CC BY
12
Qg p(e) = q ■ и0(e) = 50- N ■ и0(e). Сравним с методом Гаусса. Найдем коэффициент эффективности
К = Qv/Qe. р.(е) + 1)/(75 • «0(в)).
При N - 121, что соответствует h = 1/8, б = 10^ , п0(е) = 4> получим £=50, т.е. количество действий при решении системы разностных уравнений (6) итерационным методом верхней релаксации в 50 раз меньше, чем при решении прямым методом Гаусса. Кроме того, итерационный метод является экономичным "в том смысле, что не требует хранения в памяти матрицы А размерности 121х122 = 14762. При увеличении порядка системы (6), коэффициент К возрастает.
Итак, для решения системы разностных уравнений большого порядка, соответствующих задаче (6), целесообразно применять итерационный метод верхней релаксации, который является эффективным и экономичным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М. :Наука, 1978.
2. Вахлаева Л.Ф., Крысько В.А., Соколов С.С. О выборе порядка аппроксимации разностной краевой задачи теории оболочек // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов, 1981. С. 45 - 49.
УДК 513.88
А. П. Гуревич, А. П. Хромов
СУММИРУЕМОСТЬ ПО РИССУ СПЕКТРАЛЬНЫХ
РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ1
В пространстве ¿[0,1] рассмотрим оператор
т
Af = Л/ + S Sk(f,vk\ k = 1
где
A0f = a*\f(t)dt+vi2 ¡№dt, (f,vk)= ¡f(t)vk(t)dt, gk(x),vk(x)eС1 [0,1]. 0 0 o
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, фант № 97-01-00566.
Предполагаем, что системы {£*(*)}{" ,{у*(х)}Г линейно независимы и
5 = а, -а1 ,аг
1
Обозначим через = (Е-ХА)~1А/ = (Е - единичные
о
оператор) резольвенту Фредгольма оператора А. В настоящей статье при некоторых предположениях относительно оператора А найдены необходимые и достаточные условия на функцию /О), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] средних вида
jg(X,r)RxfdX ,
2т
IM
где g(X,r) удовлетворяет следующим условиям:
а) г) непрерывна по X в круге < г и аналитична по А, в круге < г при любом г > 0;
б) существует С > 0 такая, что < С при всех г > 0 и |А.| < г;
в) существуют положительные , Р2 такие, что
g(re ,г) = О
(р + а-
ßi
Ф + а + -
Р2
где а = arg Vs (оценки равномерны по г);
г) g(X,г) —> 1 при г->оо и фиксированном X. Примерами таких функций могут служить функции вида gß-,r) = gl(X,r)g2(X,r),
где
^ _i(a-it/2)
|_^ei(a-7t/2)
,ßl,ß2>0,
g2M =
1-
Рз
, Mr (/) = max|/(Ä.)|, ß3 > 0.
|A.|=r
Отметим, что для случая дифференциального оператора п -го порядка с регулярными по Биркгофу краевыми условиями [1, с.66] М.Стоун [2] исследовал средние по Риссу спектральных разложений, представимые в виде
2ти ^
w=<
ИЛ
1
RxfdX, 1> 0
(Ях - резольвента дифференциального оператора) и показал, что на каждом [а, 6] с (0,1) имеет место равносуммируемость их с такими же средними обычных тригонометрических разложений в ряды Фурье. Этой же тематике посвящены работы [3 - 5].
В дальнейшем важную роль будет играть вид оператора А'1. Поэтому укажем сначала условия его существования. Обозначим через M = (m¡j)(i = l,...,m+l-, j = \,...,m) матрицу с элементами
mXj = U(gj ) U = 1,..., т); тч = 6, + {Lgj\>¡_x) (i = 2,... ,m + l;j = 1,... ,т).
Здесь «(/) = а,/(0)_а2/(1), L/ = 8-1{a,/'« + a2/'(l-x)}> - символ
Кронекера.
ТЕОРЕМА 1, Оператор /¡Г1 существует тогда и только тогда, когда
rangM = т.
Будем предполагать, что А~1 существует. Обозначим область, получающаяся из X.-плоскости удалением всех собственных значений А~' вместе с их круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса в > 0; || - норма в С[0,1].
ТЕОРЕМА 2. Если Дх) е С[0,1], а X е SE, то
1Mb О
' i
ТЕОРЕМА 3. Пусть /(x),g0(x) е С[0,1]. Тогда, если на окружности |Я.| = г нет характеристических чисел оператора А, то
/М + ± |^,г)Дх/(х) сГк = Лх)(1 - g(n0,r)) + ¿К^'Х/М - /о(*)] +
2Ы-г _
+ 1_ I J^lR]ígo(x)dk + A- ¡g(kr)Rx[f(x) - f0(x)]dk,
2п1\Ц =rX - ^о 2ni\\\=r
где |j.0 - произвольное комплексное число (||10| < г), не являющееся характеристическим значением оператора А.
ТЕОРЕМА 4. Область значения оператора А состоит из всевозможных абсолютно непрерывных функций у{х), удовлетворяющих условию вида
e,j<0)-62Mi)-Cx,w) = о (i)
где w{x) е С[0,1].
ТЕОРЕМА 5. Замыкание D0 области значений оператора А в метрике С[0,1] совпадает с множеством непрерывных на [0,1] функций, удовлетворяющих (1).
ТЕОРЕМА 6. Для того, чтобы
lim
+ ~ ¡g(X,r)Rx/(x)dk
= 0,
необходимо и достаточно, чтобы /(х) е D°.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука,
1969.
2. Стоун М.Н. II Trans.Amer.Math. 1926. Vol. 28. Р. 695 - 761.
3. Хромов А.П. II ДАН СССР. 1962. Т. 146, № 6. С. 1294 - 1297.
4. Тихомиров ВВ. И ДАН СССР. 1976. Т. 226, № 5. С. 1015 - 1017.
5. Тихомиров В В. И Мат. сб. 1977. Т. 102, № 1. С. 33 - 55.
УДК 511.2
Г. И. Гусев
ОБ ИЗОМЕТРИЯХ В НЕАРХИМЕДОВЫХ ПОЛЯХ, СВЯЗАННЫХ С РЯДАМИ НЬЮТОНА
Пусть (К, ф) - нормированное поле, где ф - нетривиальная неархимедова норма. Будем считать, что характеристика поля равна нулю. Обозначим V = {а | а е К\ ф(а)< 1} - кольцо нормирования поля К, Р = {а | а е К\ ф(а)< 1} - идеал нормирования, Е = {е | е б К\ ф(е)= 1} - группа единиц поля К, F= V/P — поле классов вычетов по mod Р (поле вычетов).
Известен следующий критерий локальной компактности неархимедова
поля.
ТЕОРЕМА [1, с. 43]. Неархимедово поле (К, ф) является локально компактным тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1. (К,ф) является полным полем.
2. Идеал нормирования Р является главным, т. е. существует такой простой элемент п е К, что Р = тгК.
3. Поле вычетов F поля К является конечным.
В нашем случае поле К является конечным расширением некоторого поля Qp р-адических чисел, где р - простое, причём р = жег, где е - натуральное и е е Е.
Определение 1. Отображение а: V —> V называется изометрией V, если для произвольных a, beV
ф(а(а)-ст(Ь))=ф(я-б).
Определение 2. Отображение т: Е —> Е называется изометрией Е, если для произвольных е, е е Е
Ф(Т(е)-Т(Е))=Ф(Е-Е).
С компактами V и Е связаны группы изометрий GIs(v) и GI s(e).
