Об оценке средней скоростироста вектора состояний линейной динамической стохастической системы в идемпотентной алгебре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 2

Н. К. Кривулин

ОБ ОЦЕНКЕ СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ РОСТА ВЕКТОРА СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ИДЕМПОТЕНТНОЙ АЛГЕБРЕ*

1. Введение. При решении практических задач с использованием аппарата и методов идемпотентной алгебры [1, 2] получение точных результатов часто представляет собой достаточно трудную задачу. Рассмотрим, например, стохастическую динамическую систему, которая описывается в терминах идемпотентной алгебры векторным уравнением вида

х(к) = Ат(к) ® х(к — 1),

где х(к) —вектор состояний, А(к) —случайная матрица системы.

При анализе таких систем часто требуется определить асимптотическую (среднюю) скорость роста вектора состояний системы х(к) при к ^ то. Однако, точное решение этой задачи известно только для небольшого числа частных случаев систем с матрицей размерности 2, а также с матрицей треугольной формы произвольной размерности (см., например, [1, 3]). В связи с этим особый интерес приобретает разработка эффективных процедур нахождения приближенных решений и построения оценок [1, 4].

Один из возможных подходов к приближенному решению задачи, предложенный в [4], основан на исследовании произведений матриц системы А(1) ® ■ ■■ ® А(к) и заключается в замене каждой матрицы на ее оценку, построенную при помощи матриц простой структуры вида и ® ьт, где и и V —некоторые векторы. Такая замена позволяет вместо произведений матриц рассмотреть арифметические суммы скалярных произведений соответствующих векторов, и тем самым, упростить решение.

Целью настоящей работы является дальнейшее развитие указанного подхода для случая систем с неразложимой матрицей. В работе сначала представлены некоторые полезные соотношения для матриц и векторов в идемпотентной алгебре, а также рассматривается одно экстремальное свойство спектрального радиуса матрицы. Затем строятся оценки для произвольных неразложимых матриц с использование матриц простой структуры. Построение оценок сводится к решению задач минимизации некоторых числовых функций матриц. В заключении приведены примеры, которые показывают, как полученные результаты могут быть применены для расчета верхних и нижних оценок средней скорости роста вектора состояний системы с матрицей размерности 2.

2. Предварительные замечания. Будем рассматривать идемпотентную алгебру (идемпотентное коммутативное полукольцо с нулем и единицей) с операцией сложения хф у = шах(х, у) и операцией умножения х®у = х + у, которые определены для любых х и у из расширенного множества действительных чисел Ке = К и {е}, где е = —то.

Очевидно, что нулевым элементом в рассматриваемом полукольце является е, единицей— число 0. Кроме того, для любого х € К можно определить обратный элемент х-1, который равен —х в обычной арифметике, а также степень ха, значение которой соответствует арифметическому произведению ах при всех а € К.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04-01-00840).

© Н. К. Кривулин, 2005

Операция умножения < вводится на множестве матриц Кпхп обычным путем через скалярные операции ф и <. Целая положительная степень матрицы А € Кпхп определяется из соотношения Ак < А1 = Ак+1 для любых целых к,1 > 1. Ниже обозначения степени будут использоваться только в смысле идемпотентной алгебры.

Операция умножения матриц < является монотонной, т. е. из покомпонентных неравенств А < В и С < В следует неравенство А < С < В < В.

Для любой матрицы А = (а^) € К^хп введем матрицу А- с элементами а- = а-если а^ > е, и а— = е в противном случае. Ясно, что для любых матриц А, В € КПхп из неравенства А < В следует неравенство А- > В- и наоборот.

Наряду с операцией <, будем использовать обычное арифметическое сложения матриц. Арифметическую разность матриц А, В € КПхп определим через сложение так:

А - В = А +(В-)Т.

Нетрудно проверить, что при любом векторе х € Кп для всех матриц А € Щ?

пп

то при любом векторе х € для всех матриц А €

выполняется неравенство

А < х < х- < А, (1)

а в случае, когда А € Кпхп, справедливо также неравенство

А > х < (А- < х)-. (2)

Для любой матрицы А = (а^) € Кпхп можно определить величины 1|А|| = 0 ау, ^(А) = 0 аи.

1<г,3<п 1<г<п

Пусть А, В € К?хп. Тогда, если А < В, то, очевидно, ЦАЦ < ||В|| и tr(A) < ^(В). Кроме того, всегда имеет место равенство

^(А < В) = ЦА + ВТ||.

Матрицу А € Кпхп будем называть матрицей простой структуры, если найдутся такие векторы х, у € Кп, при которых А = х < уТ.

Заметим, что для любых векторов х, у € Кп выполняется

^(х < уТ) = уТ < х, (х < у-)- = у < х-.

Матрица является неразложимой, если она не может быть приведена к блочно-треугольному виду перестановкой одноименных строк и столбцов. Матрица называется верхней (нижней) треугольной, если все ее элементы ниже (выше) диагонали равны е.

3. Спектральный радиус. Вектор х € Кп, х = е = (е,...,е)Т, является собственным для матрицы А € Кпхп, если он удовлетворяет равенству

А < х = р < х,

где р —собственное число матрицы, соответствующее вектору х.

Можно показать (см., например, [1]), что в случае неразложимой матрицы имеется единственное собственное число, а любой собственный вектор х матрицы имеет ограниченные координаты, т.е. х € Кп.

Максимальное собственное число р, которое вычисляется по формуле [6, 7, 5]

n

р =0tr1/m(Am), (3)

m= 1

будем называть спектральным радиусом матрицы A. Определим функцию

ф(х; A) = x- ® A ® x,

где A € МПХП — некоторая матрица, х € Rn — вектор.

Лемма 1. Для любой неразложимой матрицы A € Rnxn выполняется равенство

min ф(х; A) = р,

где р = p(A) — спектральный радиус матрицы A, причем минимум достигается на собственном векторе A, который соответствует р.

Доказательство. Сначала заметим, что в силу неравенства (1) для любого вектора х € Rn и целого m > 0 выполняется

Am < (х- ® A ® x)m-1 ® х ® х- ® A,

и следовательно,

tr(Am) < (х- ® A ® х)т-1 ® tr(x ® х- ® A) = (х- ® A ® х)т. Таким образом, при всех m > 0 имеет место неравенство ф(х; A) = х- ® A ® х > tr1/m(Am), откуда можно заключить, что

n

ф(х; A) >ф tr1/m(Am) = р.

m=1

С другой стороны, если х — собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному числу р, то с учетом очевидного равенства х- ®> х = 0, будем иметь

ф(х; A) = х- ® A ® х = р ® (х- ® х) = р. □

4. Линейная динамическая система. Рассмотрим динамическую систему, эволюция которой описывается уравнением

x(k)= AT(k) ® x(k - 1), (4)

где x(k) —вектор состояний, A(k) —случайная матрица системы.

Предположим, что матрицы A(k), k = 1, 2,..., одинаково распределены и независимы, а математическое ожидание E||A(1)|| конечно.

Одной из важных характеристик системы является средняя скорость роста вектора состояний x(k), которая определяется так:

А = lim Цх(Щ11/к.

k—

Предполагая, что координаты начального вектора ж(0) с вероятностью 1 ограничены и используя обозначение

Ak = A(1) A(k),

среднюю скорость роста вектора состояний системы представим в виде

Л = lim \\Ak\\i/k. (5)

k—

Можно показать, опираясь, например, на эргодическую теорему в [8], что в рассматриваемом случае предел (5) существует с вероятностью 1, а также существует предел

lim E\\Ak\\1/k = Л.

k—

Для оценки величины Л можно применить следующий прием [4]. Пусть для всех k = 1,2,..., выполняется A(k) < u(k) ® vT(k) с в. 1, где u(k) и v(k) —некоторые случайные векторы. Тогда для матрицы Ak будем иметь неравенство

k-i

Ak < u(1) vT (i) ® u(i + 1) ® vT(k) с в. 1.

i=i

Предположим, что расширенные векторы w(k) = (uT(k), vT(k))T одинаково распределены при всех k = 1, 2,..., а математические ожидания E\\u(1)\\ и E\\v(1)\\ являются конечными. Тогда из последнего неравенства следует верхняя оценка

Л = lim E\\Ak\\i/k < E[vT(1) ® u(2)]. (6)

k—

Аналогичным путем можно получить нижнюю оценку, выбирая u(k) и v(k) так, чтобы выполнялось неравенство A(k) > u(k) ® vT(k) для всех k = 1, 2,...

5. Оценки для матриц. Пусть A G R"x" — неразложимая матрица. Рассмотрим задачу оценки матрицы A при помощи матриц простой структуры L и U таких, что

L < A < U.

5.1. Верхние оценки. Положим U = u ® vT при условии u, v G М". Рассмотрим неравенство

A < u ® vT (7)

и заметим, что при всех A G М"x" оно равносильно неравенству

u- ® A < vT. (8)

Действительно, легко видеть, что (8) прямо следует из (7). С другой стороны, из неравенства (8) имеем u ® u- ® A < u ® vT, откуда в сочетании с (1) получаем (7).

Ясно, что любые два вектора u и v такие, что vT > u- ® A, будут удовлетворять неравенству (7). Учитывая, что при фиксированном u элементы матрицы U = u ® vT имеют наименьшие значения при выборе

vT = u- ® A, (9)

далее будем рассматривать только верхние оценки, для которых U = u ® u- ® A. 48

Построение оценок (7) теперь можно связать с задачей нахождения такого вектора u, при котором матрица U = u <g> u- <g> A будет обладать определенными полезными свойствами, например, сохранять собственное число и вектор матрицы A или иметь наименьшее возможное значение величины Ци||.

Во многих случаях естественно считать оценку (7) тем лучше, чем меньше элементы матрицы U отличаются от соответствующих элементов матрицы A. Тогда вектор u может быть найден как решение задачи

min y(u; A)

ueRn г

для некоторого подходящего числового критерия у, который в той или иной мере отражает степень близости элементов матрицы A и ее оценки U = u <g> u- <g> A.

5.2. Нижние оценки. При дополнительном условии A € Rnxn задача построения нижних оценок может рассматриваться аналогичным образом и быть представлена в таком же виде, как и в случае верхних оценок.

Пусть L = u ® vT, где u, v € Rn. Как и раньше, можно показать с использованием (2), что неравенство u ® vT < A эквивалентно vT < (A- ® u)-. Затем, положив

vT = (A- ® u)-, (10)

можно рассматривать только нижние оценки с матрицей L = u <g> (A- <g> u)-, выбирая вектор u согласно соответствующему числовому критерию.

6. Построение оценок для матриц. Рассмотрим ряд верхних и нижних оценок для матрицы A, которые определяются различными способами выбора вектора u.

6.1. Верхние оценки. Сначала заметим, что, положив u равным собственному вектору матрицы A, который соответствует ее спектральному радиусу р, получим

U ® u = u ® u- ® A ® u = р ® u ® (u- ® u) = р ® u,

т. е., придем к матрице U, которая сохраняет собственное число и вектор матрицы A.

Рассмотрим теперь два способа задания критерия у. Естественной мерой близости матриц A и U очевидно является функция

y1(u; A) = Ци - A§ = ||u ® u- ® A - A§. (11)

Лемма 2. Для любой неразложимой матрицы A € Rnxn выполняется равенство

min y1(u; A) = р,

ueRn

где р = р(A <g> A-) — спектральный радиус матрицы A <g> A-, причем минимум достигается на собственном векторе этой матрицы, который соответствует р.

Доказательство. Чтобы проверить справедливость утверждения леммы достаточно заметить, что

y1(u; A) = ||u ® u- ® A + (A-)T|| = tr(u ® u- ® A ® A-) = u- ® (A ® A-) ® u,

а затем применить лемму 1. □

Еще один простой критерий можно ввести следующим образом. Рассмотрим величину Ци|| = ||u <g> u- <g> A|| и представим ее в виде

n

HU || = ||A||e00 щ ® и-1 ||,

i=1 j=i

где щ обозначает координату i вектора u, aj — строку j матрицы A.

Определим функцию

п

у2(и;А) = 0 0и ® и-1 ®\\ау||. (12)

г=1 зфг

Тогда \\и\\ = \\А\\ ф у2(и; А) > \\А\\, и можно ожидать, что оценка будет, вообще говоря, тем точнее, чем меньше будут различаться максимальные элементы матриц и и А, т.е. величины \\и\\ и \\А\\, соответственно. Ясно, что с уменьшением значения функции ^>2 разность \\и\\ — \\А\\ уменьшается или, по крайней мере, не возрастает. Лемма 3. Для любой неразложимой .матрицы А € КПхп выполняется равенство

\ 1/2

тт Ми А)= (00 КУ®^

\г=1 3>г

причем минимум достигается на векторе и, для которого щ = \\а^\1/2, % = 1,...,п. Доказательство. Запишем функцию у2 в виде

п

У2(и; А) = 0 0щ ® и-1 ® \а\\ фи-1 ® щ ® \\а4\.

1=1 у>г

Учитывая, что функция /(г) = г ® С1 ф г-1 ® С2 = тях{с1 + г,С2 — г} при любых 01,02 € К имеет минимум (с1 + 02)/2 = (с1 ® 02)1/2, получим неравенство

щ ® иу 1 ® \а\\ ф щ 1 ® щ ® \\а*\\ > (\\а*\\ ® \\ау\)1/2 откуда следует, что

\ 1/2

У2(и; А) > (00 К\\® \К,

\г=1 з>г

Теперь осталось проверить, что последнее неравенство превращается в равенство для вектора и с координатами щ = \\а^\1/2 для всех % = 1,...,п. □ 6.2. Нижние оценки. Теперь предположим, что А € Кпхп.

Определим функцию, которая для нижних оценок выполняет ту же роль, что и критерий (11) для верхних:

ф1(и; А) = \\А — Щ\ = \\А — и ® (А- ® и)-\\. (13)

Нетрудно видеть, что на самом деле ф1(и; А) = у1(и; А). Действительно,

ф1(и; А) = \\А + (А- ® и ® и-)Т\\ = tr(A ® А- ® и ® и-) = и- ® А ® А- ® и.

Таким образом, выбор в качестве и собственного вектора матрицы А® А- является оптимальным одновременно для верхней и нижней оценок в соответствии с критериями (11) и (13). Можно показать, что такой вектор обеспечивает также минимум функции

6(и; А) = \\и — Ь\\ = \\ч ® и- ® А — и ® (А- ® и)-\\.

Чтобы убедиться в этом достаточно заметить, что 6(и; А) = (и; А):

6(и; А) = ^(и ® и- ® А ® А- ® и ® и-) = и- ® А ® А- ® и.

В заключение рассмотрим матрицу Ь = А ® и ® и > А . Учитывая, что

\\ь- II = \\А-1| ф 00 К- У®«, ® и-1,

г=1 зфг

введем функцию

п

ф2(и; А) = 00 1К\\ ® и-1.

г=1 з=г

Легко понять, что для нижней оценки эта функция представляет собой некоторый аналог критерия (12). Также как при доказательстве леммы 3 можно показать, что

1/2

тт Ми; А) = 100 \\ а-У ® \\а-

\г=1 3>г

причем минимум достигается для вектора и, для которого и, = \а-\\-1/2, г = 1,...,п.

7. Примеры. Покажем, как полученные выше результаты могут быть применены для оценки средней скорости роста вектора состояний динамической системы (4). Рассмотрим систему второго порядка с матрицей

А(к) =

ак вк 7к 5к

Предположим, что {ак}, {вк}, {1к} и {¿к} —последовательности независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение со средним 1, а также, что случайные величины ак, вк, 1к и 5к —независимы при любом к, к = 1, 2,... Заметим, что определенные таким образом матрицы А(к) являются неразложимыми.

Известно (см., например [1]), что для рассматриваемой системы средняя скорость роста вектора состояний А = 407/228 « 1,7851.

Пример 1. Найдем верхнюю оценку (6) для А, которая соответствуют выбору в качестве и(к) собственного вектора матрицы А(к). По формуле (3) определим спектральный радиус матрицы:

Рк = ак © (вк ® 1к)1/2 © 4.

Нетрудно проверить, что собственный вектор и (к), соответствующий рк, имеет вид

ак © (вк ® 1к )1/2 1к

и (к) = <

вк

(вк ® 1к )1/2 © 5к

если ак > 5к, если ак < 5к.

Теперь найдем вектор v(k), используя (9):

г(к)

0

вк ® (ак © (вк ® 1к)1/2)-1 © 1-1 ® 5к ак ® в-1 © ((вк ® 1к)1/2 © 5к)-1 ® 7к

если ак > 5к,

если ак < 5к.

Чтобы определить величину оценки (6), осталось найти значение Е[^Т(1) ® и(2)]. Это можно сделать, например, посредством построения двумерных распределений вероятностей для каждого из векторов и(к) и v(k), а затем распределения случайной величины vT(1) ® и(2). Выполнив все необходимые действия, получим

Л < Е[г>т(1) ® «(2)1 = ^^ « 2,0179. - I I V л 30240

Пример 2. Для нахождения оценок в соответствии с критериями (11) и (13) сначала рассмотрим матрицу

А(к) ® А-(к)= ( 0 ® ^ ф вк ® 3-1 )

К ' К ' V ак ® 1к ф в-1 ® 3к 0 )

и определим ее спектральный радиус:

вк = {(ак ® I-1 ф вк ® з-1) ® (а-1 ® 7к ф в-1 ® 3к))1/2 = К ® I-1 ® в-1 ® 3к\1/2.

Как нетрудно проверить, числу вк соответствует собственный вектор

и(к)=(а ® вкЦ12

v 7 V Ы ® 3к)1/2

Применяя (9), найдем вектор v(k) для верхней оценки:

„(к)= ( (ак ® в-1 ф 1к ® 3-1)1/2

4к)={ (а-1 ® вк ф 1-1 ® 3к )1/2

а затем величину

Т(1) ® и(2) = ((а1 ® в-1 ф 11 ® 3- 1) ® а2 ® в2 ф

V (1)0 и

1 12

ф (а--1 ® в1 ф Ъ1 ® З1) ® 12 ® З2) ' После вычисления математического ожидания получим

123

А < Е[г>т(1) ® и(2)] =- « 1,9219.

64

Определим значение нижней оценки. Вектор v(k) теперь вычисляется по формуле (10) и принимает вид

,к)= ( (а-1 ® вк ф I-1 ® 3к)-1/2

Чк)={ (ак® в-1 ф ^к ® 3-1)-1/2

Учитывая, что vT(1) ® и(2) = ((а-1 ® в1 ф I-1 ® З1)-1 ® а2 ® в2 ф

1 /2

ф (ал ® в--1 ф 11 ® 3-1)-1 ® ^2 ® З2) 1 ,

получаем оценку

75

А > ЕЬТ(1) ® и(2)1 = — « 1,1719.

64

Пример 3. Вычислим оценки в соответствии с критериями (12) и (14). Для верхней оценки имеем векторы

(к) _( (ак © вк)1/2 А (к)_ ( ак ® (ак © вк)-1/2 Ф 1к ® Ы Ф ¿к)-1/2 \ и(к) \ Ы Ф ¿к)1/2 ) ' \ вк ® (ак Ф вк)-1/2 Ф ¿к ® Ы Ф ¿к)-1/2 ) '

а также величину

ут(1) ® и(2) _ (а ® (ал Ф в1)-1/2 Ф 11 ® (11 Ф ¿1)-1/2) ® (а2 Ф в2)1/2Ф

Ф (в1 ® (а1 Ф в1)-1/2 Ф ¿1 ® (71 Ф ¿1)-1/2) ® (12 Ф ¿2)1/2-

Вычисление математического ожидания дает оценку

Л < ЕЬТ(1) ® «(2)1 = ^^ « 1,9049. - I I V л П340

Для нижней оценки векторы и (к) и у(к) принимают вид

-1 Ф в-1)-1/2 ) (7-1 Ф ¿-1)-1/2 ) '

(а-1 ® (а-1 Ф в-Х)-1/2 Ф I-1 ® (I-1 Ф ¿-1)-1/2У

u(k)=l

v(k) = ^ откуда следует, что

(в-1 ® (а-1 © в-1)-1'2 © г-1 ® (y-1 © г-1)-1/2)

-1

ут(1)®и(2) _ (а-1 ® (а-1 Ф в-1)-1/2 Ф 1-1 ® (I-1 Ф ¿-1)-1/2) 1 ®(а-1 Фв-1)-1/2Ф

Ф (в-1 ® (а-1 Ф в-1)-1/2 Ф ¿- ® (I--1 Ф ¿-1Г1/2) ^ ® (Ъ1 Ф ¿-1)-1/2-Вычисляя математическое ожидание, приходим к оценке

223

А > Е[г>т(1) <8> и(2)] = 2то ~ 0,8259.

Приведенные примеры показывают, что для рассматриваемой системы второго порядка наилучшие результаты при вычислении верхних оценок средней скорости роста вектора состояний дают оценки, полученные в соответствии с критериями (11) и (12), которые, кроме того, являются более точными по сравнению с оценками, предложенными в работе [4]. В то же время из полученных результатов можно заключить, что нижние оценки оказываются менее точными, чем соответствующие оценки в [4].

1

Summary

N. K. Krivulin. On evaluation of bounds on the mean growth rate of the state vector for the linear stochastic dynamical system in idempotent algebra.

A dinamical system represented through a vector equation with an irreducible random matrix in idempotent algebra is considered. In order to evaluate bounds on the mean growth rate of the system state vector, an approach based on approximation of the system matrix by matrices of a simple structure is implemented. The derivation of the approximations is reduced to solving minimization

problems for some scalar functions. Examples of evaluation of bounds on the mean growth rate of the state vector for a system with a 2-dimensional matrix are presented.

Литература

1. Baccelli F., Cohen G., Olsder G. J., Quadrat J.-P. Synchronization and linearity. Chichester: Wiley, 1992.

2. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физматлит, 1994.

3. Кривулин Н. К. Вычисление среднего времени цикла в сетях с операциями разъединения и объединения требований // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2002. Сер. 1. Вып. 3 (№17). С. 27-35.

4. Кривулин Н. К. Оценивание скорости роста вектора состояний обобщенной линейной динамической системы со случайной матрицей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2003. Сер. 1. Вып. 3 (№17). С. 47-55.

5. Кривулин Н. К. Теорема сходимости для степеней матрицы и вычисление собственного числа в идемпотентной алгебре // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2004. Сер. 1. Вып. 2. С. 49-55.

6. Воробьев Н. Н. Экстремальная алгебра положительных матриц // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1967. Bd 3, N 1. S. 39-72.

7. Романовский И. В. Оптимизация стационарного управления дискретным детерминированным процессом динамического программирования // Кибернетика. 1967. №2. С. 66-78.

8. Kingman J. F. C. Subadditive ergodic theory // Ann. Probab. 1973. Vol. 1. P. 883-909.

Статья поступила в редакцию 23 ноября 2004 г.