1)- ¡f(t)dt = 0;

о о

г) /'(1)-/(1) + /(0) = 0. Тогда существует последовательность

i

{/„(*)}«=] G С[0,1] такая, что выполнены условия: 1) \tfn(t)dt = 0;

ó

2) /„(1)-j/„M¿í = 0; 3) /;(1)-Л(1) + /„(0) = О„(1), где о„(1) —> 0 при о

4) /л(л)еС2[0Д-й]; 5) /„ (х) е С2[1 - h,l]; 6) /„(*)-»/(*) в

пространстве С[0,1]; 7) f^(x) —> f'{x) в С[1-/г,1].

ТЕОРЕМА 1. Предположим, что /(*)<= С[0,1]ПС'[1 - h,\] и

удовлетворяет условиям:

i i \) \tf{t)dt = Q- 2)/(1)- |/(í)dt = 0; 3)/'(1)-/(1) + /(0) = 0.

Тогда при у > 1 lim

2я;

= 0, где

норма в

пространстве С[0,1].

Замечание. Условие /'0)-/0) + У(0) = 0 является существенным в том смысле, что даже если /(х)еС'[0,1], удовлетворяет условиям I), 2) теоремы, но /'(1)-/(1) + /(0)^0, то при любом у>1 классические сред-

Рисса---f

о-п-; >

т

Г,

R} f сГк не сходятся к f(x) в метрике простран-

ства С[0,1].

ТЕОРЕМА 2. Для любой /(*) е С[0,1], у > 1 и 0 <h<-

lim max

г—>оохе[Л,1-Л]

/W+г^ ¡g(X,r)Rxfdk 2 ш г

1 г

= 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 2003. №2(489). С. 24 -35.

2. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений слабо нерегулярных краевых задач // Spectral and evolution problems, KROMSH-2002. Sevastopol, Laspi, 18-29 Sept. 2002. Simferopol, 2003. Vol. 13. P. 113 - 120.

3. Freiling G., Kaufman F. J. On Uniform and ¿''-convergence of Eigenfunction Expantions for Indefinite Eigenvalue Problems. Integral Equations and Operator Theory. 1990. Vol. 13. P. 193-215.

4. Stone M. H. A Comparison of the Series of Fourier and Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. Vol. 28, № 4. P. 695 - 761

УДК 512.3

Г. И. Гусев

КОРНЕВЫЕ ТОЖДЕСТВА ДЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ

Пусть Q - поле /7-адических чисел, Ор - кольцо целых р-адических чисел [1], Z[x] — кольцо многочленов с целыми коэффициентами,

к к

F(x)&Z[x\ - многочлен положительной степени, F'(x) = c0q>j1 (х).. .ср/ (х) - разложение производной F'(x) на примитивные множители ср,(х), взаимно простые между собой, и с0 - наибольший общий делитель коэффициентов F\x).

Положим = ф,(х)...ф5(х). Тогда результант R(g(x), g'(x)) является целым числом, не равным нулю. При этом

R(g,g') = ± П Res2(ф,- 1 Ф_/) "Г1 R-es(ф|>Ф;') 0)

1 <i<j<s 1=1

и результанты Л(ф(-,ф.) и R{ф;,ф,') представляются в виде линейных

комбинаций многочленов

й(ф„фу) = ^,{x)Aij(x) + ^j{x)Bij(x), (2)

Л(ф,.,ф,') = Ф ,.(*)С,.(х) + ф,'(*)0,(*), (3)

где Ajj, Вц, С;, Dj - многочлены из кольца 2[х\.

ЛЕММА 1. Предположим, что р - простое число, удовлетворяющее условиям:

1) огс?рД(ф;,фу) = 0 для некоторой пары (г,у) г * у,

2) существует целый />адический корень 9 многочлена фДх). Тогда ordptyj(8) = 0 и ordрф,.'(9) = 0. Доказательство. Из (2) следует равенство

л(ф„ф7) = ф/(в)д,у(е).

Тогда из первого условия леммы следует, что ordpq>j (9) = 0. Аналогично из (3) получаем ordpф, '(6) = 0.