Скорость роста вектора состоянийобобщенной линейной динамической системы со случайной треугольной матрицей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 1

Н. К. Кривулин

СКОРОСТЬ РОСТА ВЕКТОРА СОСТОЯНИЙ ОБОБЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СО СЛУЧАЙНОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ МАТРИЦЕЙ*

1. Введение. При анализе технических, экономических, производственных и других систем находят применение обобщенные линейные динамические модели вида

х(к) = Ат(к) ® х(к — 1),

где А(к) —случайная матрица системы, х(к) —вектор состояний системы, ® —операция умножения матриц, заданная в некоторой идемпотентной алгебре [1]. Такие модели оказываются, в частности, весьма удобным инструментом описания и изучения некоторых классов систем и сетей с очередями [2].

При исследовании реальных систем часто представляет интерес определение средней скорости роста вектора состояний системы

7 = Ит 1\\х(к)\\,

к^ж к

где || • ||—некоторый идемпотентный аналог обычной векторной нормы. При анализе стохастических моделей, в которых матрица системы является случайной, точное решение указанной задачи часто оказывается достаточно трудным [3]. Имеющиеся результаты, по существу, ограничиваются случаем систем с матрицей малой размерности, элементы которой независимы и одинаково распределены по экспоненциальному или нормальному закону, а также систем с матрицами специальной формы. В частности, в [4, 5] показано, как средняя скорость роста вектора состояний может быть вычислена для системы произвольной размерности с треугольной матрицей специального вида, которая появляется при описании динамики одного класса сетей с очередями.

В настоящей работе рассматривается обобщенная линейная динамическая система с произвольной треугольной случайной матрицей. Показано, что при достаточно общих условиях средняя скорость роста вектора состояний системы определяется только средними значениями диагональных элементов матрицы. При этом требуется, чтобы случайные элементы матрицы имели распределения вероятностей с ограниченным средним и дисперсией, однако их независимость не является необходимой.

2. Идемпотентная алгебра. Под идемпотентной алгеброй обычно понимают некоторое полукольцо с идемпотентным сложением [1]. Будем рассматривать полукольцо с операциями сложения и умножения

х ф у = шах(х, у), х ® у = х + у,

заданными на расширенном множестве вещественных чисел Ке = Ки{е}, где е = —ж. Следует, однако, заметить, что представленные ниже результаты могут быть легко переформулированы для других типов полуколец, например, для полукольца с операциями х ф у = шш(х,у) и х ® у = х + у, которые определены для любых х,у € К и{+ж}.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04-01-00840). © Н. К. Кривулин, 2005

В идемпотентной алгебре матриц матричные операции ф и ® определяются через их скалярные аналоги по обычным правилам. При решении ряда практических задач оказывается полезным расширить имеющийся набор матричных операций. В частности, был предложен подход, основанный на пополнении указанного набора за счет добавления операции стандартного арифметического сложения матриц, которая связана с операциями ф и ® следующими неравенствами:

(А + В) ф (С + В) < А ф С + В ф В, (А + В) ® (С + В) < А ® С + В ® В, (1)

где А, В, С и В —любые матрицы подходящего размера [4, 5].

Назовем опорной матрицей любую матрицу с элементами 0 или е. Ясно, что всякой матрице А = (а^) можно сопоставить некоторую опорную матрицу О с элементами дц = 0, если а^ > е, и д^ = е в противном случае. Нетрудно видеть, что всегда выполняется неравенство А < ||А|| ® О, где

1|А|| = 0 ац.

Будем называть квадратную матрицу диагональной, если все ее недиагональные элементы равны е, или треугольной, если равны е все элементы ниже или выше диагонали. Заметим, что матрица Е = diag(0,..., 0) в идемпотентной алгебре играет роль единичной матрицы, а матрица £, все элементы которой равны е, — нулевой.

Если элементы диагональной матрицы В, расположенные на диагонали, больше е, то существует обратная матрица В-1 такая, что В ® В-1 = В-1 ® В = Е. Кроме того, для любых диагональных матриц В1 и В2 выполняется: В1 ® В2 = В1 + В2.

Для любой матрицы А = £ и целых к,1 > 0 положим Ак ® А1 = Ак+1 и А0 = Е. Ниже обозначение степени будет применяться только в смысле идемпотентной алгебры. Матрица А называется нильпотентной, если существует такое р, что Ар = £. Примером нильпотентной матрицы является верхняя (нижняя) строго треугольная матрица, у которой все элементы, расположенные на диагонали и ниже (выше) ее, равны е.

3. Предварительные результаты. Пусть В(0),В(1),...,В(т) —диагональные матрицы, О — опорная матрица. В [4, 5] было получено следующее неравенство:

т т

В(0) (О ® В(])) < ^ О3 ® В(э) ® От-ц. (2)

3=1 3=0

Воспользуемся неравенством (2) для оценки произведений матриц А(г), г = 1,...,к, следующего вида:

А(г) = В (г) ф Т (г),

где предполагается, что матрицы В(1),..., В (к) являются диагональными, а матрицы Т(1),..., Т(к) —нильпотентными индекса р с общей опорной матрицей О. Введем обозначения:

Ак = А(1) А(к), Вк = В(1) В (к),

а также В(1, т) = В(1 +1) <8> •• -®В(т), если т > I, и В(1, т) = Е в противном случае. Лемма 1. Выполняется неравенство

Вк < Ак < Ьк ® Вк,

где

/ к \Р-1 р-1 т (

= 0 \\Т(г)\\©0 , Вк = 0 ® I 0 Я(г,8)| ®

\г=1 / т=0 3 = 0 \0<г<в<к

Доказательство. Левое неравенство прямо следует из очевидного соотношения А(г) = Б (г) © Т (г) > В (г) для всех г = 1,...,к.

Для проверки правого неравенства рассмотрим величину

Ak =0 A(i) = ®(D(i) Ф T(г)).

i=i i=i

Преобразуем выражение для Ak используя дистрибутивность ® относительно Ф. С учетом нильпотентности матриц T(г), положив lo = 0, lm+i = k +1, будем иметь:

p-1 m

Ak = 0 0 D(lo,h - 1) (T(lj) ® D(lj,lj+1 - <

m=0 1<h<---<lm <k j=l

p-1 m

< tk ®0 0 D(lo,li - 1) (G ® D(lj,lj+i - .

m=0 1<l1<-<lm<k j=1

Применяя неравенства (2) и (1), а также дистрибутивный закон, получим

m

0 D(lo,li - 1) (G® D(lj,lj+i - < 1<h<-<lm<k j=1

m

<0 Y,Gj ® D(lj, lj+1 - 1) ® Gm-j < 1<h<---<lm<k j=0

< j Gj ® | 0 D(r, s) | ® Gm-j,

j=0 \0<r<s<k J

откуда следует неравенство Ak < tk ® Bk. □

4. Обобщенная линейная динамическая система. Пусть A(k) — случайная (n х п)-матрица, x(k) — n-мерный вектор состояний. Рассмотрим систему, динамика которой описывается уравнением

x(k) = AT(к) ® x(k - 1).

Предположим, что матрицы A(k), к = 1, 2,..., одинаково распределены и независимы, математическое ожидание E||A(1)|| и дисперсия D||A(1)|| конечны, а координаты начального вектора x(0) с вероятностью 1 ограничены.

Среднюю скорость роста y вектора состояний x(k) можно определить так:

7= Ит 1ИА0||= lim U\Ak\\, k—k k—k

где Ak = A(1) A(k).

В случае, когда матрица А(1) является диагональной, определение величины 7 представляет собой вполне простую задачу. Действительно, так как в данном случае

г=1 г=1

7 = Итк—ж ||Ак||/к = ||Е[А(1)]||, где Е[А(1)] —матрица, полученная из А(1) путем замены ее элементов на их математические ожидания при условии, что Е[е] = е.

5. Случай треугольной матрицы системы. Рассмотрим систему, для которой матрицы А(1), А(2),..., являются треугольными. Для каждого г = 1, 2,..., определим диагональную матрицу О (г), элементы которой, расположенные на диагонали, совпадают с соответствующими элементами матрицы А(г). Пусть также Т(г) обозначает строго треугольную матрицу, полученную из А(г) путем замены всех ее диагональных элементов на е. Ясно, что тогда А(г) = О(г) ф Т(г).

Предположим, что с вероятностью 1 опорные матрицы для О(1) и Т(1) равны соответственно Е и О = £, где О — некоторая строго треугольная опорная матрица, которая, очевидно, является нильпотентной с индексом р < п.

Пусть сначала все диагональные элементы матрицы А(1) имеют нулевые средние, другими словами, имеет место равенство Е[О(1)] = Е.

Лемма 2. Если выполняется условие Е[О(1)] = Е, то 7 = 0 с вероятностью 1.

Доказательство. Применяя лемму 1, можно записать

\\\Вк\\ < ^\\Ак\\ < 1**®

-г В к

к

где Ок, Ьк и В к определены так же, как в указанной лемме.

Так как Итк—ж ||Ок||/к = ||Е[О(1)]|| = ||Е|| = 0, то из левого неравенства следует 7 > 0. Теперь осталось проверить справедливость противоположного неравенства.

Рассмотрим величину Ьк. Заметим, что ЦТ(г)||, г = 1,2,..., представляют собой независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным средним и ограниченной дисперсией. С увеличением к их максимум растет не быстрее, чем аД (см. [6, 7]). Следовательно,

р-1

0.

Кроме того, как показано в [4, 8], для независимых и одинаково распределенных диагональных матриц О(г), г = 1, 2,..., таких, что Е[О(1)] = Е, будет выполняться

©

к—ж к

Е с в. 1,

1<т<в<к

откуда следует

Ит -Вк

к—ж к

р-1

Ит 0 ^ (Р ® - 0 Б{г, 5) ®

к—

т=0 ^ = 0

0<т<а<к

р-1

0 От

т=0

с в. 1.

Учитывая, что тогда с вероятностью 1

lim

k—

-гВк

к

p-1 m=0

окончательно приходим к неравенству 7 < 0 с в. 1. □

В заключение, рассмотрим общий случай. Введем обозначение: В = Е[В(1)]. Теорема 1. Для системы с треугольной .матрицей А(1) с вероятностью 1 выполняется

1 = \\5 У-

Доказательство. Так же как и в лемме 2, легко показать, что 7 > \\В\\. Для проверки противоположного неравенства определим для всех г = 1, 2,...,

Л'(г) = В'(г) 0 Т'(г), I'(г) = В-1 ® В(г), Т'(г)= В-1 ® Т(г).

Далее положим А'к = А'(1) <&■■■<& А'(к), а также 7' = Ишк^то \\Ак\\/к. Теперь заметим, что выполняется неравенство

Ак < \\5\\к ® Ак,

из которого следует \\Ак\\/к < \\5\\ ® \\Ак\\/к, а значит 7 < \\5\\ ^7'.

Так как по лемме 2 с вероятностью 1 выполняется 7' = 0, то имеем неравенство 7 < \\)\\ с в. 1, откуда следует утверждение теоремы. □

Summary

Krivulin N. K. The growth rate of the state vector in the generalized linear dynamical system with a random triangular matrix.

A generalized linear dynamical system with a triangular random matrix is considered. The random entries of the matrix are assumed to have arbitrary probability distributions with finite mean and variance, and do not have to be independent. It is shown that under fairly general conditions, the mean growth rate of the system state vector is determined only by the mean values of the diagonal entries of the matrix.

Литература

1. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физматлит, 1994.

2. Krivulin N. K. Max-plus algebra models of queueing networks // Proc. Intern. Workshop on Discrete Event Systems WODES'96. London: IEE, 1996. P. 76-81.

3. Кривулин Н. К. Оценивание скорости роста вектора состояний обобщенной линейной динамической системы со случайной матрицей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2003. Сер. 1. Вып. 3 (№ 17). С. 47-55.

4. Кривулин Н. К. Вычисление среднего времени цикла в сетях с операциями разъединения и объединения требований // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2002. Сер. 1. Вып. 3 (№ 17). С. 27-35.

5. Krivulin N. K. Products of random matrices and queueing systems performance evaluation // Simulation 2001: Proc. 4th St. Petersburg Workshop on Simulation / Ed. by S.M. Ermakov, Yu. N. Kashtanov and V. B. Melas. St. Petersburg, 2001. P. 304-309.

6. Gumbel E. J. The maxima of the mean largest value and of the range // Ann. Math. Statist. 1954. Vol. 25. P. 76-84.

7. Hartley H. O., David H. A. Universal bounds for mean range and extreme observation // Ann. Math. Statist. 1954. Vol. 25. P. 85-99.

8. Krivulin N. K., Nevzorov V. B. On evaluation of the mean service cycle time in tandem queueing systems // Applied Statistical Science V / Ed. by M. Ahsanullah, J. Kennyon, S. K. Sarkar. New York: Nova Science Publishers, 2001. P. 145-155.

Статья поступила в редакцию 27 мая 2004 г.