CC BY
6
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 3.
УДК 511.43 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-246-260
n-короны в разбиениях тора на множества ограниченного остатка
А. А. Жукова, А. В. Шутов
Жукова Алла Адольфовна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры информационных технологий, Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Владимирский филиал (г. Владимир).
e-mail: georg967Qmail.ru
Шутов Антон Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры вычислительной техники и систем управления, Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых (ВлГУ) (г. Владимир). e-mail: al981@mail.ru
Аннотация
Теория геометрических подстановок Арно-Ито позволяет строить последовательности обобщенных перекладывающихся разбиений d-мерного тора. Эти разбиения состоят из параллелепипедов d +1 типа, а действие некоторого сдвига тора на разбиении сводится к перекладыванию d +1 центрального параллелепипеда. Более того, множество вершин всех параллелепипедов разбиения представляет собой фрагмент орбиты нуля относительно этого сдвига тора. Рассматриваемые разбиения активно используются в различных задачах теории чисел, комбинаторики и теории динамических систем.
В настоящей работе изучается локальная структура разбиений тора, получаемых на основе геометрических подстановок, n-коропой параллелепипеда называется множество всех параллелепипедов, отстоящих от данного на расстояние не более п в естественной метрике разбиения. Задача состоит в описании всех возможных типов п-корон.
Каждому параллелепипеду разбиения естественным образом присваивается номер - его номер в орбите соответствующего центрального параллелепипеда относительно сдвига тора. Доказано, что множество всех номеров распадается на конечное число полуинтервалов, определяющих возможные типы n-корон. Более того, доказано, что границы соответствующих полуинтервалов определяются номерами параллелепипедов, входящих в п-корону набора из d +1 центрального параллелепипеда.
Показано, что этот результат можно рассматривать как некоторое многомерное обобщение знаменитой теоремы о трех длинах. Ранее аналогичное описание было получено для 1-корон разбиений тора получаемых при помощи одной конкретной геометрической подстановки: подстановки Рози. Кроме того, аналогичные результаты ранее были получены для ряда квазипериодических разбиений плоскости.
В заключении сформулирован ряд направлений для дальнейшего исследования.
Ключевые слова: геометрические подстановки, теория Арно-Ито, обобщенное перекладывающееся разбиение тора, локальная структура, п-корона.
Библиография: 33 названий. Для цитирования:
А. А. Жукова, А. В. Шутов, n-короны в разбиениях тора на множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, вып. 3, с. 246-260.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 3.
UDC 511.43 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-246-260
n-crowns in toric tilings into bounded remander sets
A. A. Zhukova, A. V. Shutov
Zhukova Alia Adolfovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Associate Professor at the Department of Information Technologies, Russian Academy of National Economy and Public Administration under the President of Russian Federation, Vladimir branch (Vladimir). e-mail: georg967Qmail.ru
Shutov Anton Vladimirovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Computer Engineering and Control Systems, Vladimir State University named after Alexander and Nicholav Stoletovs (V1SU) (Vladimir). e-mail: al981@mail.ru
Abstract
The Arnoux-Ito theory of geometric substitutions allows to construct sequences of generalized exchanged tilings of the d-dimensional torus. These tilings consist of parallelepipeds of d +1 type, and the action of a certain toric shift on the tiling reduces to exchanging of the d +1 central parallelepipeds. Moreover, the set of vertices of all parallelepipeds of the tiling is a fragment of the orbit of zero point under considered toric shift. The considered tilings are actively used in various problems of number theory, combinatorics, and the theory of dynamical systems.
In this paper, we study the local structure of toric tilings obtained using geometric substitutions. The n-corona of the parallelepiped is a set of all parallelepipeds located at a distance of not greater than n from a given parallelepiped in the natural metric of the tiling. The problem is to describe all possible types of n-coronas.
With each parallelepiped in the tiling we can naturally assigned a number — its number in the orbit of the corresponding central parallelepiped with respect to the toric shift. It is proved that the set of all parallelepipeds numbers splits into a finite number of half-intervals defining possible types of n-coronas. Moreover, it is proved that the boundaries of the corresponding half-open intervals are determined by the numbers of the parallelepipeds in the n-corona of the set of d +1 central parallelepiped.
It is shown that this result can be considered as some multi-dimensional generalization of the famous three lengths theorem. Earlier, a similar description was obtained for 1-coronas of the toric tilings obtained using one specific geometric substitution: the Rauzy substitution. In addition, similar results were previously obtained for some quasiperiodic plane tilings.
In conclusion, some directions for further research are formulated.
Keywords: geometric substitutions, Arnoux-Ito theory, generalized exchanged toric tiling, local structure, n-corona.
Bibliography: 33 titles. For citation:
A. A. Zhukova, A. V. Shutov, 2019, "n-crowns in toric tilings into bounded remander sets" , Che-byshevskii sbornik, vol. 20, no. 3, pp. 246-260.
1. Введение
Пусть Ь — некоторая решетка, V — иррациональный относительно решетки Ь вектор, то есть вектор, координаты которого в некотором базисе решетки Ь линейно независимы над Ъ вместе с единицей (очевидно, что данное определение не зависит от выбора базиса). Отображение сдвига
Б : х ^ х + V (шоё Ь) переводит тор Т* = Ж6/Ь в себя. Разбиение
4+1 -1
Т = Ц Ц Е (О
3=1 г=0
^-мерного тора на непересекающиеся множества й + 1 типа называется обобщенным перекладывающимся разбиением тора, если действие сдвига Б на этом разбиении сводится к перекладыванию множеств Е^ (0) а объединение всех множеств Е^ (0)1 < ] < й + 1 изоморфно развертке некоторого мерного тора. Данное понятие впервые было введено в [29] и позднее, независимо, в [17], хотя первые примеры таких разбиений были получены существенно ранее.
Интерес к обобщенным перекладывающимся разбиениям тора в первую очередь связан с тем, что они состоят из множеств ограниченного остатка относительно сдвига Б [17], [29]. Более того, в этих случаях возможна эффективная оценка остаточного члена соответствующей проблемы распределения дробных долей линейной функции [19], [26], [30]. Также имеются связи обобщенных перекладывающихся разбиений тора с комбинаторикой слов [20] и многомерными диофантовыми приближениями [16], [18].
В одномерном случае фактически существует один вид обобщенных перекладывающихся разбиений — разбиения Фибоначчи. Данные разбиения впервые были введены Журавлевым [21] для сдвига х ^ х — т шоё 1, т = Далее эти разбиения были обобщены Мануйловым
на случай сдвигов, связанных с так называемыми серебряными сечениями [27], [28] и Шутовым на случай произвольных сдвигов [25], [31], [32].
В многомерном случае мы крайне далеки от полного описания обобщенных перекладывающихся разбиений тора. Можно выделить три основных подхода к построению таких разбиений:
1) Теория геометрических подстановок Арно-Ито [1], [4], [26], [30];
2) Теория фракталов Рози [4], [5], [22];
3) Дифференцирование разбиений тора [17].
В настоящее время уделяется большое внимание изучению геометрических свойств конкретных обобщенных перекладывающихся разбиений тора. Это связано с очевидной интерпретацией соответствующих результатов в терминах геометрии орбит иррациональных сдвигов тора, а также другими многочисленными приложениями в арифметике, динамике и комбинаторике. Подробное изложение соответствующих результатов может быть найдено в книгах [4], [10]. Особый интерес при этом представляет подход, связанный с разбиениями Арно-Ито, поскольку множество вершин таких разбиений имеет вид к(0)} 0 < к < коВ работе [15] была рассмотрена локальная структура простейшего бесконечного семейства обобщенных перекладывающихся разбиений тора, получаемого на основе конструкции Арно-Ито и связанного со знаменитой подстановкой Рози. Данное разбиение состояло из ромбов трех различных типов. Было показано, что во всех разбиениях существует ровно 9 типов наборов ромбов, соседних с заданным ромбом. Также был дан способ позволяющий по ромбу разбиения однозначно установить его соседей. Кроме того, было показано, что эти результаты можно рассматривать как первый шаг к многомерному обобщению знаменитых теорем о трех длинах и трех прыжках [2], [6], [11], [12], [13].
Интересно отметить, что ранее результаты, аналогичные результатам из [15] были получены для ряда бесконечных квазипериодических разбиений плоскости, где удавалось получить
описание тайлов соседних с заданным тайлом разбиения в терминах так называемого параметра этого тайла [8], [9], [23], [33]. При этом с точки зрения теории бесконечных квазипериодических разбиений множество тайлов, соседних с данным тайлом X, образует так называемую 1-корону тайла Сгп(Х, 1) [7]. Можно также индуктивно определить п-корону Сгп(Х,п) как объединение (п — 1)-короны Сгп(Х, п — 1) и множества соседних с ней тайлов разбиения. Для ряда бесконечных квазипериодических разбиений плоскости удается получить описание произвольных п-корон [14], [24], [33].
В настоящей работе рассматриваются произвольные обобщенные перекладывающиеся разбиения тора, построенные на основе теории геометрических подстановок Арно-Ито и дается полное описание их п-корон для произвольного п.
2. Вспомогательные результаты
оо
Пусть имеется алфавит А = {1, 2,... ,й + 1}. Элементы множества А* = У Ак назовем
к=о
словами над алфавитом А Определим отображение а : А ^ А* такое, что все слова а(г), где г € А, непусты. Слово а € А* запишем в виде а = 0,10,2 .. .ага, где а^ € А. Положим по определению а(а) = а(а1)а(а2)... &(ап), таким образом отображение а продолжено до отображения а : А* ^ А*. Отображение а, определенное таким образом называется подстановкой над алфавитом А.
Назовем матрицей подстановки а матрицу Ма = (т^)^-=1, элементами которой являются т^ — количество вхождений символа г в слово
Подстановка называется примитивной, если существует к такое, что для любых г, ] символ г входит в слово &(]). Подстановка называется унимодулярной, если det Ма = ±1. Рассмотрим множество Л, состоящего из базисных множеств
а+1
(х, 3 *) = \х + №1 : 0 ^ № < 1
1=1, 1=3
где ег таковы, что образуют базис В = {е1,е2,..., в пространстве М^1. Точку х базисного множества (х,г*) назовем отмеченной.
Для примитивной унимодулярной подстановки а определим геометрическую подстановку по следующему правилу: каждому слову ш поставим в соответствие й + 1-мерный вектор-столбец аЬ(ш), компонентами которого являются числа, равные количеству вхождения символов алфавита А в слово ш. Затем для образов ), где ] € А, рассмотрим всевозможные представления вида а(г) = УгШ, такие что г € А, пШ — некоторые слова над алфавитом А.
Будем полагать
(1+1
в. (0,г*) = Ц Ц {М-1аЪ(Ш),з*) . (1)
а(]) = ПШ
Продолжим отображение вст на все множество Л
ва (0,г*) = М-1х + вст (0,г*)
и на множество комбинаций базисных множеств:
в( и Л) = и ЭД.
\лел / лел
Положим
й+1
= е* (о, ] *), ик = Ц
3=1
Обозначим через ьа и V** правый и левый собственные векторы матрицы Ма, соответствующие ее наибольшему собственному значению \а. Пусть Ра — это й-мерное подпространство, ортоганальное вектору -и*. Заметим, что подпространство Ра инвариантно относительно отображения Ма. Обозначим через ■к проекцию вдоль вектора на подпространство Ра. Отметим, что отображение Ма коммутирует с отображением ■к.
Лемма 1. Ограничение отображения ж на множество И* является взаимно-однозначным, отображением при любом к.
Данная лемма доказана в книге [4]
Рассмотрим ^-мерные множества Т* = п (И*) и Т*,3 = п ^. На множестве Т* введем отображение Б* определяемое следующим образом:
= х + п „если х е Т';
(з) к ,
где — г-й вектор-столбец матрицы Ма к.
В книге [4] сформулирована и доказана следующая лемма.
Лемма 2. Отображение 3*(х) является взаимно-однозначным отображением множества Т* в себя.
Введем в расмотрение решетки:
Lo = j^ кг(ег - ed+i) : кг е Z j , LN = М~к(Lq).
Теорема 1. Пусть а ^ примитивная унимодулярная подстановка. Тогда, множество Тк представляет собой фундаментальную область решетки ж (L;). Кроме того, существует сдвиг S; : х ^ х + v; (mod ж (L;)) тора T = (L;), действие которого на R/k (L;) изоморфно действию S* на Т;. При этом в качестве вектора v; можно взять любой из
векторов п Если L; означает естественную проекцию Т; ^ (L;), mo диаграмм,а,
st
Тк —— Тк
1-к
1-к
^/к (Тк) --— ^/п (Тк) коммутативна.
Доказательство этой теоремы можно найти в книге [4].
Наиболее известными примерами примитивных неприводимых унимодулярных подстановок на трехсимвольном алфавите являются подстановка Рози
1 ^ 12
ая : 2 ^ 13
3 ->■ 1
и два семейства подстановок Якоби-Перрона
а(а,0)
а раз
1 ^
2 ^ 3
3 ^ 1,
0".
а раз
1 1Т^~3
(а,1) : 2 ^ 1 32
Соответствующие геометрические подстановки изображены на рисунках 1-3.
Рис. 1. Геометрическая подстановка, соответствующая подстановке а^
Рис. 2. Геометрическая подстановка, соответствующая подстановке а(а, 0)
Рис. 3. Геометрическая подстановка, соответствующая подстановке а (а, 1) В статье [30] доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть Е1 (0) = тг (0,з*), Е^(г) = Б*1 (тг(0,з*)), Щ(г) = ¿-1 (Е^(г)), Щ -количество множеств типа Е^ тогда множества (г) образуют разбиение тора Т вида
щ-1
= ПИ щ (<).
2=0 г=0
Сформулируем и докажем следующую лемму.
Лемма 3. Пусть — вектор, соединяющий отмеченные точки двух множеств; тогда найдется целое число С^ т.ч.
■(Vj) = Cjк (/f) (mod тг (Lk)).
Доказательство. Рассмотрим два произвольных множества Ej>(i') и Ej>>(г") разбиения Tk, тогда согласно теореме 2 справедливы равенства
Ej,(Ц) = Sf (Ej,(0)) , Ej„Ц") = Sf (Ej„(0)) .
Обозначим через x [Ej<(i')), x [Ejn(i")) отмеченные точки множеств Ej<(i'), Ejn(i"), и воспользуемся утверждением теоремы 1, согласно которому имеют место сравнения
х (Ej'(if)) = i'v^fP) (mod -к (Lk))
И
x (Ej,,(i")) = i''n(/Jk)) (mod ж (Lk)).
Пусть вектор Vj, соединяет отмеченные точки множеств Ej / (i') и Ej и (i"), т.е.
Vj = х (Ej,,(i'')) -x (Ej'(г')) ,
тогда справедливо сравнение
*(Vj) = (г" - i')тт (Л(к)) (mod ^ (Lk)).
Обозначим через Cj разность чисел г'' и г', и получим утверждение леммы 3.
3. Основной результат
й+1
Определим п-корону Сгп(То,п) для То = Ц Е,(0) индуктивно. Назовем 1-короной
3=1
Сгп(То, 1) множества То само множество То вместе со всеми множествами соседними с множеством То. Предположим, что имеется п-корона Ст(То, п) множества То. Назовем (п + 1)-короной Сгп(То,п + 1) множества То п-корону вместе со всеми множествами, соседними к множествам п-короны. При п = 0 корон а Сгп(То, 0) совпадает с То-
Точно так же определяется п-корона для любого множества Е,(г).
Пусть имеются два множества Е,(г) и Е,(в). Две п-короны, Сто (Е,(г),п) и Ст(Е,(г'),п), будем называть трансляционно эквивалентными, если существует сдвиг тора, переводящий одну корону в другую.
Сформулируем и докажем следующую теорему.
Теорема 3. Пусть
[0; \Е,) = 1о и 11 и ... и 1Г
— разбиение полуинтервала [0; ) на, замкнутые слева, и от,крытые справа полуинтервалы, границам,и которых являются ном,ера, всех множеств вида Е,(г), входящих в Сгп(То,п). Тогда, Сгп(Ез(г),п) и Сгп(Ез(г'),п) трансляционно эквивалентны тогда и только тогда, когда г и г' принадлежат одному и тому же интервалу II при некотором I.
Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции.
Вначале убедимся, что утверждение теоремы верно при п = 1. Рассмотрим 1-корону некоторого множества Е,(г). Эта корона состоит из множества Е,(г) и всех соседних с ним множеств. Обозначим через Е,'(г') множество, соседнее с множеством Е,(г).
Отмеченные точки х (Е,(г)) и х (Е,'(г')) множеств Е,(г) и Е,'(г') соединим вектором ну так, что V,' = х (Е3-/(г')) — х (Е,(г)). Для вектора и,-/, согласно лемме (3), найдется число С,' такое, что ]' = г + С,'.
В разбиении многомерного тора Т^ множеств вида Е,' («) содержится в точности %Еу. Поэтому номер множества Е,' (г') должен удовлетворять неравенству 0 ^ г' < \Е,'. Множество Е, (г) имеет конечное число соседних множеств, значит справедлива система неравенств вида
0 < г + С,' <№,'. (2)
Очевидно, что решением системы (2) является полуинтервал с включенной левой границей. Это означает, что имеет место равенство г + С, = 0, где С, = тах(—С,', 0).
Перепишем последнее равенство как г = 0 + (—С,), где число —С, соответствует вектору —и,, при условии, что вектору V, соотвествует число С,. Следовательно, если номер множества Е, ( г) принадлежащего Сто (То, 1), совпадает с границей полуинтервала, то его 1-корона включает в себя множество с номером 0, т.е. Е,' (0).
Таким образом доказано, что если множество Е,' ( г') имеет 1-корону заданного типа, то '
1х при некотором I.
Докажем обратное утверждение: если номера множеств данного вида принадлежат одному и тому же полуинтервалу то эти множества имеют 1-короны одинакового типа. Выберем такое множество Е, (в), что его номер в принадлежит тому же промежутку, что и номер г множества Е, (г). Тогда для номера в будет справедлива система неравенств аналогичная неравенству (2), т.е.
0 < г' + С,' < .
Из каждого такого неравенства заключаем, что соседом множества Е,( г') обязательно будет являться множество Ег(г' + С,'). В силу того, что множество Е,(г') может иметь конечное
число соседних множеств, делаем вывод о том, что других соседей у множества Ж^(г') нет, т.е. 1-короны множеств Жj (г') и Жj(г) трансляционно эквивалентны. Таким образом доказано утверждение теоремы 3 при п = 1. Предположим, что утверждение теоремы 3 верно при п = т — 1, то есть
[0; ) = 10 и /1 и ... и 1Г
— разбиение полуинтервала [0; ) на замкнутые слева и открытые справа полуинтервалы, границами которых являются номера всех множеств вида Жд(£), входящих в Сгп(Е^(г),т — 1). Причем Сгп(Е^(г),т — 1) и Сгп(Ж](в),т — 1) трансляционно эквивалентны тогда и только тогда, когда г ж в принадлежат одному и тому же интервалу // при некотором I.
п = т
п = т — 1
Возможны два случая: 1) Сгп(Е](«),т) совпадает с Сгп(Е^(г),т — 1) для всех Жj(г); 2) Сгп(Жу(г),т) и Сгп(Ж^(г),т — 1) различны хотя бы для одного Жj(г).
В первом случае получаем, что новых корон нет, а значит нет новых полуинтервалов. Следовательно, типы интервалов не изменились, и утверждение теоремы верно. Во втором случае выберем то множество Ж^ (г) для которого
Сгп(Жу (г),т) и Сгп(Ж^ (г),т — 1)
отличаются. Согласно предположению индукции номер множества Ж^ (г) разбиения многомерного тора Т принадлежит промежутку //, являющимся одним из полуинтервалов разбиения промежутка [0; ). Рассмотрим т-корону множества Ж^(г). Отмеченную точку множества Ж^(г) соединим векторами (г)) с отмеченными точками всех множеств, входящих в
Сгп(Ж^(г), т) (рис. 4). Очевидно, что если существует еще одно множество Ж^(г') с такой же т-короной, то табор векторов (г')), соединяющих отмеченную точку Ж^(г') с отмечен-
ными точками множеств входящих в Сrп(Жj(ъ),т) будет таким же.
Рис. 4. Вектора и^(Жj(г))
Каждому вектору и^ (Ж^ (г)) согласно лемме 3 соответствует определенное целое число С'/. Как было доказано ранее, номер любого множества, входящего в Сгп(Жу(г),т), равен сумме номера множества Ж^(г) и чпсла Су/, т. е. г + С)/.
Пусть вектор и^(Ж^(г)) соединяет отмеченные точки множеств Ж^(г) и Жд(,з). В силу того, что в разбиении многомерного тора Т имеется $Ед множеств вида Жд(в), получаем, что номер множества Жд(в) удовлетворяет двойному неравенству 0 < §Ед или
0 < г + Сг < $ЕЧ.
(3)
Для каждого множества, входящего в Сгп(Е^(г),т) справедливы аналогичные неравенства, поэтому для номера множества Ej(г) получаем систему неравенств вида (3).
Решением системы неравенств вида (3) всегда является некоторый полуинтервал с включенной левой границей. Это утверждение является следствием того, что в общем случае система, состоящая из неравенств указанного вида либо не имеет решения; либо имеет решение, которое можно записать в виде промежутка замкнутого слева и открытого справа. В нашем случае система неравенств обязательно имеет решение, т.к. для номера г множества Е^- (г) система неравенств справедлива. Кроме того, в силу того, что система неравенств вида (3) содержит, в частности, неравенства верные для номеров множеств, входящих в Сгп(Е](¿), т — 1), получаем, что полуинтервал для номера множества Е^(г), имеющего Сгп(Е](¿), т), будет являться частью полуинтервала 1%.
Обратное утверждение, о том, что если номера множеств данного вида принадлежат одному и тому же полуинтервалу то эти множества имеют т-короны одинакового типа, доказывается также как и для п = 1.
Теперь перейдем к доказательству того, что границами полуинтервалов, указанных в условии теоремы, являются номера всех множеств вида Ед(в), входящих в Сгп(Е](ъ),т).
По предположению номер множества Е^(г), имеющего Сгп(Е](я), т — 1) принадлежит промежутку Пусть при переходе к Сгп(Е] (ъ), т) полуинтервал 1[ разбился на несколько полуинтервалов, т.е. II = и 1[2 и ... и II .
Каждая из границ указанных промежутков возникает в том случае, когда какое-то из неравенств вида (3) обращается в равенство.
В сиситеме неравенств вида (3) есть неравенства, записанные для множеств, принадлежащих Сгп(Е](£),т — 1) и неравенства, полученные для множеств из Сгп(Е](ъ),т), но не входящих в Сгп(Е](£),т — 1). Обозначим содержащиеся в этих неравенствах постоянные
через Сг и Сг соответственно. В таком случае система неравеств, записанная для Сгп(Е] (ъ), т), включает в себя два вида неравеств:
0 < г + С(т—1 < $ЕЯ (4)
и
0 < г + С4т)- < $Ед. (5)
Решением системы неравенств вида (4) является поуинтервал 1%. Значит, границы полуинтервалов 1[2, ..., 1[ч получаются при обращении в равенства неравенств вида (5), и новые
границы будут равны —С(т) ■ Зная, что каждому числу Срт) соответствует определенный
вектор Upm)(Ej(г)), а, следовательно, некоторое множество Е^«(г"), выясним что это за мно-
V '
жество. Целое число представим как
—С(гт)- = 1) —Сг//, (6)
ГУ(т-1) (т— 1)/-П7
где Сг, соответствует вектору и/г, (Ej(г)), проведенному из отмеченной точки множества Е^ (г) к отмеченной точке множества Е^/( г'), соседнего с множеством Еу'( г''), а число Сг" — вектору 1)гн, соединяющему отмеченные точки множеств Еу (г') и Еу/ (г''). Число С(т) отлично
1) 1) (т— 1)/-П7
от числа С^, , т.к. все числа С^, , соответствующие векторам иуг, (Е^(г)), являются границами полуинтервалов для номеров множеств Сгп(Е](ъ),т — 1). Следовательно, число С^- соответствует вектору и^,™)(Е^(г)), то те вектору 1)(Е^-(г)).
Заметим, что по предположению индукции числу —С^ 1) соответствует вектор, проведенный из начала координат к множеству Еу( г') из короны Сгп(То,т — 1). Из равенства (6) следует, что числу —С^ соответствует вектор, проведенный из начала координат в
множество Eft (г "), являющееся соседним с мн ожеством E j, ( г ') из Сгп(То,т — 1). Данный вектор не совпадает ни с одним вектором, проведенным из начала координат к множествам из Сгп(То,т — 1). По предположению индукции множество Еу/(г") не может принадлежать Сгп(То, m — 1) следовательно, это множество входит в Сгп(То, т).
Таким образом теорема 3 полностью доказана.
4. Заключение
В работе изучена локальная теория обобщенных перекладывающихся разбиений многомерных торов, построенных на основе теории геометрических подстановок Арно-Ито. Дано полное описание корон в таких разбиениях.
Рассматриваемые разбиения состоят из ci-мерных параллелепипедов d + 1 типа. Все параллелепипеды одного типа получаются из некоторого центрального параллелепипеда итерацией некоторого иррационального сдвига тора. Номер этой итерации определяет номер паралле-
п
ветствует однозначно определенный открытый справа полуинтервал на множестве номеров параллелепипедов. Границы таких полуинтервалов в точности совпадают с номерами параллелепипедов из п-короны Сгп(То, п) множества То центральных параллелепипедов разбиения (в случае ряда бесконечных разбиений плоскости аналогичное множество назвалось ядром разбиения [24]).
Дальнейшие обобщения исследования могут проводиться в следующих направлениях.
1) Обобщение результатов на произвольные обобщенные перекладывающиеся разбиения тора.
2) В случае бесконечных квазипериодических разбиений тора иногда удается получить
п
не связанных со сдвигами тора. Было бы интересно либо все же найти такую связь, либо получить конечный аналог метода "проекции и среза".
3) Число р(п) различных п-корон разбиения может рассматриваться как многомерный аналог функции сложности из комбинаторики слов [3]. Было бы интересно изучить поведение функции р(п) для обобщённых перекладывающихся разбиений торов. При этом легко показать, что р(п) > спа если п достаточно мало по сравнению с числом параллелепипедов в разбиении. Кроме того, очевидно, р(п) = ccmst при достаточно больших п. Таким образом в поведении функции р(п) имеется фазовый переход. Численное моделирование показывет, что даже в случае d = 2 таких фазовых переходов как минимум два. Было бы интересно найти асимптотические формулы для р(п) и получить описание всех фазовых переходов.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Arnoux P., Ito S. Pisot substitutions and Rauzv fractals // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin.
2001. V. 8, Issue 2. P. 181-207.
2. Floreik K. Une remarque sur la repartition des nombres m( mod 1 // Coll. Math. Wroclaw.
1951. V. 2. P. 323-324.
3. Lagarias J.C., Pleasants P.A.B. Repetitive Delone sets and quasicrvstals // Ergod. Th. Dvn.
Svs. 2003. V. 23. P. 831-867.
4. Pvtheas Fogg N. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics // Springer. 2001.
5. Rauzv G. Nombres algébriques et substitutions // Bull. Soc. Math. France. 1982. V. 110. P. 147178. *
6. Ravenstein T.V. The three gap theorem (Steinhaus conjecture) //J. Austral. Math. Soc. Ser. A 1988 V. 45. P. 360-370.
7. Schattschneider D., Dolbilin N. One corona is enough for the Euclidean plane // Quasicrvstals and discrete geometry (Toronto. ON. 1995), Fields Inst. Monogr. 10, Amer. Math. Soc. Providence. RI. 1998. P. 207-246.
8. Shutov A. V., Maleev A.V. Quasiperiodic planetilings based on stepped surfaces // Acta Crvstallographica. Section A: Foundations of Crystallography. 2008. V. 64, Issue 3. P. 376382.
9. Shutov A. V., Maleev A.V., Zhuravlev V. G. Complex quasiperiodic self-similar tilings: Their parameterization, boundaries, complexity, growth and symmetry // Acta Crvstallographica. Section A: Foundations of Crystallography. 2010. V. 66, Issue 3. P. 427-437.
10. Siegel A., Thuswaldner J.M. Topological properties of Rauzv fractals // Mem. Soc. Math. Fr. N.S. 2009. V. 118. P. 1-144.
11. Slater N., Gaps and steps for the sequence пв mod 1 // Proc. Camb. Phil. Soc. 1967. V. 63. P. 1115-1123.
12. Sos V. T. S. On the distribution mod 1 of the sequence па // Ann. Univ. Sci. Budapest Eotvos Sect. Math. 1958. V. 1. P. 127-134.
13. Swierczkowski S. On successive settings of an arc on the circumference of a circle // Fund. Math. 1958. V. 46. P. 187-189.
14. Zhuravlev V. G. On additivitv property of the complexity function related to rauzv tiling // Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory. 2007. P. 240-254.
15. Жукова А. А., Шутов А. В. Подстановка Рози и локальная структура разбиений тора // Чебышевский сборник 2019. Т. 20, вып. 4.
16. Журавлев В. Г. Двумерные приближения методом делящихся торических разбиений // Зап. научн. сем. ПОМП. 2015. Т. 440. С. 81-98.
17. Журавлев В. Г. Делящиеся разбиения тора и множества ограниченного остатка // Зап. научн. сем. ПОМП. 2015. Т. 440. С. 99-122.
18. Журавлев В. Г. Дифференцирование индуцированных разбиений тора и многомерные приближения алгебраических чисел // Зап. научн. сем. ПОМП. 2016. Т. 445. С. 33-92.
19. Журавлев В. Г. Индуцированные множества ограниченного остатка // Алгебра и анализ. 2016. Т. 28, № 5. С. 171-194.
20. Журавлев В. Г. Модули торических разбиений на множества ограниченного остатка и сбалансированные слова // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 4. С. 97-136.
21. Журавлев В. Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71, № 2. С. 89-122.
22. Журавлев В. Г. Разбиения Рози и множества ограниченного остатка на торе // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2005. Т. 322. С. 83-106.
23. Журавлев В. Г., Малеев А. В. Послойный рост квазипериодического разбиения Рози // Кристаллография. 2007. Т. 52, № 2. С. 204-210.
24. Журавлев В. Г., Малеев А. В. функция сложности и форсинг в двумерном квазипериодическом разбиении Рози // Кристаллография. 2007. Т. 52, № 4. С. 610-616.
25. Красильщиков В. В., Шутов А. В. Одномерные квазипериодические разбиения и их приложения // Владимир. ВФ РУК. 2011.
26. Кузнецова Д. В., Шутов А. В. Перекладывающиеся разбиения тора, подстановка Рози и множества ограниченного остатка // Матем. заметки. 2015. Т. 98, № 6. С. 878-897.
27. Мануйлов Н. Н. Самоподобие некоторых последовательностей точек на окружности // Зап.'научн. сем. ПОМП. 2003. Т. 302, № 19. С. 81-95.
28. Мануйлов Н. Н. Прямые перенормировки на одномерном торе // Зап. научи, сем. ПОМП. 2004. Т. 314. С. 142-154.
29. Шутов А. В. Перекладывания на торе и многомерная проблема Гекке-Кестена // Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. Т. 6, № 2. С. 249-253.
30. Шутов А. В. Подстановки и множества ограниченного остатка // Чебышевский сб. 2018. Т. 19,№ 2. С. 501-522.
31. Шутов А. В. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Зап. научи, сем. ПОМП. 2004. Т. 314. С. 272-284.
32. Шутов А. В. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2006. Т. 7, № 3. С. 110-128.
33. Шутов А. В., Малеев А. В. Сильная параметризация и координационные окружения графа вершин разбиения Пенроуза // Кристаллография. 2017. Т. 62, № 4. С. 535-542.
REFERENCES
1. Arnoux, Р. к, Ito, S. 2001, "Pisot substitutions and Rauzv fractals", Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin., vol. 8, issue 2, pp. 181-207.
2. Floreik, K. 1951, "Une remarque sur la repartition des nombres mod 1", Coll. Math. Wroclaw., vol. 2, pp. 323-324.
3. Lagarias, J.C. k, Pleasants, P. A.B. 2003, "Repetitive Delone sets and quasicrvstals", Ergod. Th. Dyn. Sys., vol. 23. pp. 831-867. doi: https://doi.org/10.1017/S0143385702001566.
4. Pvtheas Fogg, N. 2001, "Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics", Springer. doi: 10.1007/M3861.
5. Rauzv, G. 1982, "Nombres algebriques et substitutions", Bull. Soc. Math. France, vol. 110, pp. 147-178. doi: https://doi.org/10.24033/bsmf.1957.
6. Ravenstein, Т. V. 1988, "The three gap theorem (Steinhaus conjecture)", J. Austral. Math. Soc. Ser. A, vol. 45, pp. 360-370.
7. Schattschneider, D. k, Dolbilin, N. 1998, "One corona is enough for the Euclidean plane", Quasicrystals and discrete geometry (Toronto. ON. 1995), Fields Inst. Monogr. 10, Amer. Math. Soc. Providence. RI, pp. 207-246.
8. Shutov, A.V. k Maleev, A.V. 2008, "Quasiperiodic planetilings based on stepped surfaces", Acta Crystallographica. Section A: Foundations of Crystallography, vol. 64, no. 3, pp. 376-382. doi: 10.1107/S0108767308005059.
9. Shutov, A. V., Maleev, A.V. k Zhuravlev, V. G. 2010, "Complex quasiperiodic self-similar tilings: Their parameterization, boundaries, complexity, growth and symmetry", Acta Crystallographica. Section A: Foundations of Crystallography, vol. 66, no. 3, pp. 427-437. doi: 10.1107/S0108767310006616.
10. Siegel, A. k Thuswaldner, J.M. 2009, "Topological properties of Rauzv fractals", Mem. Soc. Math. Fr. N.S., vol. 118, pp. 1-144. doi: 10.24033/msmf.430.
11. Slater, N. 1967, "Gaps and steps for the sequence nd mod 1", Proc. Camb. Phil. Soc., vol. 63, pp. 1115-1123. doi: https://doi.org/10.1017/S0305004100042195.
12. Sos, V. T. 1958, "On the distribution mod 1 of the sequence nali, Ann. Univ. Sci. Budapest Eotvos Sect. Math., vol. 1, pp. 127-134.
13. Swierczkowski, S. 1958, "On successive settings of an arc on the circumference of a circle", Fund. Math., vol. 46, pp. 187-189.
14. Zhuravlev, V. G. 2007, "On additivitv property of the complexity function related to rauzv tiling", Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory, pp. 240-254.
15. Zhukova, A. A. k Shutov, A.V. 2019, "Rauzv substitution and local structure of torus tilings", Chebyshevskii Sbornik, vol. 20, no. 4.
16. Zhuravlev, V. G. 2016, "Two-dimensional approximations by the method of dividing toric tilings", Journal of Mathematical Sciences, vol. 217, issue 1, pp. 54-64. doi: 10.1007/sl0958-016-2955-2.
17. Zhuravlev, V. G. 2015, "Dividing toric tilings and bounded remainder sets", Journal of Mathematical Sciences, vol. 217, issue 1, pp. 65-80. doi: 10.1007/sl0958-016-2956-l.
18. Zhuravlev, V. G. 2016, "Differentiation of induced toric tilings and multi-dimensional approximations of algebraic numbers", Journal of Mathematical Sciences, vol. 222, issue 5, pp. 544-584. doi: 10.1007/sl0958-017-3321-8.
19. Zhuravlev, V. G. 2017, "Induced bounded remainder sets", St. Petersburg Math. J., vol. 28, pp. 671-688. doi: https://doi.org/10.1090/spmj/1466.
20. Zhuravlev, V. G. 2013, "Moduli of toric tilings into bounded remainder sets and balanced words", St. Petersburg Math. J., vol. 24, pp. 601-629. doi: https://doi.org/10.1090/S1061-0022-2013-01256-8.
21. Zhuravlev, V. G. 2007, "One-dimensional Fibonacci tilings", Izvestiya: Mathematics, vol. 71, no. 2, pp. 281-323. doi: https://doi.org/10.4213/im621.
22. Zhuravlev, V. G. 2006, "Rauzv tilings and bounded remainder sets on the torus", Journal of Mathematical Sciences, vol. 137, no. 2, pp. 4658-4672. doi: https://doi.org/10.1007/sl0958-006-0262-z.
23. Zhuravlev, V. G. k Maleev, A.V. 2007, "Layer-by-laver growth of quasi-periodic Rauzv tiling", Crystallography Reports, vol. 52, no. 2. pp. 180-186.'doi: 10.1134/S1063774507020022*
24. Zhuravlev, V. G. к Maleev, A.V. 2007, "Complexity function and forcing in the 2D quasi-periodic Rauzv tiling", Crystallography Reports, vol. 52, no. 4, pp. 582-588. doi: 10.1134/S1063774507040037.
25. Krasilshchikov, V. V. к Shutov, A. V. 2011, "One-dimensional quasiperiodic tilings and their applications", VF RUK, Vladimir.
26. Kuznetsova, D.V. к Shutov, A.V. 2015, "Exchanged toric tilings, Rauzv substitution, and bounded remainder sets", Mathematical Notes, vol. 98, issue 5-6, pp. 932-948. doi: 10.1134/S0001434615110267.
27. Manuvlov, N. N. 2005, "Self-similarity of some sequences of points on a circle", Journal of Mathematical Sciences, vol. 129, issue 3, pp. 3860-3867. doi: https://doi.org/10.1007/sl0958-
005-0322-9.
28. Manuvlov, N.N. 2006, "Direct renormalizations on the one-dimensional torus", Journal of Mathematical Sciences, vol. 133, issue 6, pp. 1686-1692. doi: https://doi.org/10.1007/sl0958-
006-0080-3.
29. Shutov, A.V. 2012, "Shifting on the torus and the multidimensional Hecke-Kesten problem", Scientific notes of Oryol State University, vol. 6, no. 2, pp. 249-253.
30. Shutov, A.V. 2018, "Substitutions and bounded remainder sets", Chebyshevskii Sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 501-522. doi: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-501-522.
31. Shutov, A.V. 2006, "Derivatives of circle rotations and similarity of orbits", Journal of Mathematical Sciences, vol. 133, issue 6, pp. 1765-1771. doi: https://doi.org/10.1007/sl0958-006-0088-8.
32. Shutov, A.V. 2006, "Number systems and bounded remainder sets", Chebyshevskii Sbornik, vol. 7, no. 3, pp. 110-128.
33. Shutov, A.V. к Maleev, A.V. 2017, "Strong parameterization and coordination encirclements of graph of Penrose tiling vertices", Crystallography Reports, vol. 62, no. 4, pp. 535-542. doi: 10.1134/S1063774517040216.
Получено 11.07.2019 г. Принято в печать 12.11.2019 г.
