Затухающие слабые решения упругих систем со структурным демпфированием при нелокальных условиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4 (62). 2017. Вып. 1

МЯО 34Б05, 34020, 35Б35, 47Ы08, 47Ы010

ЗАТУХАЮЩИЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ СО СТРУКТУРНЫМ ДЕМПФИРОВАНИЕМ ПРИ НЕЛОКАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ

Ву Тронг Люонг, Нгуен Тан Тунг

Университет Тай Бак, Вьетнам, Шонла, Чу Ван Ан, 01

В данной работе рассматривается класс упругих систем со структурным демпфирующим элементом при нелокальных условиях. Используя подходящую меру некомпактности пространства непрерывных функций на луче, удалось доказать существование слабого решения с точной скоростью затухания экспоненциального типа. Для иллюстрации результатов приведен пример. Библиогр. 15 назв.

Ключевые слова: затухающие решения, упругая система со структурным затуханием, нелокальные условия.

1. Введение. Пусть (X, || •У) — банахово пространство. Рассмотрим следующую нелокальную задачу Коши для упругих систем со структурным демпфированием:

ии(^) + рАм^) + А2м(^) = /(г,м(г)), ¿> о, (1.1)

м(0) + д(м) = хо, м4(0) + ^(м) = уо, (1.2)

где А : "Р(А) С X —> X — замкнутый линейный оператор, р ^ 2 — заданная константа, х0 € "Р(А),у0 € X и д, / — заданные функции, которые будут описаны в разделе 3 настоящей статьи.

Упругие системы со структурным демпфированием были изучены Ченом и Расселом [1] в 1981 году. Они рассматривали упругую систему

+ Вм^) + Ам(г)=0, ¿> 0, (1.3)

м(0) = хо, ме(0) = уо, (1.4)

в гильбертовом пространстве Н, где А (упругий оператор) и В (оператор демпфирования) — неограниченные положительно определенные самосопряженные операторы в Н. При удовлетворении некоторых дополнительных условий они доказали, что

т _( 0 А1/2\ Ьв = у-А1/2 -Б)

образует аналитическую полугруппу на У = Н ф Н. Хуанг [2] рассматривал задачу, описанную выше, и в 1986 г. предположил, что С "Р(Б). Тогда из следующих

условий следует, что Ьв образует аналитическую подгруппу на У :

(a) р1(А1/2х, х) < (Вх,х) < р2(А1/2х, х) для всех х € Р(А1/2);

(b) р1(Ах, х) ^ (В2х, х) ^ р2(Ах,х) для всех х € "Р(А), для некоторых р1,р2 > 0 при р1 < р2 .

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2017

В 1988 г. Хуанг [3] исследовал задачу (1.3)-(1.4) для оператора демпфирования B, а оператор упругости A был заменен оператором Aa (1/2 ^ а ^ 1). Фан, Ли и Чен [4] рассматривали существование слабого решения для упругих систем со структурным демпфированием в банаховых пространствах:

u«(t) + pAut(t) + A2u(t) = f (t,u(t)), 0 < t < a, (1.5)

u(0) = xo, ut(0) = yo, (1.6)

где коэффициент затухания удовлетворяет неравенству р ^ 2 и нелинейность f — условию Липшица по второй переменной. Аналитичность и экспоненциальная устойчивость полугруппы, образованной упругой системой

u«(t) + pAut(t) + A2u(t) = 0, t> 0, (1.7)

u(0) = xo ,ut(0)= yo, (1.8)

где p > 2 cos а, были получены в [5] для фиксированного значения a G . В [6]

описано асимптотическое поведение решений линейных упругих систем со структурным демпфированием

utt(t) + pAut(t) + A2u(t) = h(t), t > 0, (1.9)

u(0) = xo, ut(0)= yo, (1.10)

и полулинейной упругой системы со структурным демпфированием

utt(t) + pAut(t) + A2u(t) = f(t,u(t)), 0 < t < a, (1.11)

u(0) = xo, ut(0)= yo, (1.12)

в банаховых пространствах, где р > 2 cos а для фиксированного значения a G , A —секториальный оператор, —A образует аналитическую и экспоненциально устойчивую полугруппу на X, h : [0, +ж) —> X непрерывна, и f непрерывная и удовлетворяет условию Липшица по второй переменной. И хотя задача (1.1)—(1.2) довольно интересная, не было предпринято попыток найти ее затухающие решения с точной скоростью затухания. Это явилось предпосылкой для нашего исследования.

Следуя работе [6], рассмотрим упругую систему со структурным демпфированием в нелокальных условиях. Впервые идея нелокальных условий была использована в [7]. Это условие более подходящее, чем классическое, для описания естественных процессов, так как оно позволяет рассматривать также дополнительную информацию (см. [8, 9]). Целью данной работы является использование принципа неподвижной точки для сжимающих отображений в качестве меры некомпактности [10], чтобы доказать существование затухающих слабых решений u с ||u(t)|| = O(e Yt) при t ^ ж.

Дальнейшая часть статьи организована следующим образом. В разделе 2 напоминаются некоторые понятия и сведения относительно мер некомпактности и сжимающего отображения, которые будут использованы для доказательства существования слабых решений на [0, T], T > 0, в разделе 3 и существования слабых решений на R+ в разделе 4. В последнем разделе представлен пример для иллюстрации полученных результатов.

2. Предварительные сведения. Пусть E — банахово пространство. Положим, что Pb(E) —набор всех непустых ограниченных подмножеств E.

Определение 2.1. Функция Ф : Pb(E) —> [0, +ж) называется мерой некомпактности (МНК) в E, если выполняется равенство

Ф(сШ) = Ф(П), УП G Гь(Е),

где coQ —замыкание выпуклой оболочки Q. МНК Ф в Е называется

(i) монотонной, если из того, что VП1, П2 € Pb(E), П С П2, следует Ф(П1) ^

Ф(^2),

(ii) невырожденной, если Ф({a} U П) = Ф(П) для Va € E, VП € Pb(E);

(iii) инвариантной относительно объединения с компактным множеством, если Ф(К U П) = Ф(П) для каждого относительно компактного K С E и П € Pb(E);

(iv) алгебраически полуаддитивной, если Ф(П1 + П2) ^ Ф(П1) + Ф(П2) для любых П1, П2 €Pb(E);

(v) регулярной, если Ф(П) = 0 эквивалентно относительной компактности П.

Важным примером МНК является МНК Хаусдорфа х(0, которая определяется следующим образом:

х(П) = inf{е > 0 : П имеет конечную е-сеть} (2.1)

для П € Pb(E).

Утверждение 2.2. Пусть х — МНК Хаусдорфа на банаховом пространстве E, П € Pb(E). Тогда для любого е > 0 существует последовательность {xnС П такая, что выполняется неравенство

Х(П) < 2x({x„}~=1) + е. (2.2)

Пусть C([0,T]; X) — пространство всех непрерывных функций, определенных на интервале [0,T] со значениями в X — банаховом пространстве с нормой ||u||c = sup ||u(t)||x. Известно, что если X = Rn, то МНК Хаусдорфа на C([0,T]; Rn) за-

te[o,T ]

дается в виде (см. [11, пример 2.11])

Xt{D) = lim sup max ||u(i) - u(s)\\R~, D С C([0,T], IR"). (2.3)

2 ¿^o ueD t,se[o,T],|t-s|<5

Последнюю меру можно рассматривать как свойство равностепенной непрерывности подмножества в C([0, T]; Rn). В C([0, T]; X), где X бесконечномерно, определение (2.2) не выполняется. Но если D С C([0, T]; X) —равностепенно непрерывное множество, тогда имеет место равенство

XT(D) = sup x(D(t)). (2.4)

te[o,T ]

Здесь x — МНК Хаусдорфа на X и D(t) := {x(t) : x € D}.

Рассмотрим пространство BC(R+; X) ограниченных непрерывных функций на R+, принимающих значения в X. Обозначим за пт оператор сужения на данное пространство, так что пт(u) —сужение u на [0, T]. Тогда будем иметь МНК в виде

Xto(D) = sup хт(пт(D)), D С BC(R+; X). (2.5)

T>o

Рассмотрим другие МНК на этом пространстве:

dr(D) = sup sup ||u(t)||x, (2.6)

uED t>T

(D) = lim dr(D), (2.7)

T —^^o

X*(D) = x~(D) + dTO(D). (2.8)

Регулярность МНК x* доказана в [2, лемма 2.6].

Имеем следующую оценку, доказательство которой содержится в [10]. Утверждение 2.3 [10]. Пусть x — МНК Хаусдорфа на банаховом пространстве X, последовательность С Li(0, T; X) такая, что ||un(t)||X ^ v(t) для каждого

n G N* и почти для всех t G [0, T], где v G Li(0, T) —неотрицательная функция. Тогда справедливо неравенство

X J un(s)ds|j < 2 J x({u„(s)})ds при t G [0,T]. (2.9)

Из утверждений 2.2 и 2.3 получаем следующее утверждение.

Утверждение 2.4 [12]. Пусть x — МНК Хаусдорфа на банаховом пространстве X и D С Li(0, T; X). Пусть существуют функции v, q G Li(0, T), которые удовлетворяют условиям:

(i) ||0(t)||Ll(o,T;X) < v(t) для V0 G D и почти всех t G [0,T],

(ii) x(D(t)) < q(t) для почти всех t G [0, T], D(t) = {x(t) : x G D}. Тогда справедливо неравенство

X ^J D(s)dsj < 4 J q(s)ds, (2.10)

t ft ч

где J D(s)ds = j / 0(s)ds : 0 G D o ^ o )

Обозначим за (L(X), || • Ндх)) пространство линейных ограниченных операторов из X в себя, X — МНК Хаусдорфа на X. Для любого T G L(X) введем его x-норму (см. [11]) следующим образом:

||T||х = inf{k > 0 : x(T(П)) < fcx(fi), П G Bx}. (2.11)

Справедлива оценка (см. [13])

||T||x < ||T|l(x). (2.12)

Это определение имеется в [14, определение 6.1.1].

Определение 2.5. С0-полугруппа {T(t);t > 0} называется 'равностепенно непрерывной, если функция 11—> T(t) непрерывна из (0, в L(X) в соответствии с равномерной операторной нормой ||.||дх).

В заключение этого раздела напомним принцип фиксированной точки для рассмотрения отображений, которые будут использованы в дальнейшем.

Определение 2.6 [13]. Пусть в— МНК на банаховом пространстве Е и 0 = Б С Е. Непрерывное отображение Р : Б —>• Е называют плотным относительно в (в-плотным), если для VП € Рь(Б) из неравенства в(П) ^ в(Р(П)) следует относительная компактность П.

Теорема 2.7 [10]. Пусть Б — ограниченное выпуклое замкнутое подмножество банахова пространства Е и Р : Б —>■ Б — в-плотное отображение, где в — монотонная и невырожденная МНК на Е. Тогда Ргж(Р) = {ж € Б : ж = Р(ж)} является непустым компактным множеством.

3. О существовании решений. При формулировании задачи (1.1), (1.2) рассмотрим следующие предположения.

(А) Оператор — А образует равностепенно непрерывную С0-полугруппу {Т(¿)}^о на банаховом пространстве X.

В таком предположении "Р(А) с нормой графика = 1Н| + ||Аг|| стано-

вится банаховым пространством.

(С) Функция д : С([0, Т]; X —^ Р(А) удовлетворяет условиям:

(1) д непрерывна и справедливо неравенство

||д(и)|Ь(л> < (Мс) (3.1)

для всех и € С([0, Т]; X), где : К+ ^ К+ —неубывающая функция;

(И) существуют неотрицательные константы пз, такие, что выполняются неравенства

х(д(П)) < ПзХт(П), (3.2)

х(Ад(П)) < СзХт(П) (3.3)

для любого ограниченного множества П С С([0, Т]; X).

(Н) Функция Н : С([0,Т]; X) —> X удовлетворяет условиям:

(1) имеется непрерывная неубывающая функция : ^ такая, что справедливо неравенство

||Н(и)||х < 0л(||и||с) (3.4)

для всех и € С([0, Т]; X);

(и) имеется неотрицательная константа пл такая, что выполняется неравенство

х(Н(П)) < плхт(П) (3.5)

для любого ограниченного множества П С С([0, Т]; X). (Е) Нелинейная функция / : х X —> X удовлетворяет условиям:

(1) / (•,«) измерима для любого V € X, / (£, •) непрерывна почти для всех £ € [0, Т] и справедливо неравенство

II/М||х < т(*)0/(|М|Х) (3.6)

для всех V € X, где т € ¿1(0, Т), 0/ : ^ непрерывная и неубывающая;

(И) если полугруппа Т(•) некомпактна, существует п/ : —> такая, что П/ € ¿1(0, Т) и выполняется неравенство

х(/(£,П)) < п/(*)х(П) (3.7)

для любого ограниченного множества П С X.

Замечание 3.1. 1) Если /(£, •) удовлетворяет условию Липшица, т. е. имеет место неравенство

||/(М1) - /(М2)||х < к/(¿)|К - V2|x

для некоторого к/ € ¿1(0, Т), соотношения (3.6) и (3.7) выполняются.

2) Если д — компакт, условие (3.2) выполняется.

Положим

£1(г) = Т(г^), £2(г) = Т(«2^), «1 + «2 = р, «1«2 = 1, 0 < « <«2.

Дадим определение слабого решения задачи (1.1), (1.2).

Определение 3.2. Функция и € С([0, Т]; X) называется слабым решением задачи (1.1), (1.2) на [0, Т], если для любого £ € [0, Т] выполняется равенство

г г я

и(г) = £2(г)(хо — д(и)) + J £2 (г — + J ^ £2 (г — в)£1(в — т)/(т, м(т

о 0 0

(3.8)

где vо = уо — Мм) + «2А(жо — д(м)).

Введем обозначение за Вд = {м € С([0,Т];X) : ||м||с ^ Д}, где Д > 0 задана. Определим оператор решения Ь : Вд ^ С([0, Т]; X) как

t

F(u)(t) = £2(t)(xo - g(u)) + J £2(t - s)£i(s)(yo - h(u) + ^2A(xo - g(u)))ds+

0

t s

+ У J £2(t - s)£1(s - T)f (r,M(r))drds для Vu G BR, Vt G [0,T]. (3.9)

oo

Из предположений, наложенных на g, h, f, очевидно, что F — непрерывное отображение на Br. Положим

t

M = sup ||£2(t)||£(x), Лт = sup f ||£2(t - s)£i(s)y£(x)ds,

te[o,T] te[o,T]0

Тт = вир / / 11^2(4 - (в - т)||дх)ш(г

4е[0,т]7 7 0 0

{0, если полугруппа Т(■) компактна,

4 я

вир § ^ у^2(4 — — т)||дх)П/(тв иных случаях.

4е[0,т] о о

Лемма 3.3. Пусть условия (А), (С), (Н), (Е) выполняются. Если справедливо неравенство

Итш 1^-[Мвд{п) + {вк{п) + а2вд{п))кт + в1{п)Гт] <1, (3.10)

существует Д > 0 такая, что Р(Вд) С Вд.

Доказательство. Предположим обратное: для любого п е N существует последовательность С Вд с ||мп||с ^ п, но ||Р(мп)||с > п. Из формулировки Р имеем

Р К)(4) = («„)(*) + Р2 К)(*) + Рз К)(*),

где

Л(«)(*) = ЗД(*0 — <?(*)),

ВД(*)=У ^ — 8)51(8)(У0 — %) + ^2А(Х0 —

0

4 я

У ^ — 8)^1(8 — т)/(т,«(т))^.

00

Тогда можем записать

||РК)(4)||х < ||Р1(и„)(4)|х + |Р2(ип)(4)||х + ЦРзК)(4)||х, (3.11) ||*1(«п)(*)||х < Ц^Цд*)(|ЫЬ(Д) + ||£К)|Ь(Д)) < М(|ЫЬ(Д) + ^(п)), (3.12)

^ Ц^ — в^^Нд^ОЫх + ||Ми„)||х + ^2 ||Ас0||х + ^Л^ЮЦх <

0

< (|Ы|х + ||Ь(«п)||х + СТ2||АЕ0||х + ^2 ||Л£Ю|Ь(Д)) Лт <

< (|М|х + №) + СТ2||Л*0||х + ^2 ^ (п))Лт. (3.13)

4 я

||Ж«п)(*)||х I н^ — 8)^1(8 — т)||дх) ||/(т, м„(т)) ||х ¿тйв <

00

4 я

J ||^2(* — 8)^1(8 — т)||дх) т(т) (|К(4)||х) ^ < (п)Тт. (3.14)

00

4 я

Из (3.11)-(3.14) получаем

||ЬК)(*)||х < (м||жо|Ь(Л) + ||уо||х + Г2||Ажо||х) +

+ (М03 (п) + (0Л(п) + «20д (п))Лт + 0/(п)Тг),

из чего следует

||ЬК)||с < (М||жо|Ь(Л) + ||уо||х + Г2||Ажо|х) +

+ (М0д (п) + (0л(п) + «20д (п))Лт + 0/(п)Тг).

Тогда будем иметь

1 < -||^К)||с < ~[М\\хоЬ(А) + \\УО\\Х + (Г2\\АСО\\Х] +

пп

+ ± [М03(п) + (0л(п) + а2вд{п))Кт + 0/(п)Тт]. (3.15)

Переходя к пределу в последнем неравенстве, получаем противоречие. Лемма 3.3 доказана. □

Лемма 3.4. Пусть выполнены условия леммы 3.3. Тогда справедливо неравенство

хт(Ь(Я)) < [Мп3 + 4(пь + «2)Лт + 8©т]хт(Я) (3.16)

для всех ограниченных множеств Я С Вд.

Доказательство. По свойству алгебраической полуаддитивности хт имеем

Хт(Ь(Я)) < хт(Л (Я)) + хт(Л(Я)) + хт(Ьз(Я)). (3.17)

Для любых ¿1, ^2 € (Я) существуют М1, М2 € Я такие, что для £ € [0, Т] выполняется соотношение

*(*) = Л Ы(£) = £2(г)(жо — д(м<)) (г = 1, 2).

Имеем равенство

|Ыг) — ¿2(г)|х = |£2(г)(д(м2) — дЫ)||х.

Тогда получаем

||*1 — ¿2|с < М||д(м2) — д(м1)|х

и

хт (Л (Я)) < Мх(д(Я)) < Мпд хт (Я). (3.18)

Применяя утверждение 2.2, получаем, что для любого е > 0 существует {м„}^=1 С Я такая, что выполняются неравенства

хт(Л(Я)) < 2хт({^2(м„)}~=1) + е, (3.19)

94 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4(62). 2017. Вып. 1

Х(№К)(*)}) < ^х^ - ^(^(ус - М{и„}) + Л(хс - #({«.„}))))^ =

с

4

2 Х

с

¿в <

4

< ^ - ^(^Ндх^ММ)) + ^хО^Ы)))¿в.

Легко видеть, что {—(мп)} —равностепенно непрерывное множество. Тогда в силу предположений (С) и (Н) имеем

Хт(№К)}) < 2(пь Хт({«„}) + Хт({ип}))Лт < 2(пь + )ЛГ хт(Б). (3.20)

Так как е > 0 произвольное, из (3.19) и (3.20) получаем

Хт(-2(Б)) < 4(пь + ^ез)ЛтХт(Б). (3.21)

Снова применяя утверждение 2.2, получаем, что для любого е > 0 существует {и„}~1 С Б такая, что выполняются неравенства

Хт(-з(Б)) < 2хт({-зК)}^) + е, (3.22)

4 я

Х({Р?К)(т) < 4 [ ( х(^ - ^(в - т)/(т, {и„(т)}))йт^.

сс

Если Т(■) —компактная полугруппа, такова и 52(-). Тогда получаем

х($2(£ - - т)/(т, {ми(т)})) = 0 для почти всех т € [0, Т].

В таком случае будем иметь равенство х({-з(ип)(£)}) = 0. В противном случае справедливо неравенство

4 я

х({-з(и„)(^)}) < ^ I ||^2(* - ^(в - т)||дх) х(/(т, {м„(т)}))^Ыв <

4 я

< ^У ||^2(* - ^(в - т)||дх)П/(т)х({ип(т)})^в.

сс

Очевидно, что {-з(м„)} —равностепенно непрерывное множество, следовательно, выполняется

Хт ({-зК)}) < 4©т хт (Б). (3.23)

Из (3.22) и (3.23) имеем

Хт(-з(Б)) < 8©тхт(Б). (3.24)

Объединение (3.17), (3.18), (3.21) и (3.24) дает

хт(Ь(Я)) < + 4(пл + )Лт + 8©^хт(Я). (3.25)

Лемма 3.4 доказана. □

Теорема 3.5. Пусть выполняются условия леммы 3.4. Тогда задача (1.1), (1.2) имеет как минимум одно слабое решение на [0, Т], причем справедливы неравенства

1 := Мп3 + 4(пь + Ыд)Лт + 8©т < 1, (3.26)

П1ип ^ [мед(п) + (0л(п) + а2вд(п))Ат + 0/(п)Тт] < 1. (3.27)

Доказательство. По неравенству (3.26) отображение Ь хт-плотно. Действительно, пусть Я С Вд —ограниченное множество такое, что хт (Я) ^ хт (Ь (Я)). Применяя лемму 3.4, получим неравенство

хт (Я) < хт (Ь (Я)) < 1хт (Я).

Поэтому хт (Я) =0, и тогда Я относительно компактно.

Применяя лемму 3.3 и используя свойство (3.27), получаем Ь(Вд) С Вд. Далее применяем теорему 2.7, хт-плотное отображение Ь, определенное в (3.9), образует ) С Вд — компактное непустое множество. Это доказывает существование по меньшей мере одного слабого решения м(£), £ € [0, Т], задачи (1.1), (1.2), заданного в (3.8). □

4. Существование затухающих слабых решений. Рассмотрим в этом разделе оператор решения Ь, заданный на множестве

ВС^(в) = Вд П {V € ВС(К+; X) : вир е^|К£)||х < в},

гек+

где Вд —замкнутый шар в ВС(К+; X) с центром в начале координат и радиусом Д; в и 7 — некоторые положительные числа, которые будут заданы далее. Это множество является выпуклым ограниченным и замкнутым подмножеством ВС(К+; X).

Возьмем МНК х* на ВС^(в), определенную в (2.8). Докажем, что отображение Ь переводит ВС^(в) в себя, т.е. (в)) С ВС^(в), и Ь — х*-плотно на ВС^(в).

Для этого необходимо заменить (Л), (О), (И) и (Е) на более строгие предположения.

(А*) Оператор —А — инфинитезимальный порождающий оператор равностепенно непрерывной Со-полугруппы {Т(¿)}г^о такой, что справедливо неравенство

||Т(*)||дх) < Се-Йг, £ > 0,

где С, 6 > 0 — положительные константы.

(О*) Предположение (О) выполняется при любом Т > 0.

(Н*) Предположение (Н) справедливо при любом Т > 0.

(F*) Предположение (F) выполняется при 0f (r) = r, nf G LTO(R+), и m € Lloc(R+)

такая, что выполняется неравенство

s

K = sup / -Y)(s-T)m(r)dr <

Положим

t

= sup ||S2(i)y£(x), = sup/ ||S2(i - s)S1(s)||£(x

teR+ teR+ J

= suW / ||S2(i - s)Si(s - т)||дх)т(т)drds,

teR+ ./ ./ 00

0, если полугруппа T(■) компактна,

©^ = ^ t s

sup / / ||S2(t — s)S1(s — т)|l(x)П/(т)drds, в противном случае. _teR+ о о

Затем зафиксируем y G (0,

Лемма 4.1. Пусть выполнены (A*), (G*), (H*) и (F*). Если справедливы неравенства

lim - [Moodgin) + (eh(n) + а203(п))Лоо] +Т00<1 (4.1)

< 1, (4.2)

o^2 - Y

существуют положительные Д, в такие, что F(ВСД(в)) С ВСД(в).

Доказательство. Сначала докажем существование независимого от оператора решения F множества Вд. Докажем от противного: пусть для любого n € N существует un G Bn, удовлетворяющая ||un||TO ^ n, но ||F(un)||TO > n. При равных с леммой 3.3 условиях имеем

||FiK)(t)||x < MTO(|xo||d(a) + 0g(n)), (4.3)

||F2(u„)(i)|x < (||yo||x + 0h(n) + CT2|Axo|x + ^20g(п))Лто, (4.4)

||Fs(un)(t)||x < nT». (4.5)

Из (4.3)-(4.5) очевидно неравенство

||FK)(i)||x < (Mto|xo|d(a) + ||yo||x +^2||Axo||x) +

+ (MTO0g (n) + (0Л (n) + a20g (п))Лто + nT„)

для любого t ^ 0. Отсюда имеем

1 < -Н^ЮНоо < -[Моо\\х0\\щл) + \\у0\\х + а2\\Лх0\\х} + nn

+ h [МооОд(п) + (eh(n) + а203(п))Лоо + nToo]. (4.6)

ts

Переходя к пределу при n ^ то в последнем соотношении, получаем противоречие с условием (4.1).

Теперь докажем существование положительного в такого, что F(BC*Y(в)) С BCY(в). Предположим противное: для любого n G N существует un G BC^(n) (т.е. sup e7t||un(t)||X < n) такая, что sup e7t||F(un)(t)||X > n. Тогда будем иметь

teR+ teR+

eYt||F(u„)(t)|x < eYi|S2(t)|£(x)(||*O||d(A) + HgK)|b(A}) <

< е'^тцх^роЫл) + ^(IKHoo)) < e(J(Tf_7)t [1ЫЬ(Д) + 0а(Д)] <

< C[||XO||D(A) + ^(R)], (4.7)

г

< е^ |£2(£ — 8)£1(8)|£(х)(УуоУх + Н^МНх + «2||Асо||х + ^ЦАдЮЦх<

о

г

< С[||уо||х + 0ь(|К|Ы + «2||Л*о||х + «20д(|К|Ы] е(^2)г | е^2^ <

о

< С1 [||уо||х + 0Л(Д) + «гНАсоНх + «20д(Д)] (4.8)

для любого £ ^ 0, так как мп € ВС^(п). Здесь С1 —это положительная константа, независимая от ип. Имеем

г я

е7г||ЬзКХ^Цх < | ^^ — ^(з — т)||дх)||/(т,«п(т))||х¿т^ <

0 0 t s

2

< C2eYt / / е-ЙСТ2(t-s)e-5ff1 (s-T)т(т)||un(т)||xdrds =

0 0

t s

2

= С V / ^ (-т^ га,т К(т )|х <

оо

г я

< пС V /<-(/<-т<т

оо

Убеждаемся, что вследствие 7 ^ 6« справедливо соотношение

я я

I Ьттто(т)^т = I е-ЙСТ1(я-т)е-7яш(т)йт =

оо

я

= е-7яУ е-(ЙСТ1 )т(т)Лт < Ке-7я.

о

Отсюда получаем

t

/п KC2

eS«2(t-S)-7Sds ^ -_ (4 g)

öCT2 - Y

0

По (4.7)-(4.9) имеем

nKC 2

е<*\\Р(ипШ\х < С2 [||х0|Ь(л) + \\уо\\х+а2\\Лхо\\х + (1 + а2)вд(Н) + eh(R)] + ■

- Y

для Vun G BCY(п) и Vi ^ 0, где C2 = max{C, C1}. Следовательно, справедливо неравенство

1 C

1 < — supe7i||i1(M„)(t)||x < — [||жо|Ь(л) + ||уо||х + ^2||Асо||х + n t>o п

KC 2

+ (1 + а2)03(Д) + 0Л(Д)] + ¿^у

Переходя к пределу при n ^ то в последнем соотношении, получаем противоречие с условием (4.2). □

Лемма 4.2. Пусть выполняются (A*), (G*), (И*) и (F*). Тогда справедливо неравенство

(F(D)) < [м^Пд + 4(nh + ^2Cg)+ 8вто] x*(D) (4.10)

для любого ограниченного множества D С BC^(в).

Доказательство. Пусть D С BCY(в) — ограниченное множество. Тогда имеем равенство

X*( F (D)) = F (D)) + (F (D)). (4.11) Из леммы 3.4 получаем следующие оценки:

X~(F(D)) < x~(Fi(D)) + x^(F2(D)) + x^(Fs(D)) (4.12)

и

X~(Fi(D)) < x~(D), (4.13)

X~(F2(D)) < 4(nh + ^Cg)Лтох~(D), (4.14)

X~(Fs(D)) < 8eTOx~(D). (4.15)

Из (4.12)-(4.15) имеем

Xto(F(D)) < М^Пд + 4(nh + ^2Cg)+8вто x~(D). (4.16) Пусть теперь D С BC^(в) — ограниченное множество. Тогда для каждой u G D имеем

e7t||F(u)(t)||x < в при t ^то.

Значит, ||F(u)(t)||x ^ ве Yt, Vu G D, для любого достаточно большого t. Соответственно для достаточно большого T выполняется неравенство dr(F(D)) ^ ве гГ. Отсюда получаем

dTO(F(D)) = lim dr(F(D)) =0. (4.17)

Г —^^O

Учитывая (4.11), (4.16) и (4.17), получаем утверждение леммы. □

Объединение лемм (4.1) и (4.2) дает следующую теорему.

Теорема 4.3. Если выполняются условия леммы 4.1 и справедливо неравенство

ОО )+8©то < 1, (4.18)

задача (1.1), (1.2) имеет хотя бы одно слабое решение на К+ такое, что е7(||и(£)|| = 0(1) при 4 ^

Доказательство. Как видно из неравенства (4.18), оператор решения Р является х*-плотным вследствие леммы 4.2. Это верно, если ограниченное Б С ВСД(в) такое, что х*(Б) ^ х*(Р(Б)). Применив лемму 4.2, получаем

Х*(Б) < х*(Р(Б)) < /тох*(Б).

Отсюда имеем х*(Б) = 0, и, таким образом, Б — относительный компакт.

Учитывая предположения (4.1), (4.2) и лемму 4.1, получаем Р(ВСД(в)) С ВСД(в). Применив в связи с этим теорему 2.7, определяем, что оператор решения Р, заданный в (3.9), имеет компактное непустое множество неподвижных точек из ВСд(/3), которое содержит затухающие решения задачи (1.1), (1.2). □

5. Пример. Пусть П — ограниченная область в К" с гладкой границей дП. Рассмотрим следующую задачу:

м«(£,ж) — рДжм((£, ж) + ДХм(£, ж) = /(¿,ж,м(£, ж)), 0, ж € П, (5.1)

N

и(0, ж) + / &(ж, у)и(0, = у(ж), «¿(0, ж) + С4м(^,ж) = ^(ж), (5.2)

п 4=1

«Ы = 0, (5.3)

где / : К+ х П х К ^ К — непрерывная функция, ^ € Н0(П) П Н2(П), ^ € Р2(П) и & € Р2(П х П) такой, что Дж& € Р2(П х П).

Пусть имеем X = Р2(П) и А = — Дх с областью определения Р(А) = Я1(П) П Н2(П). Известно, что (см., например, [15]) —А образует компактную (и, следовательно, равностепенно непрерывную) полугруппу Т(■), экспоненциально устойчивую, т.е. ||Т(4)|| ^ е-Л1*, где Л1 > 0 — первое собственное значение А. Записывая

и(*) = ■), /(*,«) = /(•,«(•)),

/и

п 4=1

можно преобразовать задачу (5.1), (5.3) в абстрактный вид (1.1), (1.2). Рассматривая нелинейную функцию /, предположим, что существует функция т € Ьг1ое(К+) такая, что справедливо неравенство

|/(г,ж,г)| < т(4)|,г|, У(4,ж,г) € К+ х П х К.

Тогда будем иметь

||/(М)||х < т(*)|М|х, V« € X.

Заметим, что

С(«) = J

п

является оператором Гильберта—Шмидта на Ь2(П), следовательно, он компактен. Поэтому отображение д, задаваемое как д(и) = С(и(0, ■), тоже компактно. Аналогично Ад — компактное множество. Таким образом, условие (С*)(п) удовлетворяется при пд = =0. При этом выполняется неравенство

Итак, (С*)(1) верно.

Относительно функции Н имеем

N N

|| Н(«1) — Н(и2)|х |С»||«1(4», ■) — «2^4, -)||х < (X) |С*|)||«1 — «2|с.

¿=1 4=1

Тогда получаем

х(Н(П)) < |С<Л хто(П).

Условие (И*)(п) выполняется при пк = ¿=1 |С4|. С другой стороны, очевидно неравенство

/ N \

||Н(«)|| < Е |СгП

из чего следует (И*)(1).

Учитывая сказанное выше, простые вычисления дают

= 1, = 0, < [Л1(ст2 — Ст1)]-1,

К = 8ир/ е-(Л1СТ1-7)(4-т)т(т)йт, „/О

(г) = ||&ипхп) ■ г, 0л(г) = ( £ |С4Л ■ Г.

1

Используя теорему 4.3, определяем, что задача (5.1)—(5.3) имеет как минимум одно решение и € ВС(К+; Ь2(П)), удовлетворяющее равенству е74||и(£)||Ь2(П) = 0(1) при 4 ^ причем выполняются неравенства

К < Л1 а — 7, (5.4)

|&|Ь2(пхп) + (х; |С4| + [Л1(^2 — а!)]-1 < 1. (5.5)

Авторы с удовольствием выражают свою благодарность аспирантке СПбГУ Веронике Шелковиной за перевод текста статьи на русский язык и профессору СПбГУ В. М. Рябову за научное редактирование статьи.

СО

Литература

1. Chen G., Russell D. L. A Mathematical Model for Linear Elastic Systems with Structural Damping // Quart. Appl. Math. 1981/1982. Vol.39. P. 433-454.

2. Huang F. A Problem for Linear Elastic Systems with Structural Damping // Acta Math. Sci Sinic. 1986. Vol.6. P. 107-113.

3. Huang F. On the Mathematical Model for Linear Elastic Systems with Analytic Damping // SIAM, J. Cont, Opt. 1988. Vol.26. P. 714-724.

4. Fan H., Li Y., Chen P. Existence of Mild Solutions for the Elastic Systems with Structural Damping in Banach Spaces // Abstract and Applied Analysis. 2013. Vol.2013. Artical ID 746893. P. 1-6.

5. Fan H., Li Y. Analyticity and Exponential Stability of Semigroups for the Elastic Systems with Structural Damping in Banach Spaces // J. Math. Anal. Appl. 2014. Vol.410. P. 316-322.

6. Fan H., Gao F. Asymptotic Stability of Solutions to Elastic Systems with Structural Damping // Electronic Journal of Differential Equations. 2014. Vol.2014, N245. P. 1-9.

7. Byszewski L. Theorems about existence and uniqueness of solutions of a semi-linear evolution nonlocal Cauchy problem // J. Math. Anal. Appl. 1991. Vol. 162. P. 494-505.

8. Deng K. Exponetial decay of solutions of semilinear parabolic equations with nonlocal initial conditions // J. Math. Anal. Appl. 1993. Vol. 179. P. 630-637.

9. Byszewski L., Lakshmikantham V. Theorem about the existence and uniqueness of a solution of a nonlocal abstract Cauchy problem in a Banach space // Appl. Anal. 1991. Vol.40. P. 11-19.

10. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 2001.

11. Ахмеров Р. Р., Каменский М.И., Потапов А. С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Новосибирск: Наука, 1986. 265 с.

12. Anh N. T., Ke T.D. Decay Integral Solutions for Neutral Fractional Differential Equations with Infinite Delays // Math. Meth. Appl. Sci. 2015. Vol.38, N8. P. 1601-1622.

13. Apell J. Mearures of Noncompactness Condensing Operators and Fixed Points an Application-Oriented Survey // Fixed Point Theory. 2005. Vol.6, N2. P. 157-229.

14. Vrabie 1.1. Co-semigroups and applications. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 2003.

15. Engel K. J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolutio Equations. New York: Springer-Verlag Inc., 2000.

Статья поступила в редакцию 16 марта 2016 г.; рекомендована в печать 6 октября 2016 г.

Сведения об авторах

Ву Тронг Люонг — vutrongluong@gmail.com Нгуен Тан Тунг — thanhtungcva2013@gmail.com

DECAY MILD SOLUTIONS FOR ELASTIC SYSTEMS WITH STRUCTURAL DAMPING INVOLVING NONLOCAL CONDITIONS

Vu Trong Luong, Nguyen Thanh Tung

Tay Bac University, 01, Chu Van An, Quyet Tam, Son La, Vietnam; vutrongluong@gmail.com, thanhtungcva2013@gmail.com

This paper deals with a class of elastic systems with structural damping subject to nonlocal conditions. By using a suitable measure of noncompactness on the space of continuous functions on the half-line, we establish the existence of mild solutions with explicit decay rate of exponential type. An example is given to illustrate the abstract results. Refs 15.

Keywords: decay solutions, elastic system with structural damping, nonlocal conditions.

References

1. Chen G., Russell D.L., "A Mathematical Model for Linear Elastic Systems with Structural Damping', Quart. Appl. Math. 39, 433-454 (1981-1982).

2. Huang F., "A Problem for Linear Elastic Systems with Structural Damping', Acta Math. Sci Sinic. 6, 107-113 (1986).

3. Huang F., "On the Mathematical Model for Linear Elastic Systems with Analytic Damping', SIAM, J. Cont, Opt. 26, 714-724 (1988).

4. Fan H., Li Y., Chen P., "Existence of Mild Solutions for the Elastic Systems with Structural Damping in Banach Spaces" Abstract and Applied Analysis 2013, Artical ID 746893, 1-6 (2013).

5. Fan H., Li Y., "Analyticity and Exponential Stability of Semigroups for the Elastic Systems with Structural Damping in Banach Spaces" J. Math. Anal. Appl. 410, 316-322 (2014).

6. Fan H., Gao F., "Asymptotic Stability of Solutions to Elastic Systems with Structural Damping' Electronic Journal of Differential Equations 2014(245), 1-9 (2014).

7. Byszewski L., "Theorems about existence and uniqueness of solutions of a semi-linear evolution nonlocal Cauchy problem" J. Math. Anal. Appl. 162, 494-505 (1991).

8. Deng K., "Exponetial decay of solutions of semilinear parabolic equations with nonlocal initial conditions" J. Math. Anal. Appl. 179, 630-637 (1993).

9. Byszewski L., Lakshmikantham V., "Theorem about the existence and uniqueness of a solution of a nonlocal abstract Cauchy problem in a Banach space" Appl. Anal. 40, 11-19 (1991).

10. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P., Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces (Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001).

11. Akhmerov R. R., Kamenskii M.I., Potapov A. S., Rodkina A. E., Sadovskii B.N., Measures of Noncompsctness and Condensing Operator (Birkhauser, Boston, Basel, Berlin, 1992).

12. Anh N.T., Ke T. D., "Decay Integral Solutions for Neutral Fractional Differential Equations with Infinite Delays" Math. Meth. Appl. Sci. 38(8), 1601-1622 (2015).

13. Apell J., "Mearures of Noncompactness Condensing Operators and Fixed Points an Application-Oriented Survey", Fixed Point Theory 6(2), 157-229 (2005).

14. Vrabie 1.1., Co-semigroups and applications (North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 2003).

15. Engel K. J., Nagel R., One-Parameter Semigroups for Linear Evolutio Equations (SpringerVerlag, New York, Inc, 2000).

Для цитирования: Ву Тронг Люонг, Нгуен Тан Тунг. Затухающие слабые решения упругих систем со структурным демпфированием при нелокальных условиях // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 1. С. 87-103. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.111

For citation: Vu Trong Luong, Nguyen Thanh Tung. Decay mild solutions for Elastic Systems with Structural Damping involving Nonlocal Conditions. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4(62), issue 1, pp. 87-103. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.111