Скорость убывания массы решения задачи Коши дважды нелинейного параболического уравнения с абсорбцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2020, Том 22, Выпуск 1, С. 13-32

УДК 517.944

DOI 10.23671/VNC.2020.1.57535

СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ МАССЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДВАЖДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

С АБСОРБЦИЕЙ

З. В. Бесаева1, А. Ф. Тедеев2

1Юго-Осетинский государственный университет им. А. А. Тибилова, Республика Южная Осетия, 100001, Цхинвал, ул. Путина, 8; 2Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: besaeva.85@mail.ru, a_tedeev@yahoo.com

Аннотация. В работе изучается задача Коши для широкого класса квазилнейных параболических уравнений второго порядка с неоднородной плотностью и абсорбцией. Хорошо известно, что для рассматриваемого класса задач без абсорбции и при условии, что плотность стремится к нулю не слишком быстро, имеет место закон сохранения тотальной массы. Однако этот факт не всегда имеет место при наличии абсорбции. В данной работе найдены точные условия на характер нелинейности и поведения неоднородной плотности на бесконечности, которые гарантируют стремление к нулю тотальной массы решения при неограниченном возрастании времени. Другими словами, найден критерий стабилизации к нулю тотальной массы решения в терминах критических показателей. С помощью полученных результатов и локальных оценок типа Нэша — Мозера выводятся точные оценки решения в равномерной метрике.

Ключевые слова: задача Коши, вырождающиеся параболические уравнения, неоднородная плотность, абсорбция, критические показатели.

Mathematical Subject Classification (2010): 35K92, 35B33, 35E15.

Образец цитирования: Бесаева З. В., Тедеев А. Ф. Скорость убывания массы решения задачи Коши дважды нелинейного параболического уравнения с абсорбцией // Владикавк. мат. журн.— 2020.—Т. 22, вып. 1.—С. 13-32. DOI: 10.23671/VNC.2020.1.57535.

1. Введение

В данной работе рассматривается задачи Коши для решения квазилинейных вырождающихся параболических уравнений вида

p(|x|)ut — div A(x, t, u, Vu) + g(x, t, u) = 0, (1.1)

(x,t) € s : RN x (0, то), удовлетворяющих начальному условию

u(x, 0) = uo(x), x € RN, p(s) > 0, 0 < s < то, uo(x) ^ 0, puo(x) € Li (Rn). (1.2)

На протяжении всей работы предполагается выполнение следующих условий. Вектор-функция A(x, t, u, £) = (Ai(x, t, u, £),..., An(x, t, u, £)): RN xR+ xRxRN ^ RN и g(x, t, u):

© 2020 Бесаева З. В., Тедеев А. Ф.

RN х R+ х R — R удовлетворяют условию Каратеодори, т. е. измеримы по переменным (x,t) € RN+1 и непрерывны соответственно по переменным u € R, £ € RN. Функция p(s): R+ — R+ непрерывна монотонно убывающая функция по s € [0, то]. Кроме того, предполагается выполнение следующих структурных условий: существуют положительные постоянные и такие, что

^ wieip iuim-1, (1.3)

|A4(x,i,u,o| < ^2ieip-1 iuim-1, (1.4)

^2|u|q ^ signu, g(x,t,u) ^ ^iui9. (1.5)

Кроме того, выполнено условия монотонности: для любых двух векторов £ = (£1,..., £n) и П = (П1,..., Vn), для любого u € R, т. е. для (ж, t) € RN х R+ выполнены неравенства

(A(x, t, u, £) - A(ж, t, u, n)) (£ - n) ^ 0, (1.6)

[g(x,i, u1) — g(x,t,u2)] [u1 — u2] ^ 0 (1.7)

для всех £1 и П2 из RN. Постоянные p, m, q удовлетворяют следующим условиям:

1 <p + m — 2, q > 1, p > 1. (1.8)

Предположим также, что функция p(s) для всех s > 0 удовлетворяет условию H: Существуют такие положительные постоянные ¡1 и ¡2, причем ¡1 < p, что функция p(s)s1x монотонно убывает, а функция p(s)sl2 монотонно растет. Примером уравнения (1.1) является

p(ixi)ut = Am,pu — iuiq-1u, (1.9)

где

Am>pu := div (iuim-1 iVuiP-2Vu) и p(s) ~ s-1, s ^ 1, 0 < l < p. Здесь символ ~ — наличие двусторонней оценки

C1S-1 ^ p(s) ^ C2s-1 (Vs ^ 1, C1,C2 > 0). (1.10)

Для уравнения

p(ixi)ut = Am,pu (1.11)

с конечным интегралом ||puo||1 := JrN puo dx, который принято называть тотальной массой или просто массой начальной функции, при выполнении, например, условия (1.10), справедлив закон сохранения «массы» (см. [1]):

||puo||1 = ||pu(t)||1 (Vt> 0).

В работе [1] для задачи (1.1), (1.2) с p(x) = (1 + iжi) 1, l < p, g(x,t,u) = 0 установлена равномерная оценка решения

^ JV-i

||«(i)||oo := 1КМ)||Ьоо(к") < C\\puo\\i t 4 (1-12)

для любых t > 0. Кроме того, из [1] следует, что если

suppuo(x) С Br0(0) := {ж € RN/ixi < Ro}, Ro < то,

то вирри(х,£) принадлежит шару 0), где

р-\-т — 3

■ ч

Е^) = 4Е0+ 7Р0РЦ1 1 ^I. (1.13)

Однако наличие абсорбирующего слагаемого в уравнении (1.1) может существенно изменить качественные свойства решений. В частности, тотальная масса ||ир||1 решения может стремиться к нулю при Ь — то. Указанный феномен имеет место при р(з) = 1. В этом случае (1.9) допускает «плоское» решение вида

1

и(1) = С(р)(£ + Т)".

Кроме того, для (1.9) справедлива также оценка (1.12) с I = 0. Таким образом, по теореме сравнения для решения задачи Коши (1.9), (1.2) имеет место оценка

Г 5 N 1 1 1К*)||оо ^СтЦНздН^--, Г—| (1.14)

при Ь > 1. Здесь в = N(р + т — 3) + р.

Очевидно, что в (1.14) при достаточно больших Ь

и условии, что ^ < -фп-, т- е-

1

|«(*)||оо (1.15)

* I г» I Р

д<д =р + т — 2 + —

Оказывается, что в этом случае ||и(Ь) 11 — 0 при Ь — то и можно указать точную оценку массы решения. Подойдем теперь к этой же проблеме шире. Из оценки ¿1 — типа Нэша — Мозера (см., например, [2]), имеем

и(*)||оо < С и(-) (1.16)

Теперь, если иметь точную по порядку оценку массы при достаточно больших Ь, то можно снова прийти к тому же результату (1.14). Однако такой подход может быть применен к более широкому классу уравнений, а оценка массы решения, как это будет видно ниже, сводится к локальным энергетическим оценкам, имеющим в определенном смысле универсальный характер. В данной работе используются подходы работ [2-5] при изучении точного поведения тотальной массы решения задачи (1.1), (1.2) при Ь — то.

Отметим, что исследование уравнения (1.11), представляет независимый интерес. Известно, что [6-8] в зависимости от скорости стремления к нулю на бесконечности р(ж) решение задачи (1.1), (1.2) обладает рядом нестандартных свойств. Укажем здесь на работы [9-17]. Оценкам массы решения для различных классов вырождающихся параболических уравнений были посвящены также работы [9, 10] (см. также имеющуюся там литературу). Прежде чем перейти к формулировкам основных результатов работы введем понятие решения (обобщенного) задачи (1.1), (1.2).

Решением задачи (1.1), (1.2) в Б = х (0, то) будем называть функцию и(ж,Ь), которая для любых £ > 0, Т > <7 = удовлетворяет условиям и° (х, ¿), принадлежит классу

ЬР(1,Т) х ПС([*,Г] : Ь1+аА1х1)(^)) пу ((¿, Т), х)

1

р

и удовлетворяет интегральному тождеству T

Ям

— «(ж, т )пт (ж, т )р(|ж|)) + ^ t, u, Vu)nx + g(x, t, u)n(x, т ) j dxdr (1.17)

i=1

для любой г)(х,т) = 0 при т = t и т = Т, г)(х, t), г)-? € Li+cr(p(|x|)(t, Т) : L1+i, р(|ж|)),

"Т" (7

i^(M) € Lp((t, Т) х nL9+i((i,r),L9+i).

Кроме того, t) удовлетворяет начальному условию

lim [ и(ж, t)p(|x|)C(x) = / uo(x)P(x)C(x)

Существование решения (1.1), (1.2) доказывается точно также, как в работе [1]. Единственность энергетического решения в случае p(s) = const и начально-краевой задачи Коши — Дирихле хорошо известно. Таким образом, если supp u0 С Br0 , т. е. для начальной функции с компактным носителем единственность решения (1.1), (1,2) гарантирована.

Основные результаты работы содержаться в теоремах 1.1—1.5.

лт__р_

Обозначим Ф(R) := R «-(г+™-2)

Теорема 1.1. Пусть u(x,t) —решение задачи (1.1), (1.2) в RN х (0, то) и выполнены условия (1.3)—(1.7) и условие H. Предположим, что Ф(Л) для всех R > 0 строго монотонно убывает и

$(R) ^ 0, R ^то. (1.18)

ВД:=/„(|х|Мх,()^7 J р(|,|)М„(,)Л.. + 7Ф(й(()), (1.19)

Тогда

" I«,

RN\'L~,R(t)

_ p(q-1)

где R(t) — функция, определяемая из соотношения p(R)Ri-(p+m-2) для любого t > 0.

Теорема 1.2. Пусть u(x,t) —решение задачи (1.1), (1.2) в RN х (0, то) и выполнены условия (1.3)-(1.7) и условие H. Предположим, что существуют положительные постоянные Ci, C2 такие, что для всех R > 0

Ci < $(R) < C2. (1.20)

Тогда при достаточно больших значениях t выполняется оценка

1

E(t)^~f[\nt] я-i. (1.21)

Теорема 1.3. Пусть u(x,t) — решение задачи (1.1), (1.2) в RN х (0, то) и выполнены условия (1.3)-(1.8), q > q*, suppu0 С Br0, p(|x|) = const(1 + |x|)-1, 0 ^ l < p. Тогда для достаточно больших значениий времени t существует Y = y(||uop||i, ^1, ^2) такое, что

E(t) ^ 7^(0). (1.22)

Теорема 1.4. Пусть и(ж, Ь) —решение задачи (1.1), (1.2) в х (0, то), вирр и0 С Вд0 и выполнены условия (1.3)-(1.7), условие И, д = р + т — 2. Тогда для достаточно больших Ь имеет место оценка

р+т —2 1

E{t) < 7 [p(ln i)] f+m-3 (In i)wf . (1.23)

Теорема 1.5. Пусть u(x, t) —решение задачи (1.1), (1.2) в RN х (0, то), suppu0 С BRo, I1+0 < то для некоторого 0 > 0, 1 < q < p + m — 2. Пусть еще выполнены условия (1.3)-(1.7) и условие H. Тогда существует постоянная C, не зависящая от t, такая, что

1

E(t) < . (1.24)

Рассмотрим частные случаи результатов теорем 1.1—1.3. Если p(s) = (1 + s)-1, s ^ 0, 0 ^ l < p, то согласно результатам теорем 1.1-1.3

i<p + m + 2 + -^_ :=gf. (1.25)

(.q*-q)(N-l) _ (.q*-q)(N-l) _ q-(p+m-2)

Тогда Ф(Д) ~ Д g-(p+m-2) ; ^ 7_R(i) «-(г+™-2) , где E(i) ~ ¿(р-0(<г-(р+™-2))+Р+т-з; при

1

q = qf : E(t) < 7(lni) > 1. Если же q > qf, то E(t) ^ 7, i > 1.

Таким образом, q* в (1.25) играет роль критического показателя для задачи (1.1), (1.2). Всюду в дальнейшем параметрами 7, C, с, будем обозначать различные постоянные, которые зависят лишь от параметров задачи pi, p2, N, p, m, q и не зависят от размеров области решения задачи.

Работа организована следующим образом: в § 2 даются вспомогательные утверждения, §§3-7 посвящены доказательствам теорем 1.1-1.5 соответственно.

2. Вспомогательные утверждения

В дальнейшем нам потребуются следующие леммы (см. [17]).

Лемма 2.1. Пусть последовательность yh, h = 0,1, 2,..., неотрицательных чисел удовлетворяет рекуррентному соотношению

yh+i < Cbhyh+£, h = 0,1,...,

с какими-либо положительными постоянными C, е и b ^ 1. Тогда yh — 0, h — то при _ 1 1

условии, ЧТО у о ^ С £ Ъ^1.

Лемма 2.2. Пусть yn, n = 0,1, 2,... , — последовательность равномерно ограниченных положительных чисел, удовлетворяющих рекуррентным неравенствам

yn < Cbnyn+a,

где С, Ъ > 1 и а € (0,1) — заданные постоянные. Тогда уо ^ ( -ггт ) " •

\Ь а /

Пусть да) := Rn(p+m-3)+Pp(R)P+m-2.

Лемма 2.3. Пусть supp uo С Br0 и выполнены условия теоремы 1.1. Тогда для любого t > 0 имеет место оценка

Z(t) := inf {r : u(-,t) =0, |x| > r } < 4R + 7^(-1) (t|uop|?+m-^.

< Обозначим

ri = f ~ azR + § (°2 - (Ti), г" = R + a2R - ^ (<72 - (Ti),

где г = 0,1,..., R > 4R0, \ > а2 > (Т\ > 0. Пусть Ai = г- < \х\ < г" С Рассмотрим срезающую функцию пг такую, что пг = 1, x € Ai, пг = 0 вне Ai+1, |Vn.| ^ Y(2-iR(^2 — ^i))-1. Возьмем в интегральном тождестве в роли тестирующей функции rfi-1u°, где в > 0. Тогда, рассуждая также как в [18], получим неравенство

t t sup / pu1+0np dx + / / um+0-2|Vu|pnp dxdr + / / np dxdt

0<T<t J J J J J

RN 0 Rn 0 Rn (2 1)

t (2.1) < Y(2-iR(^2 — ai))-P J J up+m+0-2 dxdr.

o Rn n supp n

p+m + 9-2 sp p sp(l + B)

Обозначим u p r?f = s > 0, т. е. ur]tp+m+e-2 = v?+m+e-2. Значит, u1+6r?ip+m+e-2 = p(l+9) ,

V? при условии, что 8 выбрано удовлетворяющим неравенству _|_га+е-2 > 1- Кроме

того,

/ р+то + 9-2 \ Р

^ 2p

-1

Р + Ш + ^ 2Уит+в~2 |Vu|pr?f + |Уг?г|рг?ГР

p J

Р

< Yum+'-2 |Vu|PnT + Y [2-iR(^2 — ^1)] -Pup+m+0-2nsp.

Таким образом, из неравенства (2.1) получаем, что

t t

Ji := sup / pv" dx + / / |Vvi|p dxdr + / / npup+0 dxdr 0<T<t J J J J J

0

(2.2)

2ip p ^ 7t-^"гг" / / dxdr,

>2 - <Ti)rRr J J 1+1

где a = Применяя неравенство Ниренберга — Гальярдо, получаем

1 —се

J vp+1 dx J < y (/ |VVi+1|p dx J П V+1 dx J , (2.3)

N (М-р)а . N(1-а) р М(»+т+0-3)

где а определяется из условия - = + = Р+ш+в-2> т. е. а = ^„^.з^ ■

Возводя (2.3) в степень р и применяя неравенство Юнга, получаем

£

I vpi+ldxíí,£ I \\7Уг+г\р dx+ I [ Vi+l|J,dx

Интегрируя по времени обе части этого неравенства и замечая, что в силу условия И

<+1 ^ =

А,

+1

А

р(|ж|)р(|ж|) 1 ^ < 7р(Е) 1 ^ р^ ^

+1

приходим к неравенству

1 №

ъ ъ

о

о

вир / ^ж

0<т<Ъ J

(2.4)

Следовательно, объединяя (2.2) и (2.4), имеем

се се

■Ь ^ £</¿+1 + 7е Д 1-аЬр(К) м вир / рь^с!х

0<т<Ъ .

Итерируя это неравенство, получим

< 7Д~~£р(Д)"

вир / (рг>^ ^ж)

о<т<ъ

Далее, применяя неравенство Гельдера, с учетом И получаем

р^ж

вир / ри ^ж

0<т <ъ7

Ао

<

вир / ри + ^ж

0<т<ъ)

Ао

1

1+0

9 1+0

1

<

9 1+0

р^ж

А0

_р_ 1

-а

^ (1 + 0)(1-а) ¿1 + 0 р(Д) М 1 + 0 + 1 + 0 #1 + 0

вир / ри ^ж

0<т<Ъ .)

А0

у

м(1+0)

Заметим, что

(2.5)

(2.6)

Л = - <71 < |ж| < Д(1 + аг), Аоо = Д(2"1 - <т2) < |ж| < Д(1 + <т2).

Выберем: <72 = 52~п, а\ = 52~п~1, п = 0,1,... , 0 < 5 < Тогда после элементарных упрощений и подсчета постоянных находим из (2.6), что

1 ЛГ(р+то-3)+р

р+т-2 1 +

Мп := вир / ри <1х ^ К 1+в р(Д) 1+в Мга_1

р-|-т — 3

1+0

0<т<1

Вп

где 13га = —52 п 1 < |ж| < Д(1 + 52 п В силу итератированой леммы 2.1 выво-

->П — ^2

дим, что Мп — 0, п — то, если

1 ЛГ(р+т-3)+р

7*^0 д ' 1+0 "" р(д) - ^жг" м0 1+9 <£1}

У+га-2

где — достаточно малая постоянная, зависящая лишь от данных задачи. Этого можно добиться подходящим выбором Я. Выберем Я из следующего равенства:

^(Я) = 271+е Шр+т-3е-(1+б),

или отсюда

Я = Д(*) = ^(-1) (ГШр+т-3),

где М0 = рзд^ж. > Обозначим

1П+1 := У р^П+1 ^ж + J ! |У^га+1|р ^ж^т

Ап+1 0 Лп+1

г г

+ / / П™ ^т <

V™ ^ж^т,

стРЯР ' ' "га о

Я Я 1

Ап = В!п< \х\ < В!п = - - и—, Я" = Я + а2~пК, У а : 0 < а <

р+т + в-2

где в > 0, Ь\ > 2, уп = и р г)п и г)п — срезающая функция Справедлива Лемма 2.4. В условиях предыдущей леммы имеет место неравенство

Уи+1 ^ 7

2«р

(1+9)р

£ /3+0Р

■Г™

1+

Ор р(р+т+9-2) п

аК р(Я)

р(р+т — 3) /3 + 0Р

< В силу неравенства Соболева — Ниренберга — Гальярдо

У V™ ¿ж) < 7 I у |У^„|Р ^ж) I у < ^ж

1-Ь

а

(2.7)

где в = N(р + т - 3) + р. (2.8)

Здесь 0 < Ь < 1 определяется из соотношения ^ = № р)ь (1 Значит,

(1+0)р г, N(р+т-3) уг о о

= р+т+е-2> Ь = м(р+т-з)+(1+в)р- Далее, рассуждая как в лемме 2.3, получим

о км

ч0

* / ' / \ - N

^ж^т ^ 7 I У У | VV™ |р ^ж^т ) У I У ¿ж ) ^т

1-Ь

\о

/

.1-6

< 7 I УУ V™ |р ^т ) £

/

8Ир / р^П ^ж 0<г<и

,+£(1-6)

р(Я)

Теперь, если воспользоваться аналогичным (2.1) неравенством, придем к требуемому утверждению. >

п+1

а

г

V

ь

г

3. Доказательство теоремы 1.1

Имеем

Е(Ь) := У р(|ж|)и(ж, Ь) ^ж =1 р(|ж|)и(ж, Ь) ^ж + J р(|ж|)и(ж,Ь) ^ж := /1(Д) + /2(Я). (3.1)

Вд |ж|>Я

Применяя неравенство Гельдера, получим

ч

^ _/ ^ J <1х

В силу леммы 2.4 и неравенства (1.6) имеем

(3.2)

j ^ 1 У д(х, и) (1х ^ 1 У д(х, и) (1х = — 1 (3.3)

Зд Вд

Вд Вд

Следовательно, из (3.1)—(3.3) выводим

-1 / ¿ЕЛ« д-1

я") ^т—ик),

(3.4)

где ц>\{В) := /Бд р(|ж|)¿ж. В силу условия Н ф\{В) ~ Км р(К)ч-1. Для оценки /2(Д) поступим следующим образом. Пусть Щ = Щ(1 + 2-г), г = 0,1, 2,... Пусть £ (ж) — гладкая функция на (0, то) и такая, что £ (ж) = 1 для |ж| ^ Щ, ((ж) = 0 для |ж| ^ 0 ^ £(ж) ^ 1 для < |ж| < Щ. Обозначим !!г = |ж| > Умножим теперь обе части (1.1) на £5(ж) и результат проинтегрируем по х [0, Ь). Это даст

ъ

С5(ж)р(|ж|)и(ж, Ь) ^ж + 1 У д(ж,Ь,«Х^(ж) ¿ж^т

0

У У 5-1 ^ а^(ж,Ь, и, У«)(а- ^ж^т + I (5(ж)р(|ж|)и0(ж) ^ж.

0

г=1

В силу (1.4), (1.5) отсюда получаем, что

У Ои^ж + У¿ж^т < в^У Уит-1|Уи|р-1|У(|С'-1 ¿ж^т +1 С'ри0 ¿ж. (3.5) 0 0

Обозначив первый интеграл справа через е(Я, Ь), оценим его по неравенству Гельдера

У У тв ит-1-0 |Уи|р(5 ¿ж^т

0 п Бирр УС

р-1

р

У У т-в(р-1)(5-р|УС|ри(ж, Ь) ЛЫт

р-1 1 = (3-6)

ъ

ъ

ъ

ъ

X

где 0 < /3 < —в = ^тг- Заметим, что в силу условия Н имеет место неравенство

p- 1 p

t

/4 < sup -i- / / T-^-V^lVCIV

хев2Л\Br P(|x|) J J

0 RN

1

^ct^^- sup [ pu(x,r)dx. (3.7)

P(R)Rp 0<T<t J

Ui+1

Далее, для оценки /3 умножим обе части (1.1) на тви1 6£5 и результат проинтегрируем по частям по RN х (0, ¿). С учетом (1.3)-(1.5) и неравенства Юнга, это даст

t t ^ 11 т^ут~1~в^(1х(1т +/ У

0 rn 0 Rn

t t (3.8)

< J J T^-lpv2~eCdxdT + J J T^um-1+p-eCs~pdxdT =: /5 + h.

0 RN 0 RN

В силу неравенства Юнга имеем

t

h^ei I I т^и9+1~вС dxdT + C(ei) [ [ т13'^ p^ (\x\)u(s dxdr.

Заметим, что второй интеграл в правой части (п.ч.) этого неравенства оценится следующим образом:

1_1_Я 9-9 1-е Г

п.ч. < Cti+,i~~p(R)~ sup up(sdx. (3.9)

0<T<t

rn

Далее имеем по неравенству Юнга t

ЯД , 1 о гр(а + 1-в) p(q+1-9)

T^uq+1~e(sdxdr + C(ei)2i-(p+™-241+l3RNR «-(р+™-2). (3.10)

0 RN

Таким образом, из (3.8)—(3.10) выводим при достаточно малом £1 > 0 t t

тeum-1-0|Vu|pZsdxdT + J J Teuq+1-0ZsdxdT

0 RN 0 RN

14-Я 4-9 1-е f . л r p(q+l-e)

^ Ct1+l3~^p(R)^ sup Cupdx + cblRN~^+^)tl+l3,

0<T<t

RN

где b > 1. Обозначив

(3.11)

sup / pudx = /i+1,

0<T<t

Ui+1

/3(p-l) 1

Г ~R~lp(R)~v =Bi{R,t),

1-е р-1

(p-l)(q+l-é>) 1 + /3 JV(p-l)

Д 1-(p+m-2) t p Д p = B3(R,t)

и объеденив (3.6)-(3.11), получим

sup / Z8updx 0<т <tJ

+ biBa(R,t) /р+г (3.12)

Оценим (3.12) по неравенству Юнга следующим образом:

/Р q-(p+m-2) Г

pudx + ^R р-1 р (р-1)(ч-1) sup / (spudx

0<T<tJ

Ui+1 Rn

. p ]\t__p__gp—1 l £

+ Ь1*р-1Д p-n-(p+".-2) р(д) P-1 =£2№+i(i) + 7 - p(g_D

_р(Д)Д<г-(р+™-2)

Î ,8 1 T~i t p(R)RN

x sup (updx + rfh- p(g-1) — p

о<r<t J p(R)Rq-(p+m~2) E"?-(p+m-2)

q—(p+m —2) (p-l)(q-l)

(3.13)

RN

Имеем

p-i

e(R,t) < YBi(R,t)B2 p (R,t)

sup / Z8updx

0<T<t

p-i

^ e p-1

sup / Z8updx

0<T<t

+

P

p-i

Bi(R,t)B2 p (R,t)

ij+i

"A P " 1 ^

+ 4 - /i+i + 4 - /i+i + e2 *)52(Д, i)] p-i.

p p

P

Вычисляя (Я,= S,

<Г) _ 1 - p p

1.4. < SIi+1 + £2{.S) --[B\(R, t)B2(R, i)] ,

P

p

h < ¿/¿+i + b\ [B\(R, t)B2(R, i)] ^, выбирая ô настолько малым, что ôbi < 1. Здесь p := sup0<T<t ]и. pu(x,TВыберем теперь Я = R(t) = ТФС"1) (i), где Г достаточно большое число. Тогда щщ ^ ¿(Г), где

q-(p+m-2)

для сколь угодно малого ¿(Г) выполняется 7$ (р-1)^-1) < Наконец, из (3.4) и (3.13) выводим

/j,i(t)dx^ 7 [ uppdx + £pi+i(t) + 7^ _

J_ Rit) î-(P+™-2)

M>-R(i)

Итерируя это неравенство при достаточно малом е2 > 0, получим оценку

f , р(Д)ДМ , ч

Po(i) ^ 71 / mpdx + 72 =— p := ^(i).

E(t)<ï-(p+™-2)

p

p i

1

p

P

Таким образом, /2(Я) ^ Е2(£). Значит, из (3.4) имеем для 0 < т < £

Нт) = Е{т) - Е2® < /X"1 ( - * д^^рСад)^

Интегрируя это неравенство от 0 до £, приходим к требуемому утверждению. Теорема 1.1 доказана.

4. Доказательство теоремы 1.2

Из (1.1) имеем

(И

J ри(ж,£) ^ж = — У д(ж,£,и) ^ж. (4.1)

Применяя неравенство Гельдера и (4.1), получаем

1 д—1 д—1

J ри(х, Ь) с1х ^ (J ид йх\ ( J рч^1 йх\ д{х1 t,u)dxj ( J р^1 йх \

1 д—1

< (4.2)

Вп Вп

Так как носитель начальной функции содержится в шаре Вд0, то согласно лемме 2.3 носитель и(х,£) также содержится в шаре радиуса = АЯо + 7Следовательно,

^смЩ)м(-д-1)р(Щ)у. (4.3)

Вп

дг__2_

Поскольку по условию теоремы С\ ^ р{К)К ?-(р+™-2) ^ с2 дЛЯ всех достаточно больших К > то по определению получим, что при достаточно больших £ > ¿1(Яо, 11иорУ1)

Я^-^рЩ9-^ (4.4) Таким образом, из (4.2), (4.3), (4.4) находим

й I , .4 , .

Интегрируя это неравенство в промежутке [£1, £], приходим к требуемому утверждению. Теорема 1.2 доказана.

5. Доказательство теоремы 1.3

Прежде всего отметим, что если р(|ж|) ~ |ж| 1, 0 ^ I < р, и виррио С Вд0(0), Яо < то, то для всех £ > 0 имеют место оценки [1]

1К*)||оо ^С\\рио\\1Ч »1 , (5.1)

1

вирри(ж,Ь) € Вд(Ъ)(0), (5.2)

р-\-т — 3 1

где ((¿) = 4Е0 + 7||рзд|| ^ thl, 1ц = (Ж - + т - 3) + р - / > 0. Следовательно, интегрируя (1.1) по ^(Ь1,Ь2) = х (Ь1,Ь2), Ь1 < Ь2, получаем

Ъ2

Ж.,) := / р»(х, (1) <£).' = / М*. ь) + /1 „(*,«) «т

Ъ1

Ъ2

^ Е(Ь2)+ Р2 У У и9(ж, т) ^т. (5.3) Ъ1

Учитывая оценки (5.1), (5.2), отсюда имеем

Ъ2 Ъ2

и9(ж, т) ^т ^ 7 у ||и(т) ¿т х Е(т) ^т

Ъ1 Ъ1

Ъ2

/р(ч-1) / р+т-3

£(0) ^ МЕо+7^(0) ^ ТнЛЕ{Т)(1Т

Ъ2

р(я-1) I (р+т-3)г г (м-1)(д-1) _г_

<7Я(*1)Я(0) Н1 + Н1 т Н1 тк1 (1т (5.4)

1

(р+т-3)г Л-

прн условии, что ¿1 выбрано настолько большим, что 2До ^ 7-^(0) к1 ■ Тогда в силу того, что д >

те

Г (М-1)(д-1)-1

Т Н1 <1т < оо.

1

Следовательно, из (5.4) получаем, что

ь?{х,т)(Шт^ 7^ г £(0) ^ £(¿1). (5.5)

Ъ1

Окончательно из (5.3) и (5.5) находим

_(М-1)(ч-ф р(ч_1)+(р+т_3)г

£(¿1) < Я(*2)+Т*1 к1 Е{0) *ч Е{и). (5.6)

Теперь, выбирая ^ достаточно большим, имеем

_(лг-0(,-,«) р(ч_1)+(р+т_3)г х 7^1 Я(0) =2»

а из (5.6) поучаем, что

Е(Ь2) ^ 7Е(Ь*). (5.7)

Осталось показать, что Е(Ь*) > 0.

Лемма 5.1. Решение (1.1) не может удовлетворять условию и(ж,£о) = 0, V ж € KN и V£о > 0.

< Доказывается точно также как в работах [2, 4]. > Теорема 1.3 доказана.

6. Доказательство теоремы 1.4

Итак, пусть ^ = р + т — 2. Нам потребуется следующая лемма Стампаккия.

Лемма 6.1. Пусть — неубывающая неотрицательная функция, определяемая на [ко, оо], и такая, что для всех I > к * ко выполняется

С

(6.1)

где С и т — положительные постоянные. Тогда для любого к > ко имеет место оценка

ф) < фо) ехр [1 - (Се)~г (к - к0)]. (6.2)

В силу леммы 2.4

г

Г„+1 := вир / ри1+б^ж + / [ иб+т-2 |Уи|Р ¿жйт о<т<г .! .1.1

Ап+1 о А.

п+1

t (1+в)р 1+(р+";-з)р

+ / / -, (6-3)

и, следовательно, УП ^ 0 при условии, что

(р+т-3)р (1 + 9)р р(р+т + 9-2)

где е — достаточно малое положительное число, зависящее лишь от параметров задачи. Предыдущее неравенство эквивалентно неравенству

Пусть

р(Я) := У У иР+т-2+б^Ыт. 0 И>|

Тогда легко получаем неравенство <р(Я) ^ 7Д Взяв теперь в лемме I = К, к = ^,

т = р, С = 7, получаем, что

3Я

' г

У У иР+т+б-2ЛЫт

.о

ехр(—7Я).

Далее заметив, что pu0 € , имеем

t t 1 г ^ ' f f - — • ^ ' up+m+e~2dxdr < -A- I pu\+edx.

Jpu1+edx + in J Jum+e~2\Vu\pdxdr + щ J Jup+m+e~2dxdT < Jpu¿H

1+0

RN 0 RN 0 RN Rn

Следовательно,

3R

^ 7 У ^^ ехр(-7Д).

4*/ V

Таким образом, (6.4) удовлетворится, если

(\ p+m-3

J pu!+6dx J exp ( - y(p + m - 3)R)R-(e+p0)p(R)-(p+m+6-2) < £1, (6.5)

RN /

где £1 достаточно мало. Очевидно, что (6.5) будет выполнено, если для достаточно больших t > 0 выбрать R следующим образом: R ^ R(t) := Г log t, где Г = Г(||и0,£1) — достаточно большая константа. Тогда мы приходим к замечанию, что u = 0 вне шара Br log t. Для доказательства теоремы осталось оценить массу решения для достаточно больших t. В силу неравенства Гельдера

pudx ^ I / pu + dx

в

We ( \

p dx

\БГ log t )

(6.6)

Следовательно, оценка массы сводится к оценке интеграла

£1+0(£) := J ри1+б¿ж.

Интегрируя (1.1) по RN легко получить неравенство

I ри1+Чх < -7 I up+m+e-2dx. (6.7)

Применяя неравенство Гельдера, получаем

1 + 9 р+т-3

(\ р+т + 0-2 / \ р+т + 0-2

у ^р+т+е-2^ у рР+++!з2 ¿д. ) (б 8)

/ /

(1 Р+т-З Р+т + 9-2

< (¿), 0 < £ < Т, (6.9)

р+то + 9-2

где -С(Т) = ]Вг1 т р р+т-з (х)йх. Интегрируя (6.9) в пределах от 0 до Т, получаем, что

1+9

^1+(?(Т)^7Т Р+™-З£)(Г).

Наконец, объединяя это неравенство с (6.6), получаем

в 1

f ( Г \1 + в__l_f f v+m + e- 2 V +

/ pu(x,T)dx^ 7 / pdx\ T p+m-3 I / p p+m-з (ж) dx I

Rf Br log t ' Br log T '

p+m — 2 дг 1

= 7pP+m-3 (log T) (log T) T .

Теорема 1.4 доказана.

7. Доказательство теоремы 1.5

Из неравенства (2.7) следует, что

t t Yn+i := sup У pv^+idx + J J |Vvn+i|pdxdr + J J vn+idxdr

An+1 0 An+i 0 An+i

t

2np f f J

0 Rf

где a — {l+e)p v- {q+e)p

1ДС " p+m+0-2' ^ p+m+0-2'

Далее, условие q < p + m — 2 позволяет применить тройное мультипликативное неравенство типа Соболева — Ниренберга — Гальярдо. Для получения этого неравенства поступим следующим образом:

У vndx < y I у |Vvn|pdx I М vndx I , (7.2)

Rf \Rf / \Rf /

где B определяется из соображения размерности

N (N — p)B N (1 — B) (1 + 0)p p(q + 0)

_!---^ a<i)<u^ a =-^-—-, v

(7.1)

p p b p + m + 0 — 2 p + m + 0 — 2

Применяя неравенство Гельдера, имеем

У-Ь

У vn dx < I у vn dx I I У vn dx I . (7.3)

Rf \Rf / \Rf

Соединяя неравенства (7.2) и (7.3), получаем

^ ( ( \ v — a i \ v — a \

/ vn dx < Y (/|Vvn|Pdx) i/ < dxI if vn dxI

\ \rn J \Rn J J

(7.4)

Теперь подберем параметр b так, что

b v — a

Вычисления дают

Замечая, что

в = М{р - Ъ) ь= ри

N (р — Ь) + Ьр' р — а + V '

У г>П^ж ^ 7р(Я)-1 У р^П^ж

и интегрируя по времени (7.4) с учетом (7.5), получаем

г /г

У У ¿ж^т ^ 7 I У У |У-ига|р^ж^т£ У У г>П^ж^т

о \о о

(1-Д)р

ь „-ь (1-д)р

х вир / р<с?ж р(Е) ь . (7.6)

"и'-

о<т<г

Следовательно, из (7.1) и (7.6) вытекает

Л-2гаР Ь-а (1~Д)р 1 + -^

—>■ 0 при п —>■ оо.

(СТ Я )р

Вычисления дают

г

I7! = вир / ри1+в<1х + / / V« Р <1х<1т + / / ия+вйх(1т ^ 7 / (¿Ж,

о<т<г7 7 7 7 7 7

А1 о А1 о А1

У-Ь

у —а

Ь — а 1-В„

дрр-т^^р / р^+^ж I <£1. (7.7)

Пользуясь условиями Н, легко проверить, что

Ь-а 1-В

Ц-Рр- — —Р(Ц) <; 7Д-Рр(Д) < а < р.

Следовательно, (7.7) выполнено, если

Яг-(р-ст) I у ^ж

и — а

£1 2 '

т. е.

V —а 1

Д = ^ | / р^+^ж

£1

и(ж, £) = 0 вне шара радиуса Я = 4Яо + Я

1 д—1 1

<? / \<г / \<г

г

г

J uq dx ^ y I J pudx rn \Rn /

Интегрируя уравнение (1.1) по RN и учитывая (1.5), получаем

d

^ j pudx ^ —/л 1 j uqdx ^ —I j pudx

RN RN \RN

Интегрируя это неравенство, имеем

1

^ —PiY dt, (E1-q(t) — E1-q(0)) < —piYt.

1 — q

Отсюда следует, что при t > 0

__

< 7i "-1,

что и требовалось доказать. Теорема 1.5 доказана.

Литература

1. Tedeev A. F. The interface blow-up phenomenon and local estimates for doubly degenerate parabolic equations // Appl. Anal.-2007.-Vol. 86, № 6.-P. 755-782. DOI: 10.1080/00036810701435711.

2. Andreucci D., Tedeev A. F., Ughi M. The Cauchy problem for degenerate parabolic equations with source and damping // Ukr. Math. Bull.-2004.-Vol. 1, № 1.-P. 1-23.

3. Ben-Artzi B., Koch H. Decay of mass for a semilinear parabolic equation // Commun. Partial Differ. Equ.-1999.-Vol. 24, № 5-6.-P. 869-881. DOI: 10.1080/03605309908821450.

4. Skrypnik I., Tedeev A. F. Decay of the mass of the solution to Cauchy problem of the degenerate parabolic equation with nonlinear potential // Complex Var. Elliptic Equ.—2018.—Vol. 63, № 1.— P. 90-115. DOI: 10.1080/17476933.2017.1286331.

5. Kamin S., Rosenau P. Propagation of thermal waves in an inhomogeneous medium // Commun. Pure Appl. Math.-1981.-Vol. 34, № 6.-P. 831-852. DOI: 10.1002/cpa.3160340605.

6. Kamin S., Rosenau P. Nonlinear diffusion in finite mass medium // Commun. Pure Appl. Math.— 1982.-Vol. 35, № 1.-P. 113-127. DOI: 10.1002/cpa.3160350106.

7. Kamin S., Kersner R. Disappearance of interfaces in finite time // Mechanica.—1993.—Vol. 28, № 2.— P. 117-120. DOI: 10.1007/BF01020323.

8. Eidus D., Kamin S. The filtration equation in class of functions decreasing at infinity // Proc. Amer. Math. Soc.-1994.-Vol. 120, № 3.-P. 825-830. DOI: 10.1090/S0002-9939-1994-1169025-2.

9. Galaktionov V. A., Kamin S., Kersner R., Vazquez J. L. Intermediate asymptotics for inhomogeneous nonlinear heat conduction // J. Math. Sci.—2004.—Vol. 120, № 3.—P. 1277-1294. DOI: 10.1023/B:,TOTH.0000016049.94192.aa.

10. Guedda M., Hihorst D., Peletier M. A. Disappearing interfaces in nonlinear diffussion // Adv. Math. Sci. Appl.-1997.-Vol. 7, № 2.-P. 695-710.

11. Мартыненко А. В., Тедеев А. Ф. Задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью // Журн. вычисл. матем. и мат. физики.—2007.—Т. 47, № 2.—С. 245-255.

12. Мартыненко А. В., Тедеев А. Ф. О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником // Журн. вычисл. матем. и мат. физики.—2008.—Т. 48, № 7.-С. 1214-1229.

13. Reyes G., Vazquez J. L. The inhomogeneous PME in several space dimensions. existence and uniqueness of finite energy solutions // Commun. Pure Appl. Anal.—2008.—Vol. 7, № 6.—P. 1275-1294. DOI: 10.3934/cpaa.2008.7.1275.

q

14. Reyes G., Vazquez J. L. Long time behavior for the inhomogeneous PMI in a medium with slowly decaying density // Commun. Pure Appl. Anal.—2009—Vol. 8, № 2.—P. 493-508. DOI: 10.3934/cpaa.2009.8.493.

15. Kamin S., Reyes G., Vazquez J. L. Long time behavior for the inhomogeneous PME in a medium with rapidly decaying density // Discrete Contin. Dyn. Syst.-A.—2010.—Vol. 26, № 2.—P. 521-549. DOI: 10.3934/dcdc.2010.26.521.

16. Benachour S., Laurentcot Ph. Global Solutions to viscous Hamilton-Jacobi equations with irregular initial data // Commun. Partial Differ. Equ.-1999.-Vol. 24, № 11-12.-P.1999-2021. DOI: 10.1080/03605309908821492.

17. Di Benedetto E. Degenerate parabolic equations.—New York: Springer-Verlag, 1993.—387 p.

18. Andreucci D., Tedeev A. F. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations // Adv. Differ. Equ.-2005.-Vol. 10, № 1.-P. 89-120.

Статья поступила 31 июля 2019 г. Бесаева Зарина Вячеславовна

Юго-Осетинский государственный университет им. А. А. Тибилова, старший преподаватель

Республика Южная Осетия, 100001, Цхинвал, ул. Путина, 8 E-mail: besaeva.85@mail.ru Тедеев Анатолий Федорович

Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН,

ведущий научный сотрудник

Россия, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22

E-mail: a_tedeev@yahoo.com

https://orcid.org/0000-0001-7883-9795

Vladikavkaz Mathematical Journal 2020, Volume 22, Issue 1, P. 12-32

THE DECAY RATE OF THE SOLUTION TO THE CAUCHY PROBLEM FOR DOUBLY NONLINEAR PARABOLIC EQUATION WITH ABSORPTION

Besaeva, Z. V.1 and Tedeev, A. F.2

1South Ossetian State University named after A. A. Tibilov, 8 Putin St., Tskhinval 100001, South Ossetia; Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Marcus St., Vladikavkaz 362027, Russia E-mail: besaeva.85@mail.ru, a_tedeev@yahoo.com

Abstract. This work deals with the Cauchy problem for a wide class of quasilinear second-order degenerate parabolic equations with inhomogeneous density and absorption terms. It is well known that for the problem under consideration but without absorption term and when the density tends to zero at infinity not very fast the mass conservation law holds true. However that fact is not always valid with an absorption term. In this paper, the precise conditions on both the structure of nonlinearity and inhomogeneous density which guarantee the decay to zero of the total mass of solution as time goes to infinity is established. In other words the criteria of stabilization to zero of the total mass for a large time is established in terms of critical exponents. As a consequence of obtained results and local Nash-Mozer estimates the sharp sup bound of a solution is done as well.

Key words: the Cauchy problem, degenerate parabolic equations, inhomogeneous density, absorbtion, critical exponents.

Mathematical Subject Classification (2010): 35K92, 35B33, 35E15.

For citation: Besaeva, Z. V. and Tedeev, A. F. The Decay Rate of the Solution to the Cauchy Problem for Doubly Nonlinear Parabolic Equation with Absortion, Vladikavkaz Math. J., 2020, vol. 22, no. 1, pp. 31-32 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2020.1.57535.

References

1. Tedeev, A. F. The Interface Blow-up Phenomenon and Local Estimates for Doubly Degenerate Parabolic Equations, Applicable Analysis, 2007, vol. 86, no. 6, pp. 755-782. DOI: 10.1080/00036810701435711.

2. Andreucci, D., Tedeev, A. F. and Ughi, M. The Cauchy Problem for Degenerate Parabolic Equations with Source and Damping, Ukrainian Mathematical Bulletin, 2004, vol. 1, no. 1, pp. 1-23.

3. Ben-Artzi, B. and Koch, H. Decay of Mass for a Semilinear Parabolic Equation, Communications in Partial Differential Equations, 1999, vol. 24, no. 5-6, pp. 869-881. DOI: 10.1080/03605309908821450.

4. Skrypnik, I. and Tedeev A. F. Decay of the Mass of the Solution to Cauchy Problem of the Degenerate Parabolic Equation with Nonlinear Potential, Complex Variables and Elliptic Equations, 2018, vol. 63, no. 1, pp. 90-115. DOI: 10.1080/17476933.2017.1286331.

5. Kamin, S. and Rosenau, P. Propagation of Thermal Waves in an Inhomogeneous Medium, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1981, vol. 34, no. 6, pp. 831-852. DOI: 10.1002/cpa.3160340605.

6. Kamin, S. and Rosenau, P. Nonlinear Diffusion in Finite Mass Medium, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1982, vol. 35, no. 1, pp. 113-127. DOI: 10.1002/cpa.3160350106.

7. Kamin, S. and Kersner, R. Disappearance of Interfaces in Finite Time, Mechanica, 1993, vol. 28, no. 2, pp. 117-120. DOI: 10.1007/BF01020323.

8. Eidus, D. and Kamin, S. The Filtration Equation in Class of Functions Decreasing at Infinity, Proceedings of the American Mathematical ,Society, 1994, vol. 120, no. 3, pp. 825-830. DOI: 10.1090/S0002-9939-1994-1169025-2.

9. Galaktionov, V. A., Kamin, S., Kersner, R. and Vazquez, J. L. Intermediate Asymptotics for Inhomogeneous Nonlinear Heat Conduction, Journal of Mathematical Sciences, 2004, vol. 120, no. 3, pp. 1277-1294. DOI: 10.1023/B:JOTH.0000016049.94192.aa.

10. Guedda, M., Hihorst, D. and Peletier, M. A. Disappearing Interfaces in Nonlinear Diffussion, Advances in Mathematical Sciences and Applications, 1997, vol. 7, no. 2, pp. 695-710.

11. Martynenko, A. V. and Tedeev, A. F. Cauchy Problem for Quasilinear Parabolic Equation with a Source Term and an Inhomogeneous Density, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2007, vol. 47, no. 2, pp. 238-248. DOI: 10.1134/s096554250702008x.

12. Martynenko, A. V. and Tedeev, A. F. On the Behavior of Solutions to the Cauchy Problem for a Degenerate Parabolic Equation with Inhomogeneous Density and a Source, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2008, vol. 48, no. 7, pp. 1145-1160. DOI: 10.1134/s0965542508070087.

13. Reyes, G. and Vazquez, J. L. The Inhomogeneous PME in Several Space Dimensions. Existence and Uniqueness of Finite Energy Solutions, Communications on Pure and Applied Analysis, 2008, vol. 7, no. 6, pp. 1275-1294. DOI: 10.3934/cpaa.2008.7.1275.

14. Reyes, G. and Vazquez, J. L. Long Time Behavior for the Inhomogeneous PMI in a Medium with Slowly Decaying Density, Communications on Pure and Applied Analysis, 2009, vol. 8, no. 2, pp. 493-508. DOI: 10.3934/cpaa.2009.8.493.

15. Kamin, S., Reyes, G. and Vazquez, J. L. Long Time Behavior for the Inhomogeneous PME in a Medium with Rapidly Decaying Density, Discrete and Continuous Dynamical Systems-A, 2010, vol. 26, no. 2, pp. 521-549. DOI: 10.3934/dcdc.2010.26.521.

16. Benachour, S. and Laurentcot, Ph. Global Solutions to Viscous Hamilton-Jacobi Equations with Irregular Initial Data, Communications in Partial Differential Equations, 1999, vol. 24, no. 11-12, pp. 1999-2021. DOI: 10.1080/03605309908821492.

17. Di Benedetto, E. Degenerate Parabolic Equations, New York, Springer-Verlag, 1993, 387 p.

18. Andreucci, D. and Tedeev, A. F. Universal Bounds at the Blow-Up Time for Nonlinear Parabolic Equations, Advances in Differential Equations, 2005, vol. 10, no. 1, pp. 89-120.

Received 31 July, 2019 Zarina V. Besaeva

South Ossetian State University named after A. A. Tibilov,

8 Putin St., Tskhinval 100001, South Ossetia,

Senior Lecturer

E-mail: besaeva.85@mail.ru

Anatoly F. Tedeev

Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Marcus St., Vladikavkaz 362027, Russia, Leading Researcher a_tedeev@yahoo.com https://orcid.org/0000-0001-7883-9795