$\varepsilon$-РЕТРАКТЫ, Q-МНОГООБРАЗИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3

УДК 513.83

е-ретракты, ^-многообразия и неподвижные точки П. В. Черников

Аннотация. Определяется понятие абсолютного окрестностного ¿-ретракта (ЛМВЕ-пространство) в классе компактных метрических пространств, обобщающее соответствующее понятие из [1]. С помощью Л^Ве-пространства обобщается одна теорема Ногуши о неподвижной точке. Из этого обобщения вытекает классическая теорема Брауэра о неподвижной точке. Доказано, что существует компактное нес-тягиваемое ацикличное (^-многообразие со свойством неподвижной точки. Ранее было известно, что существует компактное не ацикличное ^-многообразие со свойством неподвижной точки. Доказано, что если декартово произведение последовательности неодноточечных метрических компактов принадлежит ЛМВ, то оно является компактным ^-многообразием. Вводится и изучается понятие топологического пространства, обладающего ст-свойством неподвижной точки. Доказано, в частности, что Л^В-компакт X обладает ст-свойством неподвижной точки тогда и только тогда, когда X связен. Приведен пример некомпактного множества на плоскости В2, обладающего свойством неподвижной точки.

Б01: 10.255877SVFU.2019.89.45.007

Ключевые слова: г-ретракт, ^-многообразие, неподвижная точка.

1. Определим понятие абсолютного окрестностного е-ретракта в классе компактных метрических пространств.

Замкнутое подмножество А компактного метрического пространства X назовем окрестностным е-ретрактом X, если для всякого 6 > 0 существуют окрестность V$ множества А в X и такое непрерывное отображение г$ : V$ ^ А, что р(х, г$(х)) < 6 для всех х € А.

Компактное метрическое пространство У назовем абсолютным окрестностным е-ретрактом, если всякое замкнутое подмножество А любого компактного метрического пространства X, гомеоморфное У, является окрестностным е-ретрактом X.

Совокупность всех абсолютных окрестностных е-ретрактов обозначим через ANRe.

Сформулированное определение ANRe-пространства чуть более общее, чем данное в [1] (в [1] окрестность Ц$ не зависит от 6, т. е. Ц$ = V при всех 6 > 0). Например, канторово совершенное множество С на отрезке [0,1] является абсолютным окрестностным е-ретрактом в смысле данного выше определения, но не является абсолютным окрестностным е-ретрактом в смысле определения из

© 2019 Черников П. В.

[1]. Совокупность всех абсолютных окрестностных е-ретрактов из [1] обозначим через е-АИЕ.

В [1] доказана

Теорема 1. Пусть X — метрический компакт, X € е-АМК и ¿шX < то. Тогда каждое нуль-гомотопное отображение / : X ^ X имеет в X неподвижную точку.

Покажем, что теорема 1 верна и без предположения ¿шX < то.

Теорема 2. Пусть X — метрический компакт, X € ЛЫКе. Тогда каждое нуль-гомотопное отображение / : X ^ X имеет в X неподвижную точку.

Доказательство. Можно считать, что метрический компакт X лежит в гильбертовом кубе (. Для всякого 6 > 0 найдутся открытое в ( множество и$, и$ Э X, и 6-ретракция г$ : V$ ^ X. Отображение / : X ^ X гомотопно постоянному отображению, поэтому по теореме Борсука о продолжении гомо-топии существует такое непрерывное отображение /$ : ( ^ и$, что /$ IX = /. Рассмотрим отображение г$/$ : ( ^ X. Гильбертов куб ( обладает свойством неподвижной точки, поэтому найдется точка а$ € X, для которой г$/$(а$) = а$, т. е. г$/(а$) = а$.

Отсюда следует, что отображение / имеет неподвижную точку а* € X. Теорема доказана.

Теорема 2 обобщает теорему Брауэра [2].

2. В статье [1] вводится понятие абсолютного е-ретракта в классе метрических компактов, обобщающее понятие абсолютного ретракта. Приведем соответствующие определения.

Замкнутое подмножество А компактного метрического пространство X называется е-ретрактом X, если для всякого 6 > 0 существует такое непрерывное отображение г$ : X ^ А, что р(х,г$(ж)) < 6 для всех ж € А.

Компактное метрическое пространство У называется абсолютным е-ретрак-том, если всякое замкнутое подмножество А любого компактного метрического пространства X, гомеоморфное У, является е-ретрактом X.

Совокупность всех абсолютных е-ретрактов обозначим, следуя [1], через е-АД.

Пример 1. Обозначим через Г гребенку Г = {(ж, у) € Д2 : 0 < у < 1, х = 0,1/п, п = 1, 2,... } и {(ж, 0) € Д2 : 0 < х < 1}. Гребенка Г принадлежит е-АД, но Г € АД.

В [1] доказано

Предложение 1. Если метрический компакт X принадлежит е-АД, то любое непрерывное отображение / : X ^ X имеет неподвижную точку.

В связи с предложением 1 возникает [3]

Вопрос 1. Существует ли компактное Q-многообразие, обладающее свойством неподвижной точки и не являющееся абсолютным е-ретрактом?

В [3] доказана

Теорема 3. Гильбертов куб является единственным Q-многообразием, принадлежащим классу е-AR.

С учетом теоремы 3 вопрос 1 можно сформулировать следующим образом.

Вопрос 2. Существуют ли компактные Q-многообразия, отличные от гильбертова куба Q, со свойством неподвижной точки?

Все компактные Q-многообразия делятся на два класса: ацикличные и не ацикличные. В [3] показано, что существует компактное не ацикличное Q-многообразие М со свойством неподвижной точки. Далее мы покажем, что существуют и ацикличные компактные Q-многообразия со свойством неподвижной точки, отличные от гильбертова куба Q.

Теорема 4. Существует компактное нестягиваемое ацикличное Q-много-образие М*; оно обладает свойством неподвижной точки.

Доказательство. Обозначим через Р ациклический нестягиваемый компактный полиэдр. Например, Р можно получить из гомологической сферы удалением открытого шара.

Рассмотрим произведение М* = Р х Q. Согласно ANR-теореме Эдвард-са [4] компакт М* является Q-многообразием. Пространство М*, очевидно, ациклично и нестягиваемо. Из теоремы Лефшеца — Хопфа [5] следует, что Q-многообразие М* обладает свойством неподвижной точки.

Теорема доказана.

Поскольку Q-многообразие М* нестягиваемо, оно не гомеоморфно гильбертову кубу Q.

Таким образом, мы получили положительный ответ на вопрос 2 (вопрос 1) двумя способами: в классах ацикличных и не ацикличных Q-многообразий.

Сделаем попутно некоторые замечания, относящиеся к Q-многообразиям.

Имеет место [6, с. 62]

Предложение 2. Счетное бесконечное произведение неодноточечных метрических AR-компактов гомеоморфно гильбертову кубу Q.

Это предложение можно, очевидно, сформулировать таким образом.

ж

Теорема 5. Если декартово произведение X = П Xn последовательности

п= 1

неодноточечных метрических компактов Xn, п = 1, 2,..., принадлежит AR, то X гомеоморфно гильбертову кубу.

Покажем, что верна более общая

Теорема 6. Если декартово произведение X = П Xn последовательности

п= 1

неодноточечных метрических компактов Xn, п = 1, 2,..., принадлежит АМД, то X является компактным (-многообразием.

Доказательство. Так как X € АМД, то найдется номер п0 такой, что Xk € АД при всех к > по + 1 и Xk € АМД, к = 1,... , по [5]. Согласно предложению 2 произведение ^ Xk гомеоморфно гильбертову кубу (. Поскольку

к=по +1

по

У0 = П Xk € АМД, согласно АМД-теореме Эдвардса [4] произведение У0 х (

к=1

является компактным (-многообразием. Теорема доказана.

3. В [7,8] определяется понятие абсолютного а-ретракта в классе ММ всех метрических пространств. Сформулируем это определение.

Замкнутое подмножество А метрического пространства X называется а-ретрактом X, если А представимо в виде объединения счетного числа своих замкнутых подмножеств Ап, Ап С Ап+1, п = 1, 2,..., причем для всякого номера п существует такое непрерывное отображение гп : X ^ А, что гп(ж) = ж для всех ж € Ап. Метрическое пространство У называется абсолютным а-ретрактом, если всякое замкнутое подмножество А любого метрического пространства X, гомеоморфное У, является а-ретрактом X.

Совокупность всех компактных абсолютных а-ретрактов обозначим через АД,.

Справедлива [7]

Теорема 7. Если У — связный АМ Д-компакт, то У € АД,.

Определение 1. Будем говорить, что топологическое пространство X обладает а-свойством неподвижной точки, если для каждого непрерывного отображения / : X ^ X существует последовательность непрерывных отображений {/п}^=1, /п : X ^ X, такая, что /п(ж) ^ /(ж) при всех ж € X и каждое отображение /п, п > 1, имеет в X неподвижную точку.

В [9] определяется понятие абсолютного в-ретракта в классе М.

Определение 2. Замкнутое подмножество А метрического пространства X называется в-ретрактом X, если существует последовательность непрерывных отображений {гп}^=1, гп : X ^ А, такая, что гп(ж) ^ ж при всех ж € А. Метрическое пространство У называется абсолютным в-ретрактом, если всякое замкнутое подмножество А любого метрического пространства X, гомеоморфное У, является в-ретрактом X.

Совокупность всех абсолютных в-ретрактов обозначим через АД8 (М). Совокупность всех компактных абсолютных в-ретрактов обозначим через АД8.

Имеет место [9]

Теорема 8. Пусть У € ARs(M). Тогда если X — метрическое пространство, А — замкнутое подмножество X, / : А ^ У — непрерывное отображение, то существует последовательность непрерывных отображений {/П}Ж=1, /п : X ^ У, такая, что /п(ж) ^ /(х) при всех х € А.

Легко видеть, что верна

Лемма. Пусть вектор а равен (1, 2,... , п), п > 2. Тогда существует такая перестановка ¿1, ¿2,... , ¿п элементов 1, 2,... , п, что все компоненты вектора а—Ь не равны нулю, где Ь = (¿1, г2,... , гп).

Теорема 9. Всякий компактный абсолютный в-ретракт X обладает а-свойством неподвижной точки.

Доказательство. Можно считать, что компакт X лежит в гильбертовом кубе Q. Пусть / : X ^ X — непрерывное отображение. Так как X € ARs, по теореме 8 существует последовательность непрерывных отображений {дп}Ж=1, дп : Q ^ X, такая, что дп(ж) ^ /(ж) при всех ж € X. Поскольку гильбертов куб Q обладает свойством неподвижной точки, для всякого п = 1, 2,... существует точка ап € X такая, что дп(ап) = ап. Полагая /п = дп^, п = 1, 2,..., получаем требуемую последовательность. Теорема доказана.

Пример 2. Сфера 5п, п > 1, не обладает свойством неподвижной точки, но обладает а-свойством неподвижной точки, так как по теореме 7 Бп € ARs.

Пример 3. Компакт Б = {0,1} не обладает а-свойством неподвижной точки.

Теорема 10. ANR-компaкт X обладает а-свойством неподвижной точки тогда и только тогда, когда X связен.

Доказательство. Если X связен, то согласно теореме 7 X принадлежит AR0-. Следовательно, X € ARs. Применяя теорему 9, получаем требуемое.

Обратно, пусть ANR-компакт X обладает а-свойством неподвижной точки. Докажем, что тогда X связен. Допустим противное. Тогда X = X1 и ... и Xk, к > 2, где X, П Xj = 0, г = X, — связные непустые ANR-компакты [5]. Рассмотрим случай к = 2. С учетом леммы случай к > 2 рассматривается аналогично. Пусть а1 € X!, а2 € X2; /(ж) = а1 для всех ж € X2, /(ж) = а2 для всех ж € X1. Существует последовательность непрерывных отображений {/п}Ж=1, /п : X ^ X, такая, что /п(ж) ^ /(ж) при всех ж € X и все /п имеют неподвижную точку в X. Найдется номер N такой, что /п(а,+ 1) € X2_i, г = 0,1, при п > N. Следовательно, /п^1) С X2, /п^2) С X1 при п > N.

Таким образом, при п > N отображения /п не имеют неподвижных точек в X; противоречие.

Теорема доказана.

В [10] определяется понятие абсолютного е-ретракта в классе ММ метрических пространств.

Определение 3 [10]. Замкнутое подмножество А метрического пространства X называется е-ретрактом X, если для всякого в > 0 существует такое непрерывное отображение г« : X ^ А, что р(ж,г8(ж)) < в для всех ж € А. Метрическое пространство У называется абсолютным е-ретрактом, если всякое замкнутое подмножество А любого метрического пространства X, изометрич-ное У, является е-ретрактом X.

Совокупность всех таких абсолютных е-ретрактов обозначим через АДе (М). Имеет место [10].

Предложение 3. Для того чтобы метрическое пространство У было абсолютным е-ретрактом, необходимо и достаточно, чтобы для всякого непрерывного отображения / : А ^ У замкнутого подмножества А любого метрического пространства X в У и для всякого в > 0 существовало такое непрерывное отображение /« : X ^ У, что р(/(ж), /«(ж)) < в для всех ж € А.

Теорема 11. Пусть X —компактное метрическое пространство. Пусть существует последовательность непрерывных отображений {^п}^=1, : X ^ X, такая, что Л.п(ж) ^ ж при всех ж € X, причем множество ) содержит-

ся в некотором АДе(М) -подпространстве Xn пространства X (п > 1). Тогда компакт X обладает а-свойством неподвижной точки.

Доказательство. Можно считать, что компакт X лежит в гильбертовом кубе (. Пусть / : X ^ X — непрерывное отображение. Рассмотрим отображение /п = ^п/, /п : X ^ Xn. Согласно предложению 3 существует непрерывное отображение дп : ( ^ Xn, для которого

Р(&(х),9п{х)) < -п

для всех ж € X. Поскольку гильбертов куб ( обладает свойством неподвижной точки, найдется точка ап € Xn такая, что дп(ап) = ап (п > 1). Пусть у € X. Покажем, что дп(у) ^ /(у). Имеем

р(№,9п(у)) < рШ, Ш) + р(Ш,9п(у)) < рШ, Лп/М) + - - 0

п

при п ^ то. Полагая /п = (п > 1), получим требуемую последователь-

ность.

Теорема доказана.

4. На топологическом семинаре в Институте математики СО РАН был задан вопрос: существует ли некомпактное пространство, обладающее свойством неподвижной точки?

Докажем, что ответ на этот вопрос положительный.

Обозначим через Го гребенку вида

Г0 = {(ж, у) € Д2 : 0 < у < 1, ж = 1/п, п =1, 2,. .. } и {(ж, 0) € Д2 : 0 < ж < 1}.

Теорема 12. Гребенка Го некомпактна и обладает свойством неподвижной точки.

Доказательство. Пусть / : Г0 ^ Г0 — непрерывное отображение. Пусть р — проекция множества Го на ось Ож, т. е. на отрезок I = [0,1], /о = /II, /о : I ^ Го. Тогда р/о : I ^ I и, значит, найдется такая точка жо € I, что р/(жо) = жо.

Возможны два случая:

1) жо ^ 0) при всех к = 1,2,...;

2) существует ко > 1 такой, что жо = (^,0).

к0

Рассмотрим случай 1. Обозначим через lk отрезок

->2

{(ж, y) е R2 : ж = 1/k, 0 < y < 1}, k > 1.

Тогда /(жо) ^ Iк■ Действительно, если /(жо) €= h, то жо = pf(жо) = (^,0), но жо ^ (i£>0) ПРИ всех к > 1. Значит, /(жо) €= I и, следовательно, pf(жо) = /(жо). Так как pf (жо) = жо, то f (жо) = жо.

Рассмотрим случай 2. Пусть жо = (^-,0). Тогда, очевидно, /(жо) G 1к0-Если /(жо) = (¿,0), то /(жо) = ж0.

Если /(жо) €= lk0 \ {(^>0)}; т0 нетрудно видеть, что на lk0 найдется неподвижная точка отображения f. Теорема доказана.

Неподвижные точки отображений рассматриваются также в [11].

ЛИТЕРАТУРА

1. Noguchi H. A generalization of absolute neighborhood retracts // Kodai Math. Sem. Rep. 1953. V. 5, № 1. P. 20-22.

2. Wilansky A. Functional analysis. New York: Wiley, 1964.

3. Черников П. В. Неподвижные точки и е-ретракты // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 1. С. 146-148.

4. Чепмэн Т. Лекции о Q-многообразиях. М.: Мир, 1981.

5. Борсук К. Теория ретрактов. М.: Мир, 1971.

6. Федорчук В. В., Чигогидзе А. Ч. Абсолютные ретракты и бесконечномерные многообразия. М.: Наука, 1992.

7. Черников П. В. Абсолютные ст-ретракты и теорема Лузина // Мат. заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 2. С. 55-64.

8. Черников П. В. Метрические пространства и продолжение отображений // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, № 6. С. 210-215.

9. Черников П. В. О продолжении отображений // Сиб. мат. журн. 1985. Т. 26, № 2. С. 215217.

10. Черников П. В. Об одной характеризации абсолютных ретрактов // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 2. С. 215-217.

11. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

Поступила в редакцию 10 июля 2019 г. После доработки 3 августа 2019 г. Принята к публикации 3 сентября 2019 г.

Черников Павел Васильевич Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3

UDC 513.83

e-retracts, q-manifolds, and fixed points

P. V. Chernikov

Abstract. In the class of compact metric spaces, we define the absolute neighborhood ¿-retract (ANRe-space), a generalization of the corresponding notion from [1]. One of the Noguchi fixed point theorems is generalized with the use of ANRe-space, from which the classic Brouwer fixed-point theorem follows. It is proved that there exists a compact noncollapsible acyclic Q-manifold with the fixed point property, while it was previously known that a compact non-acyclic Q-manifold existed. We prove that if the Cartesian product of a sequence of non-singleton compact metric sets belongs to ANR, then it is a compact Q-manifold. A topological space with the fixed point <r-property is introduced and studied. In particular, we prove that an ANR-compact X has the fixed point ^-property if and only if X is connected. An example of a noncompact set in R2 with the fixed point property is given.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.89.45.007 Keywords: e-retract, Q-manifold, fixed point

REFERENCES

1. Noguchi H., "A generalization of absolute neighbourhood retracts," Kodai Math. Sem. Rep., 5, No. 1, 20-22 (1953).

2. Wilansky A., Functional Analysis, Wiley, New York (1964).

3. Chernikov P. V., "Fixed points and e-retracts [in Russian]," Mat. Zamet. YaGU, 17, No. 1, 146-148 (2010).

4. Chapman T., Lectures On Hilbert Cube Manifolds [in Russian], Mir, Moscow (1981).

5. Borsuk K., Theory of Retracts [in Russian], Mir, Moscow (1971).

6. Fedorchuk V. V. and Chigogidze A. Ch., Absolute Retracts and Infinite-Dimensional Manifolds [in Russian], Nauka, Moscow (1992).

7. Chernikov P. V., "Absolute <r-retracts and the Luzin theorem [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 25, No. 2, 55-64 (2018).

8. Chernikov P. V., "Metric spaces and the continuation of mappings [in Russian]," Sib. Math. J., 27, No. 6, 210-215 (1986).

9. Chernikov P. V., "On the continuation of mappings [in Russian]," Sib. Math. J., 26, No. 2, 215-217 (1985).

10. Chernikov P. V., "On one characterization of absolute retracts [in Russian]," Sib. Math. J., 33, No. 2, 215-217 (1992).

11. Vinnik E. and Chernikov P. V., "On fixed points [in Russian]," Matematika v Shkole (to be published).

12. Edwards R., Functional Analysis [in Russian], Mir, Moscow (1969).

Submitted July 10, 2019 Revised August 3, 2019 Accepted Seprember 3, 2019

Pavel V. Chernikov

Novosibirsk State University,

1 Pirogov Street, Novosibirsk 630090, Russia

© 2019 P. V. Chernikov