О вычислении скорости роста вектора состояний обобщенной линейной стохастической системы второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

H. К. Кривулин

О ВЫЧИСЛЕНИИ СКОРОСТИ РОСТА ВЕКТОРА СОСТОЯНИЙ ОБОБЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА1

I. Введение

При исследовании различных систем в экономике, технике и других областях находят применение обобщенные линейные динамические модели вида

z(k) = A(k) ® z(k — 1),

где А(к) —случайная матрица системы, z(k) —вектор состояний системы, ® —операция умножения матрицы на вектор, заданная в некоторой идемпотентной алгебре [1]. При анализе реальных систем часто представляет интерес определение средней скорости роста вектора состояний системы

А= Пт 11 | г(*) | |,

к—>Ж к

где II ■ II —некоторый идемпотентный аналог обычной векторной нормы.

Во многих случаях доказательство существования указанного предела может быть проведено без труда (например, с использованием эргодической теоремы [2]). В то же время вычисление значения предела обычно оказывается довольно трудной задачей даже для весьма простых моделей систем. К имеющимся результатам в этой области можно отнести решение задачи вычисления предела для системы второго порядка с матрицей, все элементы которой независимы и имеют одинаковое экспоненциальное распределение вероятностей с единичным средним [3]. Более общая модель с матрицей, диагональные элементы которой имеют общее распределение с параметром А, а недиагональные элементы — распределение с параметром V = а, изучена в [4].

Получено решение для системы второго порядка с симметричной матрицей, у которой диагональные элементы независимы и имеют экспоненциальное распределение с единичным средним, а недиагональные элементы равны нулю [5]. Рассмотрена такая система с матрицей, диагональные элементы которой имеют различные средние [6].

Для систем произвольного порядка п известны результаты для случаев, когда все элементы матрицы одинаково распределены и независимы и имеют либо нормальное распределение [7], либо дискретное равномерное распределение [3]. Найдено общее решение для случая системы с треугольной матрицей порядка п при условии, что случайные элементы матрицы имеют распределения вероятностей с конечными средним и дисперсией и могут быть зависимыми [8].

Целью настоящей работы является решение задачи определения средней скорости роста вектора состояний для системы второго порядка с матрицей, элементы которой независимы и имеют экспоненциальные распределения с произвольными параметрами. Рассматриваемая модель системы является обобщением моделей, изученных в [3-6].

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №06-01-00763). © Н. К. Кривулин, 2008

В работе задача нахождения средней скорости роста вектора состояний системы сводится к ряду алгебраических вычислений, включая решение алгебраической системы уравнений и вычисление значения некоторого линейного функционала от полученного решения. Приведен пример решения задачи в общем виде для одного частного случая.

2. Обобщенная линейная стохастическая динамическая система

Рассмотрим динамическую систему, эволюция которой описывается уравнением

7(к) = А(к) ® 7(к - 1),

где

АМ=( а: 1 ) , г(к)=( х<к)), г( о = ( 0 ) ,

а знак ® обозначает операцию умножения матрицы на вектор в идемпотентной алгебре со скалярными операциями обобщенного сложения и умножения, определенными соответственно как операция определения максимума и сложение (см., например, [1]).

Векторное уравнение системы можно представить с использованием обычных обозначений в виде системы скалярных уравнений

х(к) = тах(а& + х(к - 1), вк + у(к - 1)), у(к) = тах(УГе + х(к - 1), Бк + у(к - 1)).

Предположим, что каждая из последовательностей {а:}, {в:}, {Ук} и {вк} состоит из независимых случайных величин, которые имеют общее экспоненциальное распределение ,а также ,что а:, вг, Ут и Бп независимы при любых к, I, т, п. Введем функции распределения

^а(1) = Р{ак < 1} = тах(0,1 - еМ), Ке© = Р{вк < 1} = тах(0,1 - елМ), К7© = Р{Ук < 1} = тах(0,1 - е-®), Ев(Ь) = Р{вк < 1} = тах(0,1 - е'Т1), Асоответствующиеим функции плотности обозначим через (а(Ь), Гй©, Гу(1) и (в(Ь).

3. Средняя скорость роста вектора состояний

Одной из характеристик системы является средняя скорость роста вектора состояний системы г(к), т.е. величина

А= 11т 11 | z(*) | |,

к—>А к

где обозначение нормы понимается в смысле | ^(к)| | = х(к) ф у(к) = тах(х(к),у(к)).

Нетрудно показать, например, используя эргодическую теорему [2], что в случае, когда элементы матрицы А(к) неотрицательны и имеют конечные средние, рассматриваемый предел существует с вероятностью 1, а также существует предел

11т 1Е || z(AO ||=А.

к—>ж к

Для нахождения предела определим случайные величины 2(к) = || z(k)|| - |^(к - 1)||, У(к) = у(к) - х(к)

и заметим, что | ^(к)| | = Z(1) + • • • + Z(k). Введем функции распределения Фк© = Р^(к) < 1}, Vk(t) = Р{У(к) < 1}, а соответствующие им функции плотности обозначим через фк и Ак. Рассмотрим функцию

Фк(г) = Р{тах(тах(ак, Ук), У(к - 1) + тах^к^^) - тах(0,У(к - 1)) < 1}.

После выполнения соответствующих преобразований приходим к уравнению

Предположим, что последовательность Акф) при к а ж сходится равномерно по Ь к некоторой предельной функции плотности ф(Ь) (ниже будет показано, что такое предположение для рассматриваемой системы является справедливым). Тогда последовательность функций Фк сходится к функции

Ясно, что Ф является функцией распределения некоторой случайной величины Z, причем Z(k) сходится к Z по распределению. Кроме того, Ер(к)] сходится к Ер], а следовательно,

А- Шп |е||*(А0|| - Нш I V Е[£(т)1 -ЕЩ.

к >ОС к к * 'X: к

4. Рекуррентное уравнение для функции плотности Ак

Применив формулу полной вероятности, для любого к = 1, 2,..., получим равенство

в котором под знаком интеграла стоит функция К(I, а) — Р{У(А’) < I |У(А' — 1) — в} — Р{тах(7*;, + ,<,■) — тах(аь. Зи + а) < /}

- Р7(« + t)Fs(u + 1. - *)(/„(ы)Р*(м - в) + Гп{и)$,1(и - н))(1н,

где нижний предел интегрирования определяется следующим образом: —если I < 0, 8 < 0.

Г —

% — I; ес.,ш / < 0, 4' > 0,

0. С.. III / > 0, Я < 0,

к я, если / > 0, я > 0.

Введем функции

«и (О

[ если ( < О,

I аь~сг, если ( > О;

<12 (t)

если £ < О,

МО -

тс Tt. если i > О; (f.i + . если I < О,

(а + т)если I > О;

аметим, что при всех I £ (—ос, ос) выполняется неравенство

МО + «2(0 - «з(0 > О-Теперь определим следующие функции:

( о [ш

1-1 + а (и, + т) (/<■ + а + т) т ,с ^ _ »т

1-1 + т а

М*)- к VJ(T

{ц + а)[р + а + г) vu

(v + т){1/ + (Т + т)

1ST '

v I т (v | a)(v | а \ т]

_vs , о-(/« + ь')

_ J fi + l' + IT' {fL+V + T'jill + V+V + T)

' Т -ii.s- , 7M+i/)

если S < О, с 1 'т^', если .s' > 0;

М“г>3: если s<0,

г\ если .ч > 0;

еО I

j. t + V + т ( fi

МО

(f.1, + v + + v + а + т)

если .s < 0.

,ц > ();

// + <т (д/ +<т) (/.<. + // +<т)

если а < О,

г/

(/J, + <7) (// + и+(т) )1Т

CM =lf‘lT

{v | т)(д I г/ I г)

I/'T

е-(л-<т)*? если s > 0; М+ГК если я < 0.

V + г (/.( + т) (/.<. + ;/ + т)

М TS , /М 1 Г)

если 6' >0:

мо

/J. I а I т v

г/ I ст I т)(/г I у I ст I г)

г/ <7 + г)

c.(j/ + t)s

если s С 0.

-с U4 если в > 0.

v + <T + T (/J,+ <7 + г)(/( + г/ + <т + т)

Заметим, что при любом s имеет место равенство

Ms) I Ms) I МО I Ms) I Ms) I Ms) = !■

Нетрудно проверить. что для всех s G (—оо. ос) справедливы также неравенства I>1 (,s) + bfi(s) > 0, Ьо(*) +Ьз(«) > 0, b;i(s) < 0.

Ms) + МО > 0, «2(л) + СдОО > 0, C<j(«) С 0.

С! учетом введенных обозначений уравнение (3) приобретает вид

'Гак как яплжітся функцией плотности некоторого распределения,

5. Определение предельной плотности ф

Рассмотрим уравнение (8) и заметим, что это уравнение является линейным интегральным уравнением с вырожденным ядром, решение которого сводится к решению некоторой алгебраической системы [9, 10].

Перейдем к векторному представлению функции фА • Введем обозначения:

Заметим, что из (5) следует 1т(Ві + С\) = 1Т(В2 + С2) = 1т, а потому, 1тО = 1т.

Ясно, что имеется взаимно однозначное соответствие между последовательностью функций фк, которая определяется уравнениями (8)-(9), и последовательностью векторов 0(к), которая удовлетворяет системе (12)-(13), так как каждый шаг, сделанный при переходе от одной системы к другой, обратим.

Исследуем сходимость последовательностей 0(к) и фк. При помощи невырожденных преобразований

Запишем уравнение для плотности (8) в виде

Заметим, что в силу (5) и (9) для всех к = 0,1,... выполняется 1т01к) + 1т0к = 1, где 1 обозначает вектор, все

элементы которого равны единице.

Умножим обе части (11) слева сначала на Ь(Ь), а затем на с(Ь). Интегрирование полученных уравнений по

всем Ь приводит к системе алгебраических уравнений

Введем обозначения

для всех к, — 1,2,... С учетом равенства 1тв^к> — 1Т 9^ I 1Т9^

&к) - Од{к х),

Iі 0 - 1.

получаем систему

(12)

(13)

(&) ~(&) ~(Ге) введем новые переменные ~1 , ~2 и

исходя из равенств

в А = Т ~1:), вА = Т ~2к), 0(&) = в~(к).

(к) —(к—1) Тогда с учетом обозначения Б = вБв уравнение (12) примет вид ~ = Б-

Легко видеть, что 1тББ = 1т8Бв = 1т. С другой стороны, в силу неравенств (4),

(6) и (7) все элементы матрицы О имеют положительную величину.

Следовательно, матрица Бт является положительной стохастической. Как извест-

(к)

но [11, 12], в этом случае последовательность векторов ~ при к А ж имеет предел

(о)

-, который не зависит от выбора начального вектора - с точностью до постоянного

множителя. В частности, если ~ —положительный вектор такой, что 1т ~ = 1, то вектор является

положительным и 1т ~ = 1.

Последовательность в(:) = ) также будет сходиться к вектору в = в~, для которого 1тв = 1тв~ = 1.

Очевидно, что предельный вектор в = (вт, вт)т последовательности (к) является решением системы уравнений

В силу взаимно однозначного соответствия между решениями уравнений (8) и (12) вместе с соответствующими условиями нормировки последовательность функций ф: также сходится к некоторой предельной функции ф. Учитывая ограниченность вектора а©, нетрудно проверить, опираясь на (11), что ф: а ф равномерно по 1. Предельная функция имеет вид

Ясно, что ф является плотностью некоторого распределения вероятностей. 6. Вычисление средней скорости роста Л

Для вычисления Л при заданных значениях а, V, а и т можно сначала решить систему (14)-(15), затем с помощью (16) найти функцию распределения (1) и вычислить соответствующее математическое ожидание. Однако такое решение в общем виде приводит к громоздким выкладкам.

В ряде случаев решение задачи можно упростить за счет перехода от системы (14)- (15) к эквивалентной ей

и заметим, что '№10 + <А20 = 1.

Умножим обе части равенства (16) на и(і). После интегрирования полученного уравнения сначала по всем і < 0, а затем по всем і > 0 имеем систему равенств

(I — ба = 0, 1тв = 1.

(14)

(15)

(1(5)

системе путем подходящей замены переменных.

Обозначим через и(в) = (ио(з),и1(з),и2(8),и3(8))т вектор с компонентами

_ ґб^'-'К если 5 < 0,

' - е(;||н А, > 0 Определим векторы ті = (\\гі о^і і,\\гі 2,-№ІЗ)т и ш2 = ^20,<А2 і,<А22,<А2з)т как

Рассмотрим функцию распределения Ф, представленную в виде (1). Заменяя в (1) соответствующие

интегралы компонентам и вектора ш, приходим к выражению

Вычислим среднюю скорость роста вектора состояний Л для случая т = А, а = V. Найдем матрицы

После определения функции плотности и вычисления математического ожидания получим

выражение для вычисления Л в виде

•2(2//-^)

Summary

N. K. Krivulin. On evaluation of the growth rate of state vector in a second-order generalized linear stochastic system.

A second-order generalized linear stochastic dynamical system is considered. The entries of the system matrix are assumed to be

independent and exponentially distributed. Evaluation of the growth rate of system state vector is reduced to some algebraic computations including solution of an algebraic linear system and evaluation of a linear functional of the solution.

Литература

1. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физматлит, 1994.

2. Kingman J.F. C. Subadditive ergodic theory // Ann. Probab. 1973. Vol. 1. P. 883-909.

3. Olsder G. J., Resing J. A. C., De Vries R. E., Keane M. S., Hooghiemstra G. Discrete event systems with stochastic processing times // IEEE Trans. Automat. Contr. 1990. Vol. 35. N3. P. 299302.

4. Кривулин Н. К. Вычисление скорости роста вектора состояний для одной модели обобщенной линейной стохастической системы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2007. Сер. 1. Вып.3. С. 91-99.

5. Jean-Marie A. Analytical computation of Lyapunov exponents in stochastic event graphs // Performance Evaluation of Parallel and Distributed Systems. Solution Methods: Proc. 3rd QMIPS Workshop. Amsterdam: CWI, 1994. P. 309-341. (CWI Tracts, Vol. 106).

6. Кривулин Н. К. Скорость роста вектора состояний обобщенной линейной стохастической системы с симметричной матрицей // Записки научных семинаров ПОМИ. 2007. Т. 341. С. 134141.

7. Cohen J. E. Subadditivity, generalized products of random matrices and operations research // SIAM Review. 1988. Vol. 30. N1. P. 69-86.

8. Кривулин Н. К. Скорость роста вектора состояний обобщенной линейной динамической системы со случайной треугольной матрицей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2005. Сер. 1. Вып. 1. С. 33-38.

9. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматлит, 1959.

10. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.

11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

12. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

Статья поступила в редакцию 13 сентября 2007 г.