ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ В ПРОБЛЕМЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ Nα НА МНОЖЕСТВАХ ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ В ПРОБЛЕМЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ na НА МНОЖЕСТВАХ ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА1

© 2007 А.В.Шутов2

В работе получены точные по порядку оценки остаточного члена проблемы распределения дробных долей na на интервалах ограниченного остатка.

Введение

Пусть a — иррационально. Г. Вейль доказал [1], что дробные доли последовательности {na} равномерно распределены по модулю 1. Пусть I = = [a; b) с [0; 1),

N(a, a, n, I) = tf{i : 0 < i ^ n, (a>eI), r(a, a, n,I) = N(a, a, n,I) - n|I|,

и (•> — дробная доля числа. Тогда теорема Вейля означает, что

r(a, a, n, I) = o(n).

Величина r(a, a, n, I) называется остаточным членом проблемы распределения дробных долей.

Гекке в работе [11] рассмотрел интервалы ограниченнного остатка, для которых supa,n |r(a, a, n,I)| < то. Полное описание таких интервалов было найдено Кестеном [12]. Оказалось, что интервал I является интервалом ограниченного остатка тогда и только тогда, когда |I| е aZ + Z. При этом справедливо неравенство

|r(a, a, n, I)| ^ |h(I)|, (1)

где h(I) — единственное целое число, удовлетворяющее условию |I| -— h(I)a е Z. Доказательство оценки (1) можно найти в работах [11], [15]. Введем величину

r(a, h) = sup sup |r(a, a, n,I)|.

/:|/|eaZ+Z,|h(/)|=h a,n

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 05-01-00435.

2 Шутов Антон Владимирович ([email protected]), кафедра информатики Владимирского государственного педагогического университета, 600024, Россия, г. Владимир, пр-т Строителей, 11.

Тогда оценка (1) запишется в виде

r(a, h) ^ h. (2)

Кестен высказал предположение о возможности существенного улучшения оценки (2). Многочисленные примеры таких улучшений для различных а и h можно найти в работах [3, 4, 7, 10, 16]. Цель данной работы — доказательство точных по порядку оценок r(a, h) для всех a, h.

Содержание работы. §2 содержит оценку сверху для r(a, h) в терминах разложения а в цепную дробь. §3 содержит доказательство того, что оценка из §2 в некотором смысле не может быть улучшена. В §4 доказан аналог теоремы Хинчина, устанавливающий точный порядок роста r(a, h) для почти всех a. В §5 для функции r(a, h) доказываются некоторые аналоги теоремы Ярника, то есть оценивается размерность по Хаусдорфу множеств, для которых функция r(a, h) имеет заданный рост.

1. Верхние оценки

Лемма 1. Пусть I = [a; b) с [0; 1) и xi(x) — характеристическая функция I. Тогда

Xi(x) = <x - b)-(x - a) + |I|. (3)

Доказательство можно найти в работе [13]. Лемма 2. Пусть I = [0; у), С„(а, у) = £"=1«/а + у) - Тогда

r(a, a, п, I) = Cn(a, a - y) - Cn(a, a). (4)

Доказательство получается непосредственным вычислением с использованием (3).

Теорема 1. Справедливо неравенство

r(a, h) ^ 2 sup |Cn(a, y)|. (5)

У

Доказательство. Вначале заметим, что без ограничения общности можно положить I = [0; <±ha)). Действительно, пусть Ii = [ao; ao + <±ha)). Тогда <x) e Ii тогда и только тогда, когда <x - ao) е I и, следовательно, r(a, a, п, I1) = r(a, <a - a0), п, I).

Пусть I = [0; <-ha)). Тогда из (4) находим r(a, a, п, I) = Cn(a, a + ha) -- Cn(a, a) = £П=1<(1 + h)a + a)-^n=1<ia + a) = Zn=n-h+1 <(i + h)a + a)-jjh=i<ia + a) = = 2h=1 <ia + na + a) - £ni=1<ia + a) = Ch(a, na + a) - Ch(a, a). Отсюда,

|r(a, a, n, I)| ^ Ch(a, na + a) + Ch(a, a)

и

sup |r(a, a, n,I)| ^ 2 sup |Cn(a, y)|.

a,n y

Случай I = [0; <ha)) рассматривается полностью аналогично.

рп

Пусть разложение а в цепную дробь имеет вид а = • • •] и {—} —

2п

последовательность подходящих дробей к а. Пусть

к к 1(а, п) = &| : ^ е У— = п}.

1=1 1=1

В [6] было доказано, что

3

|Сл(а,у)| < 2/(а'и)' (6)

Теорема 2. Справедливо неравенство

г (а, И) < 31(а, И). (7)

Доказательство немедленно следует из (5) и (6). Теорема 3. Справедливо неравенство

шах г(а, И) ^ 3^ . (8)

Доказательство. Заметим, что любое И < может быть представлено в виде И = £ 1=1 & 2-1, где

1) 0 ^ ^ ^ д1 - 1;

2) 0 ^ & ^ д, при 2 ^ 1 ^ Р,

3) если & = 9,, то 1 = 0.

Такое разложение называется разложением Цеккендорфа. Из его существования сразу следует, что для И ^ 2 выполняется неравенство 1(а, И) ^ 1=1 . Далее остается использовать оценку (7). В работе [14] было доказано, что

г 1

| С „(а, у)| < 4 п~/—{п) Ь 3 п (9)

для любых г > 0 и неубывающей функции /(х) таких, что

д1+г/(д)11да|| > 1 (10)

для всех д. Из (5) и (9) немедленно вытекает следующий результат. Теорема 4. Пусть г > 0 и неубывающая функция /(х) таковы, что выполняется условие (10). Тогда

г 1

На,К) < 8А—/—{И) 1пЗй. (11)

Далее, Используя теорему Туэ-Зигеля-Рота, получаем Следствие 1. Пусть а — алгебраическое число. Тогда для любого е > 0 справедливо неравенство

г(а, И) = 0(Ие).

2. Нижние оценки

Лемма 3. Пусть I = [0; {-На)), Jn = [0; 1 - (па)). Тогда

r(a, а, п, I) = г(а, а, Н, Jn). (12)

Доказательство получается непосредственным вычислением остатков по формуле (4).

Лемма 4. Пусть I = [0; у), 1 - у = £гс=1 c,||0га||, c, е Z, причем

1) 0 < с, < q,;

2) если с, = q,, то ci+i = 0;

3) с, ф q, для бесконечно многих i. Тогда

t

max r(a,0,n,I) = Y -(1 - — )ql+ Edt), (13)

. ^ q, qi v 7

i=i,i — нечетно t

mm г(а,0,й,7) = - У -(1 - ~)q, ~ E2(f), (14) i^n^gt . ^ q, q,

i=i,i — четно

причем

-(t + \) ^ E,(t) ^ + (15)

Доказательство можно найти в [14]. Пусть

r+(а, Н) = sup sup r(a, а, п, I),

I:|I|eaZ+Z,|A(I)|=A а,п

г-(а, Н) = inf inf г(а, а, п, I),

I:|7l6oZ+Z,|Ä(.I)\=h а,п

Теорема 5. Справедливы неравенства

1 \ \ 3

max r+(a,h) ^ - ) а, - -t-\, (16)

Kfi^Q, 4 ^ 4 2 v 7

i=1,i — нечетно 1 t 3

min r+(a,h) ^ — V + -t + 1. (17)

i=1,i — четно

Доказательство. Из леммы 3 следует, что

r+(а, Н) ^ г(а, а, Н, Jy,),

и

^(а, Н) ^ r(а, а, Н, Jy,)

для всех п. Далее, из равномерной распределенности последовательности {па} по модулю 1 вытекает, что для произвольных C1 ,...,ct, удовлетворяющих условиям леммы 4 можно выбрать п, для которого данные числа c1,...,ct будут первыми t коэффициентами разложения 1 - (па) =

qi

= сг110га11- Выбирая Cj = [—] для всех / ^ t, и подставляя соответствующие значения c, в формулы (13), (14), получим, с учетом (15), требуемый результат.

Из доказанной теоремы немедленно вытекает два следствия. Теорема 6. Справедливо неравенство

1 \ л \ л 3

J max r(a,h) ^ -max{ J] q„ ^ (18)

^ ^ i=i,i — нечетно i=i,i — четно

Теорема 7. Справедливо неравенство

i Л з

max ría, h) ^ - > q¡ - -t - 1. (19)

8^ 2 v 7

3. Теорема типа Хинчина

Предложение 1. Пусть у(х) — положительная возрастающая функция. Тогда

^q, = O(¥(n))

i= 1

ТО 1

тогда и только тогда, когда ряд > —— сходится.

пш(п)

п=1

Предложение 2. Для почти всех а выполняется равенство

In Qn п2

lim

п^то п 121п2'

Доказательство предложений 1, 2 можно найти в [5]. Из предложений 1, 2 и теорем 3, 7 немедленно вытекает следующий результат.

Теорема 8. Пусть у(х) — положительная возрастающая функция и

= {а е [0; 1) : г(а, И) = 0(1п Иу(1п И)).

Тогда

ТО 1

1, ряд ) —— сходится, пш(п)

п=^ (20)

=

0, ряд ^ —— расходится.

n=1

Следствие 2. Для почти всех а и любого е > 0 справедливо неравенство

г(а, И) = 0(1п И(1п 1п И)1+е). (21)

Доказательство следует из (20) с х) = (1п х)1+е.

4. Теорема типа Ярника

Предложение 3. Пусть у(х) — положительная возрастающая функция, Ж(у) = {а е [0; 1) : ||да|| < у(д) для бесконечно многих д},

I = liminf —

П^ет ln П

Тогда

dini/7mw = { I; (22)

Доказательство можно найти в [2]. Теорема 9. Пусть f(х) — полжительная возрастающая функция,

f( Х)

lim^+co/(х) = +оо7 lim -= 0 для любого е > 0. Пуст,ъ с е [0; 1] и

х^+ет Xе

Bl = {а е [0; 1) : limsup > 8}. (23)

й^ет hcf(h) ln 3h

Тогда справедливо неравенство

dim (24)

i- c

Доказательство. Выбирая /i(x) = f c(x) и r = -, находим, что

1 - c

Bc = {а e [0; 1) : r(a,h) > (h) ln 2h для бесконечно многих h).

Рассмотрим множество

S1 = {а е [0; 1) : ^1+rf1(^)||^a|| < 1 для бесконечно многих q}.

Тогда из теоремы 4 следует, что Blc с S}.. Следовательно, dim^B1 ^ ^ dim^S^ Вычисляя dim^S1 по формуле (21), получаем требуемый результат.

Теорема 10. Пусть c е [0; 1] и

^ = {ae[0;l):limsup^^i. (25)

й^ет h 32

Тогда справедливо неравенство

dim (26)

Доказательство. Пусть г = и

S2 = {а е [0; 1) : q1+r||qa|| < 1 для бесконечно многих q}. Выберем а е S;?. Тогда, согласно [14], существует бесконечная последова-

г

тельность {tk} для которой Qtk-\ < 2Q^r. Из (19) находим max r(a,h) ^

k

1 fk 1 1 Qt

g - 12) - 1 ^ ~(qtk - 12) - 1 ^ - 13) - 1. Отсюда находим, что для

достаточно больших к выполняется неравенство max r(a,h) ^ —Q^1 =

J_

KKäi''"'"' " 32;

= Следовательно, неравенство г(а,/г) ^ выполняется для беско-

нечно многих h. Таким образом, 5? с В? и dimяB;? ^ dimяS2. Вычисляя dimяS2 по формуле (21), получаем требуемый результат.

Теоремы 9 и 10 позволяют высказать следующую гипотезу. Гипотеза. Пусть c е [0; 1] и

В3С = {а. е [0; 1) : Нт эир —> 0},

И—>ТО И

В4с = {ае[ 0;1):Нт8ир^^ = то}.

И—то И

Тогда справедливо равенство

дш&нВъс = сПт// В4С = ^—

Литература

[1] Вейль, Г. О равномерном распределении чисел по модулю 1 // Г. Вейль Избранные труды. - М.: Наука. - 1984. - С. 58-93.

[2] Додсон, М.М. Геометрические и вероятностные идеи в метрической теории диофантовых приближений / М.М. Додсон // Успехи математических наук. - 1993. - Т. 48. - Вып. 5(293). - С. 77-106.

[3] Журавлев, В.Г. Одномерные разбиения Фибоначчи / В.Г. Журавлев // Изв. РАН. Сер. матем. - 2007. - Т. 71. - Вып. 2. -С. 287-321.

[4] Мануйлов, Н.Н. Число попаданий точек последовательности [nXg] в полуинтервал / Н.Н. Мануйлов // Чебышевский сборник. - Тула: Изд-во ТГПУ. - 2004. - Т. 5. - Вып. 3. - С. 72-81.

[5] Хинчин, А.Я. Цепные дроби / А.Я. Хинчин. - М.:Физматлит. - 1961. -112 с.

[6] Шутов, А.В. О минимальных системах счисления / А.В. Шутов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. - Саратов: Из-во Саратовского университета. - 2007. - Вып4. - С. 125-138.

[7] Шутов, А.В. О распределении дробных долей / А.В. Шутов // Чебышевский сборник. - Тула: Изд-во ТГПУ. - 2004. - Т. 5. - Вып. 3. -С. 112-121.

[8] Шутов, А.В. О распределении дробных долей II / А.В. Шутов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. - Саратов: Из-во Саратовского Университета. - 2005. - Вып3. - С. 146-158.

[9] Шутов, А.В. Системы счисления и множества ограниченного остатка / А.В. Шутов // Сборник трудов конференции "Аналитические и комбинаторные методы в теории чисел" (в печати).

[10] Bonanno, C. Diffusion and discrepancy of the sequence (na) / C. Bonanno, S. Isola. (В печати).

[11] Hecke, E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins / E. Hecke // Math.Sem.Hamburg Univ. - 1921. - V. 5. - P. 54-76.

[12] Kesten, H. On a conjecture of Erdos and Szusz related to uniform distribution mod 1 / H. Kesten // Acta Arithmetica. - 1966. - V. 12. -P. 193-212.

[13] Liardet, P. Regularities of distribution / P. Liardet // Compositio Math. -1987. - V.61. - P. 267-293.

[14] Pinner, C.G. On Sums of Fractional Parts {na + y} / C.G. Pinner // J.Number Theory. - 1997. - V.65. - P. 48-73.

[15] Ostrowski A. Math. Miszellen XVI//Notiz zur Theorie der Diophantischen Approximationen und zur Theorie der linearen Diophantischen Approximationen / A. Ostrowski // Jahresber. d. Deutschen Math. Ver. - 1939. -V. 39. - P. 34-46.

[16] Shutov A.V. New estimates in the Hecke-Kesten problem / A.V. Shutov // Anal. Probab. Methods Number Theory. Edited by E. Manstavicisus et al. Vilnius: TEV. - 2007.

Поступила в редакцию 17/IX/2007; в окончательном варианте — 17/IX/2007.

OPTIMUM ESTIMATES IN THE PROBLEM OF THE DISTRIBUTION OF FRACTIONAL PARTS OF THE SEQUENCE na

© 2007 A.V. Shutov3

In the paper a remainder term in the problem of the distribution of fractional parts of the sequence na with irrational a is considered. In the case of bounded remainder interval we prove new estimates of this remainder term. The estimates are exact with respect to the order.

Paper received 17/IX/2007. Paper accepted 17/IX/2007.

3Shutov Anton Vladomirovich ([email protected]), Dept. of Informatics, Vladimir State Pedagogical University, Vladimir, 600024, Russia.