CC BY
19
^¡Г^МАТЕМАТИЧЕСКИЕ / я // .а /
И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ >Ж\
/ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ
I I I III I I I!
S89vadim:fiiBaj].ru Вадим Иванович Филиппов,
доктор физико-математических наук; профессор кафедрь< прикладной математики и информатики, Саратовский социально-экономический институт (филиал) УДК 517 РЭУ им. Г В Плеханова
СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ
Рассматриваются функциональные системw □ пространстве почти всходу конечных измеримых на (0,1) функций Результаты исследования могут чайти применение е сигнал ьн$1 анализе при передаче визуальной и спухсвой информации в медицине и другим областях знаний
Ключевые слова: сист&мъг првдставлвнЩ пространстве системы функций и2 сжатий и cdeusoe одной функции, пространства i.p{0.1)
V./. FHippo v
SYSTEMS OF FUNCTIONS IN THE SPACE OF MEASURABLE FUNCTIONS
The article considers fun citron a I sysiems in ihe space of almost eve rywh ore fin itci measurable functions {Q 1) ResulU of the stud / can be used for sign at analysis in transmission of visual anil auditory in formation, in medicine and other Jialfls of knowledge
Keywords: representation sysfew. E? spaces, systems of functions of dilates and translates of a single function, specs
Системы пред став пен из \ с п > а пространства* tf и 6р рассмотрены в работах [1, Э. 4 Ь|
В л энной работе исследованы функциональные свотемь а более ш крон их п рос гране га ах функций 5(0,1)
В статьям [6 7] рвссмотрс-ны ряды по системам функций в пространствах L
Рассмотренные н<гмк системы функций могут быть лепопьэовэны для получения новых результатов в исследования*, проведенных в работе [0-11]
Система элементов ^-пространства £ на-
зывается системой представпемия {с п 1 в пространстве Е. если для произвольного элементам £ £ существует ряд С„ д,, такой, что:
Теорема Д (см [1]). Пусть £ 1а(»; 1.), * О и ^ - 0 вне (0.1) Тогда {$„,*] является с. 11 В ¿Р(0Д),0 1.
Теорема В ([5}). Пусть '1' ^ £{0,11Пусть и - непрерывная мера. Пустьtfi.il' ь Ф, <р(1\ £ для всех
' ^ (с ? 0, где *с-некоторое число, И — = 0-
Ее™ - система представления о го
1У>1 яаляется системой представления а
Теорема 1, Пусть 1/1(г) ё ¿,(0,1) и
ШШ* = ОЖг) = 0 £ (Од)), Тогда
СО} = №2 яе - !)}.-* = 1.2.....к = од,2я -1,
будет с.и. а 5(0,1). пространстве п и. конечных измеримых на (Р I) функций, в смысле сходимостиЯв мере Дедаэатйлы^тпо. Из те*$|р4мы А получаем, что система является системой представления,
например, е пространства £1 Д0Д другой стороны, та« ках метрика в пространства 5(0.1) определяется по формуле:
ш
/
1+ U40I
dtjesmx
удовлетворяющую также следующим пвойргеам
Л(рлсг,, = а < 1,(2)
где
Еели £ > 0 такое, что и + £ = о1 < 1, го существую-^ е/г (}г = и^! К ,ЪП], такие что
- «и
4,= (г) - 'Мкюй, * *+£=а1 <1 ■ &
Определение 1. Пустьр - вднечнля положительная мера, определенная на о -алгебре борелевских множеств бикомпактного метрического прострей-ства 5 Говорят что множество А 5 покрыто в смысле Витали семейстбсу 55 да минутых множеств, если каждое ¥ Е 5 имеет Положительную меру Ц и существует -такое положительное -шелон, что каждая точка множества .-1 содержится а множества*. V Е у произвольно малого полож+^епьного диаметра, для которых
,t (s(F. 3S(f»)
^F)
¿■Л,
го пространство 5 (ОД) можно представить как класс <р(1) (см [2]) С образующей ¥>(г 1 77^- Из работы [2, р. 111] следует что функция Ф\Х) = определяет ^эсс ¥?(£), элементами которого являются измеримые гтв конечное на [0,1] функции То есть пи-нейное метрическое пространство 5(0,1)
Очевидно, что для функции '¡и (г) = 77-7 выполняется условие Iг- 0. А функция ^(П ■ |с|
удовлетворяет условию ^(г'1 ^ ^р'(г) < при ¡{¡^Сй и где Г0 - некоторое неотрицательное число. <р 6 Ф-
Таким образом в сипу теоремь В система лДО] яапяется системой представпени5 о прост ранет ее ^ ■
Тал как 5(0Д.) - = ТР 0 -
с.п о 5(0,1)
Рассмотрим функциональную систему с {^(п.Ып^кЬ)], 0 с а < ъ < +30,(1)
где щ зз)=*) < щт=
Приведем также теорему Витали о покрытии, которой воспользуемся в дальнейшем
Теорема Витали о покрытии. Пусть;; - конечная положительная мера, определенная на борелевских множества»: бикомпаигтного метрического прост ран ства 5 Если семейство ¡5 замкнутых множеств по--гр^вает ^ножестда ^ с 5 в «мыоле Витали то д^тся такая полЬедвейт^ьность непересекающимся множеств С чгс,4\ имее1 меру нуль
Теорема С (см Предположим, что система с ¿р [Л ГЬ) - +Х, 0 < р < 1
удовлетворяют свойству {Ъ)Ц проиавопьныи ограниченный ингераел (_с,Ь\ <- Ы.Ь: покрывай ген й смысле бита пи семейством Тогда для проидволы<рго
N Е N система является системой представ-
ления в1р(а,Ь)>0< р< 1,
Теорема 2. Предположи м что система с £#(0Д),0 < р < 1, удовдетворяетусловию (3) и множество (0.1> локрыаается а смысле Витали семейством Тогда для произвольного^ С N
система яеляетс^ системой предетзпленяя
а 5(0,1)
Доказательство аналогично Доказательству теорема! 1 гдо вмосто теоремь. А используется теорс-ма С
I. Rllipoi/ V.I., Osvjsia Р Represenla(-.ü 11 m L,i by íjenaa oí transía tes а гю d'lat-ss oíone f uncí Ion a Jou'nal cf Appr&virnation Tíieory 1595 V 52. Nfi 1 P 1
2 Mazar S Orfcz iV On здгле clssses- of linesr metrir зрасеЕ5tudia Mait». iggS V 1? É 87-110
1Ы)
3 Филиппов я И, Системы функций. получающиеся сжатиями и сдвигами одной Функции е пространствах Ер Ит^.5^ — О^ИнюгияРАН.Серия математическая
2001 т № г с. тат-яю.
4 iiJi^sv VI On Ihe complete пета and ether propertied! some Fiinctin n systems in Ijt, D ^ p i л li Journal cf Дрргч)(!гпэ tipn Tiiegry 1ЭЭВ. $4:1 F 42-33
5 fJrftMi-V i Linear ciinllnuDba hjnttlctnaIs aid represenla-tion pf functions by seres in ihf; spaces Би ll Anal Ma!h 2001 HA. P ЗЭЭ-ZSD
Б Голубое Ё И АвЬогшзтнэп а^йимметъ двойныл ¡¡ядов из коэфсрнци-Е1Нтов Лурье - Xaapa функций ограниченной р-вэриаи^и''Изнесп^вуюр. Матчпэгнкз 2012 Niiis.C ¿-ТЭ
7 Гплувс-e ь Сферйчеокий сгвчрк фуннцик и средние е-з-инвра - Рисса гепрня-енны* кратны* индол и ННЧТв/рЭЛРв Фурье II Математические аамеии 2012 1 91 Вып 4 С. 506-514.
S Гусчтнцкпъ Э .4 Няфелае И С . МарозаЛ jC Л Огтли-чнекач ГЧрвОрОЙ« фа-Пунний Jaripe^eннай Зоны в íHacCií-ческои пйпупрон^миконйй яер^рещетц при импульсном ЯвПММЙ воздействии II МЗНесГИй Академик наук. ÜépHft Фйэичесиая. zaci I S5.Nl! 2 С. 303-306
0. r/íffnWiiíiOí í3 Н. ьеаругае >1 И гСаюкввй ИЁ количественные методы оценки уровня комлетенций дгя систем управления качеством образом ни я-1/ С0йрвм£>ень» технологии управления. 201 Б. № 3 <51). С 30-35.
Ю АпжсДО С. А 05 определи мости уп»ядоченнык автоматаа полугруппами ил модных сигналов .-".■' Лзнести* Зоппогрэдскоггз государстве нно га педагоги чес*ого уник рек тета 2005 4 С 24-27
11 Куврцн Л IÍÍ, Верещагияа Л С. О методологии формирований пранзаодегавнний программы ПрОМЫ тленного предприятии .■■ Вестниц Свр?Т09й№Г0 'С су да решенного еациапьнб-экьиомичейксгй уни&еpedrera. ЗОЮ. NE 5 (34) С. 03-07
