АБСОЛЮТНЫЕ σ-РЕТРАКТЫ И ТЕОРЕМА ЛУЗИНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2018. Том 25, № 2

УДК 513.83

АБСОЛЮТНЫЕ а-РЕТРАКТЫ И ТЕОРЕМА ЛУЗИНА П. В. Черников

Аннотация. Устанавливаются некоторые свойства абсолютных ст-ретрактов. Приводится обобщение классической теоремы Лузина об аппроксимации измеримых отображений непрерывными отображениями, а именно установлено следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть У — полное сепарабельное метрическое пространство и У является абсолютным ст-ретрактом, X — нормальное пространство, А — замкнутое подмножество X, ( > 0 — мера Радона на А, f : А — У — (л-измеримое отображение. Тогда для всякого е > 0 существуют такое замкнутое подмножество А£ множества

A, что ^(A\A£) < е, и такое непрерывное отображение f£ : X ^ Y, что f£(x) = f (x) для всех x € A£.

Отметим, что связное сепарабельное ANR(M)-np0CTpaHCTB0 принадлежит ARa (ОТ).

DOI: 10.25587/SVFU.2018.98.14231

Ключевые слова: абсолютный ст-ретракт, теорема Лузина.

В [1] определяется понятие абсолютного <т-стационарного пространства в классе ММ всех метрических пространств. Приведем соответствующие определения.

Замкнутое подмножество А метрического пространства X называется а-стационарным подмножеством X, если существует такая последовательность {Ап}П=1 замкнутых подмножеств множества А, что Ап С Ап+1, п =

1, 2,..., У Ап = А, причем каждое Ап является ретрактом X.

п=1

Метрическое пространство У называется абсолютным а-стационарным пространством, если всякое замкнутое подмножество А любого метрического пространства X, гомеоморфное У, является а-стационарным подмножеством в X.

Совокупность всех абсолютных а-стационарных пространств обозначим через 5 (М).

В [2] приводится следующее обобщение классической теоремы Лузина об аппроксимации измеримых функций непрерывными функциями.

Теорема 1. Пусть У — полное сепарабельное метрическое пространство и У принадлежит Б(М), X — нормальное пространство, А — компактное подмножество X, ц > 0 — мера Радона на А, / : А ^ У — измеримое отображение.

© 2018 Черников П. В.

Тогда для всякого е > 0 существуют такое компактное подмножество Ле множества Л, что ^(Л\Ле) < е, и такое непрерывное отображение /е : X ^ У, что /е(х) = /(х) для всех х € Ле.

В [3] приводится такое обобщение теоремы Лузина.

Теорема 2. Пусть У — полное сепарабельное связное метрическое пространство и У принадлежит ЛЫК(Ш), X — нормальное пространство, Л — компактное подмножество X, ^ > 0 — мера Радона на Л, / : Л ^ У — измеримое отображение. Тогда для всякого е > 0 существуют такое компактное подмножество Ле множества Л, что ^(Л\Ле) < е, и такое непрерывное отображение /е : X ^ У, что /е(х) = /(х) для всех х € Ле.

Здесь через ЛЫК(Ш) обозначен класс всех метрических абсолютных окрест-ностных ретрактов [4]; класс всех компактных метрических абсолютных (окрест-ностных) ретрактов обозначают через Л(Ы)К [4].

Отметим, что теорема 2 не следует из теоремы 1, так как существует двумерный связный ЛЫК-компакт X', не представимый в виде объединения конечного или счетного числа ЛК-компактов [4, е. 178].

Теорема 1 не следует из теоремы 2, так как, например, гребенка

Г = {(х, у) € М2 : 0 < у < 1, х = 0,1/п, п =1, 2,... } и {(х, 0) € М2 : 0 < х < 1}

принадлежит 5(Ш), но Г € ЛЫК.

В [5] в классе Ш определяется понятие абсолютного а-ретракта. Сформулируем соответствующие определения.

Замкнутое подмножество Л метрического пространства X называется а-ретрактом X, если Л представимо в виде объединения счетного числа своих замкнутых подмножеств Лп, Лп С Лп+\, п = 1, 2,..., причем для всякого номера п существует такое непрерывное отображение гп : X ^ Л, что гп(х) = х для всех х € Лп.

Метрическое пространство У называется абсолютным а-ретрактом, если всякое замкнутое подмножество Л любого метрического пространства X, го-меоморфное У, является а-ретрактом X.

Совокупность всех абсолютных а-ретрактов обозначим через ЛКа (Ш). Очевидно, что 5(Ш) С ЛКа(Ш). Будет показано, что это включение строгое.

Мерой Радона на топологическом пространстве М будем называть конечную регулярную борелевскую меру.

Далее покажем, что верно такое обобщение теоремы Лузина.

Теорема 3. Пусть У — полное сепарабельное метрическое пространство и У принадлежит ЛКа (Ш), X — нормальное пространство, Л — замкнутое подмножество X, ^ > 0 — мера Радона на Л, / : Л ^ У — измеримое отображение. Тогда для всякого е > 0 существуют такое замкнутое подмножество Ле множества Л, что ^(Л\Ле) < е, и такое непрерывное отображение /е : X ^ У, что /е(х) = /(х) для всех х € Ле.

Очевидно, что теорема 1 следует из теоремы 3. Будет установлено, что теорема 2 также следует из теоремы 3. При этом требование компактности множества A в X можно заменить требованием замкнутости A в X.

Приведем пример компактного связного множества на плоскости R2, которое не принадлежит классу ARa (M).

Пример. Обозначим через C замыкание в плоскости R2 графика функции у = sin где 0 < х < 1. Покажем, что С £ ARa{Ш). Допустим противное.

Тогда C = U An, An С An+i, n = 1, 2,..., где An — замкнутое подмножество

n=1

компакта C, причем для всякого n > 1 существует такое непрерывное отображение rn : R2 ^ C, что rn (x) = x для всех x £ An. Так как при непрерывном отображении компоненты линейной связности переходят в компоненты линейной связности, для каждого n > 1 имеем

rn(R2) С Co или rn(R2) С Ci,

где

C0 = {(x, y) £ R2 : x = 0, -1 < y < 1},

Ci = i (ж, y) G R2 : y = sin 0 < x < 1

x

Найдется номер no, для которого

Ano n Co = 0 и Ano n Ci = 0.

Значит, rno (R2) П C0 = 0, rno(R2) П C1 = 0; противоречие. Таким образом, C £ AR^ (M).

Лемма 1. Для того чтобы метрическое пространство Y было абсолютным а-ретрактом, необходимо и достаточно, чтобы Y было гомеоморфно а-ретракту A выпуклого множества S некоторого нормированного пространства.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.1 из [4, с. 95].

Лемма 2. Для того чтобы метрическое пространство Y было абсолютным а-ретрактом, необходимо и достаточно, чтобы для всякого непрерывного отображения f : A ^ Y замкнутого подмножества A любого метрического пространства X в Y существовали последовательность {An}n=1 замкнутых подмножеств множества A такая, что

оо

У An = A, An С An+i, n = 1, 2,...,

n=1

и последовательность таких непрерывных отображений {fn}n=1,fn : X ^ Y, что fn(x) = f (x) для всех x £ An, n =1, 2,....

Необходимость. Пусть ^-вложение Куратовского метрического пространства Y в банахово пространство B(Y), Y' = <^(Y). Множество Y' замкнуто в своей выпуклой оболочке S. По теореме Дугунджи [4] для отображения <f :

А ^ У' существует такое непрерывное отображение д : X ^ Б, что д|А = р/. Имеем

У' ^и Вп, Вп С Бп+1, п = 1, 2,...,

п= 1

где Вп является замкнутым подмножеством У' и для всякого номера п существует такое непрерывное отображение гп : Б ^ У', что гп(х) = х для всех х € Вп. Положим

Ап = /-1(р-1(Вп)), /п = р-1гпд.

оо

Множества Ап замкнуты в А, Ап С Ап+1, п = 1, 2,... , У Ап = А, /п(х) = /(х)

п= 1

для всех х € Ап.

Достаточность. Пусть р — вложение Куратовского пространства У в банахово пространство В(У), У' = р(У). Множество У' замкнуто в своей выпуклой оболочке Б. Рассмотрим отображение р-1 : У' ^ У. По условию существуют последовательность |Ап}^=1 замкнутых подмножеств множества У' такая, что

УАп = У', Ап С Ап+1, п = 1, 2,...

и последовательность таких непрерывных отображений |/п}^=1, /п : Б ^ У, что /п(х) = р-1(х) для всех х € Ап, п =1, 2, .. .. Положим

Гп = р/п, Гп : Б ^ У'.

Если х € Ап, то гп(х) = х. Таким образом, У' — <г-ретракт Б. По лемме 1 У € АЕа (М).

Лемма доказана.

Далее потребуется хорошо известная

Лемма 3. Если Р — локально компактный связный полиэдр, то

Р = и Рк, Рк С Рк+1, к = 1, 2,... ,

к=1

где Рк — компактный стягиваемый полиэдр.

Следующая лемма обобщает лемму 2 из [6].

Лемма 4. Если связное сепарабельное метрическое пространство У принадлежит АМК(Ш), то У € АКа(М).

Доказательство. Так как метрическое пространство У связно, сепара-бельно и принадлежит АЖД(М), существует связный локальный компактный полиэдр Р, гомотопически эквивалентный У [7]. Пусть р : У ^ Р, ф : Р ^ У — такие непрерывные отображения, что фр ^ . Пусть / : А ^ У — непрерывное отображение замкнутого подмножества А метрического пространства X в У. Рассмотрим отображение р/ : А ^ Р. Согласно лемме 3 имеем

п=1

Р € АД^- (М). По лемме 2 существует последовательность |А„}П=1 замкнутых

ж

подмножеств А такая, что А = У Ап, Ап С А„+1, п = 1, 2,... , и существует

П=1

такая последовательность непрерывных отображений |/п}П=1, /п : X ^ Р, что /п(ж) = (ж) для всех ж € Ап, п =1, 2, .. .. Имеем

/А = V/|А„ - /|А„.

По теореме Борсука о продолжении гомотопии существует такое непрерывное отображение /П : X ^ У, что /П(ж) = /(ж) для всех ж € Ап, п =1, 2,.... Тогда по лемме 2 У € (М). Лемма доказана.

С учетом леммы 4 получаем X' € АД- (М) \ 5(М).

Лемма 5. Пусть У — полное сепарабельное метрическое пространство и У принадлежит (М), X - нормальное пространство, / : А ^ У — непрерывное отображение замкнутого подмножества А пространства X в У. Тогда существуют последовательность |А„}^=1 замкнутых подмножеств множества

ж

А такая, что У Ап = А, Ап С Ап+1, п = 1, 2,... , и последовательность та-

п=1

ких непрерывных отображений {/п}^=1; /п : X ^ У, что /п(ж) = /(ж) для всех ж € Ап, п = 1, 2,....

Доказательство. Пусть ^ — гомеоморфное отображение пространства У на некоторое замкнутое подмножество У' пространства Мш [8]. Для отображения </ : А ^ У' существует такое непрерывное отображение д : X ^ М' что д|А = . Имеем

У' = (] В, В С Вп+1, п =1, 2,...

п=1

где Вп является замкнутым подмножеством У' и для всякого номера п существует такое непрерывное отображение гп : Мш ^ У', что гп(ж) = ж для всех ж € Вп. Положим

Ап = /-1(^-1(Вп)), /п = ^-1Гпд.

ж

Множества Ап замкнуты в А, Ап С Ап+1, п =1, 2,... , У Ап = А, /п(ж) = /(ж)

п=1

для всех ж € Ап.

Лемма доказана.

Отметим, что при доказательстве теоремы 2 в [3] используются результаты теории ^-многообразий. В данном далее доказательстве теоремы 3, обобщающей теорему 2, результаты теории ^-многообразий не используются.

Доказательство теоремы 3. Пусть е > 0. По теореме Лузина о С-свойстве существует такое замкнутое подмножество Ае/2 множества А, что у«(А \ Ае/2) < е/2 и сужение отображения / на множество Ае/2 непрерывно.

Положим g = f |Ae/2, 9 : Ae/2 ^ Y. Метрическое пространство Y полно, сепара-бельно и принадлежит ARa (M). По лемме 5 существуют такая последовательность замкнутых подмножеств множества Ae/2, что

ж

[jAn = Ae/2, An с An+i, n = 1, 2,...,

n=1

и такая последовательность непрерывных отображений |fn}^=1, fn : X ^ Y, что fn(x) = g(x) для всех x £ An, n > 1. Найдется номер no, для которого m(Ae/2 \ Ano) < e/2. Положим Ae = Ano, fe = fn0. Тогда ^(A \ Ae) < e и fe(x) = f (x) для всех x £ Ae. Теорема доказана.

Отметим, что гребенка Г принадлежит ARa(M), но Г £ ANR.

Лемма 6. Пусть Y — сепарабельное метрическое пространство и Y принадлежит ARa (M), X — совершенно нормальное пространство, f : A ^ Y — непрерывное отображение замкнутого подмножества A пространства X в Y. Тогда существуют последовательность {An }Ж=1 замкнутых подмножеств множества A такая, что

ж

\J An = A, An С An+1, n = 1,2,...,

n=1

и последовательность таких непрерывных отображений |fn}^°=1, fn : X ^ Y, что fn(x) = f (x) для всех x £ An, n = 1, 2,....

Доказательство. Пусть p — гомеоморфное отображение Y на некоторое подмножество Y' пространства . Для отображения pf : A ^ Y' существует такое непрерывное отображение g : X ^ Мш, что g|A = pf. Множество Y' х {0} замкнуто в метрическом пространстве

M0 = Мш х I \ (Мш х {0} \ Y' х {0}).

По теореме Веденисова найдется такая непрерывная функция a : X ^ I, что A = a-1 (0). Положим

G(x) = (g(x),a(x)), x £ X; G : X ^ M0.

Пусть ^(x) = (x, 0), x £ Y'. Имеем

ж

Y' х {0} =U Bn, Bn С Bn+1, n =1, 2,...,

n=1

где Bn является замкнутым подмножеством множества Y' х {0} и для всякого номера n существует такое непрерывное отображение rn : Mo ^ Y' х {0}, что rn(x) = x для всех x £ Bn. Положим

An = G-1(Bn), fn = Р-1Ф-1Гп G.

ж

Множества An замкнуты в A, An С An+1, n =1, 2,... , У An = A, fn(x) = f (x)

n=1

для всех x £ An. Лемма доказана.

Приведем еще один вариант теоремы Лузина.

Теорема 4. Пусть У — сепарабельное метрическое пространство и У принадлежит (М), X — совершенно нормальное пространство, А — замкнутое подмножество X, ^ > 0 — мера Радона на А, / : А ^ У — измеримое отображение. Тогда для всякого е > 0 существуют такое замкнутое подмножество Ае множества А, что ^(А \ Ае) < е, и такое непрерывное отображение /е : X ^ У, что /е(ж) = /(ж) для всех ж € Ае.

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 3 с использованием леммы 6.

Из теоремы 4 и леммы 4 вытекает

Теорема 5. Пусть У — сепарабельное связное метрическое пространство и У принадлежит АЖД(М), X — совершенно нормальное пространство, А — замкнутое подмножество X, ^ > 0 — мера Радона на А, / : А ^ У — измеримое отображение. Тогда для всякого е > 0 существуют такое замкнутое подмножество Ае множества А, что ^(А \ Ае) < е, и такое непрерывное отображение /е : X ^ У, что /е(ж) = /(ж) для всех ж € Ае.

Подобные вопросы рассматриваются в [9].

Заключение. Возникает вопрос: почему мы обобщаем теорему Лузина на случай, когда отображения принимают значения, в частности, в АЖД(М)-пространстве У? Как прийти к такой постановке задачи? Классическая теорема Лузина была доказана в случае, когда У = [0,1]. С помощью леммы 3 ее легко обобщить на случай, когда У = Р, где Р — локально компактный связный полиэдр. Теперь уже естественно перейти к АЖД(М)-пространствам.

Какую трудность мы при этом преодолеваем (на наш взгляд)? Если бы всякое связное (сепарабельное) АЖД(М)-пространство принадлежало классу Б(М), то тогда такое обобщение было бы легко получить (как в случае У = Р). Но связный АЖД-компакт X' не принадлежит Б(М). Эту трудность мы и преодолеваем, введя понятие (М)-пространства и показав, что всякое связное сепарабельное АЖД(М)-пространство У принадлежит (М) (лемма 4).

Теорема Лузина встречается в обширной классической литературе (см., например, [10-16]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Черников П. В. О продолжении отображений со значениями в метрическом пространстве. II. М., 1979. Деп. в ВИНИТИ, № 2851-79. Аннот.: Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, № 4. С. 231.

2. Черников П. В. О продолжении отображений со значениями в метрическом пространстве. IV. М., 1981. Деп. в ВИНИТИ, № 5654-81. Аннот.: Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 4. С. 214.

3. Черников П. В. К теореме Н.Н. Лузина // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 1. С. 212-215.

4. Борсук К. Теория ретрактов. М.: Мир, 1971.

5. Черников П. В. Метрические пространства и продолжение отображений // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, № 6. С. 210-215.

6. Черников П. В. Аппроксимация измеримых отображений и ретракты. М., 1989. Деп. в ВИНИТИ, № 1585-В89. Аннот.: Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31, № 3. С. 213-214.

7. Milnor J. W. On spaces having the homotopy type of a CW—complex // Trans. Amer. Math. Soc. 1959. V. 90, N 2. P. 272-280.

8. Федорчук В. В., Чигогидзе А. Ч. Абсолютные ретракты и бесконечномерные многообразия. М.: Наука, 1992.

9. Черников П. В. О пространствах, близких к абсолютным ретрактам // Мат. заметки. 1985. Т. 38, № 1. С. 89-91.

10. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Физматгиз, 1963.

11. Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, 1973.

12. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1979.

13. Меньшов Д. Е. О рядах Фурье непрерывных функций // Уч. зап. Моск. ун-та. 1951. Т. 4, вып. 148. С. 108-132.

14. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

15. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1972. Т. 1.

16. Филиппов В. В. О теореме Лузина и правых частях дифференциальных включений // Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 1. С. 93-98.

Статья поступила 10 марта 2018 г.

Черников Павел Васильевич Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 1, 630090, Новосибирск

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2018. Том 25, № 2

UDC 513.83

ABSOLUTE a-RETRACTS AND LUZIN'S THEOREM P. V. Chernikov

Abstract: We prove some properties of absolute a-retracts. The generalization of the classical Luzin theorem about approximation of a measurable mapping by continuous mappings is given. Namely, we prove the following statement:

Theorem. Let Y be a complete separable metric space in AR& (M), where AR& (M) is the whole complex of all absolute a-retracts. Suppose that X is a normal space, A is a closed subset in X, ^ > 0 is the Radon measure on A, and f : A ^ Y is a ^-measurable mapping. Given £ > 0, there exist a closed subset Ae of A such that ^(A\Ae) < £ and a continuous mapping f : X ^ Y such that fe(x) = f (x) for all x € Ae.

Note that a connected separable ANR(M)-space belongs to ARCT(M). DOI: 10.25587/SVFU.2018.98.14231 Keywords: absolute a-retract, Luzin's theorem.

REFERENCES

1. Chernikov P. V., "On the continuation of mappings with values in metric spaces. Part II [in Russian]," Sib. Mat. Zh., 21, No. 4, 231 (1980).

2. Chernikov P. V., "On the continuation of mappings with values in metric spaces. Part IV [in Russian]," Sib. Mat. Zh., 23, No. 4, 214 (1982).

3. Chernikov P. V., "On the N. N. Luzin theorem," Sib. Math. J., 33, No. 1, 174-176 (1992).

4. Borsuk K., Theory of Retracts [in Russian], Mir, Moscow (1971).

5. Chernikov P. V., "Metric spaces and extensions of mappings," Sib. Math. J., 27, 958-962 (1986).

6. Chernikov P. V., "Approximation of measurable maps and retracts [in Russian]," Sib. Mat. Zh., 31, No. 3, 213-214 (1990).

7. Milnor J. W., "On spaces having the homotopy type of a CW-complex," Trans. Amer. Math. Soc., 90, No. 2, 272-280 (1959).

8. Fedorchuk V. V. and Chigogidze A. Ch., Absolute Retracts and Infinite-Dimensional Manifolds [in Russian], Nauka, Moscow (1992).

9. Chernikov P. V., "Spaces that are close to absolute retracts," Math. Notes, 38, 562-563 (1985).

10. Viner N., Fourier Integral and Its Applications [in Russian], Fizmatgiz, Moscow (1963).

11. Vulikh B. Z., Brief Course of Theory of Functions of Real Variables [in Russian], Nauka, Moscow (1973).

12. Kirillov A. A. and Gvishiani A. D., Theorems and Problems of Functional Analysis [in Russian], Nauka, Moscow (1979).

13. Men'shov D. E., "On Fourier series of continuous functions [in Russian]," Uch. Zap. Mosk. Gos. Univ., 4, No. 148, 108-132 (1951).

14. Natanson I. P., Theory of Functions of Real Variables [in Russian], Nauka, Moscow (1974).

15. Schwartz L., Analysis [in Russian], Vol. 1, Mir, Moscow (1972).

© 2018 P. V. Chernikov

16. Filippov V. V., "Luzin theorem and right-hand sides of differential inclusions," Math. Notes, 37, No. 1, 53-56 (1985).

Submitted March 10, 2018

Pavel V. Chernikov

Novosibirsk State University,

1 Pirogov Street, Novosibirsk 630090, Russia