Системы координат при несвободном резании Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.9 А.В. Проскоков

СИСТЕМЫ КООРДИНА Т ПРИ НЕСВОБОДНОМ РЕЗАНИИ

Рассматриваются геометрические параметры режущего лезвия и дана методика их пересчета в разных системах координат.

Ключевые слова: системы координат, геометрические параметры лезвия, направление схода породы.

ри проектировании горно-режущего и буровых инстру-И. ментов, применяемых на очистных и проходческих комбайнов необходимо правильно рассчитывать геометрические параметры режущего лезвия та как от них зависит стойкость инструмента и производительность работы оборудования.

Для исследования процесса несвободного резания, а также получения и контроля требуемых геометрических параметров режущих инструментов используются три прямоугольных системы координат [1]: инструментальная, статическая и кинематическая. Инструментальная система координат xyz (рис. 1) имеет начало в вершине лезвия 0 и ориентирована относительно геометрических элементов режущего инструмента, принятых за базу.

Так как ниже понятию инструментальной системы координат будет придан иной смысл, то заменим этот термин на станочную систему координат, которая ориентирована в осевом, радиальном и касательном направлении относительно вращающейся заготовки или вращающегося инструмента. Начало статической и кинематической систем координат помещено в рассматриваемую точку A в общем случае криволинейной режущей кромки, а их ориентация связывается с направлением скорости главного движения резания V (см. рис. 1) для статической, и с направлением скорости результирующего движения резания V - для кинематической системы координат.

С целью определения геометрии лезвия в направлении схода породы введем еще одну систему координат - динамическую (рис. 2), под которой будем понимать прямоугольную систему

координат с началом в рассматриваемой точке режущей кромки, ориентированную относительно направления начального схода породы при несвободном резании.

Из рис. 1 следует, что для любого инструмента станочная xyz и статическая хсу(гс системы координат имеют одинаковую ориентацию и переход от первой ко второй осуществляется путем параллельного переноса системы xyz из вершины лезвия 0 в рассматриваемую точку А криволинейной режущей кромки, для которой необходимо определить геометрические параметры. С этой целью через точку А проводится три взаимно перпендикулярные плоскости:

• статическая основная плоскость РУс, проведенная перпендикулярно направлению скорости главного движения резания V;

• статическая плоскость резания Ртс, касательная к режущей кромке и перпендикулярная к статической основной плоскости РУс;

• статическая главная секущая плоскость Рпс, перпендикулярная к линии пересечения статических основной плоскости Рус и плоскости резания Рпс.

Примечание: В ГОСТе [1], на наш взгляд, допущена ошибка в обозначении плоскости резания и главной секущей плоскости. Так как традиционно касательной плоскости соответствует индекс « т », а нормальной - «п », то здесь и в дальнейшем использованы эти обозначения для указанных координатных плоскостей.

На виде В лезвия сверху определяется статический угол в плане фс, как угол в статической основной плоскости между статической плоскостью резания Ртс и рабочей плоскостью Р^ Если точка А расположена правее точки 0, то угол фс имеет отрицательное значение.

Статические главные углы режущего клина в точке А рассматриваются в статической главной секущей плоскости Рпс и определяются следующим образом:

• статический главный задний угол ас - угол между зад-

ней поверхностью лезвия Аа и статической плоскостью резания Ртс;

• статический главный передний угол ус- угол между пе-

редней поверхностью лезвия Ау и статической основной плоскостью р№;

• статический главный угол заострения вс- угол между

передней Ау и задней Аа поверхностями лезвия.

Согласно определению, сумма углов ас, ус и вс составляет п/2. Общепринятые знаки углов ас и ус показаны на рис. 1. В случае, когда передняя и задняя поверхности лезвия отличаются от плоско-

сти, рассматриваются углы между проведенными из точки А касательными к поверхностям Аа и Ау.

Вид К дает возможность определить натуральную величину статического угла наклона кромки Хс, как угла в статической плоскости резания Ртс между режущей кромкой и статической основной плоскостью Рус. Для криволинейной режущей кромки в точке А проводится касательная к ней, лежащая в плоскости Ртс. Правило знаков для угла Хс также показано на рис. 1.

В нормальной секущей плоскости Рн определяются (см. рис. 1) статические нормальный передний угол унс, нормальный задний угол анс и нормальный угол заострения внс, сумма которых также равна п/2.

Приведенные выше определения углов фс, ас, уа Хс позволяют полностью описать геометрию лезвия режущего инструмента в любой точке режущей кромки, причем вспомогательные углы ф1с , а1с, У1с, Х1с являются избыточными. На прямолинейных участках режущей кромки они являются общими для любой точки. Сложнее обстоит дело, если необходимо полностью описать геометрию лезвия в статических координатах, когда и режущая кромка, и рабочие поверхности не являются плоскими. Здесь возможны несколько подходов. Первый предполагает задание уравнений передней Ау и задней Аа поверхностей в координатах xyz, а уравнение режущей кромки получается, как линия пересечения этих поверхностей [3]. Второй путь - это путь численного задания топографии рабочих поверхностей и компьютерного описания геометрии лезвия. Оба варианта позволяют описать геометрию лезвия любой сложности, однако имеют ряд недостатков, связанных в первом случае со сложностью аналитического описания формы реальных инструментов, а во втором - с получением приближенных решений. В работах [3, 4] одним из авторов предложен третий способ описания геометрии лезвия, основанный на применении математического аппарата векторной алгебры, кратко изложенный ниже.

Пусть уравнение режущей кромки в статической системе координат задано в параметрической форме: х = хОО;

<у = у№; (1)

z = z(t).

Рис. 2. Динамическая система координат

Проведем в выбранной точке А касательную к режущей кромке. Единичный направляющий вектор a1 этой касательной задается выражением

a = x'(t) • i + y'(t) • j + z'(t) • k, (2)

где x'(t), y'(t), z'(t) - производные выражений (1).

С другой стороны, по определению a1 = cos Ac cos (pc • i + cos Ac sin (pc • j + sin Ac • k . (3)

Из (2) и (3) имеем Pc = arctg j y'(t)/x'(t)];

XQ = arcsinz'(t).

Углы yc и ac задают положения передней Ay и задней Aa поверхностей в статической главной секущей плоскости Pnc (см. рис. 1). Соответствующие единичные направляющие векторы, исходящие из точки A, определятся следующим образом:

для Ay - a2 = - cos yc sin pc • i + cos yc cos pc • j - sin yc • k ;

для Aa - a3 = - sinac sinpc • i + sinac cospc • j - cosac • k .

Тогда положение нормали к передней поверхности в точке A определится вектором а4:

а4 = а1 х а2 = [- (cos Xc sin yc sin pc + sin Xc cos yc cos pc) • i +

+(cos Xc sin yc cos pc - sin Xc cos yc sin pc) • j + cos Xc cos yc • k] х

^ 1 - sin2 Xc sin2 yc,

а нормаль к задней поверхности - вектором а5: а5 = а4 х а1 = [(sin ac sin Xc cos pc + cos ac cos Xc sin pc) • i +

+(sin ac sin Xc sin pc - cos ac cos Xc cos pc) • j - sin ac cos Xc • k] х

xj 1 - sin2 Xc sin2 ac.

Для определения углов режущего клина в нормальной секущей плоскости справедливы известные соотношения [3]:

•ga- =

cos Ас .

?

tg y- = tg Ус cos ^с;

Рн = ^/2 - a- - У- .

Таким образом, полученные выражения позволяют описать геометрию лезвия с плоской передней поверхностью в рассматриваемой точке режущей кромки в статических координатах.

Представленная на рис. 2 динамическая система координат способствует решению следующих задач: а) переходить от схемы свободного резания к схеме несвободного резания; б) определять

передние и задние углы и угол наклона лезвия в направлении схода породы по передней поверхности; в) исследовать процессы образования и завивания породы, а также силового и теплового нагружения лезвия при несвободном резании.

Исходным параметром для динамической системы координат является угол начального схода породы. Отметим, что его определение по стандарту как угла в плоскости, касательной к передней поверхности лезвия, между направлением схода породы и следом главной секущей плоскости, нельзя признать удачным. Для криволинейного лезвия мы имеем различные значения этого угла в точках лезвия, в то время как порода имеет одно и то же интегральное направление схода. Поэтому авторами [6] предложено определять угол схода породы п, как угол в динамической основной плоскости Руд (см. рис. 2) между секущей плоскостью схода породы Рс и рабочей плоскостью PS. При этом плоскость Рс проходит через направления схода породы и скорости резания.

Переход от статической xyz к динамической хдудгд системе координат осуществляется поворотом вокруг оси 0zд на угол

п/2 -г против часовой стрелки (см. рис. 2). Новые координаты

выразятся соотношениями: хд = sin г • x + cos^- y;

уд = - x + sin y; (4)

z д = z

С учетом (4), направляющие векторы нормалей к передней а4 и задней а5 поверхностям лезвия равны:

а4 = jcos Ac sin Ус cospc + г)- sin Ac cos Ус sin(pc + г)\ ¡д + +jcos хсsin Ус sin( pc +г) +sin Accos Ус cospc + Л + + cos Ac cos yc • кд • cos j; a5 = jsin ac sin Ac sin(pc +г) - cosac cos Ac cos(pc + г)]Л-

- [án ac sin xc cos(pc + г)+cosaccos Acsin(pc + г)] Л -

- sin ac cos Ac • кд • cos j,

где i , j и k - орты динамической системы координат.

Необходимо сделать следующее замечание. С введением динамической системы координат динамический задний угол ад (см. рис. 2) уже перестает быть главной характеристикой условий контакта между задней поверхностью и поверхностью резания на заготовке, так как в общем случае секущая плоскость схода породы Рс неперпендикулярна к проекции режущей кромки на основную плоскость Рд. Чтобы одновременно рассматривать процессы на передней и задней поверхности при несвободном резании криволинейным лезвием, надо проводить ломанное сечение через текущую кромку А, а именно: по передней поверхности до кромки параллельно Рс, а далее по нормали к режущей кромке (показано пунктиром на рис. 2). Именно поэтому часто применяемый термин «режущий клин» в рассматриваемом случае следует заменять на термин «режущее лезвие».

В случае несвободного косоугольного резания инструментами с криволинейной режущей кромкой теряет первоначальный смысл стандартная система геометрических параметров (у,Л,^,^1,а,а1), так как в каждой точке режущей кромки имеется свой набор этих углов и они перестают быть константами для лезвия. С целью получения минимального количества исходных данных для описания геометрии криволинейного лезвия, целесообразно, на наш взгляд, вернуться к предложенной еще Ф. Тейлором [5] системе ориентации плоской передней поверхности инструмента, которая заключается в ее наклоне на угол ух в координатной плоскости z0x и на угол уу в координатной плоскости z0y. Положительные значения этих углов показаны на рис. 3. По аналогии с правилами черчения назовем ух - фронтальным углом, а уу - профильным (отметим, что Тейлор назвал эти углы «угол наклона вбок» и «угол наклона назад» [5]). Для неплоской передней поверхности со сложной топографией эти углы задают ориентацию режущей пластины в корпусе (сборные инструменты с СМП [6]).

В результате двух указанных поворотов исходная (станочная) система координат xyz примет положение инструментальной xиyиzи (см. рис. 3). Причем под последней будем понимать прямоугольную систему координат, плоскость xи0yи которой всегда совпадает с плоской передней (или опорной) поверхностью лезвия инструмента. Для описания ориентации режущей пластины в пространстве формулы перехода от xyz к xцyиzи имеют вид [3]:

хи = x cosyx - y sin yx sinyy + z sin yx cosyy;

Уи = y coy + z sm7y;

(5)

zи = -x sin yx - y cosyx sin yy + z cosyx cosyy.

При расчете координат при переходе в различные системы координат с помощью автоматизированных программ наиболее удобно использовать матричное преобразование, описывающее последовательный поворот вокруг мировых систем координат [6].

(6)

xyy "1 0 0 0

yyy 0 COsyy - sinyy 0

zyy 0 - sinyy COsyy 0

1 0 0 0 1

x

y

z

1

"хи " COs ух 0 sin ух 0

Уи 0 1 0 0

Zn - sin ух 0 COs ух 0

1 0 0 0 1

Ч"

Уу

Z*

1

Обратный переход от системы х^уиги к системе xyz происходит согласно формул:

х = хи с^ Ух - ги sin Ух;

у = - хи sin Ух sin У у + Уи cos У у - г и с™ Ух sin У у; (8)

г = хи sin Ух cos У у + Уи sin У у + ги cos Ух cos У у.

Или матричным преобразованием переход осуществим помножив полученные координаты х^уиги на обратную матрицу.

1 ух х 1 COs ух 0 sin ух 0" -1 хи

Уиух 0 1 0 0 Уи

Zu ух - sin ух 0 COs ух 0 Zn

1 0 0 0 1 1

(9)

х "1 0 0 0" -1 1 ух х

У 0 COs уу - sin у у 0 уиух

z 0 - sin у у COs уу 0 Zu ух

1 0 0 0 1 1

(10)

На основании выражений (5) - (10) можно осуществить переход от предлагаемой системы геометрических параметров лезвия к стандартной. Так углы Л и у рассчитываются из выражений

sin Л = cospsin ух + sin tpcosух sin уу. (11)

sin у = sin р sin у х - cos р cos ух sin уу

. (12)

Из них следует, что для любой точки криволинейной режущей кромки по известным углу в плане <р, фронтальному ух и профиль-

ному уу углам можно рассчитать угол наклона режущей кромки Л и главный передний угол у.

Так как, согласно (11) и (12), углы Л и у задаются одними и теми же исходными данными, то между ними существует связь вида:

sin у = sin Л tg р - cos ух sin у д/i +tg2 р.

Приведенные выше сведения позволяют аналитически описать геометрию зоны несвободного резания и представляют собой основу для построения соответствующих схем образования породы.

------------------------------------------ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ГОСТ 25762-83. Обработка резанием. Термины, определения и обозначения общих понятий. - М.: 1983. - 41 с.

2. ГрановскийГ.И. Кинематика резания. - М.: Машгиз, 1948. - 200 c.

3. Петрушин С.И. Основы формообразования резанием лезвийными инструментами. Учебное пособие. Томск: Изд. ТПУ, 2003.-c.

4. Петрушин С. И., Проскоков А. В. Форма криволинейного лезвия инструмента и направление схода породы при косоугольном резании //СТИН-2003. -№12. - С. 26 - 29.

5. Тейлор Ф. Искусство резать металлы. - Издание инженера Л.А. Левен-стерна «Русская скоропечатня», 1909. - 357с.

6. Кунву Ли. Основы САПР (CAD/CAM/CAE). - С-Пб.: Питер, 2004. -560с.

— Коротко об авторе -----------------------------------------

Проскоков А.В. - Юргинский технологический институт Томского политехнического университета, кандидат технических наук, proskokov@tpu. ru.