CC BY
8УДК 513.83
НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ И е-РЕТРАКТЫ
П, В, Черников
В статье [1] вводится понятие абсолютного е-ретракта в классе метрических компактов, обобщающее понятие абсолютного ретракта. Приведем соответствующие определения.
Замкнутое подмножество А компактного метрического пространства X называется е-ретщктом X, если для всякого 3 > 0 существует такое непрерывное отображение : X ^ А, что р(х,т$(ж)) ^ 3 для всех х € А.
Компактное метрическое пространство У называется абсолютным еА ного метрического пространства X, гомеоморфпое У, является е-рет-рактом X.
е
через е-АД. Очевидно, что АД с е-АД. В [1] доказана
Теорема 1. Если метрический компакт X принадлежит е-АД, то любое непрерывное отображение / : X ^ X имеет неподвижную точку.
Пример. Обозначим через Г гребенку
Г = {(ж, у) € М2 : О < у < 1, х = 0, 1/п, и=\, 2,... }
и {(х,0) € М2 : О < ж < 1}.
Гребенка Г принадлежит е-АД, Г € АД. В связи с теоремой 1 возникает
© 2010 Черников П. В.
Неподвижные точки и е-ретракты
147
Вопрос. Существует ли компактное Q-многообразие, обладающее свойством неподвижной точки и не являющееся абсолютным е-ретрактом?
В данной работе получен ответ на этот вопрос.
Имеет место [2, с. 268]
Теорема 2. Пусть ш, п — натуральные числа такие, что ш > 1, п > 0. Тогда существует такой компактный полиэдр Р, что
Покажем, что верна
Теорема 3. Существует компактное не ацикличное Q-многообразие М, обладающее свойством неподвижной точки.
т>
п > Р
Р
ка (Е-ацикличеп, где Е — группа рациональных чисел). Рассмотрим произведение М = Р х Q.
Согласно ЛЖЕ-теореме Эдвардса [3] компакт М является Q-мнoгo-
Е
ЛЖЕ-прострапство М обладает свойством неподвижной точки. М
Теорема доказана.
Из формулы универсальных коэффициентов следует, что
ЯДР;Е) = Я<(Р;Я) ® Е, г > 0,
Теорема 4. Гильбертов куб ^ ^^^^^^^^ ^нпственпым Q-мпoгo-
е ЛЕ
148
Черников П. В.
Доказательство. Пусть Q-многообразие N принадлежит е-AR. Тогда N £ AR, поскольку имеет место равенство [5]
е-AR П ANR = AR.
Следовательно, N — стягиваемое компактное Q-многообразие, поэтому N гомеоморфпо Q [3]. Теорема доказана.
Из теорем 3, 4 следует, что ответ на сформулированный вопрос положительный.
Замечание. Аналогично теореме 4 доказывается, что пространство /2 является единственным ^-многообразием, принадлежащим классу ARe(Ш) из [5].
Автор благодарен профессору В. И. Кузьминову за обсуждение результатов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nogucbi Я. A generalization of absolute neighborhood retracts // Ködai Math. Sem. Rep. 1953. V. 5, № 1. P. 20-22.
2. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.
3. Чепмэн Т. Лекции о Q-многообразиях. М.: Мир, 1981.
4. Борсук К. Теория ретрактов. М.: Мир, 1971.
5. Черников П. В. Одна характеризация абсолютных ретрактов и ее приложения // Вестн. НГУ. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, № 1. С. 69-72.
г. Новосибирск
30 декабря 2009 г.
