Булевский принцип исчерпывания и строение пространств с мерой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып. 1.1995

УДК 517.987:519.2

Булевский принцип исчерпывания и строение

пространств с мерой1 A.A. Самородницкий

Приводится полная (с точностью до сохраняющих меру изоморфизмов) информация о строении пространств со счетно-аддитивной вероятностной мерой, удовлетворяющих условию "компактности".

В работе изучается строение абстрактного пространства с мерой с помощью булевского принципа исчерпывания (см. [1, с. 112] и ниже по тексту работы). Идеи основных результатов, приводимых ниже, содержатся в [2]. Настоящую работу следует воспринимать как существенное усовершенствование отдельных разделов монографии [2] и как уточнение некоторых утверждений, вытекающих из булевского принципа исчерпывания и приведенных в [1].

Под пространством с мерой понимается тройка /г), обозна-

чаемая (если нет сомнений в том, какие имеются 3"и одной буквой О, в которой О — непустое множество, 5Г— сг-алгебра подмножеств множества £1, /х — вероятностная мера на 3". Результаты, которые мы ниже получим, без существенных затруднений могут быть перенесены на случай, когда на У задана ст-конечная мера, путем выбора подходящей вероятностной меры и плотности этих мер. Предполагается, что читатель знаком с терминологией монографий [1] и [2].

Пусть (X, //) — метрическая структура пространства О и Е обозначают соответственно нуль и единицу в X. Под компонентой в X понимаем множество Х„ = {х £ X : х ^ м}, элемент и при этом называется единицей компоненты Х„. Для любого множества £ С X обозначаем через £+ множество ненулевых элементов в £.

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке программы "Университеты России" (раздел "Фундаментальные проблемы математики и механики", шифр 1.3,5 "Булевы алгебры и теория меры").

© А.А.Самородницкий, 1995. 89

Говорят, что множество £ С Хминорантно в компоненте Хи, если для любого элемента х £ найдется элемент у € £+, удовлетворяющий неравенству у ^ х. В частности, полагая и = Е, получаем определение множества, минорантного в X (см. [1]).

Булевский принцип исчерпывания состоит в следующем. Если множество £ минорантно в X, то каждый элемент х € Х+ обладает следующим свойством: существует счетное (конечное или бесконечное) дизъюнктное подмножество £' С £ (зависящее от х), для которого х = 511 р £'. В частности, пусть <р : X —+ IV отображение X во вполне упорядоченное множество IV, причем из х ^ у вытекает <р(х) ^ <р{у)- Элемент и € Х+ называется ^-однородным, если для любого г € Х„ выполнено равенство (р(г) = (р(и). Тогда множество К С X всех (р-однородных элементов минорантно в X. Кроме того, существует счетное дизъюнктное подмножество {«„ : п € М} С IX, для которого Лг С N и \/ «,, = I (см. [1]). Более того, известно, что

neN

из условий {юк : к 6 Л'} С 1С, К С 14, т = \/ Юк и = (р(юк)

при любом к Е К вытекает wQ.lL.

Напомним, что системой образующих булевой алгебры X называется такое множество £ С X, что наименьшая (правильная) ст-под-алгебра сг{£}, содержащая £, совпадает с X. Весом г(Х) булевой алгебры X называется наименьшая мощность систем образующих булевой алгебры X. Поскольку каждая ненулевая компонента Х„ является полной нормированной булевой алгеброй, то для нее автоматически определено понятие веса (см. [1]).

Известно, что для любого подпространства А = (,4, Ма) с Л £ ? компонента Хи с мерой где А € и, изоморфна метрической структуре пространства А (ниже всякий изоморфизм считаем сохраняющим меру). Более того, если А £ У, ¡хеА > 0 (где ¡ле — внешняя мера, порожденная мерой ¡г), а В € 7 — измеримая оболочка множества А, то метрическая структура подпространства А изоморфна (Хь, /х„), где В € V 6 Х+.

Функция (р\(и) = т(Хи) для и Е Х+ и <р(0) = 0 является изотон-ной: <р(х) ^ <р(у) при х ^ у.

Вес метрической структуры пространства О, будем называть также метрическим весом Г2 и обозначать г(П). Пространство О называется метрически однородным, если для любого подпространства А в Г2 выполняется равенство т (А) — т(П).

Системой образующих пространства О называется совокупность измеримых множеств Е, удовлетворяющая условиям: £ порождает разбиение О на отдельные точки и для любого А £ 7 найдется элемент В наименьшей сг-алгебры сг{Е}, содержащей систему 2, для которого А С В я цА = //В. Система образующих минимальной мощности называется базисом пространства П, а мощность базиса — весом О и обозначается у(О), Если О, — одноточечное множество, то полагаем у(О) = 0 (сравните с [3]). Наименьший среди зесов подпространств А С О, таких, что А € и р. А — 1, называется точным весом пространства О и обозначается 7*(0). Всегда т{П) ^ г*(О) < у(О).

Пространство О называется однородным, если для любого подпространства Л в П справедливо равенство у(Л) = (в этом случае будет т*(А) — г*(0) = V(£))). Пространство П называется вполне однородным, если оно однородно и метрически однородно (см. [2]). Понятия веса, точного веса, однородности и полной однородности без труда переносятся на подпространства пространства Г2.

Функция (р2(и) — т*(А) для *,4 € и € Х+ и <р2(©) = 0 является изотопной. К этим функциям <¡1?! и ^>2 применимы описанные выше следствия принципа исчерпывания. Заметим, что ^-однородным элементам соответствуют метрически однородные подпространства. В каждом пространстве £2 имеется множество О.о 6 3", для которого /гПо = 1 и у(0о) = г* (О). Тогда нетрудно заметить, что однородным элементам соответствуют однородные подпространства пространства Оо- •

Разбиением пространства О называется разбиение множества Л на дизъюнктные подмножества, порожденное измеримыми множествами (см. [2]).

Большую роль в описании строения пространства О, играет следующее утверждение.

Теорема 1. Существует разбиение £ пространства П:

п = м +у]Ап+Твп+Т Тспк, (1)

Аяшя^т Пня анввот тшетаяя

пеКх п£1<1 пеКз к£Мп

удовлетворяющее условиям:

1) /гМ = О,

2) Л', и К2 и и ^„#0,

пеЛ'з

3) Ап, Вп, Спк — вполне однородные измеримые подпростран-

стпва в О, при всех значениях индексов пик, входящих в соответствующие суммы множеств в (1),

4) у(Ап) — 0 при всех п € А'ь

5) если К\ ф 0, то К\ = {п : 1 ^ п < ах} — совокупность натуральных чисел, где ах либо натуральное число, большее 1, либо порядковый тип естественным образом упорядоченного множества М, при этом ^ Ап) при 1 ^ к < п <

6) т(Вп) = О при всех п £ Л'2,

7) если Л_2 Ф 0, то = {п : 1 ^ п < 0-2} — совокупность порядковых чисел, где а2 счетное (конечное или бесконечное) порядковое число (см. [4] для определения и свойств порядковых чисел), причем О < у(В^) ^ V(Вп) при 1 ^ к < п < ад,

8) если Кг Ф 0, то А'з — {гг : 1 ^ п < аз} — совокупность порядковых чисел, где аз счетное (конечное или бесконечное) порядковое число, причем для каждого п £ А'з имеем Л'п ф 0 ь 1\п = {к : 1 ^ к < /?„} — совокупность порядковых чисел, где (Зп счетное (конечное или бесконечное) порядковое число (разумеется, Рп > 1),

9) т{Спк) = т(Спт) при любом фиксированном П £ А'з и любых к,т £ Л^,

10) О < т(Спк) < т(.Срп) при значениях индексов 1 ^ п < ) < «3. 1 < к < Рп, 1 < гп <

11) у(Спк) < у{Спт) при 1 ^ к < т < (Зп, 1 ^ п < аз.

Доказательство. Пусть ^С Х+ множество тех элементов.

которые являются одновременно (р\- и ^-однородными. Покажем, что минорантно в X. Пусть и 6 Х+. Поскольку множество

С Х+ «¿^-однородных элементов минорантно в X, то найдется г £ /и.), для которого г ^ и. Множество Иг С Х+ 92-однородных элементов минорантно в X и, следовательно, в компоненте Х2. Поэтому найдется го £ И2, для которого т ^ г. Остается заметить, что О < и) < и и ю £ ТА?.

Пусть {юп : п £ Я} С ТА?, где N С N и У гип ~ I. Несложно

пея

выбрать измеримые попарно дизъюнктные множества Еп £ тп так, чтобы Еп было вполне однородным подпространством при каждом

п £ N. Обозначим через М = О \ ( £ £„ ) , = {М; Еп : п € Щ.

\ri6N )

Множество М построено. Займемся построением множеств /1] и Ап (п £ Кх). Пусть а; = {п € N : у(Еп) = 0}. Ясно,

что Еп является одноточечным множеством для п £ К[. Пусть Гц = {кп : кп £ К\, п = 1,2,...} — такое упорядочение множества К\, что цЕкп ^ цЕкп+1, если {кп,кп+\} С К[. Обозначим ¿11 = {п : кп £ К\}. Тогда К\ — {п : 1 ^ п < с*]}, где а\ либо натуральное число, либо порядковый тип множества N (первое бесконечное порядковое число). Если предположить, что в К\ входит -ервое бесконечное порядковое число, то положив е = цЕках, получим противоречащие друг другу факты: ^Екп ^ цЕка1 при всех та € N и существует конечное число попарно дизъюнктных множеств Екп, удовлетворяющих последнему неравенству (в силу е > О а /¿О = 1). Обозначим Ап = Екп для п £ К\. Если К{ = 0, то К\ = 0.

Пусть Дг/ = Дг \ К[. Если N = 0, то К2 = 0 и А'3 = 0 и построение закончено. Пусть Л*' ф 0. Обозначив А'2 = {п € Л''' : ~{Еп) = 0}, при ф 0 выберем /¡1 € А'^ так, чтобы элемент у(Ек1) был наименьшим в множестве -^(.Е*) : А; € А"^}. Затем выбираем ¿2 € А'2 \ {к\} так, чтобы \г(Ек2) было наименьшим элементом множества {у{Ек) : А: € А'^ \ {&1}}. Если А2 = {¿ь&г}) то построение Ж2 завершено. Если выбраны индексы 6 К2 для 1 ^ п < 0, где .3 — счетное порядковое число и А'2 ф {кп : 1 ^ п < /3}, то выберем % С А'2 \ {&„ : 1 ^ п < /3} так, чтобы у(Ек0) было наименьшим элементом множества {\>(Ек)' : к £ К'2\{кп : 1 ^ п < ¡3}}. В силу счетно-сти А'2 при некотором счетном порядковом числе а2 обязательно будем иметь К'2 = {кп : 1 ^ п < а2}. Обозначим К2 = {п : 1 ^ п < «2} и Вп = Екп при п £ К2. Очевидно, что 0 < ч{Вк) ^ у(Вп) при 1 ^ к < п < а2. Более того, предлагаем читателю убедиться, что в силу полной однородности подпространства В\ имеем: у(В\) — несчетное кардинальное число. В случае К2 = 0 положим К2 = 0.

Пусть А'з = Л7' \ К2. Если К'2 = 0, то А'з = 0 и построение завершено. Пусть А'з ф 0. Пусть далее 71 — наименьший элемент множества {т{Ек) : к £ А'3} и Щ = {к £ : т(Ек) - 71}- Если К'3 = то построение А'з завершилось. Если А'д / Лг{, то обозначим через 72 наименьший элемент множества {т(Ек) : к £ К'г \ Л^} и через ^ = {А- € К'3 \ Лг( : г(£*) = Т2}.

Предположим, что (3 — счетное порядковое число и что при всех п : 1 < п < {3, 7„ обозначает наименьший элемент множества

{т(Ек) : к £ А'з \ ( Е А^)}, а М> = {/с € \ ( £ И :

\1<т<п / ) I. \1<т<п /

т(Е-к) = 7„ >. Если выполнено равенство А'з = £ то построе-I 1<п</?

ние А'з завершилось. В противном случае обозначим меньший элемент множества

через 70 наи-

£ К

\1<л<0

пусть

X] : т(Ек) = 10

( \1<п</? /

Из-за счетности А'з найдется счетное порядковое число с*з, для которого А'з = ]Г) К- Обозначим А'з = {п : 1 ^ п < а?з}. Ясно5

1<п<аз

что 0 < т(Ек) < т(Ет) при к £ т б ^ и 1 ^ щ < П2 < щ.

Займемся построением множеств Спк и (к £ п € А'з). Выберем произвольно п £ А'з и зафиксируем его. Пусть 71 обозначает теперь наименьший элемент множества : к £ Л^}, а М\ = {к £ Л^ : у(Ек) = 71}. Если М\ = Л^, то построение завершилось, переходим к заключительному этапу доказательства. Если №п ф М\, то обозначим через 72 наименьший элемент множества {у (Ек) :кеК\ М1}, а через М2 = {к е К\ Мх : V (£,) = Ъ}.

Пусть (3 — счетное порядковое число и при всех т, таких, что 1 < т < /3, ут обозначает наименьший элемент множества

£ Мр I \1<р<т

Пусть

мт = { к £ ( Мр) : у(Ек) = 7,

\1<р<т /

Если Л^ = А^Р) то построение завершилось и переходим к за-1 <р<Р

ключительному этапу доказательства. В противном случае обозначим через 7^ наименьший элемент множества

у(Ек) :кеК\ (;53 Мр \1 <Р<р

пусть

М0={кеК\ £ Мр } : у{Ек) = \1 <р<0 /

3 силу счетности найдется счетное (конечное или бесконечнее) порядковое число /?„, для которого Л^ = £ Мр. Обозначим

1 <р<Р

Хп = : 1 ^ к < /?„}, переходя к заключительному этапу доказательства.

Заметим, что для: 1 ^ к < т < ¡Зп и для р\ £ М/0 р2 £ Мт имеем ~(ЕР1) = т(ЕР2) и 0 < у{Е.Р1) < у(ЕР2). Зафиксируем к : 1 < к < ¡Зп,. Если {рьрг} С М*, то т{ЕР1) = т(ЕР2) и у(ЕР1) = \(ЕР2). Обозначим

■ пк = I] Ер. Пусть И)' = [Спк]^. Тогда м

рбМк

V Юр. Поскольку

ремк

~{ЕР) бесконечно при р £ М'к (в силу метрической однородности Ер и нетривиальности ХЮр), можем выбрать системы образующих 8Р соответственно в компонентах Хи,р при р £ Мк и положить

£ = У £р и {и)р : р £ Мк}. При этом будем иметь сагс!£ = т(Ер)

р<=Мк

при любом р £ Мк, если (естественно) считать, что саг(1£р = т(Ер) при р £ М*. Проверка того, что £ — система образующих в Хи/, тривиальна. Видим, что т(Спк) = г(£р) при р £ М*.

Пусть Ер — система образующих подпространства для которой сагс1Ер = у(Ер) при р £ М*. Обозначим

Е= У Ер и {Ер : р £ Мк}. ремк

Проверка соотношения сагс1£ = V(Ер) при р £ Мк и того, что Е — система образующих в Спк, элементарны. В силу изотонности веса подпространств получаем V(Спк) — Ер) при р £ Мк. Используя перечисленные выше следствия принципа исчерпывания, видим, что Спк — вполне однородное подпространство в О.

Учитывая произвольность п £ А'з, заключаем: теорема доказана. Если вести речь о классификации пространств с мерой с точностью до сохраняющего меру изоморфизма, то необходимо отметить, что любой (сохраняющий меру — ниже, как уже отмечали, это будет везде) изоморфизм пространства П отобразит подпространства разбиения (1) в соответствующие подпространства, сохраняя

не только меру, но и метрические веса и веса, метрическую одн родность и полную однородность. Исходя из этого, читатель см жет сформулировать условия тождественности двух пространств мерой в терминах разбиения (1), удовлетворяющего условиям 1) 11) теоремы 1, которые будут необходимыми условиями существо ния изоморфизма. Подобное утверждение имеется в литературе (с [2, с. 166]). Для получения достаточных условий необходимо най таковые для вполне однородных пространств с фиксированными сом и метрическим весом. Частично эта проблема решалась в [2] (с также [5]). Мы повторим главные моменты теории ¿Д-пространс в объеме, необходимом для понимания настоящей работы в цело7 Доказательства опубликованных ранее фактов опускаются и зам няются ссылками, а сами эти утверждения напоминаются дос точно кратко.

Будем считать П вполне однородным пространством с метрич ским весом г и весом v. Отбросим тривиальный случай v = 0.

Важнейшую роль в дальнейших рассуждениях играет теорема В.Г. Винокурова (см. [5]), суть которой в следующем. Если имеются два бесконечных произведения (не обязательно прямых!) пространств Лебега, которые обозначим через А" и У, множества сомножителей которых имеют одинаковую мощность, и если метрические структуры пространств А' и У изоморфны, то пространства X и 1" изоморфны.

Базис пространства О, обозначаемый ниже через Е = : t € Г}, называется компактным, если всевозможные пересечения вида

Р| Б* не пусты (и, следовательно, одноточечны), где В( есть либо

гет

Л,, либо !Г2 \ А1, при I £ Т. Термин "компактный базис" введен фактически в [3] для сепарабельных пространств и был уточнен В.Г.Винокуровым, заметившим, что пространство с компактным базисом должно быть компактным в некоторой топологии.

Без ограничения общности можно считать Т вполне упорядоченным множеством. Для любого базиса Е пространства Г2 Е-коорди-натами точки и £ О будем называть последовательность (В1'Л£ Т). удовлетворяющую условиям: а) либо В* = Л/, либо Бг = О, \ Аи

при I £ Г, б) Р) £г = {си}. Обозначим через П совокупность всех <е т

последовательностей (Бг : I £ Т), удовлетворяющих условию а). Отождествим точки и> £ с точками : £ £ Т) £ П, чтобы

точке и! соответствовала последовательность ее Е-координат. Пусть 7 = {À С Ô : Л П Q € J} и положим fi = р,А, для À G J и А = А П О. Элементарная проверка покажет, что (Ù, Т, Д) — пространство с мерой, Q - подпространство в Ù, причем JxeVt — 1. Пусть s е Т. Обозначим Âs — {(Bt : t £ T) £ Û : Bs ~ As} и È = {At : t £ Г}. Очевидно, что Е — компактный базис в Q, причем ,4г = О П At при t £ Т. Пространство Q имеет те же вес и метрический вес, что и О. Оно называется Е-компактификацией пространства О. Е-компактификация вполне однородного пространства является вполне однородным пространством.

Если Е — компактный базис в О, то очевидно, что Q совпадает со своей Е-компактификацией Û. Кроме того, в этом случае Î) является произведением пространств с мерой (П/,/.it) при t £ Т, где

Qt — {Ль Q \ А;}— двоеточие, % = 2П(, f-k{At} = p-At, что немедленно вытекает из определения базиса.

Широко известен результат о том, что две полные однородные нормированные булевы алгебры, имеющие одинаковые веса, изоморфны (см., например, [1, с. 271]). Из этого, с учетом упомянутой выше теоремы В.Г.Винокурова, заключаем, что два вполне однородных пространства с мерой, имеющие одинаковый вес и метрический вес и имеющие компактные базисы, изоморфны (см. [3, с. 166]).

Напомним, что характеристическими числами базиса S в П называются значения функции Хе(£;/х) = ^(П -^t)» где 6 пробегает

tes

конечные подмножества множества Т. Говорят, что базисы Ei и Ег в пространствах Qj и 0,2 имеют одинаковые характеристические числа, если они имеют одно и то же множество индексов Т и если для любого конечного подмножества S множества Т справедливо равенство xsï(<5; ¿îi) = xz2{h\ №)• Подробности читатель найдет в [2] и й-

Теорема 2. Пусть и Q2 — вполне однородные пространства с одинаковыми метрическим весом и весом. Пространства fil и 0.2 изоморфны тогда и только тогда, когда найдутся такие базисы в них Ei и Ег и такой изоморфизм переводящий Ei~ компактификацию Ùi в Е2-компактификацию f^i что сужение ip на Cli является биекцией Qi на

Действительно, если сужение изоморфизма у? на Qj является биекцией fii на то эта биекция является изоморфизмом в силу

¡р(А П О1) = <р{А) П 02 для Л С П1 и определения меры в компак-тификации.

Пусть ф : О 1 —+ Ог — изоморфизм. Выберем любой базис £| в £1] и рассмотрим базис £2 = ф(Т, 1) в 02. Пусть и 02 — соответственно Е] и Е 2 - к о м пактиф и каци и £)[ и 02, Е1 и Е2 — компактные базисы, отвечающие Еу и Е2. Заметим, что £1 и Е2 имеют одинаковые характеристические числа. Рассмотрим биекцию (р базиса Е1 на £2, порожденную биекдией ф базиса £1 на £2. Очевидно, что, сохраняя (р, можно построить единственную биекцию О1 на 02, которую также обозначим через (р. Поскольку сужение <р на 0,1 является биекцией на ^ совпадающей с ф, то проверка того, что (р — изоморфизм, не вызываем трудностей. Теорема доказана.

Укажем на некоторые базисы во вполне однородных пространствах. Пусть вначале г = О, V несчетно. Тогда в Г2 существует базис Е, в котором рА, = 0 при ¿6 Т. Если 0 < г и т = v, то в О существует базис с характеристическими числами вида хе(<5"; м) = ^г-

¿1

где 6п — конечное подмножество множества Т, содержащее ровно п элементов. Если же 0 < т < v, то в О существует базис Е и разбиение множества Т — Т\ + Т2, где сагсЩ = г, сагсЩ — V, такие, что

м) = ~ при дп с Т\ И /¿л = о при г £ т2.

Приведем несколько примеров вполне однородных пространств, имеющих компактные базисы:

Пример 1. Обозначим через А'1 прямое произведение двоеточий {0,1} с одинаковыми мерами: ^{0} = 0. Пусть мощность множества сомножителей равна v и несчетна. Тоща Х\ - вполне однородное пространство с т(Х\) = 0 и v(X"l) = v.

Пример 2. Обозначим через Х2 прямое произведение двоеточий

1

{0,1} с одинаковыми мерами: ^{0} = -. Пусть мощность множества

сомножителей равна г и бесконечна. Тогда Х2 1— вполне однородное пространство с т(Х2) = у(Л'2) = т.

Пример 3. Обозначим через Х3 прямое произведение Х\ на Х2. Тогда (с учетом условий примеров 1 и 2) А'3 является вполне однородным пространством с т(Х^) — г и у(Л'з) = тах{г;у}. Заметим, что при бесконечном т и V ^ г Х3 изоморфно Л'2.

Во всех примерах пространство является совокупностью 0-1-последовательностей. Компактный базис состоит из множеств А*

последовательностей, у которых член с номером t равен 0.

Из вышеизложенного вытекает вывод: вполне однородное пространство с метрическим весом г и весом v либо изоморфно одному из простралств А"1,Х2,А"з, либо изоморфно неизмеримому подпространству О,' одного из этих пространств с рей' = 1. Во втором из указанных случаев вполне однородное пространство не имеет ни одного компактного базиса.

Если говорить о типах вполне однородных пространств с фиксированными весом и метрическим весом, то при наличии компактного базиса тип всего один (содержащий одно из пространств Х^Хг и Л'з). При отсутствии компактных базисов типов столько, сколько есть попарно неизоморфных ГУ (см. выше) с цей' = 1.

Вернемся к произвольному пространству Ü. В [2] Q названо LR-пространством, если каждое из вполне однородных подпространств в разбиении (1) обладает компактным базисом. Ясно, что каждое L-R-пространство изоморфно некоторому LR-пространству (модели), у которого в разбиении (1) вполне однородные подпространства есть: некоторые одноточечные множества (Ап), пространства типа Х\ при различных весах (Вп) или пространства типа Хг,Хз при различных метрических весах и весах (С„к)- Вероятностная интерпретация LÄ-пространства такова. Каждое событие может быть представлено (с точностью до события вероятности 0) в виде счетного дизъюнктного объединения "однородных" событий (каждый раз происходит ровно одно из них), причем "однородные" события определяются либо некоторой совокупностью достоверных событий, либо серией (бесконечной) испытаний типа "игры в орлянку" с равновероятными исходами, либо серией типа "игры в орлянку" и более мощной серией достоверных событий.

Своим интересом к обсуждавшейся выше проблематике автор целиком обязан Д.А.Владимирову.

Литература

1. Владимиров Д.А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969. 320 с.

2. Самородницкий A.A. Теория меры. ЛГУ, 1990. 268 с.

3. Рохлин В.А. Об основных понятиях теории меры//Матем. сборник. 1949. Т. 25.№1. С.107-150.

4. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.

5. Винокуров В.Г. Компактные меры и произведения п; странств Лебега//Матем. сборник. 1967. Т.74.№3. С.434-472

Summary

Samorodnitsky A.A. A Boolean principle of exhaustion and a construction of measure spaces.

A complete information about the construction of spaces with coun ably additive probability measures which satisfies the some "compa ness" condition is given. Our results are obtained with exactness preserving measure isomorphisms.

Сыктывкарский университет Поступила 8.02.