Оценивание скорости роста вектора состояний обобщенной линейной динамической системы со случайной матрицей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63 Н. К. Кривулин

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 3 (№17)

ОЦЕНИВАНИЕ СКОРОСТИ РОСТА ВЕКТОРА СОСТОЯНИЙ ОБОБЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СО СЛУЧАЙНОЙ МАТРИЦЕЙ

1. Введение. Рассматривается модель динамической системы, эволюция которой может быть описана при помощи векторного, линейного в некоторой идемпотентной алгебре уравнения вида

Такие обобщенные линейные динамические модели находят применение при анализе производственных систем, бизнес-процессов, вычислительных систем и сетей [1]. В частности, указанные модели оказываются весьма удобным инструментом при описании некоторых классов систем и сетей с очередями [2].

Одной из важных характеристик системы является средняя скорость роста вектора состояний системы х(к), которая может быть определена как величина

где || • || есть некоторый идемпотентный аналог обычной векторной нормы. Величину А часто называют обобщенной константой (показателем) Ляпунова [1, 3].

В случае детерминированных систем задача нахождения А была успешно решена в работах [4, 5]. В тоже время для стохастических систем, для которых матрица А(к) является случайной, точное определение значения А обычно оказывается достаточно сложной проблемой. Имеющиеся результаты в этой области ограничиваются случаем систем с матрицей малой размерности, элементы которой независимы и имеют экспоненциальное или нормальное распределение [3, 6, 7]. В этой ситуации особое значение приобретает разработка эффективных методов оценивания обобщенной константы Ляпунова для широкого класса моделей систем. Ряд результатов, связанных с построением оценок, представлен в [1, 8, 9].

В настоящей работе рассматривается стохастическая модель обобщенной линейной динамической системы со случайной матрицей, элементы которой могут иметь произвольные распределения и не являться независимыми. На основе применения аппарата и методов идемпотентной алгебры для модели получен ряд новых нижних и верхних оценок обобщенной константы Ляпунова. Приводятся примеры расчета оценок.

2. Идемпотентная алгебра. Обозначим через Ме множество вещественных чисел, расширенное путем добавления элемента е = —ж, и зададим операции

для любых х,у € Ке при условии, что х ® е = е ® х = е.

Множество Ме с операциями ф и ® является коммутативным полукольцом с идем-потентным сложением, нулевым и единичным элементами которого являются е и 0 соответственно. Такое полукольцо обычно называют идемпотентной алгеброй [1, 10].

© Н. К. Кривулин, 2003

х(к) = А(к) ® х(к — 1).

х Ф у = тах(х, у), х ® у = х + у

В рассматриваемой алгебре для всякого x = е определен элемент x-1 обратный относительно операции который представляет собой —x в обычной арифметике. Для любых двух (n х п)-матриц A = (aц) и B = (hij) имеем

n

{A © B}ij = aij © hij, {A ® B}ij = 0 aik ® hkj.

k=i

Матрица E = (е) и матрица E = diag(0, ...,0) с элементами, равными е вне диагонали, выполняют функции нулевой и единичной матриц соответственно.

Для любой матрицы A = E и целых k,l > 0 положим A0 = E и Ak ® Al = Ak+l. Наряду с матричными операциями ® и © будем использовать операцию обычного арифметического сложения матриц. При этом при записи алгебраических выражений будем предполагать, что в любой последовательности операций арифметическое сложение выполняется после операций ® и ©.

Нетрудно проверить, что для любых матриц A, B, C и D справедливо неравенство

(A + B) ® (C + D) < A ® C + B ® D. (1)

Для любой матрицы A = (aij) можно определить следующие величины:

n

HAH = 0 aij, tr(A) = 0 aü.

i=1

Пусть A и B — некоторые матрицы. Ясно, что из покомпонентного неравенства A < B следует HAH < ||B||. Кроме того, выполняются очевидные соотношения:

HA © BH = HAH © HBH, HA ® BH<HAH®HBH, HA + BH<HAH + IBU

Для любого числа с > 0 имеем HCAH = cH AH при условии се = е. Рассмотрим произвольную матрицу A. Собственное число Л и соответствующий ему собственный вектор x матрицы A удовлетворяют равенству

A ® x = Л ® x.

Имеет место следующий результат [4] (см. также [5]). Теорема 1. Для любой матрицы A существует предел

1 n i

lim ||Afc||=p(A) = 0-tr(^),

k—»-oo k i

i=1

где p(A) — максимальное собственное число матрицы.

Предположим, что элементы матрицы A являются случайными величинами. Обозначим через E[A] матрицу, полученную в результате применения оператора математического ожидания к каждому элементу матрицы A при условии, что Е[е] = е. Пусть A и B — случайные матрицы. Выполняются следующие неравентсва:

E[A © B] > E[A] © E[B], E[A ® B] > E[A] ® E[B], EHAH > HE[A]H.

Кроме того, если матрицы A и B независимы, то

E[A © B] > E[A © E[B]], EHA ® BH > EHA ® E[B]H.

3. Обобщенные линейные системы. Рассмотрим систему, динамика которой описывается обобщенным линейным уравнением

x(k) = AT(k) ® x(k - 1),

где A(k) — случайная (n х п)-матрица системы, x(k) — n-мерный вектор состояний системы. Будем предполагать, что матрицы A(k), k = 1, 2,..., одинаково распределены и независимы, а математическое ожидание E||A(1)|| конечно.

Одной из наиболее важных характеристик системы является средняя скорость роста вектора состояний x(k), которая определяется так:

Л= lim U\x(k)\\.

к—ж k

При условии, что этот предел существует, величину Л часто называют обобщенной константой Ляпунова для рассматриваемой системы [1, 3]. Введем матрицу

Ак = A(1) A(k).

Предполагая, что координаты начального вектора x(0) ограничены, обобщенную константу Ляпунова можно представить в виде

А= lim 1\\Ак\\.

к—>ж k

Удобным инструментом для проверки существования указанного предела является эргодическая теорема, доказанная в [11]. Из этой теоремы следует, что для рассматриваемой системы этот предел существует с вероятностью 1, а также существует предел

lim 7"E||Afc|| = А.

к—ж k

Простые верхнюю и нижнюю границы для Л можно получить следующим образом. Так как для ||Ak|| выполняется

IIAk ||<||A(1)||®^®||A(k)|| = ||A(1)|| + ••• + ||A(k)||,

то очевидно, что

A= lim h\Ak\\ <E||A(1)||. (2)

к—ж k

С другой стороны, выполняются неравенства

EHA^ > ||E[Ak]|| > ||E[A(1)] ® ••• <g> E[A(k)]|| = ||(E[A(1)])kЦ,

откуда в силу теоремы 1 следует оценка

Л > p(E[A(1)]). (3)

Заметим, что неравенства (2) и (3) являются точными в том смысле, что можно указать системы для которых они превращаются в равенства.

Пример 1. Пусть {ак} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Рассмотрим систему с матрицей

A(k) = ( а0к 0 V 0 ак

Нетрудно проверить, что

kk HAkH = ®(0 © ai) = ^(0 © ai), i=i i=i

откуда

X = lim j\\Ak\\ = E[0 © ai] = E||A(1)||.

k^tt k

Пример 2. Пусть {ak} и {ßk} —две последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин. Определим матрицу системы A(k) в виде

A<k>=(е к

Так как

Ak

ai ® ■■■ ® ak е

е ßi ßk

k k k

ai

i=1 i=1 \i=1 / \i=1 Вычисление предела приводит к следующему результату:

HAk H = ® ai ©0 ßi = ]T aA © ]T ßi) .

X = Е[«1] Ф = р(Е[А(1)]).

Пример 3. Пусть {ак}, {вк}, {1к} и } — последовательности независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение со средним 1. Будем предполагать, что а к, в к, 1к и 5 к — независимы для любого к, к =1, 2,... Рассмотрим систему с матрицей

*»=( а: *) • <4)

Заметим, что для этой системы известно точное значение константы Ляпунова [3, 7]: X = 407/228 « 1,7851.

Определим границы для X в соответствии с (3) и (2). Так как Е[А(1)] = (1 1), то для нижней границы будем иметь р(Е[А(1)]) = 1. Вычисление верхней границы дает величину

25

Е||А(1)|| = Е[оц Ф /?1 Ф 71 Ф ¿1] = — « 2,0833.

4. Матрицы простой структуры. Пусть некоторую матрицу А можно представить в виде

А = и ® Vх,

где и и V — некоторые векторы. Матрицу, для которой существует указанное представление, будем называть матрицей простой структуры.

Нетрудно проверить, что для А выполняется ||А|| = ||и|| <®>

Рассмотрим матрицы простой структуры А = и ® Vх и В = г ® вт. Ясно, что

ЦА ® ВЦ = || (и ® Vх) ® (г ® вт)|| = (Vх ® г) ® ||и|| ® ||в|.

Предположим, что А(к) = и (к) ® ьт (к) для любого к =1, 2,... Тогда для матрицы Ак = А(1) ® ••• ® А(к) будем иметь

к-1

к-1

||Ak|| = Н1)|| ® ||v(k)| ® ® v(i)T ® u(i + 1) = ||u(1)| + ||v(k)|| + ^ v(i)T ® u(i + 1).

¿=1

¿=1

В этом случае константа Ляпунова равна

1

Л= lim j\\Ak\\ = E[v(l)T<g>«(2)].

к—ж k

Нетрудно проверить, что для любых двух матриц A = (aj) и В = {^¿j) выполня-

ется

A ® B = 0 a,i ® b,

где a¿ = (al¿,..., am)T, b¿ = (^¿i,..., f^n). Заметим, что при этом

||A ® ВЦ = 0 К||®|^||.

(5)

¿=1

Рассмотрим две последовательные матрицы А(к) и А(к + 1). Очевидно, что для любого ' = 1, ...,п, справедливо неравенство

А(к) ® А(к + 1) > а3 (к) ® а3 (к + 1),

где а' (к) и а3 (к +1) — '-й столбец А(к) и '-я строка А(к +1) соответственно. Тогда при к = 2т будем иметь

т— 1

ЦАкЦ > 1а(1)||<8>||а3'(к)||® 0 а3(2г) ® (21 +1),

г=1

откуда следует нижняя оценка

А>-0Е[а'(1)®а,-(2)].

3=1

Пример 4. Вычислим оценку (6) для системы (4). Учитывая, что

а1(1) = (ал,в1), а2(1) = (71,^1), а1(2) = («2,72)Т, а2(2) = (р2,52)т, получим

А > -{Щах <8> а2 0 /?1 ® 72] © £[71 <8> /?2 © ® ¿2]) = 1,375. Пусть А и В — случайные матрицы. Выполняется неравенство

E||A <g> BH > E

0K||®E|^

E

0К

<g> min EЦb¿ Ц.

1< ¿<П

(6)

Используя обозначение

v(B) = min EHbi

1< i<n

окончательно запишем

EHA ® BH > EHAH ®v(B).

Последовательное применение последнего неравенства к матрице Ak позволяет заключить, что

k

EHAkH > EHA(1)H ^ 0 v(A(i)),

i=2

откуда следует

Л > v(A(1)).

Аналогично можно показать, что Л > v(AT(1)). Объединив оба неравенства, имеем

Л > v(A(1)) © v(AT(1)). (7)

Пример 5. Применение оценки (7) к системе (4) дает

Л > min{E[ai © ßi], E[7i © ¿i]} © min{E[ai © 71], E[ßi © ¿1]} = 1,5.

Наконец заметим, что используя равенство (5), можно получить верхнюю оценку для Л. В силу того, что при k = 2m выполняется неравенство

HAkH < H A(1) ® A(2)H&■■■&HA(2m — 1) ® A(2m)H,

с учетом (5) будем иметь

А < -Е

~ 2

0Hai(1)H®K(2)H

(8)

Пример 6. Вычислим оценку (8) для системы (4):

1 833

Л < -Е[(«1 © 71) <8> (а2 © /?2) © (/?1 © ¿1) ® (72 ф ¿2)] = ^ ~ 1,9282.

5. Изометрические матрицы. Будем называть матрицу А изометрической, если для любого вектора и выполняется хотя бы одно из равенств

||А ® и|| = ||и||, ЦАТ ® и|| = ||и||.

Очевидно, что если А - изометрическая матрица, то для любой матрицы В будет выполняться по крайней мере одно из равенств

||А ® В|| = ЦВЦ, ЦВ ® А|| = ЦВЦ.

Легко видеть, что матрица, все элементы которой равны 0, является изометрической. Кроме того, произведение такой матрицы на любую матрицу А представляет собой почти изометрическую матрицу с точностью до постоянного множителя, который равен ЦА ® 0|| = ||А||.

Будем называть матрицу А неразложимой, если выполняется условие а^ > е при всех г = 1,. ..,п и ] = 1,...,п.

Предположим, что матрица Л(к) является неразложимой с вероятностью 1 для любого к = 1, 2,... При к = 2т будем иметь

Е||Л*|| > Е

0Л(2» - 1) ® Е[Л(2г)]

Е

0Л(2г - 1) ® 0

(Е[Л(2г)]) =

тЕ||Л(1)|| + т^(Е[Л(1)]),

где ^(Л) = шт{а^ |1 < г < п, 1 < ] < п} для любой матрицы Л.

Из полученного неравенства следует оценка для случая, когда матрица Л(1) является неразложимой:

А>1Е||А(1)|| + ^(Е[А(1)]). (9)

Пример 7. Для системы (4) имеем Е||Л(1)|| « 2,0833, ^(Е[Л(1)]) = 1. Тогда оценка (9) принимает вид

А > ^(2,0833+ 1) « 1,5416.

Следующее утверждение представляет достаточные условия для того, чтобы матрица являлась изометрической.

Лемма 1. Если для .матрицы Л выполняется хотя бы одно из условий:

1) для каждого столбца аз, ] = 1,...,п, выполняется Ца^ || = 0;

2) для каждой строки а1, г = 1,...,п, выполняется ||а®|| = 0;

то Л является изометрической.

Доказательство. Пусть матрица Л удовлетворяет условию для столбцов 1). Тогда для произвольного вектора и будем иметь

ИЛ ® и! = 0 0 а3 ® щ = 0 ¡Пз ^0 щА = 0(щ ® Цаз ||) = 0 щ

г=1 з = 1 з = 1 \ г=1 / 3=1 3 = 1

и

Условие для строк рассматривается аналогично. ■

6. Построение верхних оценок. Сначала докажем следующее утверждение. Теорема 2. Любую матрицу Л можно представить в виде

Л = и ® Vх + 5,

где и, V — некоторые вектора, и > е, 5 — изометрическая матрица.

Доказательство. Очевидно, что для доказательства теоремы достаточно указать такие вектора и > е и V, для которых матрица В = Л — и ® Vх будет являться изометрической. С этой целью потребуем, чтобы В удовлетворяла условию: ЦЬз|| = 0 для всех ] = 1,...,п.

Для каждого ] запишем

0 = У = 0(а3 — и ® ) = 0(а3 — —

г=1

г=1

откуда получим выражение для определения :

0Кз — иг).

V

3

Уп =

3

Таким образом показано, что любая пара векторов

и = («1, . ип)Т > £, ьт = и* ® А,

где и* = -ит, обеспечивает требуемое представление матрицы А. ■

По теореме 2 для каждой матрицы А(к), к = 1, 2,..., найдутся такие вектора и(к) и v(k), а также изометрическая матрица Б (к), для которых будет выполняться равенство

А(к) = и(к) ® ь(к)т + Б (к).

Тогда с учетом (1) будем иметь

\\Ак у = ||А(1) А(к)\\ <

к к £)и(г) ® ь(г)т + 6?) Б(г)

<

<

¡и(г) ® ь(г)т

>Б(0

к-1

= \\и(г)\\ ® \\ь(к)\ ® V1 (г) ® и(г + 1).

г=1

Теперь можно вычислить верхнюю оценку

X < Е[ьт(1) ® и(2)].

Выразим вектор ь(1) через и(1) также, как в теореме 2. Запишем полученную оценку в виде

X < Е[и*(1) ® А(1) ® и(2)].

Ясно, что полученное неравенство определяет некоторое семейство оценок. Выбор оптимальной оценки из указанного семейства не является очевидным и требует дальнейшего исследования. Ниже приведен пример построения и расчета одной из оценок в случае (2 х 2)-матриц.

Пример 8. Рассмотрим систему (4) и выберем компоненты вектора и(1) следующим образом:

М1(1) = 0, и2( 1) = ^(«Г1 ®/?Г1«>71«)^)-Вычисление координат вектора ь(1) дает

«1(1) = ^(«1 <8 ¿Г1 <8 («1 ©/?1 8) 71)), «2(1) = ^(/31 «7Г1 ® («1 ® ¿1 © /?1 ®71))-

Теперь запишем

Vх(1) <8 и(2) = ^ ((«1 <8 1 <8 («1 <8 ¿1 © [3-1 <8 71))©

Ф (в1 ® 7-1 ® («1 ® ¿1 Ф в1 ® 71) ® а-1 ® в-1 ® 72 ® ¿2)) .

После вычисления математического ожидания, окончательно получим

123

Л < Е[г>т(1) <8 и(2)] = — « 1,9219.

Summary

Krivulin N. K. Evaluation of the mean growth rate of the state vector in the generalized linear dynamical system with random matrix.

A stochastic generalized linear dynamical system with a random matrix is considered. The entries of the matrix are assumed to have arbitrary probability distributions, and do not have to be independent. Based on the methods and techniques of idempotent algebra, new low and upper bounds on the mean growth rate of the system state vector are established. Examples of evaluation of the bounds are presented.

Литература

1. Baccelli F., Cohen G., Olsder G. J., Quadrat J.-P. Synchronization and Linearity. Chichester: Wiley, 1992.

2. Krivulin N. K. Max-plus algebra models of queueing networks // Proc. Intern. Workshop on Discrete Event Systems WODES'96. London: IEE, 1996. P. 76-81.

3. Jean-Marie A. Analytical computation of Lyapunov exponents in stochastic event graphs // Performance Evaluation of Parallel and Distributed Systems; Solution Methods / Ed. by O. Boxma, G. Koole. CWI Tracts, 1994. P. 309-341.

4. Романовский И. В. Оптимизация стационарного управления дискретным детерминированным процессом динамического программирования // Кибернетика. 1967. N 2. С. 66-78.

5. Воробьев Н. Н. Экстремальная алгебра положительных матриц // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1967. Bd 3, N 1. S. 39-72.

6. Cohen J. E. Subadditivity, generalized products of random matrices and operation research // SIAM Review. 1988. Vol. 30. N 1. P. 69-86.

7. Olsder G. J., Resing J. A. C., De Vries R. E., Keane M. S., Hooghiemstra G. Discrete event systems with stochastic processing time // IEEE Transactions on Automatic Control. 1990. Vol. 35. N 3. P. 299-302.

8. Glasserman P., Yao D. D. Stochastic vector difference equations with stationary coefficients // Journal of Applied Probability. 1995. Vol. 32. P. 851-866.

9. Krivulin N. K. Products of random matrices and queueing systems performance evaluation // Simulation 2001: Proc. 4th St. Petersburg Workshop on Simulation / Ed. by S. M. Ermakov, Yu. N. Kashtanov and V. B. Melas. NII Chemistry St. Petersburg University Publishers, 2001. P. 304-309.

10. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М., 1994.

11. Kingman J. F. C. Subadditive ergodic theory // Annals of Probability. 1973. Vol. 1. P. 883909.

Статья поступила в редакцию 5 января 2003 г.