Расчет показателя Ляпунова обобщенной линейной стохастической системы с матрицей второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.87

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 1

Н. К. Кривулин, Д. Н. Васильев

РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА ОБОБЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С МАТРИЦЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА*)

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Рассматривается стохастическая динамическая система, эволюция состояний которой описывается при помощи обобщенного линейного векторного уравнения со случайной переходной матрицей второго порядка. Элементами матрицы являются случайная величина с экспоненциальным распределением вероятностей, две положительные константы и нуль. Изучается средняя асимптотическая скорость роста вектора состояний (показатель Ляпунова) системы. Вычисление показателя Ляпунова для системы включает построение и исследование сходимости последовательностей одномерных функций распределения при всех возможных соотношениях между константами. Показатель Ляпунова вычисляется как среднее значение предельного распределения одной из последовательностей. Биб-лиогр. 9 назв.

Ключевые слова: показатель Ляпунова, стохастическая динамическая система, скорость роста вектора состояний, сходимость распределений.

N. K. Krivulin, D. N. Vasilyev

COMPUTATION OF THE LYAPUNOV EXPONENT

OF A GENERALIZED LINEAR STOCHASTIC DYNAMICAL SYSTEM

WITH A SECOND-ORDER MATRIX

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

A stochastic dynamical system is considered, in which the state evolution is described by a generalized linear vector equation with a random transition matrix of the second order. The matrix entries include a random variable with exponential probability distribution, two positive constants, and zero. The mean asymptotic growth rate of state vector (the Lyapunov exponent) for the system is investigated. Evaluation of the Lyapunov exponent involves the development and analysis of convergence of series of one-dimensional distribution functions for all possible relations between the constants. The Lyapunov exponent is obtained as the mean value of the limiting distribution of a series. Bibliogr. 9.

Keywords: Lyapunov exponent, stochastic dynamical system, state vector growth rate, convergence in distributions.

1. Введение. Модели обобщенных линейных стохастических динамических систем находят применение при анализе различных систем и процессов в технике,

Кривулин Николай Кимович — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: nkk@math.spbu.ru

Васильев Дмитрий Николаевич — аспирант; e-mail: vasilyev.dmitry@gmail.com Krivulin Nikolay Kimovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor; e-mail: nkk@math.spbu.ru

Vasiliev Dmitry Nikolalaevich — post-graduate student; e-mail: vasilyev.dmitry@gmail.com

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (научный проект № 13-02-00338).

экономике, управлении и других областях. Эволюцию состояний системы в моделях такого типа можно описать при помощи линейных в смысле некоторого идемпотент-ного полукольца [1-3] векторных уравнений со случайной матрицей переходов.

Во многих случаях представляет интерес вычисление средней асимптотической скорости роста вектора состояний системы, которую обычно называют показателем Ляпунова. Однако определение его значения нередко оказывается довольно трудоемкой задачей даже для весьма простых моделей систем. Известные результаты включают решения, полученные в работах [4-9] для систем со случайной матрицей второго порядка, элементами которой могут быть независимые случайные величины с экспоненциальным распределением и неотрицательная константа.

В настоящей работе рассматривается задача определения показателя Ляпунова для системы с матрицей второго порядка, которая состоит из экспоненциально распределенной случайной величины, двух различных неотрицательных констант и нуля. Используется подход, развитый в [6, 7]. Решение задачи включает замену переменных для перехода от случайных координат вектора состояний к новым случайным величинам, анализ которых оказывается более продуктивным. Задача разбивается на три случая, для каждого из которых осуществляются построение и исследование сходимости соответствующих этим величинам последовательностей одномерных функций распределения. Показатель Ляпунова вычисляется как среднее значение предельного распределения одной из последовательностей.

2. Стохастическая динамическая система. Рассмотрим стохастическую динамическую систему, эволюция которой определяется обобщенным линейным векторным уравнением

z(k) = A(k) ® z(k — 1), k = 1, 2,..., (1)

где матрица A(k) и вектор состояний z(k) имеют вид

A(k)= ( $ ), z(k) = ( $) ), z(0)= ( 0

а умножение ® матрицы на вектор понимается в смысле идемпотентного полукольца с операциями вычисления максимума в роли сложения и арифметического сложения в роли умножения.

Будем предполагать, что c и d - положительные константы, а ак - последовательность независимых экспоненциально распределенных случайных величин с функциями распределения и плотности

F(t) = 1 — ef (t) = цet > 0.

Показатель Ляпунова системы находится как предел

А= lim —та х(х(к),у(к)).

к^ж k

С помощью эргодической теоремы из [3] нетрудно показать, что для описываемой системы указанный предел существует с вероятностью 1, а также выполняется равенство

А= lim — Е тах(ж(/г), у (к)).

к^ж k

3. Исследование динамической системы. Динамическое уравнение (1) для всех k =1, 2,... можно представить следующим образом:

x(k) = max(ak + x(k — 1),c + y(k — 1)),

y(k) = max(x(k — 1),d + y(k — 1)).

Воспользуемся заменой переменных, предложенной в работе [4], и запишем

X (k) = x(k) — x(k — 1), Y (k) = y(k) — x(k).

Скалярные уравнения принимают вид

X (k) = max(ak ,c+ Y (k — 1)),

Y(k) = max(0, d + Y(k — 1)) — max(ak,c + Y(k — 1)). Заметим, что выполняется равенство

x(k) = X (1) + ••• + X (k). Кроме того, нетрудно проверить, что для всех k имеет место неравенство

min(—ак, d — c) ^ Y(k) ^ max(—ак, d — c). Тогда показатель Ляпунова можно представить следующим образом:

1 1 к 1 к

А = lim —Е max(0, Y(k)) + lim -VEX(i)= lim -VEX(i).

к^ж k к^ж k Z—/ к^ж k Z—/

i=1 i=1

Введем функции распределения

Фк(t) = P{X(k) < t}, *k(t) = P{Y(k) < t}.

Сначала заметим, что

Фк(t) = P{max(ak, Y(k — 1) + c) <t} = F(t)Vk-i(t — c).

Предположим, что последовательность функций Фк сходится при k к предель-

ной функции распределения Ф. Тогда последовательность Фк также сходится к функции распределения Ф некоторой случайной величины X. Функция Ф имеет вид

Ф^) = F (t)^b(t — c).

По формуле полной вероятности запишем

ж

Фк(t) = j P{Y(k) < ta = u}f (u)du.

0

Условную вероятность под знаком интеграла представим как сумму вероятностей:

Р{У(к) <1\а.к = и} = = 1 - Р{тах(и, с + Y(к - 1)) < -г} - Р{тах(и - а - Y(к - 1),с- ¿) < -г} + + Р{тах(и, с + Y(к - 1)) < -г, тах(и - а - Y(к - 1), с - ¿) < -г}.

После вычисления каждой вероятности приходим к результату

0, если и ^ —Ь, Ь ^ с! — с;

. Фк- 1(и — ! + Ь), если и > —Ь, Ь < ! — с; г{У (к) < Ца.к = и} = <

1 — Фк—1 — Ь — с), если и ^ —Ь, Ь > ! — с;

1, если и > —Ь, Ь > ! — с.

Подстановка в формулу полной вероятности для функции распределения Фк дает рекуррентное уравнение

Ф Ь) = I — *к~1(* — ! + и)1(и)!и, если Ь < ! — с; ^

1 (1 — Фк—1(—Ь — с))/(и) ¿и + /(и)¿и, если Ь > ! — с.

Ниже будут рассмотрены различные случаи соотношений между константами с и Для этих случаев рекуррентное уравнение (2) будет уточняться. В каждом случае будем исследовать сходимость последовательности функций распределения Фк, а затем вычислять значение показателя Ляпунова.

4. Случай с ^ Уточним рекуррентное уравнение (2). Сначала, учитывая условие с! — с ^ 0, перепишем это уравнение так:

{/Ю Фк—1(и + Ь — !)/(и)!и, если Ь ^ 0;

/Ю Фк—1(и + Ь — !)/(и)!и, если 0 <Ь < ! — с;

1, если Ь > ! — с.

Представим интегралы в виде сумм интегралов, а затем заменим переменные. После подстановки плотности экспоненциального распределения приходим к уравнению

' й ю

Фк-1(и — !)в—ки!и + Фк—1(и)в

-Кп+а)!и

если Ь ^ 0;

о о

й—Ь ю

¡1 Фк—1(и + Ь — !)в—ки!и + ¡вК / Фк—1(и)в—к(-и+л)!и, если 0 <Ь < ! — с;

оо 1, если Ь >! — с.

Фк (Ь)=<

Теперь введем обозначения

й ю

ак = ц ! Фк(и — !)в—ки!ии, Ьк = ц ! Фк(и)в—К(и+Л)3и

и приведем рекуррентное уравнение в форме

(ак—1 вК + Ьк—1вкЬ, если Ь < 0;

к—1(и + Ь — !)в Ки!и + Ьк—1вкЬ, если 0 <Ь < ! — с;

1, если Ь > ! — с.

Из этих равенств следует, что й

ак = ¡1 (ак—1 + Ьк—1)вк(и—й)в—ки!и = ¡¿(ак—1 + Ьк—1)в—кй.

Кроме того, если 0 < г ^ Г - с, то можно вычислить интеграл

а-г

/а г

+ г - ¿)е-»ис1и = - ¿Ж_2 + = -^-а^еЧ

+ Ьк-1е^г, если г < 0;

0

Тогда для функции распределения справедливо представление

Ч

^Ч) = { + Ък- если 0 < t < й - с;

1, если г > г - с.

Осталось найти величину гР - с2

Ьк = ц-^-е^а*-1 + " Ф'^Ък-1 +

Исследование сходимости распределений. Ясно, что имеется взаимнооднозначное соответствие между последовательностью функций распределения Фк и последовательностью векторов (ак,Ьк). Для исследования сходимости последовательности векторов рассмотрим систему уравнений

ак = иГе-^аак-1 + иГе-^аЬк-1, а2 с2

Ьк = /л-^-е-^аь-! + № - с)е-^Ък^ + Определим собственные числа матрицы системы, которая записывается в виде

М ¿-с

Матрица имеет два собственных числа

В силу условия с ^ Г имеем оценку

, с ^2сР - с2 а — — ±

2 2

а/2

< ¿+ -^-й < 2й.

Применяя неравенство хе х ^ е , которое выполняется для всех х ^ 0, окончательно заключаем, что

ие-^

, с л/2<Р - с2 « — — ±

22

< < - < 1.

е

Поскольку собственные числа матрицы системы по модулю не превосходят 1, итерационный процесс, который задает эта система, сходится. Предельные значения а и Ь находятся из системы уравнений

а = иГе-^аа + иГе-Ч,

d2 - г2

b = ц 2d e-^a + ¡i,(d - c)e~ßdb + e-^2d-c). Решение системы уравнений дает такой результат:

2jd,e-^3d-c)

1 - 2jde-^d +(1 - j(d - c)e-^d)2 ' b_ 2e-^2d-c\l - fj,de-»d)

~ 1 - 2¡jde-^d + (1 - ¡J,{d - c)e-^d)2 '

В силу взаимно-однозначного соответствия между последовательностями векторов (ak,bk) и функций распределения Ф^, последовательность функций также сходится к некоторой предельной функции, которая имеет вид

(a + b)eßt, если t < 0;

Ф(1) = { (a + b)e^ - ad-1e^t, если 0 <t < d - c;

если t > d - c.

Учитывая, что выполняется равенство

b - 2e-^2d-c1 _ 1 d

a+ ~ 1 - 2¡jde-^d + (1 - n(d - c)e-^d)2 ~ ^

предельную функцию можно записать следующим образом:

f_LaeKt+d)^ если i 0;

- /it), если 0 < t «С d - с; 1, если t > d - c.

4.2. Вычисление показателя Ляпунова. Функции Ф отвечает предельная функция Ф последовательности Ф^, которая определяет распределение случайной величины X и вычисляется по формуле Ф(t) = F(t^(t - c). В силу того, что

A_aeß{t+d-cесли i si с; " с) = { jdae^{t+d~c)(l ~ " c)e~Md), если c<t^d\

если t > d,

предельная функция Ф имеет вид

(0, если t ^ 0;

i aeMd-c)(i _e-Mt)eMt еслиО < i SC с;

- e ^t)e^t(1 - j(t - c)e Md), если c <t ^ d; _ 1 - e-^t, если t > d.

При t = d функция терпит разрыв, величина которого задает вероятность

р = Р{Х = 4 = 1- e~ßd - —ae^-^i 1 - - n(d - c)^).

¡d

Нетрудно проверить, что других разрывов функция не имеет. Вычисляя производные, определим функцию

{1аем(<г-с)ем(; если о < í < с;

1аем(<г-с)(ем«(1 _ ^ - - - 1)), если с < г < ¿;

ие-^г, если г > Г.

Показатель Ляпунова теперь может быть рассчитан по формуле

СЮ С а сю

х = у гГФ(г) = Гр + у гф(г)л + J гф(г)л + ^ гф(г)А.

о о с а

Найдем величину

1

М

а затем вычислим интегралы

йр = й- - -аеА2а-с\ 1 - - ц{й - с)^)

С

/ гф(г)(1г = - + /лсеЧ,

] и2Г

о

а

[ гфиуМ = + -аеЧ2Л-с)( 1 - - с)е~^){ 1 - + -^-а -

,] и и и2 Г'

С

1

и2 г

и

Суммирование полученных выражений дает

1 2е-^(за-с) А = с1 -\--г—а = с1 +

и2Г и(1 - 2иг1е-^ + (1 - и(Г - с)е-Ч2)'

5. Случай Г < с ^ 2Г. Сначала предположим, что выполнено общее условие с > Г. Тогда рекуррентное уравнение (2) принимает вид

^о^ Фк-\(и - Г)/(и - Ь)Гп, если г ^ Г - с; Фк(г) = {1 - Фк-1(-г - с)^ (-г), если Г - с<г < 0; (3)

если г > 0.

Заметим, что при этом выполняется равенство

1, если г < -с;

Фк-1(-г - с)= <( 1 - Фк-2(г)^(г + с), если -с < г< -Г; (4)

о

/С Фк-2 (и - Г)/(и + г + с)Ги, если г ^ -Г.

В данном случае уравнение (3) может быть дальше уточнено и записано с учетом экспоненциального распределения так:

{ие"г /С Фк-1(и - Г)е "иГи, если г < Г - с;

1 - (1 - е"г )ие-"(г+с) /0ю Фк-2(и - Г)е-"и Ги, если Г - с<г < 0; 1, если г > 0.

Введем следующее обозначение:

сю

ак = и J Фк (и - Г)е-"иГи. (5)

о

Заметим, что при Г < с ^ 2Г выполняются равенства

2а-с

е

ао Тогда функцию распределения можно представить в виде

{ак-1е"г, если г ^ Г - с;

1 + ак-2е-"С(1 - е-"г), если Г - с <г < 0; 1, если г > 0.

5.1. Исследование сходимости распределений. В силу взаимно-однозначного соответствия между последовательностью функций Фк(г) и числовой последовательностью ак, будем исследовать сходимость числовой последовательности. Сначала найдем

сю 2а-с

ао = и/-'Ги = е-"а, а_ = и Iе-2"Ги = и(2Г - ф-

ак = е-КЫ-с) + 2(1 - ф^е^ - - е^)2.

Определим векторы

, ак \ Ь ( е-"(2а-с)

ак = ( акк-1 , Ь = 0

а также матрицу

в = ^ 1 2 0

Рассмотрим итерационный процесс, который задан векторным уравнением

ак = Вак-1 + Ь. Собственные числа матрицы уравнения имеют следующий вид:

^ ^(2(I - ± ^¡л2{2(1 - с)2е-2^ - - е-м<г)2^ _

Поскольку 2Г - с < Г, оба собственных числа можно оценить по модулю сверху величиной

и(2Г - с)е-"а < иГе-"а < е-1 < 1.

При этом условии итерационный процесс сходится и ак ^ а при к ^ ж. Найдем а из уравнения

а = + /1,(23 - с)ае-^ - -ае^(сг-с)(е^с - е^)2.

Решение уравнения дает

2в—К2й—с)

2 — 2^(23 — с)в—кй + в—к(й—с) (в—кс — в—кй)2 '

Из сходимости числовой последовательности вытекает сходимость последовательности функций Фк к некоторой предельной функции

, если Ь ^ 3 — с;

Ф(Ь) = <( 1 + ав—КС(1 — в—кг), если 3 — с<Ь < 0; 1, если Ь > 0.

5.2. Вычисление показателя Ляпунова. Функции Ф соответствует предельная функция Ф последовательности Фк, которая задает распределение случайной величины X и может быть записана в виде

{0, если Ь ^ 0;

авк(Ь—с)(1 — в—К), если 0 <Ь < 3;

(1 — в—К')(1 + ав—КС — ав—кЬ), если 3<Ь < с;

1 — в—К, если Ь > с.

Определим функцию ф(Ь) следующим образом:

{0, если Ь ^ 0;

аивк(Ь—с), если 0 <Ь < 3;

¡лв—К(1 + а(в—КС — 2в—К + 1)), если 3<Ь < с;

¡в—К, если Ь > с.

Вычислим вероятность, с которой случайная величина X принимает значение 3:

ю

р = Р(х ==1 -1 фт ==(1 - в—"п -а(в—К + ^ - в—п).

о

Показатель Ляпунова теперь рассчитывается по формуле

юю с й юю

х = !ь3Ф(ь) = 3р + !гф(г)3г + ¡^ гф(г)л + ^ гф(г)3г.

о о с й

Сначала запишем выражение для первого слагаемого

3р = 3 — 3в—кй — 3а(1 — в—кй )(в—кй + вК(й—с) — в—КС),

а затем найдем значения интегралов

[ Ьф^А = - —а(ер

] 1

о

с

¡тщ =3—' + мг- )(в—К + ^ - в—п -

й

- + + е^^ - е-"0) - -е^с(1 + цс),

¡1 И

юю

[ гфи)& = —е~мс(1 + ¡лс). ¡

Наконец, получим

1 2в—к(3й—с)

А = (1 + — ае~м =<!+■

1 ¡(2 — 2¡(23 — с)в—кй + в—к(й—с)(в—кс — в—кй)2)'

6. Случай с > 23. Снова уточним рекуррентное уравнение (3). Заметим, что теперь выполняется неравенство —с ^ 3—с < —3. Тогда с использованием (4) получим уравнение

{/Ю° Фк—1(и — 3)/(и — Ь)3и, если Ь ^ 3 — с;

1 — ^(—Ь)(1 — ^(Ь + с)Фк—2(Ь)), если 3 — с < Ь < —3;

1 — ^ (—Ь) ¡ю Фк—2(и — 3)/(и + Ь + с)3и, если —3<Ь < 0; 1, если Ь > 0.

6.1. Исследование сходимости распределений. Сначала исследуем сходимость функции Фк для значений Ь таких, что —3<Ь ^ 0. В этом случае имеем рекуррентное уравнение

ю

Фк(Ь) = 1 — ^(—Ь) ! Фк—2 (и — 3)/(и + Ь + с)3и =

о

юю

= 1 - ч - вК>^>¡1 - 3)—'3и.

о

Воспользуемся обозначением (5). Заметим, что при с > 23 выполняются равенства

а0 = в—цй, а1 = 0. Функцию распределения теперь можно записать в виде

Фк(Ь) = 1 + в—ксак—2 — в—Кь+с)ак—2. Тогда для чисел ак выводим рекуррентное уравнение

й

Введем обозначение

При к = 2т из рекуррентного уравнения получим

а2т = 1 - да2(т_1) = ••• = 1 - д +-----+ (-ч)т-1 + (-?)т ао.

При к = 2т + 1 будем иметь

а2т+1 = 1 - да2(т-1)+1 = ••• = 1 - д +-----+ (-я)т-1 + (-д)таь

Ясно, что |д| < 1, а числа ао и а1, очевидно, ограничены. Тогда при к ^ ж находим, что

11

а2т 1—;-1 С'2т+1

1 + д 1 + д

Откуда следует, что

12

ак —> а =

1 + д 2+(1- е-"а)2е-"(с-а)'

Поскольку между числовой последовательностью ак и последовательностью функций Фк есть взаимно-однозначное соответствие, заключаем, что при условии -Г < г ^ 0 последовательность Фк сходится к функции

фф = 1 - (1 - еЧе-^+с)а = 1 - 2(1 "

2 + е-"(с-а) - 2е-"с + е-"(с+а)'

Теперь исследуем сходимость функций распределения при г ^ Г - с. Для таких значений г можно записать

сю

Н- 1(и - Г)е-"иГи = ак- 1е"г.

Фк(г) = ие"г ! Фк-1(и - Г)е "иГи = ак-1е

Переходя к пределу при к ^ ж, заключаем, что при г ^ Г - с последовательность Фк(г) сходится к функции

2е"г

Ф(*) = ае*

2+(1 - е-"а)2е-"(с-а)' При условии Г - с <г ^ -Г имеем уравнение

Фк(г) = 1 - Р(-г)(1 - Р(г + с)Фк-2(г)).

Введем обозначение О(г) = Р(-г)Р(г + с). При к = 2т получим

о(

Аналогично, если к = 2т + 1, то

Ф2т+1(г) = (1 - Р (-г))(1 + о(ь) + ••• + от-1(г)) + от(г)Ф1 (г).

Ф2т(г) = (1 - Р (-г))(1 + о(ь) + ••• + от-1Ц)) + ст(г)Фо(г).

—5-

Учитывая, что для любого Ь выполняется условие |С(Ь)| < 1, при т ^ж находим

1 + с(г) + --- + ст-\г) 1 1

1 — С(Ь) 1 — Р (-Ь)Р (Ь + с)'

Кроме того, что при всех Ь функции Ф0(Ь) и Ф1(Ь) ограничены и Ст(Ь) ^ 0 при т ^ ж. Ясно, что тогда последовательности Ф2т(Ь) и Ф2т+1(Ь) имеют общий предел.

Следовательно, при условии 3 — с < Ь ^ —3 последовательность функций Фк(Ь) при к ^ж сходится к функции

1 — Р (—Ь) е^

1 — Р (-Ь)Р (Ь + с) е^ + е—^+с) — е—^с'

Объединяя результаты для всех значений Ь, а затем подставляя значение а, окончательно получим предельную функцию в виде

' 2

если £ ^ а — с;

=

2 + (1 -e-iJ-d)2e-iJ-{-a-d'> '

_ е^+е-Х+с)_е-мс> если d-с <t^-d;

-e^ )e- " ' ~

1 " 2+(i-e-^)2e-Mc-d), если -d < t < 0; 1, если t > 0.

6.2. Вычисление показателя Ляпунова. Учитывая, что выполняется равенство Ф(Ь) = Р(Ь)Ф(Ь — с), приходим к функции в форме

т

0, если t ^ 0;

ae^(t-c)(1 - e-^), если 0 <t < d;

если d <t ^ с — d] (1 - e-^')(1 - ae+ ae-^c), если с - d<t < с; 1 — e-^t, если t > с.

Так же, как в предыдущих случаях, определим функцию

0, если t ^ 0;

a^(t-c), если 0 <t < d;

Ф(г)=Ф'(г) = еСЛИ d<t^c-d-,

fj,e~^t(1 + a(e~»c - 2e~»t + 1)), если с - d<t < с; /i,e-ßt, если t > с.

Найдем вероятности pd = P{X = d} и pc-d = P{^ = с - d}. Вероятность pd вычислим следующим образом:

pd = Ф(d+) - Ф(d-) = eßd + eKc_d)_1 ~ - e~ßd).

Аналогичным путем определим вероятность pc-d:

eKc-d) — 1

pc-d = (1 - e-^(c-d))(1 - ae-»(c-d) + ae-»c) -

+ e^(c-d)— 1 '

Показатель Ляпунова вычисляется по формуле

сю d c-d c сю

X = J tdФ(t) = dpd + (c - d)pc-d + J Ьф(Ь)скЬ + J Ьф(Ь)скЬ + J Ьф(Ь)скЬ + J tф(t)dt.

0 0 d c-d c

Сначала получим следующие выражения:

dpd = defld~f,--ädert*-0) + ade-^c,

1 eßd + eAc-d) - 1

(c - d)pc-d = (c - d)(1 - e4d-c)) - ae^(d-c)(1 + e-^c)(c - d) +

-uc j -uc , 2u(d-c)i (c - d)e^c-d) - c + d

+ асе ßc - ade ßc + ae/^a C)(c-d)-------.—-.

v ' eßd + eß(c-d) - 1

Затем рассчитаем значения интегралов d

[t<!>{t)db = ade^d-c) _ }_ae-ßc^ßd _ ^

J И

0 c

[ t<t>(t)dt = —ae~ßc(eßd - 1) + ae^d-°\ 1 + e^c)(c - d) - ,

J И

cd

- ae4d-c\c -d)- — ae2^^ + -aeA^ -

2и И

~ TT-«e-2iic + e4d-c\c -d) + - -e-^'il + (ic),

2и И И

1

— I

И

сю

/ = —e~ßc(l + /ис).

И

Для вычисления интеграла по промежутку Г < г ^ с - Г воспользуемся формулой интегрирования по частям

с-а с-а

[ ии)(й - [ <и -

I ^ ' ^fл{c—d) _ хс _ fл{c—d) ^¡лй _ ^¡лс _ ^¡лй I ^¡лЬ _ ^¡лс _ ^2¡лЬ

(c - d)e^d de»(c-d) 1

eßd + eKc-d) - 1 eßd + eKc-d) - 1 2 1 / / 2e^d - 1 \ fl-2e-^d-c)

Mv/46MC _ 1 eMC _ : J + arctg ^ - T~

Суммирование всех полученных выражений дает

c 2eß(d-c)

А = - +

2 и(2 + eAd-c) - 2e-^c + e-^(c+d))

1 f (ем<г - eM(c-d)w4eMC _ i

arctg

(Uv/4eMc _ 1 6 у 4eßc _ eJid _ e^{c-d)

Объединяя все решения, заключаем, что показатель Ляпунова для рассматриваемой системы равен

" + п.( 1 -яп^.-^+п , если с < а;

2в— I-1 (2d— с)

« + M(2eA"i-2M(2d-C) + e-A"=(e-A'(ti-<=)-l)2)' вСЛИ « < С < 2d;

с |___

2 "I" /х(2+еМ<*-<0 -2e-A"=+e-'J(0+ti))

arctg (^^e^c^Z^-J) , если с > 2d.

7. Заключение. В работе рассмотрена стохастическая динамическая система, описываемая векторным уравнением со случайной матрицей второго порядка, которое является линейным в смысле полукольца с операциями максимума в роли сложения и сложения в роли умножения. Решена задача вычисления показателя Ляпунова системы при условии, что элементами матрицы служат случайная величина с экспоненциальным распределением, две положительные константы и нуль. Исследованы три случая возможных соотношений между константами, для каждого из которых строится последовательность распределений некоторой случайной величины, а показатель Ляпунова вычисляется как среднее значение предельного распределения последовательности.

Литература

1. Heidergott B., Olsder G. J., van der Woude J. Max-plus at Work: Modeling and Analysis of Synchronized Systems. Princeton Series in Applied Mathematics. Princeton: Princeton Univ. Press, 2006. 226 p.

2. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физматлит, 1994. 144 с.

3. Кривулин Н. К. Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. 256 с.

4. Olsder G. J., Resing J. A. C., De Vries R., Keane M. S., Hooghiemstra G. Discrete event systems with stochastic processing times // IEEE Trans. Automat. Control. 1990. Vol. 35, N 3. P. 299-302.

5. Jean-Marie A. Analytical computation of Lyapunov exponents in stochastic event graphs // Performance Evaluation of Parallel and Distributed Systems. Solution Methods: Proc. 3rd QMIPS Workshop. Pt 2 / ed. by O. J. Boxma, G. M. Koole. Amsterdam: CWI, 1994. Vol. 106 of CWI Tracts. P. 309-341.

6. Кривулин Н. К. Вычисление показателя Ляпунова обобщенных линейных систем с показательным распределением элементов переходной матрицы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2009. Вып. 2. С. 37-47.

7. Кривулин Н. К. Вычисление средней скорости роста вектора состояний стохастической системы с синхронизацией событий // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2011. Вып. 1. С. 109-116.

8. Krivulin N. Evaluation of the mean cycle time in stochastic discrete event dynamic systems // Proc. 6th Intern. Conf. on Queueing Theory and Network Applications. New York: ACM, 2011. P. 93-100.

9. Krivulin N. Evaluation of the Lyapunov exponent for stochastic dynamical systems with event synchronization // Recent Researches in Circuits, Systems, Multimedia and Automatic Control. Stevens Point, WI: WSEAS Press, 2012. Vol. 1 of Recent Advances in Electrical Engineering Series. P. 152-157.

A

References

1. Heidergott B., Olsder G. J., van der Woude J. Max-plus at Work: Modeling and Analysis of Synchronized Systems. Princeton Series in Applied Mathematics. Princeton: Princeton Univ. Press, 2006, 226 p.

2. Maslov V. P., Kolokoltsov V. N. Idempotentnyj analiz i ego primenenie v optimal'nom upravlenii (Idempotent analysis and its applications to optimal control theory). Moscow: Nauka, 1994, 144 p.

3. Krivulin N. K. Metody idempotentnoj algebry v zadachah modelirovanija i analiza slozhnyh sistem (Methods of idempotent algebra for problems in modeling and analysis of complex systems). St. Petersburg, Izd-vo St. Petersburg University, 2009, 256 p.

4. Olsder G. J., Resing J. A. C., De Vries R., Keane M. S., Hooghiemstra G. Discrete event systems with stochastic processing times. IEEE Trans. Automat. Control, 1990, vol. 35, no. 3, pp. 299—302.

5. Jean-Marie A. Analytical computation of Lyapunov exponents in stochastic event graphs. Performance Evaluation of Parallel and Distributed Systems. Solution Methods: Proc. 3rd QMIPS Workshop. Pt 2. Ed. by O. J. Boxma, G. M. Koole. Amsterdam: CWI, 1994, vol. 106 of CWI Tracts, pp. 309-341.

6. Krivulin N. K. Vychislenie pokazatelja Ljapunova obobshhennyh linejnyh sistem s pokazatel'nym raspredeleniem jelementov perehodnoj matricy (Calculating the Lyapunov exponent for generalized linear systems with exponentially distributed elements of the transition matrix). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 1: Mathematica, mechanica, astronomia, 2009, issue 2, pp. 95-105.

7. Krivulin N. K. Vychislenie srednej skorosti rosta vektora sostojanij stohasticheskoj sistemy s sinhronizaciej sobytij (Calculating the mean growth rate of the vector of states of a stochastic system with synchronization of events). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 1: Mathematica, mechanica, astronomia, 2011, issue 1, pp. 79-86.

8. Krivulin N. Evaluation of the mean cycle time in stochastic discrete event dynamic systems. Proc. 6th Intern. Conf. on Queueing Theory and Network Applications. New York: ACM, 2011, pp. 93-100.

9. Krivulin N. Evaluation of the Lyapunov exponent for stochastic dynamical systems with event synchronization. Recent Researches in Circuits, Systems, Multimedia and Automatic Control. Stevens Point, WI: WSEAS Press, 2012, vol. 1 of Recent Advances in Electrical Engineering Series, pp. 152-157.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 14 ноября 2014 г.