Вложение решеток в квазипериодические решетки Текст научной статьи по специальности «Математика»

имеет единственное решение в компакте Кп(с).

В силу биективности изометрии система уравнений

Л(Х ) = 0

Ш) = о

также имеет единственное решение, принадлежащее компакту Кп(с). Теорема доказана.

УДК 519.21

В.В. Красильщиков, А.В. Шутов

ВЛОЖЕНИЕ РЕШЕТОК В КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ

РЕШЕТКИ*

Работа посвящена изучению одномерных квазипериодических разбиений Фибоначчи. Их можно определить различными способами [1-3], например, с помощью пересечения луча у = ах и целочисленной решетки Ж2, где а — иррациональный угол наклона . В работе используется альтернативный подход, основанный на иррациональном повороте окружности.

Определение 1. Множество вершин {хп} разбиения ТИж(а, 11, 12) определяется по правилу: х-1 = 0,

[ хп + 11, если (иа) Е [0; 1 — а), хп+1 = <

[ хп + 12, если (иа) Е [1 — а; 1),

где (•) - дробная доля.

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант (05-01-00435).

Определение 2. Решеткой будет называться множество Ь вида Ь = = {^о + икь}, п Е Ж.

В работах [5], [6] вкладывающаяся решетка определялась следующим образом. Было получено полное описание таких решеток [5].

Определение 3. Будем говорить, что решетка Ь вкладывается в разбиение ТИ оо (а, ¿1, ¿2), если

1) каждый длинный интервал разбиения содержит единственную точку решетки Ь;

2) короткие интервалы разбиения не содержат точек решетки Ь.

) 1, если х > у, Определим функцию [х > у]: [х > у] = <

[ 0, если х ^ у.

Теорема 1. Пусть а — иррационально и решетка Ь = {Н0 + пНь} вкладывается в разбиение ТИж(а,11,12). Тогда Н0 Е (—1тах, —1тт) и

Ь = ¿1 (1 — а) + ¿2 а

1 а[11 < ¿2] + (1 — а)[/1 >¿2].

Рассмотрим вопрос о сильном вложении решеток в одномерное квазипериодическое разбиение. Введем функцию ¿(п) и определим ее следующим образом:

| ¿1, если (па) Е [0; 1 — а), ¿(п) = <

[ ¿2, если (па) Е [1 — а; 1).

Определение 4. Будем говорить, что решетка Ь сильно вкладывается в разбиение Тг/То(а, ¿1, ¿2), если каждый интервал разбиения содержит единственную точку решетки Ь.

Исходя из определений решетки и множества {хп} определим решетку Ь, сильно вкладывающуюся в разбиение (а,/1,/2), следующим двойным неравенством для любого п ^ 0:

Хп — ¿(п) < ^0 + пНь < хп. (1)

Определим две функции:

^(а, и) = #{г : 0 < г < и, (¿а) Е [0; 1 — а)} (2)

и

N2(а, и) = #{г : 0 < г < и, (га) Е [1 — а; 1)}. (3)

Исходя из определений (2) и (3), можно утверждать, что ^(а, 0) = 1 и N2(а, 0) = 0. Выполняется следующее равенство:

Ж1(а,и) + Ж2(а,и) = и + 1. (4)

Из определений функций Ж1(а,и) и Ж2(а,и) следует формула

Хп = ^(а,и)/1 + ^(а,и)/2. (5)

В работе [7] показано, что справедливы выражения для Ж1(а,и) и N2 (а, и):

Ж1(а,и) = и(1 — а) + г1(а,и), (6)

Ж2(а,и) = иа + г2(а,и), (7)

где 1 — а — доля интервалов длины /1, а а — доля интервалов длины /2 во всем разбиении Тг/То(а,/1,/2), а г1(а, и),г2(а, и) — соответствующие остатки. Тогда можно записать равенство:

хп = (11(1 — а) + /2а)и + г1(а, и)/1 + г2(а, и)/2.

В работах [4] и [7] получены следующие оценки для г1(а,и) и г2(а,и): |г1(а,и)| ^ С, |г2(а,и)| ^ С, где С - некоторая константа. Можно записать следующие равенства:

Хп = (/1(1 — а) + ¿2а)и + 0(1) = иНь + 0(1), (8)

Таким образом, мы получили теорему 2.

Теорема 2. Если решетка L = {ho + nhL} сильно вкладывается в разбиение li, ¿2), то

hL = ¿1 (1 - а) + ¿2а. (9)

Определим четыре величины:

Sf = inf (xn — nhL), Sf = sup (xn — nhL), (10)

n,(na)G[0;1-a) n,(na)e[0;1—a)

Sf = inf (xn — nhL), S2 = sup (xn — nhL). (11)

n,(na)G[1—a;1) n,(na)G[1—a;1)

Предложение 1. Если решетка L сильно вкладывается в разбиение TilTO(a, l1, l2), тогда выполняется система неравенств:

S2a — Sf <li, , N

2 1 (12)

s2 — Sf < ¿2.

Доказательство По определению (1) сильно вкладывающейся решетки можно получить двойное неравенство: h0 < xn — nhL < h0 + l(n). В случае, когда (na) G [0; 1 — а) можно записать: h0 < Sf ^ xn — nhL ^ Sf < h0 + l1. В случае, когда (na) G [1 — a; 1) можно записать: h0 < Sf ^ xn — nhL ^ ^ S2f < h0 + l2. Данные двойные неравенства равносильны системе:

Sf > h0,

Sf <h0 + li,

Sf > h0,

S2 < h0 + ¿2.

откуда и получаем требуемую систему неравенств.

Теорема 3. Решетка L сильно вкладывается в разбиение Тг^(а, ¿1, ¿2) тогда и только тогда, когда выполняется система неравенств:

¿1 > (1 a)[2 ^ ^max ¿min^ (14)

¿2 > O^max ¿m«n).

Вначале докажем следующие леммы.

Лемма 1. Пусть ^(и), С(и) — две функции, отображающие множество целых чисел Ж в себя. Пусть Д^(и) = ^(и + 1) — ^(и). Предположим, что ^(0) = С(0) и Д^(и) = ДС(и) для всех целых и. Тогда ^(и) = С(и) для всех целых и.

Доказательство Проведем индукцией по и. Для и = 0 справедливо ^(0) = С(0). Предположим, что ^(и) = С(и) и ^(—и) = С(—и). Сравним ^(и+1) с С(и+1) и ^(—(и+1)) с С(—(и+1)). ^(и + 1) = ^(и) + Д^(и) = С(и) + ДС(и) = С(и + 1), ^(—(и + 1)) = = ^ (—и) — Д^ (—и — 1) = ^ (—и) — Д^ (—и — 1) = С(—(и + 1)).

Лемма 2. Значение функции ^(а, и) вычисляется по формуле для всех целых и > 0:

N1 (а, и) = [(и + 1)(1 — а)] + 1.

Доказательство Определим функцию: ^(и) = [(и + 1)(1 — а)] +1. Покажем, что функции ^(и) = Ж1(а,и) для всех целых и. Для этого воспользуемся леммой 1. Рассмотрим значения этих функций при и = 1: ^(а, 1) = ^(1) = 1. Теперь рассмотрим разности Д^(и) = ^(и) — ^(и — 1) и ДЖ1(а,и) = = Ж1(а,и) — Ж1(а,и — 1). Из определения Ж1(а,и) следует, что при и > 0

лм{ ^ I1, если (иа) Е [0;1 — а),

0, если (иа) Е [1 — а; 1).

Учитывая определение функции целой части действительного числа, для Д^(и) получим:

Д^ (и) = (и + 1)(1 — а) — ((и + 1)(1 — а)) + 1 — (и(1 — а) — (и(1 — а)) + 1).

В результате элементарных преобразований получим, что Д^(и) = 1 — —а + ((и + 1)а) — (иа). Возможны два случая.

1. В случае (па) Е [0; 1 — а): AF(п) = 1 — а + (n + 1)а — па = 1.

2. В случае (па) Е [1 — а; 1): AF(п) = 1 — а + (п + 1)а — 1 — па = 0. Тогда для функции F(п) можно записать выражение при п > 0:

\ тр( \ J1, если (па) Е [0;1 — а)

AF (п)=1п / \ П 1А (16)

[ 0, если (па) Е [1 — а; 1).

Из определений (15) и (16) следует, что AF(п) = А^(а, п). По лемме 1 получаем, что ^(а,п) = F(п) = [(п + 1)(1 — а)] + 1.

Следствие 1. Справедливо равенство для всех целых п > 0:

п(а, п) = 1 — а + ((п + 1)а).

Доказательство Исходя из леммы 2, выражение (6) для ri(а,п) примет следующий вид: г1(а, п) = [(п +1)(1 — а)] +1 — (1 — а)п. Тогда, имеем, что г1(а, п) = = 1 — а + ((п + 1)а).

Лемма 3. Справедливы следующие оценки для г1(а,п) при п > 0: inf г1(а,п) = 1, sup г1(а,п) = 2 — а,

п,(па)Е[0;1— а) п,(па)Е[0;1—а)

inf г1(а,п) = 1 — а, sup г1(а,п) = 1. п,(па)Е[1—а;1) п,(па)Е[1—а;1)

Доказательство

Рассмотрим два случая.

1. В случае, когда 0 ^ (па) < 1 — а, можно записать: а ^ ((п + 1)а) < 1. Воспользовавшись следствием 1, можно записать: 1 ^ г1(а,п) < 2 — а, более того:

sup г1(а,п) = 2 — а, inf г1(а,п) = 1.

п,(па)Е[0;1—а) п,(па)Е[0;1—а)

2. В случае, когда 1 — а ^ (па) < 1, можно записать: 0 ^ ((п + 1)а) < а. Учитывая условие следствия 1, можно записать: 1 — а ^ г1(а,п) < 1,

более того:

вир г1(а,п) = 1 ^ г1(а,п) = 1 — а.

п,(па)Е[1 —а;1)

Лемма 4. Справедливо следующее равенство:

г2(а,п) = 1 — г1(а,п).

Доказательство Равенство (4), учитывая (6) и (7), можно записать: ап + г1(а,п) + (1 — —а)п + г2(а, п) = п + 1.

Лемма 5. Верно равенство:

Хп — = ¿2 + (¿1 — ¿2)п(а, п).

Доказательство Равенство (5) можно переписать в следующем виде: хп — п^ь = = Ж1(а,п)/1 + Ж2(а,п)/2 — п^^. Учитывая равенства (6), (7) и (9), это выражение перепишем в следующем виде:

хп — п^ь = ((1 — а)п + г1 (а, п))/1 + (ап + г2(а, п))/2 — п(/1(1 — а) + ¿2а).

Отсюда хп — = ¿1г1(а,п) + ¿2г2(а,п). Применяя лемму 4 и непосредственно вычисляя получим, что хп — = ¿2 + (¿1 — ¿2)г1(а,п).

Определение сильно вкладывающейся решетки можно записать в виде системы неравенств (13). Поэтому, чтобы решетка Ь сильно вкладывалась в разбиение Т^/то(а,/1 , ¿2), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Обозначим = —¿1; и = (^2—¿2; 51). Для разрешения системы (17) необходимо и достаточно выполнения трех условий:

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3

^о Е (^2 — ¿1;^ГХ

^о Е (^2 — ¿2;

(17)

1) /f = 0, то есть Sf — Sf < ¿i;

2) /f = 0, то есть S2 — Sf < ¿2;

3) /f n /f = 0. Определим функции:

r+ = sup r1(a,n),r— = inf r1(a,n),

n,(na)G[0;1—a) n,(na)Gl0;1—a)

r+ = sup r1(a,n),r— = inf r1(a,n).

n,(na)G[1—a;1) n,(na)G[1—a;1)

Рассмотрим аффинное преобразование f (x) = , x—,2— и интервалы

1max 1min

f (/f) = /R, f (/f) = /R. Возможны два случая.

1. При ¿1 > ¿2, воспользовавшись леммой 5, получим:

/R = — , ¿1 . ; r—), /R = (r+ — . . ; r—).

'max 'min 'max 'min

Тогда три условия можно записать так: 1) /Я = 0, то есть г+ — г— < —^

1 1 ^ / -/ • '

max min

2) /R = 0, то есть r+ — r2 < —1

2

2 ' 2 ^ 1 —, 7

lmax-lmin

max - min

3) /Я П /Я = 0, что возможно лишь в случае, когда г2 > г+ Если теперь применить условия леммы 3, то получим, что

1) ¿1 > (1 а)(^тах ¿тт);

2) ¿2 > а(^тах ¿тт);

3) ¿1 > ¿тах ¿тт.

Таким образом, решетка Ь сильно вкладывается в разбиение Тг/То(а, ¿1, ¿2) тогда и только тогда, когда выполняется система неравенств:

¿1 > ¿тах ¿тт? /1 о\

(18)

¿2 > а(^тах ¿тт^

2. При ¿2 > ¿1, воспользовавшись леммой 5, получим:

/R = (—r— — ■ 1 ■ ; —г+), /2Я = ( r— — 2, ; r+).

¿max ¿min ¿max ¿min

Тогда три условия можно записать так:

1) /R = 0, то есть r+ - r- < -——;

1 1 - max - min

2) /R = 0, то есть r+ - r- < -—^—;

2 2 - max - min

3) П /f = 0, что возможно лишь в случае, когда -r+ > -r--

\ . Если теперь применить условия леммы 3, то получим, что

1max 1тгп

1) ¿1 > (1 а)(lmax ¿min);

2) ¿2 > a(1max ¿min);

3) ¿1 > 0.

Таким образом, решетка L сильно вкладывается в разбиение ¿1, ¿2) тогда и только тогда, когда выполняется система неравенств:

¿1 > (1 а)(lmax ¿min) , /in\

(19)

¿2 > a(1max ¿min).

Из систем (18) и (19) вытекает условие теоремы 3.

Теорема 4. Решетка L вкладывается в разбиение ¿1, ¿2) тогда

и только тогда, когда выполняется условие:

—> a[h > /2] + (1 - a)[/2 > ¿1].

lmax - lmin

Доказательство Рассмотрим два случая.

1. Пусть ¿max = ¿1 и ¿min = ¿2. Тогда условие вложимости решетки примет следующий вид:

¿1 > ¿1 - ¿2, , х

1 1 (20)

¿2 > «(¿1 - ¿2).

Поскольку первое неравенство системы (20)выполняется всегда, то условие вложимости решетки (20) сводится ко второму неравенству системы, которое можно переписать в следующей форме: а < .

2. Пусть ¿max = ¿2 и ¿min = ¿1. Тогда условие вложимости решетки примет следующий вид:

' ¿1 > (1 — а)^ — ¿1), ¿2 > а(^ — ¿1).

Рассмотрим второе неравенство из системы. Поскольку в рассматриваемом случае ¿2 > ¿1, то в результате преобразований получим: а^2 — ¿1) < < а^ < ¿2. Поэтому условие вложимости решетки (21) сводится к первому неравенству системы, которое после преобразований примет вид:

1 — а < ^.*

12 -11

Библиографический список

1. Arnoux P., Berthe V., Ei H, Ito S. Tilings, quasicrystals, discrete planes, generalized substitutions and multidimencional continued fractions // Discrete models: combinatirics, computation and geometry. Paris, 2001. P. 59-78.

2. N. Pytheas Fogg. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Springer, 2002.

3. Zhuravlev V.G. One-dimensional Fibonacci tilings and derivatives of two-colour rotations of a circle // Max-Plank-Institut fur Mathematik. Preprint Series. 2004. V.59. P.1-43.

4. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math.Sem.Hamburg Univ. 1921. V.5. P.54-76.

5. Красильщиков В.В., Шутов А.В. Одномерные квазикристаллы: аппроксимация периодическими структурами и вложение решеток// Новейшие проблемы теории поля. Казань, 2006. Т.5. С. 145-154.

6. Красильщиков В.В., Шутов А.В. О некоторых свойствах одномерных квазикристаллов// Тез. докл. XVIII Междунар. летней школы-семинара

* Авторы выражают благодарность профессору В.Г. Журавлеву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и ценные советы.

"Волга"по современным проблемам теоретической и математической физики. Казань, 2006. С. 45-46.

7. Шутов А.В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. Тула, 2004. Т.5, вып. 3. С.112-121.

УДК 539.3+517.4 Т.А. Кузнецова, К.А. Баев, С.В. Чумакова

МЕТОД ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ В ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ И ЕГО ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

Введение

Известно, что при решении нелинейных граничных задач теории тонких оболочек в статическом случае наиболее простыми, в смысле их численной реализации, являются шаговые методы, суть которых заключается в том, что решение нелинейной задачи сводится на каждом шаге к решению линейных уравнений вида:

d2w d2w d2w

- Tx(x, y)- Ty(X y)- Txy(X y)oXôy = q (1)

с нулевыми условиями на границе Г области определяемой серединной поверхностью оболочки, где оператор A либо оператор Лапласа А, либо A2, Tx, Ty, Txy — некоторые непрерывные функции.

Численное решение задачи (1) в случае прямоугольных в плане оболочек, как правило, определяется методом Бубнова-Галеркина. Это связано с тем, что для прямоугольной области Q легко строится последовательность функций {/„}, удовлетворяющих нулевым граничным усло-