CC BY
19Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. ЗЛ 999
УДК 517.987
Некоторые вопросы теории пространств Лебега-Рохлина
А. А. Самородницкий
Приводятся различные свойства пространств Лебега-Рохлина. Основные результаты связаны с факторпространствами и независимыми системами образующих.
В работе рассматривается ряд вопросов теории пространств Лебега-Рохлина. Мы приводим еще один эквивалент определения пространства Лебега-Рохлина, рассматриваем множество значений меры на некоторых классах открытых и замкнутых множеств вполне несвязной топологии, порожденной системой образующих, доказываем наличие множества нулевой меры определенной мощности в некотором пространстве, тождественном по mod 0 заданному пространству Лебега-Рохлина, рассматриваем факторпространства обобщенного канторова дисконтинуума, изучаем свойства независимых систем образующих. Особого внимания заслуживает теорема 7 о тривиальности радонового продолжения меры в случае, когда топология порождается независимой системой образующих пространства с мерой. Без комментариев используются терминология и результаты монографий [1] и [2], di также сведения о метрической структуре (X, /л) пространства (0,3", fi) из [3]. Пространства Лебега впервые введены и изучены в [4].
1. Об одном эквиваленте определения пространства Лебега-Рохлина. В монографии [1] пространство Лебега-Рохлина определяется следующим образом. В пространстве с мерой (Í), 3~, ц) с системой образующих £ вводится вполне несвязная топология 7 — Т{Е} (как наименьшая топология, в которой множества из £ являются открыто-замкнутыми). Пусть С{£} обозначает класс всех компактов в топологическом пространстве (0,Т). Очевидно, что класс С{£} является непустым. Пусть (5")^ — это //-пополнение сг-алгебры 3".
© Самородницкий А. А., 1999.
Определение 1. Говорим, что /í является Е-плотной, если для любого е > 0 существует К £ С{Е}П (Э*)^ с ц(К) > 1 — е. Пространство (О, Эц) называется пространством Лебега-Рохлина, если в нем существует система образующих Е, для которой ц является Е-плотной.
Мы дадим "усиление" определения 1, а затем покажем, что эти два определения эквивалентны. Пусть 01 = о-{Е} наименьшая алгебра, содержащая Е (алгебра открыто-замкнутых множеств топологии СГ). Через Oís обозначается класс пересечений всевозможных конечных или счетных наборов множеств из 01.
Определение 2. Говорим, что ¡i сильно И-плотна, если для любого е > 0 найдется множество К С П, обладающее свойствами: К G К € С{Е}, ц{К) > 1 - е.
Теорема 1. \х сильно Е-плотна тогда и только тогда, когда fj, является Ti-плотной.
доказательство. Необходимость теоремы очевидна. Доказываем
достаточность. Пусть ¡i Е-плотна. Берем произвольно е > 0 и пусть
£
К G (ЗУ П С{£} с ц(К) > 1 - -. Известно, что для любого А £ 3"
¿j
и любого 8 > 0 существует F í с F С А и ц(А \ F) < 6. Пусть
F С К, F £ 01$ и ft (K \ F) < -. Тогда F является замкнутым подмно-
¿j
жеством компакта, откуда F € С{£}- Ясно, что fi(F) > 1 — £.
2. О множестве значений меры на некоторых классах множеств. Пусть пространство с мерой (0,3~, ¡i) имеет систему образующих £, алгебру образующих 01 = а{£} и удовлетворяет условию
(Aj) В (П,^,ц) нет подпространств нулевого метрического веса. Напомним, что в этом случае метрический вес каждого подпространства бесконечен (см. [1],[2],[3]). Пусть 01а — класс всевозможных объединений конечных или счетных наборов множеств из 01. Смысл обозначений 01„б и 0i¿a аналогичен. Если X С то ufó) обозначает множество значений меры // на элементах класса X, то есть ¡i(X) = {цА : А е X} С [0,1].
Теорема 2. Если выполнено условие (Ai), то мера ¡i достигает любое из своих значений на каждом из классов 01$ и 01а, то есть ц(%) = = [0,1].
Вначале дадим некоторые пояснения в связи с условием (Ai). Во-первых, если (0,íF, ¡г) было бы пространством конечного метрического веса, то его можно представить в виде соединения (дизъюнктной суммы) конечного числа ^-измеримых подпространств нулевого
метрического веса: Ü = ф Clk- Тогда ц = и ¡j.(rS)
k-i
//(Г^) : Л' С {1,2,..., гг} >. Видим, что множество конечно. кем )
Во-вторых, если бы (П,3", ц) являлось соединением счетного семейства своих ^-измеримых подпространств нулевого метрического веса
оо
12 = ф О.к, то можно считать /|(Пп+х) < //(0„) для п 6 N. Тогда
= к)} и ,<(30 = | £>(0,) :
и-блг ;
Характеристику множества ¿<(3") в этой ситуации дают следующие два примера.
3 оо 1
Пример 1. Пусть //(Пх) = тогда ^ п) = т- Очевидно, что
4 и=:2 4
3 1
М^О > если Л' С N содержит 1, и что /¿(П^) < -, если
кек 4 4
1 ^ К. Получаем /i(3") С Пример 2. Пусть /х(Г1п)
L 1 3 1
0; - и
' 4 4'
2"
при п € N. Тогда, как известно,
«н € {0; 1} и а = £ ~
n=l z 1
для любого а £ [0; 1] существует последовательность {ап : n G N} с
Видим, что в этом случае /i(3r) = [0; 1].
В-третьих, если (О, 3", ¿f) метрически однородно и имеет ненулевой метрический вес, то (Í),3", /г) имеет /«-независимую систему £ = { Еп :
iV € N} с ц(Еп) = Обозначим = 02 = Е2 \ Еи...Мп =
Еп \ (Ei U Е2 U ... U Еп.л),.... Тогда ц(Пп) = ^ при п <Е N. Если Эг,
2™
наименьшая сг-алгебра, содержащая семейство {On : п t N}, го 3*j С 3~ и в силу примера 2 [0; 1] = ц{7\) С /.t(3") С [0; 1], то есть /г(3") = [0; 1]. В-четвертых, пусть Ü = О0 ф ф йп, где О0 метрически однородное
neN
подпространство ненулевого метрического веса, а Пп при n € N С N
являются подпространствами нулевого метрического веса. Возможны
ситуации, описываемые следующими примерами.
1 5 °° 1
Пример 3. Если ц(П0) = N = N, = -, = то
71=2
Г 31 Г5 1
простые вычисления приводят нас к выводу ^(Зг) С 0; - U -; 1 ф
[0;1].
Пример 4. Если /¿(Оо) > то несложная проверка дает нам
МЭ=-) = [0;1].
Наконец, в-пятых, если П = ф Пп, где Г2„ метрически однородные
педг
подпространства бесконечного метрического веса, ./V С М, то ц(Эгап) — [0;ап] при ап — {л(Пп),п £ N. Тогда ц(3) = < X)
1пбЛГ )
[0;1].
Видим, что из условия (Лх) вытекает //(3*) = [0; 1]. Пусть сг{£} наименьшая сг-алгебра, содержащая £. Тогда легко получаем /л(ст{£}) =
Хорошо известно, что ц(01а$) = (¿(%-бст) = [0; 1], так как 01а$ содержит все с { Е } -измеримые оболочки множеств из 3^ а все ст{Е} измеримые внутренности множеств из 3~.
Известно также, что для любого е > 0 и для любого Л £ (З')'2 существует В £ 01 с ц(А А В) < е, где А А В = (А \ В) + (В \ А).
Обозначим X ----- Пусть на К подразумевается наименьшая
топология, содержащая интервалы (а; 6) с — оо < а < Ь < +оо (естественная топология прямой), а на [0; 1] топология, индуцированная естественной топологией прямой. Условие (Ах) ниже считается всюду выполненным.
Лемма 1. X всюду плотно в [0;1].
Действительно, достаточно проверить, что для любого а £ [0; 1] существует последовательность {ап : п £ М} С X с ап —► а при п —> оо. Пусть а £ [0; 1] \ X. (Случай а £ X тривиален: ап = а при п £ М.) Тогда существует А £ 3" с /л(А) ~ а (аргументация этого приведена
выше). Для каждого л 6 N выбираем Ап £ Л с ц(А А Ап) < —. Обозна-
1 П чим ап — ц(Ап). Тогда \а — ап\ < —, откуда ап —► а. Лемма доказана.
п
Доказывваем теорему 2. Пусть а £ [0; 1] \ X. Достаточно убедиться
в наличии Е £ с р(Е) = а (тогда для 1 — а £ [0; 1] и Е' £ 01$ с
ц(Е') = 1 - а имеем Е = П- Е', ц(Е) = а, Е £ X)- Случай а £ X
тривиален, так как достаточно взять Е £ 01 С 01$ П 01а с ц(Е) = а.
В силу доказанной выше леммы, для любого е > 0 существует С\ £ £ ( е~
01 с а < <а + так как X П (а; а + - ф Учитывая, что
/¿(£?х) > 0 и что является алгеброй образующих в подпространстве (Сх, 3^1, ^г), получаем (с учетом (Лх)) = [0;//(С?х)]. Заметим
справедливость включения 01а, С 01. Поэтому имеется 02 £ 01 с 02 С
£ £
Gi и а < fi(G2) < а+— = а+-. Ясно, что Л0г С Я, m(Xg2) = [0; /¿(G2)];
2 4 „
£ £
находим Сз С G2, G3 С Я с а < fi(G3) < а + — — а + -. Продолжая
построение по индукции, получим последовательность {Gn : п € N} С
Л с Gi D G2 D G3 D ■ ■ ■ и а < n{Gn) < а + ~ при n e N. Пусть
2™
00 ( e ч\ E = p| Gn. Тогда а < ц(Е) = lim fi(Gn) < lim [a + —) = а, откуда
n=l га—► oo n—»00 \ 2П/
//(i?) = a. Ясно, что Е £ Теорема доказана.
3. О мощности пространства с компактной алгеброй образующих. Пусть (О, 3", /i) вполне однородное пространство с системой образующих £ = {Аг : i £ Г}, компактной алгеброй образующих Л = а{Е}, где г(0,3» = v(fl,3» = cardT > К0. Считаем 3" = (З*)".
Лемма 2. При сделанных предположениях существует вполне однородное пространство (О^З"', ¡л') с 3"' = (З7)^ , т(0', 3"',//) = v(0', 3*',//) = cardT, с системой образующих Е' и компактной алгеброй образующих Ol' = а{Е'}, в котором имеется множество У € с ц'У = 0 и cardY = card2T, причем (О',3"',тождественно (0,3",/л) no modO.
Доказательство. Берем У с cardY = card2T и О' = О + У. Пусть S = {Ci : i € Г} с 2Г разделяющая точки множества У компактная
система (то есть для любых Bt € {С4; У \Сг} при i € Г будет р| Бг ф 0;
teT
существование такой системы S вытекает из наличия биекции У на {0; 1}т). Обозначим A't = At + Ct, Е" = {A't : te T}, £' = E" + {У}. Ясно, что E' система образующих в (О', 3r/, //), где 3"' = {А = Ai + А2 : Ai G Зг, А2 С У}, //'(А) = n(Ai). Поскольку 3" = 3^ и Л' = a{S'} в О' обладает свойством: 31 = iR^ компактная алгебра образующих в (0,3",/и) и a{S} = является разделяющей точки компактной алгеброй (компактным классом и алгеброй) в У, то как известно (см., например, [1]) ÖV является компактным классом в О'. Видим, что Л! — компактная алгебра образующих в (О',3*',//).
Учитывая, что plY = 0 и 3"[2 = 3", = /х, получаем тождественность (0,3", /¿) и (О', Зг/, //) по modO. Лемма доказана.
4. О базе открыто-замкнутых множеств факторпространства
вполне несвязного компакта. Пусть О ф 0 и S С 2" разделяет
точки множества О. Рассмотрим наименьшую топологию О" в О, в ко-
торой множества системы Е являются открыто замкнутыми. Предположим, что (О, Ü") является компактом (или, то же самое, что Л = а{£}
является компактным классом).
Если % С 2", то (% обозначает разбиение, порожденное множествами класса X (то есть для х, у £ П, х фу точки х и у принадлежат одному элементу разбиения тогда и только тога, когда для любого А 6 X пересечение А П {ж; у} либо пусто, либо содержит обе точки х и У)•
Пусть ШТ{ЗС} обозначим полную алгебру (всех £к-множеств), порожденную классом X. Пусть а{Х} обозначает наименьшую алгебру, содержащую X.
Теорема 3. При сделанных предположениях для любого класса Ех С £ будет а{Ех} = а{Е} П ^{Ех}.
Доказательство. Так как а{£} п } алгебра, содержащая
Ех, а а{£х} наименьшая из таких алгебр, то, очевидно, что а{£х} С а{£}П9Я{£х}.
Для доказательства обратного включения рассмотрим фактор-множество X = где £ = (О), и индуцируем в нем топологию Тх (элементы класса £х являются ^-множествами и открыто-замкнуты в (О, Т); тогда Тх определяется как наименьшая топология в X, в которой множества класса (£х)^ являются открыто-замкнутыми). Пусть Е £ («{£} П ®Т{£х}) \ {0; 0}. Тогда Е является ¿¡-множеством. Пусть Т2 — наименьшая топология в X, в которой множества класса (Ех)^ и {Е^} являются открыто-замкнутыми.
Ясно, что Тх с Т2 и что Тх и Т2 являются хаусдорфовыми топологиями. Так как 31 компактный класс, то для любого 31' С 31 будет компактным классом, поэтому а{£х} и а{£х и {Е}} компактные классы. Тогда легко проверить, что (X, СГх) и (X, 72) компакты. Хорошо известно, что компактная топология на X является минимальной среди хаусдорфовых топологий, то есть 7\ = Тг, поэтому Е^ £ Т2 является открыто-замкнутым множеством в Тх- Ясно, что £ а{(£х)^} в X, откуда Е £ а{£х}. Мы доказали, что а{£} П9Я{Ех} С «{Ех}, поэтому теорема доказана.
Пусть 7'х обозначает наименьшую топологию, в которой множества из Ех открыто-замкнуты. Тогда Тх = (Т^ в том смысле, что 7[ состоит из множеств II £ ЗЛ{Ех}, для которых — {С £ £ : С С. и} £ 7\. Множества А £ ШТ{£х} и А^ = {С £ £ : С С А} называем соответствующими (относительно £).
Теорема 4. Если (О, 3") компакт, то 7[ — 7 П ОТ{Е1}.
доказательство. Включение 7[ с ТПЯЯ{Е1} очевидно. Докажем обратное включение. Пусть и £ 7 П 2Л{Ех}. Обозначим Е = О \ 17. Тогда Е £ ЯЯ{Ех}. Для любого открытого покрытия Е множествами
из имеется конечное подпокрытие, так как З5! с Т и ^ компакт в (0, Т). Если X = Тх = и множество соответствует Е в X, то ясно, что ^ компактно в (X, поскольку достаточно рассматривать открытые в (X, Тх) покрытия множества элементами класса ((Ех)^и (£1)^, который соответствует (относительно £) классу З5!.
Поскольку (X, Т1) является, в частности, хаусдорфовым пространством, то компактное Е^ замкнуто в (X, Т1). Если обозначить Х = «{£1} в X, то (Х)^ является базой открыто-замкнутых множеств в (X, Т1) и ^ является пересечением семейства : 5 € 5} множеств
из (311)5. Пусть при з £ в множество С5 соответствует (С3)(- Тогда Ое £ и /-1 = р| С«, то есть Г замкнуто в (П,Т{), откуда I/ £
Теорема доказана.
Непосредственно из теоремы 4 вытекают следующие два утверждения.
Следствие 1. (СН1)С = ТСП9Я{£1}; то есть всякое замкнутое в (0,Т) множество принадлежит (Т^)с.
Следствие 2. Если 0Са обозначает класс конечных или счетных объединений множеств класса ОС, а 0С$ — класс конечных или счетных пересечений множеств класса ОС, то
(Х)а = ХП2Л{£1}, (Х)б =ХП2Н{Е!}.
Пусть (р^ обозначает естественное отображение П на X, сопоставляющее каждой и> £ П тот элемент С £ X разбиения для которого со £ С. Понятно, что <^(Ш1{£1}) = 2х. Но класс Ш^Ех} не исчерпывает 2й. Продолжим до отображения
р : 2й —► 2х, полагая для АС П <р(А) = {<% £ X : С П А ф 0}, где С £ ЩЕ^ соответствует С5 е X.
Рассмотрим еще одно отображение ф : 2а —> ШТ-^}, определенное так: для А с О, ф(А) = Другими словами, ф(А) есть объ-
единение всех элементов разбиения имеющих непустое пересечение с А, то есть ф(А) является наименьшим содержащим А ^-множеством..
Введенные выше обозначения и условия (в частности, что Е разделяет точки множества О и что (О, Т) компакт) остаются в силе. Будем говорить, что Е = {At : t £ Т} является компактной системой, если
Р| Вг ф 0 при любом выборе В^ € {Аг : \ для I £ Т.
гет
Теорема 5. Если £ = {А1 : / € Т]
компактная система и если
О £ 7 = (Е и £% то ф{в) £?г = (£1 и
Доказательство. Пусть С £ У = (£и£с)<*. Если Е = {Дг : г £ Г}, то для некоторого Т\ С Т будет Е1 = : t £ Т\}. Учитывая,
что при Вг € {Аи О \ и при некотором конечном Т" С 7' будет
О = Р| Вг = П Д П Р| Bt, где пересечение пустого семейства
¿еГ' геХ'пТ! teт'\т1
множеств считается равным О. Ясно, что для (7 6 3* найдутся С У*, к = 1,2, с.С = (?1 П С?2, Где Е2 = Е \ Е! и У* = (Е* и при к = 1,2.
Если Е является компактной системой, то представление С = (?! П (?2 с <2* € У/г при А; = 1,2 единственно для любого С ф 0. Действительно, в этом случае каждый элемент разбиения £ = (О) имеет непустое (одноточечное) пересечение с каждым элементом разбиения £' = £е2(0). При этом 0\ является ^-множеством, а (?2 — ^'-множеством. Если С е ^ и С С (?ь то С П(?2 / 0 и С П (?2 С С?1 П (?2 = поэтому С П О ф 0. Видим, что Сп является наименьшим ^-множеством, содержащим £7. Аналогично, можно проверить, что является наименьшим ^'-множеством, содержащим С. Ясно, что в этом случае ф{Сг) = С\ £ 3*1. Теорема 5 доказана.
Следствие 3. Если Е компактная система и К £ Л, то ф(К) €
Л.1.
Действительно, для дизъюнктного семейства {Кг, К2, ■ ■ •, А'п} С ¡Рс
- п ' п
А" = ^ £ % легко проверяется соотношение ф(К) — У ф(Кк) € к=1 ¿=1 (правая и левая части этого равенства содержат одни и те же элементы разбиения если С £ ^ и С П К ф 0, то существует А; 6 {1,2,..., га} с С П Кк Ф 0; если при некотором к £ {1,2,..., га} будет С П ф 0, то, тем более, С П К ф 0), что и требовалось.
Следствие 4. Если Е компактная система и К £ то ф(К) €
Действительно, если {А'п : п £ М} С Ж дизъюнктное семейство,
для которого К = 22 ^ то Ф(К) = и Ф{Кп), ибо из С е (
пем пем
и С П К ф 0 (С С ф{К)) вытекает наличие к £ N с С П Кк ф 0, то
есть С С ф(Кк) С и ф(Кп), а при С С и ф(Кп) существует к € N с
«ем
С С откуда С П /й ^ 0 и, тем более, С П К ф 0 (С С
Следствие 5. Если Е компактная система и К £ то ф(К) £
Действительно, если {Кп : га £ М} С 3? убывающее семейство, для которого К — П Кп £ то ф(К) — П ф(Кп), ибо из С £ £ и
С П К ф 0 (С С вытекает С П Кк ф 0, то есть С С для
любого при С С П Ф{Кп) будет С С ф(Кк) или СПКк ф 0 при
любом к £ N, тогда семейство {С; К^ : к £ N} является центрированной
системой замкнутых множеств в (О,0"), откуда СП f) А'* = С П К ф 0
AreN
или С С ф{К).
Теорема 6. Пусть (i2,3~, ц) пространство с системой образующих Е и компактной алгеброй образующих = а{£}. Пусть
Ei с S, = Jn^Sx}, X = % 3~ 1 = (5Ti)i, л; - «{Ei}, х =
(ifti)^, ßi = (/¿Об /4 — часть мери ц, определенная на З^. Пусть 3" = (ЗУ- Тогда является компактной алгеброй образующих в (X, 3"i,/ii).
Доказательство. В обозначениях теорем 3 и 4 (X, Ti) является компактом с базой открыто-замкнутых множеств которая в этом случае является компактным классом. Для доказательства теоремы 6 достаточно убедиться в том, что X является алгеброй образующих в (Х^ит).
Предположим вначале, что Е является компактной системой образующих. Пусть А £ С 3". Тогда существует К £ X с К С А и /х(А \ К) < £ (где £ > 0 произвольное наперед заданное число). Пусть Кх = ф(К). По следствию 5 будет Ki £ (iR'js. Кроме того, в силу А £ ЭДТ{Е1} имеем К С Ä'i С А (ведь А\ — наименьшее ^-множество, содержащее К). Поэтому ц(А \ Кг ) < ¡х(А \К) < £.
Мы доказали, что для любых е > 0 и А G существует К\ С А с Кх £ O^Ds и ц(А\ Ki) < £. Переходя к дополнениям, несложно по любым е > 0 и А £ 3^ найти U £ (Äi)ff cAcUhh(U\A)<£. Значит, (CRi)<r<5 содержит а{IRi }-измеримые оболочки З^-измеримых множеств в (X, 3"i, (i,i), то есть X является алгеброй образующих в (X, 3~i, ßi).
Пусть теперь Е не является компактной системой образующих (но Л является компактной алгеброй образующих) в (11, 3, /х). Рассмотрим
Е-компактификацию (П, 3", /I) пространства (0,3", /i) соответствующие
Е = {At : i £ Т} и X а также
Sb f = i£l (n), X = nfl = §rnan{Sj}, £ = (§i) , fr =
где ¡u'j является частью /I, определенной на З^. По доказанному выше пространство имеет компактную алгебру образующих X =
Покажем, что с компактной системой образующих
является (Е^-компактификацией (X, 3"i, pi)- Действительно,
X отождествляется с (i/'(0))j если С 6^иСПП^0тоС 6 X и
С = С П 17 € X отождествляются. Равенство (Ei)^ = оче-
видно. Значит, ^{(Sx)^} = ^cr |(si)f}) в X. Равенство (^i)^ =
вытекает из того, что (X) = Де(О) = 1.
Итак, (X, 5"i,fXi) является подпространством в ^Х, 3~i, с {X)
1 и X компактно в ^X, Ti), что означает: является компактной алгеброй образующих в (X, З^,/^). Теорема 6 доказана.
Следствие 6. В условиях теоремы 4 система Si конечна или счетна, то (X, З^,/^) является пространством Лебега.
Действительно, (X, 3"i,/xi) является в этом случае измеримым подпространством в (Е^-компактификации (х, 3\, /Zi) (так как компактные подмножества пространства со счетной базой топологии Ti являются элементами <т-алгебры а j Tj j). Следовательно, алгебра IRi является компактной по mod0 системой образующих в (X, 3~i,^i).
5. Независимые системы образующих в пространствах Лебега-Рохлина. Под пространством Лебега-Рохлина будем понимать пространство обладающее компактной по mod0 алгеброй образующих. Имеет ли такое пространство компактную систему образующих? Мы дадим, в частности, положительный ответ на этот вопрос в случае наличия в (Г2,3*, ¡л) /¿-независимой системы образующих, порождающей компактную по mod 0 алгебру образующих.
Напомним, что в пространстве Лебега (в силу его сепарабельности) каждая алгебра образующих компактна по mod 0 и является компактной по mod 0 системой образующих. Кроме того, из наличия компактной системы образующих вытекает однородность пространства. Поэтому мы предполагаем, что в пространстве (0,3", fx) имеется /х-независимая система образующих £ = {At : t 6 J1}, что пространство (Г1,3, ц) однородно и имеет вес v(fi) = г > К0. Если X С 2п, то 7{Х} обозначает наименьшую топологию, в которой множества совокупности X являются открыто-замкнутыми.
Теорема 7. Пусть Е = {At : t £ Т} является \л-независимой системой образующих пространства (О, З7", ц), причем 0 < At) < 1 при t € Т. Пусть 7 — Т{£}. Тогда сг{Т} С [ЗУ, где сг{7} обозначает
наименьшую а-алгебру, содержащую открытые множества топологии Т (то есть борелевскую а-алгебру), а (3~)м — это пополнение а - алгебры 3~.
Доказательство. Если множество Т конечно или счетно, то теорема очевидна, ибо в этих случаях сг{Т} — с{Е} С Зг С (З")''. Рассмотрим случай несчетного Т. Достаточно доказать включение 7 С 3", полагая для удобства, что 3" = (3")м.
Предположим вначале, что система образующих £ компактна, то
есть при любом выборе Вг £ {Ль £1 — Аг} при I £ Т будет р) Вг ф 0.
«ет
Предйолагая противное, обозначим через II множество, удовлетворяющее условиям и £ 7 и 1Иш{и) < Заметим, что при этом
> 0, ибо V = У 03 при некотором семействе {Ст3 : в £ Б} С «65
СР = (Еи£с)ег непустых открыто-замкнутых множеств, а для любого непустого Сг € (Р существуют конечные подмножества 7" и Т" множества
ТсО = П Ал П (П-А*), поэтому ,<(£) = П ^(А<)х П ^(0-Л) >0
4еТ' ¿еГ" <еГ' <ет"
в силу условия 0 < //(Аг) < 1 при £ 6 Т.
Пусть С С и является сг{£}-измеримой внутренностью множетва II, то есть С £ с{£} и ц(С) — Обозначим Е = О — С. Пусть
Ех С £ счетная система, для которой Е £ ст{£)1}. Пусть Е2 = £ — Е|. Заметим, что /л(Е) > 0 в силу ц(С) < < 1. Рассмотрим
подпространство (е, 3*£, ц'е) и меру у на 3", определенную для А £ 7
равенством у (А) — це{АС\Е) = Тогда для А € сг{£2} в силу
ц{Ь)
^-независимости £ будет
а для А = Ах П А2 при А^ € ег{£/.}, к — 1,2 будет
КА) - — - - -¡щ - К^ММ (2)
Очевидно, что и <С поэтому 3" = (<т{£})м С (<т{£})'/, то есть Е является компактной системой образующих пространства (0,3", и). При этом система £2 является ^-независимой, а ст -алгебры ^{Е]} и сг{Е2} тоже //-независимы. Далее, и{Е) = 1. Несложно убедиться в том, что щп1(и) = 0 и ие{и) > 0.
Пусть = (£к и £|)сг, к — 1,2. В силу компактности системы £ для любого А £ "У существуют единственные А) £ и Л2 £ 1Р2 с
А = Ах П А2- Заметим, что для непустого А £ У равенство и (А) — О
выполняется тогда и только тогда, когда и(А\) = 0, так как и(А2) > О
в силу (1), (2) и условий теоремы. Класс О5! с четен, поэтому класс X =
{С € СР2 : = 0} конечен или счетен. Обозначим Со — У С. Ясно,
сех
что Со £ сг{Е1} и //((?о) = 0. Кроме того, возвращаясь к семейству {С3 : « е 5} С У, удовлетворяющему условию V — у видим, что
^((тд) = 0 при любом ^ £ 6'. Но при каждом 5 £ 6* существуют 0'3 £ и С" € 72 с Ся = С" П С/. По доказанному выше г/(С'5) = 0, поэтому 03 С Са С Со при 8 6 5, откуда II С Со и г/е(£7) = 0. Полученное противоречие доказывает, что II £ 3".
Докажем теорему без предположения о компактности системы образующих £. Пусть (0,3", ¡1) является Е-компактификацией (0,3", ц). Тогда для компактной системы образующих £ = {Аг : / £ Т} имеем = П П при £ £ Т. Обозначим 7 наименьшую топологию в О, в которой множества из £ открыто-замкнуты. Система Е является /Г-независимой, причем при £ £ Т имеем 0 < ]л(Аь) — и(^ь) < 1- По доказанному выше 7 С Зг. Заметим, что 7 ~ 7а. В силу 3" = 3"п получаем Т С 3", что и требовалось доказать.
Следствие 7. Пусть система образующих Е пространства (0,3", /х) удовлетворяет следующим условиям: £ = £' + £", причем
1) система £" = {А1 : £ £ Г"} является /л-независимой;
2) а-алгебры сг{£'} и <т{£"} являются рь-независимыми;
3) для любого £ £ Т" справедливы неравенства 0 < 1л(Аг) < 1;
4) система £' конечна или счетна. Тогда 7 С (3)".
Действительно, доказательство отличается лишь выбором счетной системы £х. Достаточно, чтобы выполнялось включение £' С £1. Остальные аргументы не меняются.
Следствие 8. Пусть имеется пространство с мерой (0,3", //) и системой образующих £. Пусть на (0,<т{£}) задана мера и, причем ¡1 <С V, система Е = {Аг : I £ Г} является и-независимой, 0 < и(Аг) <1 пригеТ. Тогда 7 С (З^.
Действительно, по теореме 7 имеет место включение Т С (ст{£})1/. Остается заметить, что (сг{£})г/ С (ст{£})м = (3")д.
Следствие 9. Пусть (О, Зг, ¡л) является пространством с системой образующих £, удовлетворяющей условиям 1) — 4) следствия 7, причем дополнительно предполагается, что алгебра образующих Л = а{£} пространства (0,3",//) компактна по тов, 0. Тогда
система образующих Е компактна по mod 0.
Действительно, пусть Л — а{Е} является алгеброй всех открыто-замкнутых множеств топологии 7 (наименьшей алгеброй, содержащей Е). Для простоты обозначений считаем <т-алгебру 7 /¿-полной: (Эг)м =
7. Рассмотрим Е-компактификацию (i), S) и ft-компактификацию (il*,£*) пространства (fi,3~, н). Тогда можно считать, что fi С П* С П, причем Е* = Eft. и Е = Е^. Пусть 0" обозначает наименьшую топологию в О, в которой все множества из Е являются открыто-замкнутыми. Тогда О* компактно в В силу следствия 7 имеем П* Е По-
скольку по условию П £ 5", видим, что 12 € 3", что и требовалось.
Теперь предположим, что (0,7, /¿) является вполне однородным пространством, метрический вес которого т(12) = г (то есть равен весу). Напомним, что при г > No пространство с компактной по mod 0 системой образующих обладает компактной системой образующих.
Лемма 3. Пусть (12,3*,/¿) является вполне однородным пространством с системой образующих £ = {At : t € Т}, причем
cardТ = т. Пусть (12, Е) является Е-компактификацией (12, 3", р.). Обозначим А = {(А П 12) + Б : А £ 3", В С 12 — 12}, а также
г/((А П 12) + В) — Ji(A) = fi(A П 12). Пространство (12,3", /л) обладает компактной системой образующих тогда и только тогда, когда компактная система образующих существует в пространстве (П,Л,г/).
доказательство. Ясно, что мера v продолжает меру /Г, причем имеет место равенство г/(Г2) = 1 и £' = Е + {0} является системой
образующих в (О, Л, и). Кроме того, пространства (0,3", /л) и (О, Л, и) тождественны по mod0. Пространство (0,7,/г) является подпространством в (П',37,//)и Л-измеримым подпространством в (12, Л, г/). Обозначим N = ft — П.
Если Г является компактной системой образующих в (О, Л, и), то, как известно, Tq будет компактной по mod 0 системой образующих в (0,3",/л). Обратно, пусть Г' является компактной системой образующих в (12, 3", fi)- Тогда в 12 существует множество М с /л(М) = 0 и
cardM — 2Т. В силу card(M-f- N) = 2Т существует биекция / : О —>■ О, которая отображает М на М + N и которая является тождественным отображением на П - М. Поскольку ц(М) — и(М + N) = 0, отображение / является изоморфизмом (12,3~,/i) на (О, Л, i>). Совокупность Г = /(Г') является компактной системой образующих в (12, Л, и).
Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть (О,3~, /л) является вполне однородным пространством с системой образующих £ = {At : t £ Т), причем cardT — т. Пусть Е С О и це{Е) = 1. 1£суш (E,3e, Ие) имеет компактную систему образующих, то и (О,/х) имеет компактную систему образующих.
Доказательство почти дословно повторяет аргументы необходимости предыдущей леммы. Если Г' является компактной системой образующих в (Е,Зе, Не), то в Е существует множество М с fi(M) = 0 и cardМ = 2Т. Обозначим N = П - Е. Тогда card(M + N) = 2Т. Существует изоморфизм / : £ —► Q, построенный, как в лемме 3, который переводит компактный базис Г' в компактный базис пространства
(0,3»-
Пусть теперь Uд обозначает объединение всех открыто-замкнутых множеств G в (0,СГ), удовлетворяющих условию fi(G) = 0. Тогда 7*^ является пересечением всех замкнутых множеств, имеющих меру 1. Пусть = а{Е} наименьшая алгебра, содержащая Е. Будем считать Л компактным классом. В этом случае, как известно, мера //. является радоновой относительно Т, справедливо равенство — 1, а если' Ffj, 6 (ЗУ, то компакт Fм является носителем меры //,. В силу леммы 4 достаточно искать компактные системы образующих в подпространстве (Е, 3~р, //,р), где .F = 7^. Отметим, что алгебра Лр при этом является компактным классом, удовлетворяющим дополнительному условию: из А £ Лр и А ф 0 вытекает /лр(А) > 0.
Следствие 10. Пусть пространство (0,3", /г) с системой образующих Е = {At : i £ Т} и компактной алгеброй образующих = а{£} удовлетворяет условию: из А £ Л и А ф ф вытекает ц{А) > 0. Если Е является [л-независимой, то система образующих £ компактна.
Действительно, в Е нет множества, мера которого равнялась бы 0 или 1 (иначе бы в Л имелись непустые множества нулевой меры в силу /¿-независимости). Заметим, что при любом выборе множеств Bt € {At, Vl —At} при t £ Т семейство {Bt : t £ Т} является центрированным и состоит из открыто-замкнутых множеств. Из компактности (fi, Т) и вытекает требуемое.
Теорема 8. Пусть пространство (0,¡л) с ц-независимой системой образующих Е = {At : t £ Т} и компактной алгеброй образующих Л = а{£} метрически однородно, F = F^. Тогда подпространство (F, Зр, /'f ) вполне однородно и имеет компактную систему образующих, причем т(7\ 3~р, {.if) = v(F, Э"р, ¡лр) — т(0,ц) (вес (F,3p, /лр) равен его метрическому весу и равен метрическому
весу пространства (0,3*, ц)).
Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что
при t £ Т справедливы неравенства f-i(At) < /¿(О — At) (от замены в £
множеств At на О —при í £ Т" и любом Т' С Т система £ не теряет ни
одного из свойств, которыми она обладает в формулировке теоремы).
Пусть Ti = {t *£ Т : y.(At) — 0}. Множество можйо представить в
виде объединения множеств класса У = (£ + £c)<¿, имеющих нулевую
меру. Как отмечалось выше, для любого непустого G £ У существуют
конечные подмножества Т' и Г" множества Т с G = f] Atfl f] (О — ,4г),
¿ёТ' геГ"
поэтому /¿(G) = J] /¿(At) х ¡7 /¿(О - At). Если p(G) = 0, то один из ¿ex7 teT"
множителей обращается в нуль, то есть существует t0 £ Т с G С A¿0
и fi(Ato) = 0. Но At0 тоже является открыто-замкнутым множеством,
поэтому Aío С Видим, что í0 € Ti и что U^ = (J At. Тогда
teTi
= (О - At). Если £j = {At : t £ Ti}, то множество Fд явля-
teTí
ется элементом разбиения ^(O). Пусть £2 = £ — £i = {At : t £ Т2}, где Г2 = Т — Т\. Известно, что в этом случае (£2)f (при F = F^) является системой образующих пространства (F, Зр, цр)- В силу компактности F в (0,Т) имеем fie(F) = 1. Следовательно (£2)f является /.//^-независимой системой образующих в (F, 3"р, /íf), удовлетворяющей условиям следствия 10. Значит, эта система компактна. Отметим, что ситуация Т2 = 0 эквивалентна одноточечности множества F. В этом случае теорема очевидна. Пусть Т2 ф 0.
Покажем полную однородность пространства (i71, 3V, цр), оценим его метрический вес и вес. Очевидно, что метрические структуры пространств (0,3", /t) и (F, 3V- ¡хр) тождественны (ибо О служит 3-измеримой оболочкой множества /'' в (0,3",/¿)). Поэтому метрическая однородность доказана. Пусть т равно метрическому весу пространства (0,3",/í). В силу известных соотношений г = r(F,3V,/¿f) < v(F,3f, /j,f) < cardT2 достаточно показать, что cardT2 — т. Считая (X, /¿) метрической структурой пространства (F, 3"^, /¿/г), обозначим at = и £ = {at : t £ Т2}. Тогда £ является //-независимой системой образующих булевой алгебры X. Если г < cardT2, то существует £' С £ с c,ard¿' = т и X = сг{£'}. Пусть £" = £ — £'. Тогда £" непустой класс и подалгебры сг{£'} и <т{£"} являются /¿-независимыми, то есть X и сг{£"} С X должны быть /¿-независимыми, что возможно лишь при &{£■"} = {О, I}, что противоречит предположению г < cardT2. Видим, что т = cardT2. Теорема 8 доказана.
Литература
1. Самородницкий А. А. Теория пространств Лебега-Рохлина. Сыктывкар: Сыкт. ун-т, 1997. 288 с.
2. Самородницкий А. А. Теория меры. Л.: Изд-во Ленингр. унта, 1990. 268 с.
3. Владимиров Д. А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969. 320с.
4. Рохлин В. А. Об основных понятиях теории меры//Матем. сборник. Щ9.-Т.25. МП. С.107-150.
Summary
Samorodnitski A. A. Some questions of Lebesgue-Rohlin spaces theory
Various properties of Lebesgue-Rochlin's spaces are given. The main results are connected with factor-spaces and independent families of generators.
Сыктывкарский университет Поступила 14-09.98
