Теорема Какутани-Окстоби в несепарабельном пространстве с мерой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 5.200S

УДК, 517.987 ,

Теорема Какутани-Окстобй .в несеплравельном

.....пространстве с мерой

A.A. Самородпицкий, A.A. Муравьев

Теорема Какутан и-Окстоби утверждает о существовании не-сепарабельного продолжения меры Лебега, инвариантного относительно сдвигов. Мы получили обобщение этой теоремы на случай, когда мера Лебега заменена на меру вполне однородного L/2-пространства несчетного веса г, группы сдвигов заменена на группу автоморфизмов исходной меры, а инвариантное относительно этой группы продолжение меры имеет вес 22Г.

Исходным материалом настоящей работы являются статья Ш. Ка-кутани, Дж. Окстоби [1] и доказательство упомянутой теоремы этих авторов, изложенное в [2, с. 277-289]. Мы будем использовать терминологию и результаты монографий [3,4]. 1

Пространство Лебега без атомов (см. [5]) изоморфно произведению {0; 1}н° двухточечных пространств с симметричными мерами. Оно имеет счетный вес (так как в нем существует счетная система образующих). Обозначим через ß меру в произведении двоеточий {0; 1}к°. Пусть G — группа всех автоморфизмов меры /i (точнее, пространства {0; 1}н° с мерой /i). Рассмотрение группы всех автоморфизмов отрезка [0; 1] с мерой Лебега вместо группы всех сдвигов этого отрезка (по modi) уже является обобщением теоремы Какутаии-Окстоби, которая утверждает, что мера ц может быть продолжена (инвариантным образом, например, относительно группы G) до меры /I, причем полученное пространство с мерой Д является вполне однородным (см. [3 или 4]) с весом 2е, где с = мощность континуума.

. ^Настоящая работа публикуется по решению Государственной аттестационной комиссии на математическом факультете СыктГУ в 2003 г. Основные идеи настоящей работы принадлежат A.A. Самородницкому.

© Самородпицкий A.A., Муравьев A.A., 2003.

Самроднпцкнй А.А.. Муравьев А.А.

Рассмотрим пространство г мерой (0,3", fi), в котором П = {О,1}т, где т = cardT несчетно, а 3" и /i получаются в конструкции произведения Т экземпляров двухточечных пространств с симметричными мерами. Пусть Е = {At : t G Т} — система образующих в (fi, Э", fi) с характеристическими числами вида Пусть G — группа всех автоморфизмов пространства (fl, 3", ц). 2

Теорема. При сделанных предположениях существует пространство (П. 1. /7) при том же П, где /I продолжает меру // причем: a) Ш.З*./7) являе тся вполне однородным пространством веса (и метрического веса) 22Т; 6) если G группа всех автоморфизмов пространства (ПД/I), то G = G.

Ниже приводится схема доказательства этой теоремы. Мы опускаем подробности, не зависящие от веса исходного пространства (см. [2, с. 277-289]). Точки множества fi можно представить в виде ш = (ut : ' € 7-1.

Пусть для В с п це(В) = inf {цА -.ВС А £?} и fiint{B) = sup {цС : С С В, С t 1} - — внешняя и внутренняя меры, порожденные мерой /./. Известно, что для продолжения /7 меры /i и для любого В С О справедливы неравенства

11Ш(В)<игпЛВ)<и^В)<^{В). (1)

Для измеримых множеств соответствующие значения внешней и внутренней меры совпадают.

Пусть Е.с = {А\ : t £ Т} — совокупность дополнений к множествам системы образующих Е. Обозначим: (E + Sc)d — совокупность всех конечных пересечений множеств системы Е или их дополнений, (Е +' -ir )d(T — совокупность всех Счетных объединений множеств системы (Е + Sc)d, (Е + Ес)<г«— совокупность всех конечных объединений множеств системы (Е + Ес)^, (Е + Еc)dss — совокупность всех счетных пересечений множеств системы (Е-f Ec)"ds.

Известно, что значения внешней и внутренней мер достигаются на множествах систем (Е + Е0)^ и (Е + Ес),ыа соответственно, определения которых аналогичны предыдущим. Несложно доказывается, что для любого G € (Е + Ес)<ы<7 будет card, С = 2Т, так как С является <f-множеством в разбиении £ пространства О, каждый элемент которого имеет мощность 2 .

''Мы считаем, что <т-алгебра 3" полна относительно р. Аналогичным свойством обладают все рассматриваемые <т-алге6ри

Теорема Какутани- Окстоби :

213

Если У — класс подмножеств Р С О, для которых card С" < 2% то для каждого Р € З5 измеримой внутренностью является- пустое множество. Поэтому мы можем продолжить меру ~fi до меры /¿% разной О на множествах класса ¡Р. Несложно убедиться, что }л* инвариантна относительно группы G.

В П имеется ровно 2Т различных компактных подмножеств мощности 2Т, среди которых найдется хотя бы одно, принадлежащее заранее выбранному множеству В с ft* (В) > 0. Из этих компактных множеств строятся множества семейства {Л'< : i £ Т}, для которых fi'l{Xt) ~ 1, причем это семейство состоит из попарно дизъюнктивных множеств, удовлетворяющих условию абсолютной инвариантности: для любого V С Т и А" - IJA'< будет ¿/¡((¿>(Л'')д А") = 0 для любого tp € G, где

i£T'

Лд# = {А\В) U {В¡А) — симметрическая разность множеств.

Путем разбиения семейства {Xt : i £ Г} на 2Т подсемейств, каждое из которых содержит 2Т множеств, можно получить семейство из 22 алгебраически независимых множеств, каждое из которых имеет /химеру 1. Пологая для каждого множества А* этого семейства fi(A^) — | и считая данное семейство /Г-независимым, можем получить искомое продолжение. (7-инвариантность J1 получается из того, что автоморфизмы пространства (fi, 3",/¿) сохраняют не только меру но и /ie и I4nt-

Конечно, мы пропустили доказательство самых сложных моментов теоремы Какутани-Окстоби. Но все они получаются простым изменением счетности на мощность т (с соответствующими изменениями свойств множеств).

Литература

1. Kakutani Sh., Oxtoby J.С. Construction of anon-separable invariant extension of the Lebcsque measure space//j4nn. Of Math. (2) V. 52, 1950. P. 580-590.

2. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Том 1. М.: Наука, 1975. 656 с.

3. Самородницкий А. А. Теория пространств Лебега-Рохлина. Издание Сыктывкарск. ун-та, 1997. 288 с.

4. Рохлин В.А. Об основных понятиях теории меры//Матпеем. сборник. 1949. Т. 25. т. С. 107-150.

214

Самродницкий А.А., Муравьев А.А.

Summary

Samorodnitski A.A., Muravjev A.A. Kakutani-Oxtoby theorem in the non-separable measure space

A non-separable extension of the Lebesque measure space generalize to the product of non-separable number of two-points spaces with likeable measures.

Сыктывкарский университет

Поступила 23.09.2008