О задаче управляемости для одного класса полулинейных функционально-дифференциальных включений дробного порядка в банаховом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© Г.Г. Петросян

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; дробная производная; задача управляемости; бесконечное запаздывание; неподвижная точка; мультиотображение.

В настоящей работе приводится теорема существования решения и компактности множества всех решений задачи управляемости для полулинейных функциональнодифференциальных включений дробного порядка в банаховом пространстве.

Пусть E - банахово пространство. Для разбиения отрезка [0,Т ] точками 0 <ti < ...< <tm <T, m ^ 1 и функции c: [0, T ] ^ E обозначим

c(t+) = lim c(tk + h),

K h^0+

c(t-) = lim c(tk + h),

K h^0-

для 1 ^ k ^ m.

Мы рассматриваем задачу управляемости для системы, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением с дробной производной в сепарабельном банаховом пространстве E следующего вида:

Day(t) € Ay(t) + F(t, yt, y(t)) + Bu(t),t € [0, T] = I, (1)

с начальным условием:

y(s) + g(y)(s) = $(s), s € [-h, 0], (2)

где Da, 0 <a< 1, —дробная производная Римана—Лиувилля; A : D(A) С E ^ E —линейный замкнутый оператор в E, порождающий сильно непрерывную полугруппу eAt; F: I х х PC([-h, 0]; E) х E ^ E — мультиотображение с непустыми выпуклыми компактными значениями. Здесь PC([-h, 0]; E) обозначает пространство всех кусочно-непрерывных функций на отрезке [-h, 0] принимающими значения в E и запаздывание yt €PC ([-h, 0]; E) характеризует предисторию функции до момента t € I, т. е. yt(d) = y(t + в), в € [-h, 0]. Предполагается, что отображение g : PC([-h,T]; E) ^ PC([-h, 0]; E) является непрерыв-ним и функция управления u(-) € Lp(I,U), p> 1/а, где U —гильбертово пространство управлений. Оператор B : U ^ E является ограниченым и линейным.

Мультиотображение F и отображение g удовлетворяют следующим условиям:

(F1) Мультифункция F(-,§,$): I ^ Kv(E) допускает измеримое сечение для всех ($,Я) € PC([-h, 0]; E) х E;

(F2) Мультиотображение F (t, ■, ■): PC([-h, 0]; E) х E ^ Kv(E) — полунепрерывно сверху для п. в. t € I;

(F3) Найдется существенно ограниченная функция w € L'X(I,E) такая, что:

llF M^IIe := suP i\\f We : f € F (t,$^)} <

2632

< ■и(г)(1+ \\ЩРе({-Н,0];Е) + 1к ІІЕ) п- в- І Є !>

для всех (її, я) ЄТС([—Н, 0]; Е) х Е;

(Е4) Найдется существенно ограниченная функция ц Є Ь(Х(І,Е') такая, что для лю-

бых ограниченых множеств П СТС([—Н, 0]; Е) и Q С Е, мы имеем:

хе(е(г, п^)) ^ /л{г){ф{П) + хе^)) для п. в. г є I,

где хЕ — мера некомпактности Хаусдорфа в Е, ф(П)=8ирв^0 ХЕ(0(9)); П(в)={д(в),д Є П} .

(д1) д : ТС([—Н,Т]; Е) -^-ТС([—Н, 0]; Е) — непрерывное отображение, преобразующее ограниченное множество в ограниченное.

(д2) Существует ограниченная суммируемая функция I: [—Н, 0] ^ М+, такая, что:

для любого £ € \-Ь, 0] и для любого ограниченного множества О С РС{[-Н, Т]; Е).

{д3) Для любого ограниченного множества О С РС{[-Н,Т]; Е), {д{ф{)); ф € О} —равностепенно непрерывное множество функций и семейство функций

{емд(от}

также равностепенно непрерывно.

Ы

Иш \\д{у)\\гС([-к,0];Е) < х

\\у\\рс([-Ь,Т]-,Е)^ж \\у \\рС([-Ь,Т];Е)

Определение. Интегральным решением задачи (1)—(2), называется функция у :[-Н,Т ] ^ Е вида:

у(г) =

( її (г) — д(у)(г), г є [-Н, 0];

і

еМХ0 + ртОу /(г — 8)а-1еА(і-з) ф(в)Ів+

о

і

+гау /(г — 8Г-1ел(—уБиШ8, г є [0,Т],

т у о

где ф(в, у в, у(в')') Є Е{s,ys,y{s)), и Є Ер(І,и), Хо = її(0) — д(у)(0). Для заданной начальной функции її(-) ЄТС ([—Н, 0]; Е) и заданного Хі Є Е мы будем рассматривать существование решения (у,и) Є С (І,Е) х Ьр(І,и) такого, что: у(г) = її (г) — — д(у)(г), г Є [—Н, 0] и у(Т)= Хі.

Сделаем стандартное предположение о разрешимости соответствующей линейной задачи управляемости, т. е. будем полагать, что линейный оператор управления Ш : Ьр(1, и) ^ Е следующего вида:

1 Гт

1 І л(т_в),„ і

1т

Ши = ^^ еА(т-в)(Т — в)а-1Би(в)Ів,

Г(а) ]о

имеет обратный ограниченный оператор Ш-1: Е Ьр(1, и)/КегШ.

Будем считать, что оператор Ш-1 удовлетворяет следующему условию регулярности:

(Ш) Найдется существенно ограниченная функция 7 Є Ь^(І,Е) такая, что для любого ограниченого множества П С Е, мы имеем:

хи(ш-1(П)(г)^ ^ і(г)хЕ(П) для п. в. г є I,

2633

где хи — мера некомпактности Хаусдорфа в и.

Пусть Се [—Н, Т ] —линейное пространство функций у :[—Н,Т ] ^ Е. Рассмотрим мультиоператор Я :Се[—Н,Т] ^Се[—Н,Т], заданный следующим образом:

G(y)(t) =

' $(t) - g(y)(t),

t г

eAtX0 + гТОГ /(t - s)a-1eA(t-s) ф^) +

( ) о L

+BW-1(xi - eATхо

t € [—h, 0];

T \ ]

-тщ!(T - т)а-1eA(T-т)ф(т)dr) (s) ds, t € [0, T]

где ф{э,уз,у{в)) € ^{в,уз,у{в)).

Можно показать, что функция у €Се[—Н,Т] — интегральное решение задачи (1)-(3) тогда и только тогда, когда она является неподвижной точкой мультиоператора Я.

Пусть Ь : Е ^ Е —ограниченный линейный оператор, тогда х -норма Ь определяется

как

||Ь||“ = х(ь{Б)

где Б С Е —единичный шар Е, нетрудно видеть, что ||Ь||(х) ^ \\Ь\\е. Обозначим через М(х), м(х) положительные константы, такие, что ||еА*||(х) ^ М(х), \\Б

|(х)

(х)

Теорема. При выполнении условий (F 1)-(F4), (g1)-(g4), (W) и условия:

V := max

2TaM(х)

Г(а + 1)

1 +

TaM(x)m1x) w

Г(а + 1)

■))

< 1,

множество решений задачи (1)-(2) на Ce[-h,T] — непусто и компактно.

(

ОО

OG

ЛИТЕРАТУРА

1. Kamenskii M.I., Obukhovskii V.V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Speces. De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. V. 7. / ed. by Walter de Gruyter, Berlin; New York, 2001.

2. Obukhovskii V.V., Zecca P. Controllability for Systems Gaverned by Semilinear Differential Inclusions in a Banach Space with a Noncompact Semigroup. Nonlinear Anal. V. 70 (9). 2008. P. 3424-3436.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами РФФИ 11-01-00328 и 12-01-00392 .

Petrosyan G.G. CONTROLLABILITY PROBLEM FOR A CLASS OF SEMILINEAR FUNCTIONAL DIFFERENTIAL INCLUSIONS OF FRACTIONAL ORDER IN BANACH SPACES

We present an existence theorem for solutions and the compactness of the set of all solutions of the controllability problem for semilinear functional differential inclusions of fractional order in Banach space.

Key words: functional differential inclusion; fractional derivative; controllability problem; infinite delay; fixed point; multimap.

2634