Системы образующих в пространстве с мерой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.5.2003

УДК 517.987

Системы образующих в пространстве с мерой А.А. Самродницкий, Н.О. Котелина

В работе изучаются пространства Лебега-Рохлина с помощью нового определения системы образующих. Перечень аксиом системы образующих Е пространства (Г2,3",ц) дополнен требованиями измеримости всех открытых множеств наименьшей топологии Т, в которой множества системы £ являются открытозамкнутыми, и гладкости меры ^ относительно 7.

Мы используем сведения из монографий: [1—4]. Рассматриваются пространства (Я,?,ц) с вероятностной мерой ц и //-полной сг-алгеброй З*.1 В [1 и 2] системой образующих пространства О (обозначения о-алгебры и меры иногда опускаем, если это не вызывает недоразумений) мы называли совокупность Е С 7, которал: а) разделяет точки множества П; б) обладает тем свойством, что наименьшая ст-алгебра <у(Е), содержащая .Е, пополненная по части меры д, определенной на ег(Е), совпадает с сг-алгеброй 7.

Обозначим Т(Е) (или 7, где это не вызовет недоразумений) наименьшую топологию, в которой множества системы Е являются открыто-замкнутыми. Семейство множеств {из : 5 € 5} С СГ направлено по возрастанию, если ДЛЯ любых ^1, 52 € 5 существует 5з € 5, для которого и31 и и32 С иад. Пусть 7 С Мера ц называется гладкой (относительно топологии 7), если для любого направленного по возрастанию семейства {(7, : 5 6 5} С Т справедливо равенство

А*(и и*) ~ 8иРМ^») : ^ € 5}.

зб5 ,

1Основные идеи настоящей работы принадлежат А.А. Самородницкому. Детальная проверка доказательств была поручена Н.О. Котелиной.

© Самородницкий А.А., Котелина Н.О., 2003.

Определение. Система образующих Е пространства. Q называется борелевской системой образующих, если выполнены условия: а) Т(Е; С rS: б) мера ц является гладкой (относительно Т(Е)).

Пример борелевской системы образующих известен. Пусть П — - {0:1}г — произведение двоеточий (двухточечных пространств) с симметричными мерами: А({0}) = А({1}) = Система образующих и '•>'!’ом пространстве состоит из множеств At, t £ Т, где Atu = = {и-, .

/ t Т) : uJto = 0} и cardТ = т. Если г •— счетный кардинал, то топология ‘Т(Е) совпадает с наименьшей <?- топологией, в которой множества из Г открыго-замкнуты, и (Q,3~,,i) является пространством Лебега без атомов (см. [5] ). В пространстве Лебега каждая система образующих, имеющая счетный набор множеств; очевидно, является борелевской системой образующих. При несчетном т в [1] доказано, что Т(Е) С U и что мера it является радоновой (и, следовательно, гладкой относительно Т(Е)),

Будем рассматривать только те пространства, в которых имеется 6о-релевская система образующих. При этом изменятся определения LR-пространства. и пространства Лебега-Рохлина, данные в монографиях (1] и [2] соответс твенно. Точнее, указанные классы пространств с мерой могут уменьшиться. С уверенностью можно утверждать об уменьшении .класса L Д-пространств, поскольку исчезает понятие вполне однородного / /? прос гранстиа с 0-1-мерой. Если в несчетном произведении двоеточий {0: 1}" с 0-1-мерой и системой образующих Е. аналогичной описанной выше, продолжить меру /i до радоновой, чтобы Е стала борелевской системой образующих, то продолженная мера окажется сосредоточенной в одной точке, а пространство с этой мерой будет mod 0 одноточечным.

Алгебра образующих Б пространства П называется борелевской, если она является борелевской системой образующих. Поскольку классы пространств Лебега-Рохлина и ЬЛ-пространств лишь уменьшаются при переходе к борелевским алгебрам и системам образующих, то для новых классов сохраняются все результаты, изложенные в монографиях [1 и 2]. В уточнениях нуждаются лишь определения компак-тификаций.

Определение. Пусть Е — борелевская система образующих пространства, П. Е-компактификацией пространства (Q, 3", //) называется пространство (11,Э~, Д) с компактной борелевской системой образующих Е, удовлетворяющие условиям: a) ft С П как подпространство (возможно, в смысле вложения) и Де(Ш = 1, где Jlc — внешняя мера, порожденная мерой JJ/, б) Еп = Е.

Системы-образующих в пространстве с мерой

209

Определение. Пусть Е борелевская алгебра образующих в П. Тогда Е-компактификацией О называется пространство (Г2*, с

компактной борёлевской алгеброй образующих £*, удовлетворяющие условиям: а) П С П* как подпространство (возможно, в смысле вложения) и ^*(П) = 1, где — внешняя мера, порожденная мерой //*; б)Е^ = Е. г

Существование указанных Е-компактификаций вытекает из существования обычных (неборелевских) Е-компактификаций, в которых меры продолжены до радоновых мер относительно Т(Е) и Т(Е*) соответственно. ^

Из [2] известно, что П С 0* С П, где для борелевской системы образующих Е пространство П является Е-компактификацией^1, а О* является а(Е)-компактификацией П. Так как О* замкнуто в П (в топологии Т(Е)), а Е — борелевская система образующих в Г2, видим, что С1* измеримо в О с Д(П*) = 1. Этот факт решает основной вопрос, поставленный в [2]: является ли пространство Лебега-Рохлина ЬД-пространством? Теперь очевидно, что понятия £Д-пространство и пространство Лебега-Рохлина эквивалентны.

Заметим, что из сказанного выше следует, что всякое пространство Лебега-Рохлина изоморфно (как пространство с мерой) прямой суммой

М® фП* ®

пеЩ п€ЛГ2

в которой:

1) М — множество нулевой меры;

2) = {0; 1}т" — бесконечные произведения двоеточий с симметричными мерами и Т1 < 72 < ...;

3) П* — одноточечные пространства (атомы);

4) А^1 и N2 — отрезки натурального числового ряда.

Литература

1. Самородницкий А.А. Теория пространств Лебега-Рохлина. Издание Сыктывкарск. ун-та, 1997. 288 с. •

2. Самородницкий А.А. Теория меры. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1990. 268 с.

3. Владимиров Д.А. Теория булевых алгебр. СПб: Изд-во С.- Пе-терб. ун-та, 2000. 616 с.

4. Владимиров Д.А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1968. 320 с.

5. Рохлин В. А. Об основных понятиях теории меры//Матеем. Сборник. Т. 25. №1. С. 107-156,

Summary

Samorodnitski A. A. , Kotelina N. О . Systems of generators in measure spaces 1

We investigate Lebesque-Rohlin spaces with the new definition of systems of generators. As result we proov that the Lebesque- Rohlin space and the LR-space Are equivalent conceptions.

Сыктывкарский университет Поступила 23.09.2003