О нелокальной задаче Коши для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка в банаховом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

О НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© Г. Г. Петросян

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; дробная производная; задача Коши; запаздывание; импульсная характеристика; мера некомпактности; неподвижная точка; уплотняющее мультиотображение.

В настоящей работе доказывается существование решения и компактность множества всех решений задачи Коши для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с нелокальным начальным условием, запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве. Статья состоит из введения и трех параграфов. Во введении обосновывается актуальность данной проблематики и излагается история вопроса. Во втором параграфе описывается постановка задачи. Третий параграф состоит из трех подпунктов, в которых приводятся предварительные сведения. В последнем параграфе формулируется и доказывается основной результат работы (Теорема 4.1).

1. Введение.

Теория дифференциальных уравнений дробного порядка берет свое начало от идей Лейбница и Эйлера, но лишь в последнее время интерес к этой тематике значительно усилился, благодаря интересным приложениям в различных разделах прикладной математики, физики, инженерии, биологии, экономики и др. (см., например, монографии [3], [4], [7], [9], [13], [17], [20], [22], [23], статьи [14], [16], [18] и др.).

В настоящей работе мы рассматриваем полулинейные функционально-дифференциальные включения дробного порядка с нелокальным начальным условием и запаздыванием в банаховом пространстве.

Мы предполагаем также, что изучаемая в данной работе система содержит импульсные характеристики. Отметим, что импульсные дифференциальные уравнения и включения являются удобной моделью для описания динамических систем, подверженным скачкообразным изменениям своего состояния (см. монографии [5], [15], [19]).

В данной работе, применяя теорию топологической степени уплотняющих многозначных отображений (см. [11]), мы доказываем (см. Теорему 4.1) существование решения и компактность множества решений задачи Коши для полулинейных функционально-дифференциальных включений указанного класса.

2. Постановка задачи.

Пусть E — банахово пространство. Для разбиения отрезка [0, T] точками 0 < ti < <...<tm <T, m ^ 1, и функции c :[0,T ] ^ E обозначим

c(t+) = lim c(tk + h),

3129

c(t,) = lim c(tk + h), k h^0-

для 1 ^ k ^ m.

Мы будем рассматривать существование решения для полулинейного функциональнодифференциального включения с дробной производной в банаховом пространстве E следующего вида:

Dau(t) € Au(t) + F(t,ut,u(t)), t € [0,T]\{t1,..., tm} , (2.1)

с нелокальным начальным условием:

u(s) + g(u)(s) = §(s), s € [-h, 0], (2.2)

где Da, 0 <a < 1, — дробная производная Риманаиувилля, A : D(A) C E ^ E —линейный замкнутый оператор в E, порождающий сильно непрерывную полугруппу eAt, t ^ 0, F: [0, T] х PC([-h, 0]; E) x E ^ E — мультиотображение с непустыми выпуклыми компактными значениями. Здесь PC([-h, 0]; E) обозначает пространство всех кусочно-непрерывных функций на интервале [-h, 0] со значениями в E, с нормой

WuWvC{[-h,0\]E) = J h Wu(TdT,

и ut €PC ([-h, 0]; E) характеризует предисторию функции до момента t € [0,T ], то есть ut(6) = u(t + в), в € [-h, 0].

Будем полагать, что искомая функция удовлетворяет в моменты ti, ..., tm условиям импульсных воздействий:

u(t+) = u(tk)+ Ik(u(tk)), k = 1,... ,m, (2.3)

где Ik : E ^ E — непрерывные импульсные функции.

Пусть Ce[-h; T] — линейное пространство функций u :[-h; T] ^ E, непрерывных на [-h, T]\ {ti,..., tm} и таких, что левые и правые пределы u(t-) и u(t+), 1 ^ k ^ т, существуют и u(t-) = u(tk), с нормой:

Ысе [-h;T\ = SUP lu(t)lE . (2Л)

E t&[-h,T \

Нетрудно видеть, что пространство Ce[-h; T] , снабженное нормой (2.4), является банаховым пространством и что классическое пространство непрерывных функций C([-h,T]; E) является его замкнутым подпространством.

Предполагается, что отображение g : CE[-h; T] ^ C([-h, 0]; E) непрерывно, и задана функция § € C([-h, 0]; E).

Для удобства обозначим t0 = -h, tm+1 = T. Тогда для z €Ce[-h; T] обозначим ?k € C ([tk ,tk+1]; E), k = 0,...,m, — функции, заданные соотношениями: 2k (t) = Zk (t), t € (tk ,tk+1]; 2k (tk ) = Zk (t+). Более того, для множества Q C Ce [-h; T ] обозначим

2 k C C ([tk ,tk+1}; E), k = 0,...,m, множества 2 k = {2k : z € D} .

Нетрудно проверить следующее утверждение.

Лемма 2.1. Множество QcCe[-h; T] относительно компактно в Ce[-h; T] тогда и только тогда, когда каждое множество 2k, k = 0,... ,m, относительно компактно в C ([tk ,tk+1\; E).

Из данного предложения и классической теоремы Арцела-Асколи вытекает следующий критерий относительной компактности множества в пространстве Ce [-h; T] .

3130

Лемма 2.2. Множество QcCe[—h; T] относительно компактно в Ce[—h; T] тогда и только тогда, когда Q равностепенно непрерывно на каждом промежутке (tk,tk+i), k = = 0,... ,m, и множество Q(t) = {z(t): z € Q} относительно компактно в E для t € [0, T ] .

3. Предварительные сведения.

3.1. Дробные первообразная и производная.

Определение 3.1. (см. например [20], [22]). Дробной первообразной порядка а € (0,1) от функции g € Li([0,T]; E) называется функция I0^g следующего вида:

1 ft

I^g(t) = га Jo (t - s)a-1g(s) ds>

где Г —гамма-функция Эйлера

Г

Г(а) = I xa-ie-xdx.

Jo

Определение 3.2. Дробной производной Римана—Лиувилля порядка а € (0,1) от функции g € Li([0,T]; E) называется функция D^g следующего вида:

1 d i'1 Dsg(t) = nr-aj it I(t - s)-ag(s) ds

3.2. Многозначные отображения.

Пусть E — банахово пространство. Введем следующие обозначения:

P(E) = {A CE : A = 0} — множество всех непустых подмножеств E.

Pv(E) = {A € P(E): A выпукло} ;

K(E) = {A € P(E): A компактно} ;

Kv(E) = {Pv(E) П K(E)} — множество всех непустых компактных и выпуклых подмножеств E.

Определение 3.3. (см. например [1], [11]). Пусть (A, ^) —некоторое частично упорядоченное множество. Функция ß :P(E) ^ A называется мерой некомпактности (МНК) в E , если для любого Q€ P(E) выполняется:

ß (CoQ) = ß( Q),

где Co Q обозначает замыкание выпуклой оболочки Q .

Мера некомпактности ß называется:

1) монотонной, если для любых Q0, Qi € P(E) , из Q0 С Qi следует, что ß(Q0) ^ ß(Qi);

2) несингулярной, если для любого a €E и любого Q€ P(E) выполнено ß({a} U Q) =

= ß (Q).

Если A — конус в банаховом пространстве, то ß называется:

3) правильной, если для любого относительно компактного множества Q €P(E), ß(Q) = = 0;

4) вещественной, если A — множество вещественных чисел R, с естественным упорядочением.

Примером вещественной меры некомпактности, обладающей всеми выше перечисленными свойствами, является мера некомпактности Хаусдорфа х(Q):

х(Q) = inf{е > 0, при которых Q имеет конечную £ -сеть в E }.

Нам понадобятся следующие меры некомпактности в пространстве Ce[-h; T] :

3131

(1) модуль послойной некомпактности:

ф : P(Ce[-h; T]) ^ R+, ф( Q) = sup x( Q(t)),

t&[-h,T ]

где x — мера некомпактности Хаусдорфа в E и Q(t) = {u(t),u € Q} ,

(2) модуль равностепенной непрерывности:

mode : P(CE[-h; T]) ^ R+, mode ( Q) = max mode ( Qk),

l^k^m

где

mode(Qk) = lim sup max ||u(ti) - u(t2)\\-

s^0u£üк ltl-t2l<5

Нетрудно видеть, что обе меры некомпактности удовлетворяют всем вышеперечисленным свойствам, кроме свойства правильности.

Пусть L : E ^ E —ограниченный линейный оператор, тогда х -норма L определяется

как

l|LN(x) = x(L(B)),

где B С E —единичный шар E. Нетрудно видеть, что ||L||(x) ^ ||L||.

Определение 3.4. (см. например [2], [11]). Пусть X — метрическое пространство. Многозначное отображение (мультиотображение) F: X ^ P(E) называется:

(i) полунепрерывным сверху(п.н.с.), если F-i(V) = {x € X : F(x) С V} — открытое подмножество X для любого открытого множества V CE;

(ii) замкнутым, если график = {(x, y): y € F(x)} — замкнутое подмножество X х E;

(iii) компактным, если F(X) относительно компактно в E;

(iv) квазикомпактным, если сужение на любое компактное подмножество A С X компактно.

Нам понадобятся в дальнейшем следующие утверждения (см. [11]).

Лемма 3.1. Пусть X и Y — метрические пространства и F: X K(Y) — замкнутое квазикомпактное мультиотображение, тогда F — п.н.с.

Определение 3.5. (см. [1], [11]). Мультиотображение F: X CE K (E) называется уплотняющим относительно МНК ß (ß -уплотняющим), если для любого ограниченого множества С X, не являющегося относительно компактным, выполнено:

ß(F(Q))t ß(Q).

Справедлива следующая теорема о неподвижной точке для уплотняющих мультиотображений (см., например, [11]).

Т еорема 3.1. Пусть M — выпуклое замкнутое подмножество E и F: M. ^ Kv(M) — ß -уплотняющее мультиотображение, где ß -несингулярная мера некомпактности в E. Тогда множество неподвижных точек F: FixF := {x: x €F(x)} — непустое компактное множество.

3.3. Измеримые мультифункции.

Напомним некоторые понятия (см., например, [2], [11]). Пусть E — банахово пространство.

Определение 3.6. Мультифункция G : [0, T ] K (E), для p ^ 1, называется:

3132

•Lp -интегрируемой, если она допускает Lp -интегрируемое сечение по Бохнеру, то есть существует функция g € Lp ([0, T]; E) такая, что g(t) € G(t) для п. в. t € [0, T];

•Lp -интегрально ограниченой, если существует функция £ € Lp([0,T]) такая, что

\\G(t)\\ := sup {\\g\\E : g € G(t)} < £(t)

для п. в. t € [0, T].

Множество всех Lp -интегрируемых сечений мультифункции G :[0,T] ^ K(E) обозначается SGG.

Для Lp -интегрируемой мультифункции G определен многозначный интеграл

J G(s)ds := ^ J g(s)ds : g € Sg|

для любого £ € [0, Т].

Лемма 3.2. (см. [11], Теорема 4.2.3) Пусть Е — сепарабельное банахово пространство. Пусть С: [0, Т] ^ Р(Е) Ьр -интегрируемая и Ьр -интегрально ограниченная мультифункция такая, что

Х(С(£)) < Я(£)

для п. в. t € [0,T], где q € L+([0,T]). Тогда

ft rt

>0

X(i G(s)ds) < f q(s)ds 00

для всех £ € [0,Т]. В частности, если мультифункция С : [0,Т] ^ К(Е) измерима и Ьр интегрально ограничена, то функция х(С(-)) интегрируема, причем

t

0

для всех t € [0, T].

Х(! G(s)ds) < f x(G(s))ds

00

4. Теорема существования решения.

Пусть E — сепарабельное банахово пространство. Обозначим I = [0,T] \{ti,... ,tm} . Рассмотрим мультиоператор F : I xPC([-h, 0]; E) х E Kv(E), удовлетворяющий следующим условиям:

(F1) мультифункция F(■,§,u):[0,T] ^ Kv(E) допускает измеримое сечение для всех ($,u) € PC([-h, 0]; E) х E;

(F2) мультиотображение F(t, ■, ■): PC([-h, 0]; E) х E ^ Kv(E) — п.н.с. для п. в. t € I;

(F3) для каждого n € N, найдется функция wn € L^([0,T]) такая, что для любой функции u €Ce[-h; T], удовлетворяющей оценке ||и||Св—h.T] ^ п, выполнено:

\\F (t,ut,u(t))\\ := sup {\\f \\E : f € F (t,ut,u(t))} ^ Wn(t) п.в. t € I.

Для u €Ce[-h; T] рассмотрим мультифункцию

Фр : [0,T] ^ Kv(E), Фр(t) = F(t,ut,u(t)).

Ясно, что функция t € [0, T] ^ u(t) € E кусочно-непрерывна, а функция t € [0, T] ^ ut € € PC([-h, 0]; E) непрерывна. Тогда (см., например, [2], Теорема 1.5.22) мультифункция Фр является Lp -интегрируемой для любого p ^ 1.

3133

Пусть Те : Се[-Н; Т] ^ Ьр([0,Т]; Е) — суперпозиционный мультиоператор, заданный следующим образом:

Те (и) = врф р.

Следуя [2], Теорема 1.5.30 и Замечание 1.5.32, можно установить следующее свойство замкнутости суперпозиционного мультиоператора.

Лемма 4.1. Пусть {ип} — последовательность в Се[-Н; Т], сходящаяся к

и* €Се[-Н; Т]. Предположим, что существует последовательность {фп}с Ьр([0,Т]; Е), фп €Тр(ип), слабо сходящаяся к функции ф*. Тогда ф* €Тр(и*).

Наложим на мультифункцию Е следующее условие регулярности, выраженное в терминах мер некомпактности:

(Е4) найдется функция ц € Ьж([0,Т]) такая, что для любых ограниченых множеств А сТС([-Ь, 0]; Е) и Q с Е, мы имеем:

х(е(г, А, Q)) ^ у(г)(ф(А) + хт п. в. г € I,

где х — мера некомпактности Хаусдорфа в Е, ф(А) = вир, -л<е<0 х(А(в));

А(в) = {я(в),я € А} , в € [-Н, 0].

Нетрудно видеть, что в случае, когда пространство Е конечномерно, условие (Е4) вытекает из (Е3).

Если ёт(Е) = +гс>, то частным случаем выполнения условия (Е4) является ситуация, когда мультиотображение Е(г, ■, ■): ТС([-Н, 0]; Е) х Е Ку(Е) вполне полунепрерывно сверху для п. в. г € [0, Т] , то есть оно п.н.с. и преобразует каждое ограниченное множество в относительно компактное.

На оператор А, отображение д, функцию § и импульсные функции Хк из задачи (2.1)-(2.3) мы накладываем следующие условия:

(А) А : Е(А) с Е ^ Е —линейный замкнутый оператор в Е , порождающий сильно непрерывную полугруппу еА4, где г ^ 0 .

Заметим, что из условия (А) следует, что существует константа 3 ^ 1 такая, что \\ем\\цЕ) ^ 3 для любого г € [0,Т].

(д\) д : Се[-Н; Т] ^ С([-Н, 0]; Е) — вполне непрерывное отображение;

(д2) найдется такая последовательность {рп} , что для любого и €Се[-Н; Т], ||и|| ^ п,

выполнено \\д(и)\\ ^ рп и при этом:

1. 3 рп

иш ----- < 1;

п^ж п

(§) § € С([-Н, 0]; Е) —заданная функция;

(Х1) функции Хк : Е ^ Е, 1 ^ к ^ т являются вполне непрерывными;

(Х2) функции Хк, 1 ^ к ^ т являются глобально ограниченными, то есть существует такое N > 0, что \\Хкх\\ ^ N для всех х € Е.

Определение 4.1. Интегральным решением на [-Н,Т ] задачи (2.1)-(2.3) называется функция и €Се[—Н, Т] вида:

и( г) =

§(г)- д(и)(г), г € [-Н, 0];

ем(^§(0) - д(и)(0) + Хк(и(гк^) +

+га) /(г - s)a-leA(t-s')ф(s)ds, г € [0, т],

где ф(,в) €Те(и).

3134

Для нахождения интегральных решений задачи (2.1)-(2.3) зафиксируем р> 1/а и рассмотрим отображение

5 : Ьр([0,Т]; Е) — С([0,Т]; Е),

5(ф)(г) = Г(а) /о еА{4-^(г - ^а-1ф(^с^.

Рассмотрим мультиоператор Я : Се [-Н,Т ] ^ Се [-Н,Т ] , заданный следующим образом:

Я (и) = ] (и) + 5 о Те (и),

где

.( )()= ( §(г)- g(u)(г), г € [-Н 0];

1 <ит - | ем(^§(0)-д(ит + Ек<1 Хк(и(гк}}), ге[0,т].

(Мы считаем значения мультиоператора 5 о Те естественно продолжеными нулем на промежутке [-Н, 0]).

Применяя теорему Арцела-Асколи и свойства (А), (д\), (Х1), несложно проверить следующее утверждение.

Лемма 4.2. Оператор . вполне непрерывен.

Ясно, что функция и €Се[-Н; Т] — интегральное решение задачи (2.1)-(2.3) на интервале [-Н; Т] тогда и только тогда, когда она является неподвижной точкой мультиоператора Я. Нашей задачей является показать, что Я имеет неподвижную точку.

Определение 4.2.(см. [11]) Последовательность функций {{п} с Ьр([0,Т ]; Е) называется полукомпактной, если она Ер -интегрально ограничена, то есть

Н£п(г)||Е К v(г) для всех п = 1, 2,... и п. в. г € [0,Т],

где V € Ьр([0,Т]), и множество {£п(г)} относительно компактно в Е для п. в. г€ [0,Т]. Лемма 4.3. Оператор 5 обладает следующими свойствами:

(51) существует константа С> 0 такая, что

1|5(0(г) - 5(п)(г)\\рЕ К Ср Г - ф)\\рЕ ds, £,п € Щ[0,Т\);

■)о

(52) для каждого компактного множества К с Е и последовательности {{п} с Ьр ([0,Т ]; Е) такой, что {£п(г)} с К для п. в. г€ [0,Т ], слабая сходимость {п ^^0 влечет сходимость 5(£п) — 5(£0) в С([0,Т]; Е).

Доказательство. (51) Используя неравенство Гельдера, мы имеем:

«я(№) - ЭШПе К гЩ I еА“-*(г - *Г-1 ||£М - пМЬ ds к

[ г ] Р—1 [ г 1

/ (г - .з)(а-1)р/р-1с1з / ||e(s) - пШЕ d

^о \ и о

3

К

Г(а)

Тогда

1|5(е)(г) - 5(п)(г)\\рЕ К Ср (||£^ - пШЕds,

о

где

С=

р - 1 ар - 1

Г(а)

3135

(52) Применяя Лемму 3.2, мы получим:

1 С1

х(№,)(г)}) К ^ ^ еА{‘-,)(г - 8)а-1х({(„(<*)})л» = 0.

Это означает, что последовательность {5(Сп)(г)}^=1 с Е относительно компактна для каждого г € [0,Т].

С другой стороны, если мы возьмем г', г" € [0, Т ] такие, что 0 <г' <г'' К Т, и достаточно малое число е > 0, то мы получим следующую оценку:

115(Ш') - 5(Ш)11е к

1

¡■г"

/ (г" - ,з)а-1еА(г"-з)£п(,з)с1,в-

о

К

1

+

Г(а)

1

ГЩ

К

г(а)

+

+

1

Г(а)

1

г(а)

г(а)

- I (г' - s)a-1 еА(г'-s)(n(s)ds о

рг' — £

/ [(г'' - s)a-1eA(t''-s) - (г' - ,з)а-1еА(г'-s)]Cn(s)ds

о

[ [(г'' - s)a-1eA{t''-s) - (г' - s)a-1 еА(г'-s)](n(s)ds

Jt' —£

гИ '

/ (г'' - s)a-1eA(t''-s)Cn(s)ds

■н;

/*Ъ —£

/ [(г'' - ,з)а-1 - (г' - s)a-1]eA(t'-s)Cn(s)ds

о

ГХ! — £

/ (г'' - s)a-1eA(t'-£—)[еА(г''-г'+£) - eA£]^n(s)ds

о

[ [(г'' - s)a-1eA(t''-s) - (г' - s)a-1 еА(г'-s)](n(s)ds

•Л ' —£

гИ '

/ (г'' - ,в)а-1еА(г''-^£п(,з)с1,в ■к'

+

Е

+

Е

гЩ)

+

+

Е

Г(а)

3

о

а '

г

Ъ' —£

[(г'' - s)a-1 - (г' - s)a-1]Cn(s) ds+

г(а) о

рЪ' —£

+ \\еА(г''-+£ - еА£\\ь{Е) (г'' - s)a-1(n(s) ds+

о

+ [ (г'' - s)a 1Cn(s) ^ + [ (г' - s)a 1Cn(s) ^ + [ (г'' - s)a 1Cn(s) .

■)г'-£ .)г'-£ .)г' у

Поскольку {^^^ с К для п. в. s € [0, Т], правая часть последнего неравенства, в силу малости е, равномерно, относительно п, стремится к 0 при г'' — г'. Поэтому последовательность {5(£п)} равностепенно непрерывна. Из теоремы Арцела-Асколи мы получаем, что последовательность {5(£п)}с С([0,Т]; Е) относительно компактна.

3136

Из свойства (51) вытекает, что 5: ЕР([0,Т]; Е) -— С([0,Т]; Е) —ограниченый линейный оператор. Тогда этот оператор непрерывен относительно топологии слабой секвенциальной сходимости, то есть слабая сходимость £п ^£0 влечет 5(£п) ^5(£о). Поскольку последовательность {5(£п)} относительно компактна, мы приходим к заключению, что 5(£п) — 5(£о) в С([0,Т]; Е). Лемма доказана.

Нам понадобится следующий технический результат, доказательство которого может быть проведено по схеме Теоремы 4.2.1, Следствия 4.2.1 и Замечаний 4.2.1 и 4.2.2 из [11].

Лемма 4.4. Пусть последовательность функций {{п}с Ьр([0,Т]; Е) является Ьр -интегрально ограниченной. Предположим, что

х({пг)}) К к(г)

для п. в. г € [0,Т], где д € Ьр([0,Т]). Тогда для любого 5> 0 существует компактное множество К§ с Е и множество т§ с [0,Т], с лебеговой мерой (т§) <5, а также последовательность функций С§ с Ьр([0,Т]; Е) со значениями в К§, такие, что для каждого п ^ 1 существует функция Ьп € С$, для которой

||£п(г) - Ьп(г)\\Е К 2д(г) + 5, г € [0,т]\т§.

Более того, последовательность {Ьп} может быть выбрана так, что Ьп = 0 на т§ и эта последовательность слабо компактна.

Используя этот результат, докажем следующее утверждение.

Лемма 4.5. Пусть последовательность функций {{п}с Ьр([0,Т]; Е) удовлетворяет условиям Леммы 4.4. Тогда мы имеем:

X ({5(Сп)(г)}) К 2С^^ ^

для всех г € [0, Т].

Доказательство. Мы проведем доказательство, следуя Теореме 4.2.2 из [11]. Для е> 0 подберем 5 € (0, е) такое, что для всех т с [0,Т], с мерой (т) <5, мы имеем:

/ I*(s)Ip <e.

J m

Беря т§ и Ьп, соответствующие {£п} из Леммы 4.4, мы, используя Лемму 4.3, получаем, что последовательность {5(Ьп)} относительно компактна в С([0,Т]; Е). Более того,

\№n)(t) - S(bn)(t)\\pE < Cp f ||£ra(S) - bn(s)\\pE ds <

J0

< Cp f ||£n(s) - bn(s)\\PE ds + Cp / Mn(s)\\PE ds <

J[0,t]\mg J[0,t]nmg

< Cp Î [2q(s) - ô]p ds + Cp Î I*(s)IP ds < Ср([* I2q(s) + eIP ds + Л.

J[0,t]\mg Jmg \Jo J

( t \1/p

Поэтому относительно компактное множество SGs (t) — это C (f0 I2q(s) + eIp ds + e) -

сеть для множества {S(£n)(t)} . Это и доказывает лемму, в силу произвольности е> 0. Лемма доказана.

Лемма 4.6. Пусть {£n} — полукомпактная последовательность в Lp([0,T]; E). Тогда {£n} слабо компактна в Lp([0,T]; E), и множество {S(£n)} относительно компактно в C([0,T]; E). Более того, если £n ^£0, то S(£n) ^ S(£0).

3137

Доказательство. Слабая компактность {£п} в Ьр ([0, Т ]; Е) является следствием результата [6], Следствие 3.4. Поскольку множество {£п(г)} относительно компактно в Е для п. в. г € [0,Т], то из Леммы 4.5 следует, что последовательность {5(£п)(г)} относительно компактна в Е для п. в. г € [0, Т].

С другой стороны, из Определения 4.2 следует, что существует функция V € Ьр(0, Т) такая, что

№п(г)\\ К V(г)

для всех п = 1, 2,... и г € [0, Т ].

Благодаря неравеству Гельдера, если мы возьмем г', г'' € [0, Т] такие, что 0 <г' < г'' К Т, и достаточно малое число е > 0, то мы получим следующую оценку:

115(Ш') - 5(Ш)11е К

1

[ (г'' - s)a-1eA(t''-s)(n(s) ds—

о

К

1

+

Г(а)

1

Га)

К

Г(а)

+

+

1

г(а)

1

г(а)

г(а)

- [ (г' - ,з)а-1еА(Х'-^£п№ ds

о

рХ — £

/ [(г'' - ,в)а-1 еА(г''--з) - (г' - ,в)а-1еА(г'-s)]Cn(s)

0

1 [(г'' - s)a-1eA(t''-s) - (г' - ,з)а-1еА(г'-^](п^) ds Jt' —£

гг''

/ (г'' - ,в)а-1еА(г''—)£п(,в) с1,в

рх'—£

/ [(г'' - ,з)а-1 - (г' - s)a-1]eA(t'-s)Cn(s) ds

о

рх! —£

/ (г'' - s)a-1eA(t'-£—) [еА(х''-х'+£) - е^п^) ds

о

[ [(г'' - s)a-1eA(t''-s) - (г' - s)a-1eA(t'^) ds

■П'-£

гХ"

/ (г'' - s)a-1eA(t''-s)£п№ ds

■>Х'

+

Е

+

Е

Г(а)

+

+

Е

г(а)

3

а.'-'

[(г'' - s)a-1 - (г' - s)a-1]Cn(s) ds+

г(а) о

рХ —£

+ \\еА(Х''-х- еА£\\ь{Е) (г'' - s)a-1(n(s) ds+

о

+ [ (г'' - s)a 1Cn(s) ^ + [ (г' - s)a 1Cn(s) ^ + [ (г'' - s)a 1Cn(s) К

■)х;-£ .)х;-£ Jt' у

К

г(а)

( х—£ \ 1/р' ( х'—£ \ 1/р

П [(г'' - s)a-1 - (г' - s)a-1]p' dsJ (у V ^ dsj +

3138

+ \\еА(Х'-' +е) - еМ^ь{Е)

+

\ 1/р' ( '-£ \ 1/р

(г'' — в)(а-1)р' dsj П V^)|р dsJ +

(г'' — в)(а-1')р 1^^)|р+

'

+

Г(а) у —

( Г'

Г(а) \ Л'-£ ■] ' г'

1/р

IV ^)|р d^ +

+

Г(а)

( '' \1/р' ( '' \1/р

Ц (Ь" — s)(a-1)p dsJ Ц IV^)|р dsJ ,

где р' сопряжено р. Последнее неравенство влечет равностепенную непрерывность {5({га)} в С([0,Т]; Е) и, следовательно, относительную компактность в С([0,Т]; Е). Окончательное заключение справедливости леммы получается так же, как и в доказательстве Леммы 4.3. Лемма доказана.

Л е м м а 4.7. При выполнении условий (А), (Е1) — (Е4), (д1) — (д4), (&) и (11) — (12), мультиоператор

д = з + б ◦ гР

замкнут и имеет компактные значения.

Доказательство. В силу Леммы 4.2, утверждение теоремы достаточно доказать для мультиоператора Б оРр. Пусть {уп} — последовательность в Се[—Н; Т] такая, что уп ^ V* €Се [—Н; Т] и хга € Б оРР (ьп), хга ^ х* в Се [—Н; Т ]. Будем считать, что £га €РР (ьп) и хга = Б(£га) € Б(РР(Vга)). Докажем, что х* € Б(РР(V*)).

Так как

(г) € е(г, ^п)'^п(г)) для п. в. г € [0,т},

то согласно условию (Е3), последовательность {£га} Тр -интегрально ограничена и из (Е4) следует, что

X ({£га(г)}) < Кг)(кФ({^п)'}) + Х(Ыг)})) для п. в. г € [0,Т}.

Последовательность {Vга} сходится в Се[—Н; Т], поэтому х(^п(Ь)}) = 0 для г € [0,Т].

С другой стороны

Ф({Ы'}) = йир х({^п(г + 0))}) < ®ир х({^п(-^)}) = о.

8&[-Н,Т ]

Следовательно х({Сп(г)}) = 0 для п. в. г € [0,Т], и последовательность {£га} полуком-пактна. Из Леммы 4.6 следует, что мы можем предположить, без ограничения общности, существование £* € Ьр([0,Т]; Е) такого, что £га * и хга = Б(£га) ^ Б(£*) = х*.

По Лемме 4.1, мы получаем, что £* €РР(V*) и поэтому х* = Б(£*) € Б(РР(V*)).

Нам остается показать, что для V €Се [—Н; Т ] и {£га} выбраного в Рр (V), последовательность {Б(£га)} относительно компактна в С([0,Т]; Е). Свойства (Е3) — (Е4) влекут полукомпактность {£га} . По Лемме 4.6, мы имеем, что последовательность Б(£га) относительно компактна в С([0,Т]; Е). Значит последовательность Б(£га) относительно компактна в Се([—Н,Т]; Е). Лемма доказана.

Лемма 4.8. Мультиоператор д — п.н.с.

Доказательство. Используя Лемму 3.1 и Лемму 4.7, достаточно доказать, что д — квазикомпактное мультиотображение. Используя Лемму 4.2, сведем проверку к

3139

мультиоператору Б оРр . Пусть У сСе ([—Н,Т ]; Е) — компактное множество, докажем, что Б оРр (У) —относительно компактное подмножество С ([0,Т ]; Е). Предположим, что {хга} С Б оРр (У), тогда хга = Б(£га), где £га €Рр (Vга) для некоторой последовательности ига С У. Согласно свойствам (Е3), (Е4) последовательность £га полукомпактна и, следовательно, слабо компактна в Рр([0,Т]; Е).

Согласно Лемме 4.6, последовательность {хга} относительно компактна в С([0,Т]; Е). Лемма доказана.

Для доказательства уплотняемости мультиоператора д введем векторную меру неком-пактности в пространстве Се([—Н,Т]; Е) :

V : Р(Се [—Н; Т]) ^ М+, со значениями в конусе М+, заданную как

V (О) = (Ф(О),шоСс (О)).

Обозначим 3(х) = йир'^[0,Т] ||еА'||(х).

Лемма 4.9. Для того чтобы оператор д был уплотняющим относительно меры некомпактности V, достаточно чтобы

*=2Чи < ■■ ™

Доказательство. Пусть О ССе [—Н; Т ] —непустое ограниченное множество и

V(д(О)) ^ V(О), (4.2)

покажем, что О —относительно компактное множество.

Если г € [—Н, 0], то в силу условия (д1)

х(д (О)(г)) =0.

Пусть теперь г € [0,Т] и пусть О' = {щ; и € О}. Рассмотрим многозначную функцию s € [0,г] ^ С^) С Е ,

С^) = |(г — s)a-1eA(t-s')ф(s), ф € РР(и), и € о| .

В силу ограниченности О, она для некоторого п ^ 1, интегрально ограничена функцией:

s (г — s)a-13wn(г),

где wгa(■) — функции, определенные в условии (Е3).

Оценим х(С^)) :

и€ О) ) <

х(од) <(г — sГ-1\\eA(t-s)\\(x)x({ф^), ф€Рр(и), и€О}

^ (г — s)a-1з(х)^)(х(О^)) + ФО)) < 2(г — s)a-1з(х) |М|те ф(О).

3140

Оценим теперь x(G(^)(t)^), t £ [0,Т] :

х(G (^)(t)) = х( {S oVF (tt)(t)}^) < ^ г(а) J0 G(s)ds)

- ч-,— , К

О

2 с' 2 га

к ад 3(х) !Ы» Ф(О) . ( — *Г-'<с.* к ^з(х) !Ы» аФт к

2Т а

К Г(аТТ) 3(Х) М. *(О) = уФ(О)-

Таким образом, при всех г € [—Н, Т] получаем:

х(д(о)(ь)) к уф(о),

а, следовательно,

ф(д(О)) К Уф(О). (4.3)

Сравнивая (4.2) с (4.3), получаем, что ф(О) =0. Из доказательства Леммы 4.6 следует, что множество Б оРр (О) равностепенно непрерывно, теперь, воспользовавшись Леммой

4.2, мы имеем:

шоСс( д (О)) = 0,

значит v(Q) = (0, 0). Тогда мы заключаем, что Q —относительно компактное множество, а оператор G является уплотняющим относительно меры некомпактности v. Теорема доказана.

Замечание. Отметим следующие частные случаи выполнения условия (4.1):

1) ||^||те = 0, то есть F вполне полунепрерывно сверху по второму и третьему аргументам в совокупности;

2) J=0, то есть полугруппа eAt компактна.

Мы можем сформулировать теперь основной результат этой работы.

Теорема 4.1. При выполнении условий (А), (F1), (F2), (F3), (F4), (g{) — (g2), ($), (I1) — (I2), (4.1) и асимптотического условия:

Иш = 0, (4.4)

n

где wn( ) —функции, определенные в условии (F3), множество решений задачи (2.1)-(2.3) на Ce [—h; T] непусто и компактно.

Доказательство. Из Леммы 4.8 и Леммы 4.9 нам известно, что мультиоператор G п.н.с. и v -уплотняющий. Для того, чтобы применить Теорему 3.1, мы покажем, что существует R> 0 такое, что G(Br) С Br, где Br — замкнутый шар радиуса R в пространстве Ce[—h; T]. В предположении противного, найдется последовательность функций un £Ce[—h; T], удовлетворяющая оценкам ||мп||Св—h.Т] ^ n для всех n ^ 1 и такая, что для некоторой последовательности zn £ G(un) будет выполнено ||<гп||Св —h-T] >n. Это, в свою очередь, означает, что будет выполнена, по меньшей мере, одна из оценок

У >ni (4-5)

для некоторой подпоследовательности {ni} ,i = 1, 2,..., или

11 Zn j II > nj (4.6)

для некоторой подпоследовательности {nj } ,j = 1, 2,..., где гщ = zщ | [—h,0] и = Zn¿ |[о,т]-

3141

В случае первой серии оценок мы имеем:

хП1 (г) = Щ(г) — д(ига1 )(г), г € [—Н,0],

и, следовательно,

Ихга; || к Щ + \д(ига1 )И К Щ + Рщ, где {рга} — последовательность из условия (д2). Тогда получаем:

1 < 11^|| К Щ + Рга± п п1 п

что противоречит условию (д2) в силу того, что 3 ^ 1.

В случае второй серии оценок мы имеем:

'

Znj (t) = eAt($(0) - g(unj )(0) + Ik (Unj (tk ))) + YO) f (t - s)a l&A(t s)^(s)ds, t G [°,T ],

tk <t 0

где ф(,в) GVf(Unj).

Применяя свойства (12) и (F3), получаем оценку

t

\E V 11" WC([-h,0\;E) 1 ЦУ\^nj)\^) He' + mJ N +

YZnj (t)\\E < J (ll^llca-h^E) + \\g(unj )(0)\\E) + mJN +ГО) Jo (t - s)a lwnj (s)ds

/и II \ J \\wn. \ I [l ,

< J (N^Nc (-h,0\;E) + \\g(un3 )\c ([-h,0\;E)j + mJN + ~Г(а)^ J0 ^ - ^ ^ ^

J \ wnj \ T

< J (jmic ([-h,0\;E) + \\g(unj )\\c ([-h,0\;E)J + mJN + ~r(a+i^ ^

i \ , J \\wni || Ta

< J (ll# llc([-h,0\;E) + pnj) + mjN + ~Га+~[у~'

Отсюда, мы имеем:

1 1 ( \ 1 1 J \wnj I Ta

П \\ce ^ < -J (N^Nc([-h>0\;E)+pn>) + nmJN+щ—та+lr ■

Применяя условия (g2) и (4.4), мы получим противоречие. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. — Новосибирск, Наука, 1986.

2. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных оторбажений и дифференциальных включений. Издание 2-е, испр. и доп. — М.: Книжный дом «Либроком», 2011.

3. Abbas S., Benchohra M., N’Guerekata G.M. Topics in Fractional Differential Equations. Developments in Mathematics, Springer, New York, 2012.

4. Baleanu D., Diethelm K., Scalas E, Trujillo J.J. Fractional Calculus Models and Numerical Methods, World Scientific Publishing, New York, 2012.

5. Benchohra M., Henderson J., Ntouyas S. Impulsive Differential Equations and Inclusions, Contemporary Mathematics and Its Applications, 2, Hindawi Publishing Corporation, New York, 2006.

6. Diestel J., Ruess W.M., Schachermayer W. Weak Compactness in L1(^,X), Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), 447-453.

7. Diethelm K. The Analysis of Fractional Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin, 2010.

3142

8. Hale J.K., Kato J. Phase Space for Retarded Equations with Infinite Delay. Funkcial. Ekvac. 21 (1978), no. 1, 11-41.

9. Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, Singapore, 2000.

10. Hino Y., Murakami S., Naito T. Functional Differential Equations with Infiniti Delay, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1473, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1991.

11. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 7, Walter de Gruyter, Berlin —New-York, 2001.

12. Ke T.D., Obukhovskii V., Wong N.C., Yao J.C. On a Class of Fractional Order Differential Inclusions with Infinite Delays, Applicable Analysis, Volume 92, Number 1, 2013, pp. 115-137(23).

13. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematics Studies, 204, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2006.

14. Lakshmikantham V. Theory of Fractional Functional Differential Equations, Nonlinear Anal. 69 (2008), no. 10, 3337-3343.

15. Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of Impulsive Differential Equations, Series in Modern Applied Mathematics, 6, World Scientific Publishing Co., Inc., Teaneck, NJ, 1989.

16. Lakshmikantham V., Vatsala A.S. Basic Theory of Fractional Differential Equations, Nonlinear Anal. 69 (2008), no. 8, 2677-2682.

17. Miller K.S., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley, Inc., New York, 1993.

18. Obukhovskii V., Yao J.C. Some Existence Results for Fractional Functional Differential Equations, Fixed Point Theory,11(2010)No.1,85-96.

19. Perestyuk N.A., Plotnikov V.A., Samoilenko A.M., Skripnik N.A. Differential Equations with Impulse Effects. Multivalued Right-Hand Sides With Discontinuities. de Gruyter Studies in Mathematics, 40. Walter de Gruyter Co., Berlin, 2011.

20. Podlubny I. Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1999.

21. Qin Y. Nonlinear Parabolic-Hyperbolic Coupled Systems and Their Attractors. Operator Theory: Advances and Applications, 184. Advances in Partial Differential Equations (Basel). Birkhauser Verlag, Basel, 2008.

22. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives, Theory and Applications, Gordon and Breach Sci. Publishers, Yverdon, 1993.

23. Tarasov V.E. Fractional Dynamics. Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media, Nonlinear Physical Science, Springer, Heidelberg; Higher Education Press, Beijing, 2010.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами РФФИ 11-01-00328 и 12-01-00392.

Поступила в редакцию 28 октября 2013 г.

G. Petrosyan On a nonlocal Cauchy problem for a semilinear functional differential inclusions of fractional order in Banach spaces

In this paper we prove the existence of solutions and the compactness of the set of all solutions of the Cauchy problem for a semilinear functional differential inclusion of fractional order with nonlocal initial conditions, delay and impulse responses in Banach space. In the introduction the urgency of this problem is justified. In the second section we describe the setting of the problem. The third section consists of three sub-sections dedicated to the preliminaries. In the last section we formulate and prove our main result (Theorem 4.1).

Key words: functional differential inclusion; the fractional derivative; the Cauchy problem; delay; MNC; fixed point; multimap.

3143