О представлении функций абсолютно сходящимися рядами по h-системам Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИМИСЯ

РЯДАМИ ПО Н-СИСТЕМАМ

К. А. Навасардян

Навасардян Карен Аршалуйсович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры численного анализа и математического моделирования, Ереванский государственный университет, 0025, Республика Армения, Ереван, Алек Манукяна, 1, [email protected]

Рассматриваются вопросы представления абсолютно сходящимися рядами функций в пространствах однородного типа. Во введении приводится определение системы типа Хаара (Н-системы), связанной с некоторой диадической системой в пространстве однородного типа X. Доказывается, что для любой, почти всюду (п. в.) конечной, измеримой на X функции / существует абсолютно сходящийся ряд по системе Н, который сходится к / п. в. на X. Из этой теоремы, в частности, следует, что если Н = [Нп} — обобщенная система Хаара, порожденная ограниченной последовательностью рк, то для любой п. в. конечной на [0,1] измеримой функции / существует абсолютно сходящийся ряд по системе [Нп}, который п. в. сходится к /(х). Доказывается, что если X — ограниченное множество, то любую п. в. конечную, измеримую функцию можно изменить на множестве сколь угодно малой меры так, чтобы ряд Фурье полученной функции по системе Н сходился равномерно. Результаты статьи получены методами метрической теории функций.

Ключевые слова: системы типа Хаара, диадическая система, абсолютная сходимость, равномерная сходимость.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2018-18-1 -49-61

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе рассматриваются системы типа Хаара, построенные на диа-дических системах пространств однородного типа.

Напомним некоторые определения.

Пусть X — некоторое множество. Неотрицательная симметричная функция р : X х X ^ М называется квазиметрикой, если р(х,у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у и существует постоянная К такая, что

р(х,у) ^ К (р(х, £) + р(£, у)) для всех х, у, £ Е X.

Обозначим через В(х, г) := {у Е X : р(х, у) < г} шар с центром х и радиусом г. Известно, что если р — квазиметрика с коэффициентом К > 1, то шар В(х, г) может быть неоткрытым множеством. В работе [1] доказано, что для любой квазиметрики р существует такая квазиметрика р', которая эквивалентна р, и все шары относительно р' являются открытыми множествами. В этой работе мы будем предполагать, что все шары — открытые множества.

Напомним, что пространство (X, р, где р — квазиметрика, а ^ — некоторая бореловая а-конечная мера, определенная на некоторой а-алгебре подмножеств множества X, называется пространством однородного типа, если существует постоянная А такая, что

^(В(х, 2г)) < А^(В(х, г)) < для всех х Е X и г > 0. (1)

В этой работе мы будем предпологать, что мера ^ регулярная.

Определение 1. Пусть (X, р, — некоторое пространство однородного типа. Семейство 0> = Ц^ называется диадическим семейством с параметром 6 е (0,1) в пространстве X, если каждое является семейством бореловых множеств Q с X, удовлетворяющим условиям:

ё1) для каждого ] е Ж множества в попарно не пересекаются и X = иQеDj Q; ё2) если Q е & и г < ], то существует множество (§ е & такое, что Q с (§;

ёЭ) существует натуральное число N такое, что 1 < саМ^' е &+1 : Q/ с Q} < N для всех ^ е Ж и Q е .

ё4) существуют постоянные а1 и а2 такие, что для каждого Q е , ] е Ж, существуют шары В(х1,г1) и В(х2, г2) такие, что

В(х1, г1) С Q С В(х2, г2), г1 ^ а16Э, г2 ^ а26з.

Первые нетривиальные конструкции диадических семейств были рассмотрены в [2].

В работах [3-5] дано определение системы типа Хаара, соответствующей диади-ческой системе & и исследованы некоторые свойства этой системы.

Пусть & — некоторое диадическое семейство с параметром 6 в пространстве однородного типа X. Следуя обозначениям работы [5], для Q е , ] е Ж, обозначим

&№) := ТО' е : Q/ С Q}.

Положим

& := {Q е & : саМ(&(Q)) > 1}, # := У &.

з еъ

Мы будем предполагать, что в & не существуют одноточечные множества с положительной мерой. Это означает (см. также ё4)), что для каждого Q е & существует пТО) е N такое, что Q е , т. е.

& = #. (2)

Определение 2. Система простых, измеримых функций Ж = {Н}, определенных на X, называется системой типа Хаара (Ж-системой), связанной с системой &, если

(Ь1)

(Ь2) (ЬЭ)

для каждого Н е Ж существуют единственное ] = ] (Н) е Ж и множество Q = Q(Н) е & такие, что {х е X : Н(х) = 0} С Q, и это свойство не выполняется для множеств из +1. Более того, каждая функция Н постоянна на каждом множестве Q/ е &(Q(Н));

для каждого Q е & существуют MQ := саМ(&(Q)) — 1 ^ 1 функций Н е Ж, удовлетворяющих 1). Множество этих функций обозначим ЖТО);

/х = 0 для каждого Н е Ж;

(Ь4) если для каждого Q Е 0 обозначим через VQ линейное пространство тех функций, определенных на Q, которые постоянны на каждом Q' Е ^(Q), то система ( х 1

< 9 > и Н(Q) является ортонормированным базисом в VQ, (%д — харак-

I уМ^ ]

теристическая функция множества Q).

Заметим, что система типа Хаара, связанная с данной системой 0, может быть не единственной.

Н. К. Бари было установлено, что любая почти всюду (п. в.) конечная на [0,1], измеримая функция представима рядом по системе Хаара, сходящимся к этой функции п. в. [6, с. 527]. Затем Ф. Г. Арутюняном [7] была усилена эта теорема и доказано, что для любой п. в. конечной на [0,1], измеримой функции f существует абсолютно сходящийся п. в. на [0,1] ряд по системе Хаара такой, что

го

Хп(х) = f(х) п. в. на [0,1].

п=0

В работах [8-10] распространен этот результат Арутюняна на другие системы, содержащие в себе систему Хаара.

В настоящей работе доказана следующая

Теорема 1. Пусть (X, р, — некоторое пространство однородного типа, 0 — диадическое семейство с параметром 6 в пространстве X, удовлетворяющее условию (2), а Н = {Л} — некоторая система типа Хаара, связанная с системой 0. Тогда для любой п. в. конечной на X измеримой функции f существует ряд ^ анЛ по системе Н, который п. в. абсолютно сходится и неН

У^ анЛ(х) = f (х) п. в. на X.

неН

Для каждого целого числа к0 обозначим (см. (Ь1))

Н0 := {Л Е Н : з(Л) ^ ко}. Нетрудно заметить, что теорема 1 следует из следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть (X, р, — некоторое пространство однородного типа, 0 — диадическое семейство с параметром 6 в X, удовлетворяющее условию (2), а Н = {Л} - некоторая система типа Хаара, связанная с системой 0. Тогда для любого к0 Е Ж и любой п. в. конечной на X измеримой функции f существует ряд У^ анЛ по системе Нк0, который п. в. абсолютно сходится и h€Жfc0

У^ анЛ(х) = f (х) п. в. на X.

ьеНк0

Пусть {рк} — некоторая ограниченная последовательность натуральных чисел с условием ^ 2. Допустим т0 = 1 и тк = тк-1, к = 1,2,.... Пусть з —

натуральное число, удовлетворяющее условию 23к-1 < шк ^ 23к, к Е N. Положим

90 = 91 = ••• = 931-1 = [0,1] и

^¡зк = Dj,fc+1 = ... = 9зк+г-1 =

г — 1 г , ,

, — : г = 1, 2,... , к = 1, 2,...

тах{рк } тах{рк }

Ясно, что если jk < ^ < и ф Е 93, то 2 3 < < - < —:-— <

ш^ 23к+г-1

тах{рк} .

^-——, откуда следует, что 9 = и°=093 является диадическои системой на [0,1)

2 3 3 с параметром б = 2-1, а обобщенная система Хаара Ж = {Кп(ж)}, порожденная последовательностью {рк}, является Ж-системой, связанной с 9, (определение обобщенной системы Хаара см. например в [11]). Из теоремы 2 и из высшесказанного, в частности, следует следующая

Теорема 3. Пусть Ж = {Кп}^=0 — обобщенная система Хаара, порожденная ограниченной последовательностью {рк}. Тогда для любой п. в. конечной на [0,1)

го

измеримой функции / существует абсолютно сходящийся ряд ^ апКп(ж) такой,

п=0

что

У^ апКп(ж) = /(ж) п. в. на [0,1).

пп

п=0

В работе [7] для классической системы Хаара доказана следующая

Теорема. Для любой п. в. конечной измеримой на [0,1] функции / и для любого е > 0 существует функция д такая, что

1) ф Е [0,1]: /(ж)= д(ж)} < е,

2) ряд Фурье-Хаара функции д п. в. абсолютно сходится. Для Ж-систем справедлива следующая

Теорема 4. Пусть (X, р, я) — некоторое пространство однородного типа, X — ограниченное множество, 9 — диадическое семейство с параметром б в X, удовлетворяющее условию (2), а Ж = {К} — некоторая система типа Хаара, связанная с системой 9. Тогда для любой п. в. конечной на X измеримой функции / и любого е > 0 существует функция д такая, что

1) я{ж Е X : /(ж) = д(ж)} < е,

2) ряд Фурье функции д по системе Ж абсолютно равномерно сходится.

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Пусть 9 — некоторая диадическая система с параметром б Е (0,1) в пространстве однородного типа X, удовлетворяющая условию (2). Была доказана следующая лемма [5, лемма 3.2]

Лемма 1. Пусть Ж = {К} — некоторая система типа Хаара, связанная с 9. Существует постоянная С такая, что для каждой функции К Е Ж

С

|К(ж)| < —, для всех ж Е О(К).

Л/ЯШ)

Справедлива следующая

Лемма 2. Пусть Ж = {Н} — некоторая система типа Хаара, связанная с $.

Тогда для любого числа £ Е (0,1) и для каждого Q Е $ существуют множество

к

Q/ с Q и полином Рд = ^ ^ по системе Ж такие, что

¿=1 ьеЖ (д,)

/) Q/ е $ и ) <

Рд(х) = 1 , если х Е Q \ Q/;

1,

С

£

3) Рд(х) := ^ ^ |6^Н(х)| < — для всех х Е Q;

¿=1 ьеж (д,)

4) Рд (х) = 0, если х Е Q.

Доказательство. Для каждого Q Е $ обозначим через Q* то множество из &(Q), для которого

) = тт{^') : Q/ Е &(Q)}

(если существует несколько таких множеств, то будем брать одно из них). Из (1) и ё4) нетрудно установить, что существует постоянная С1, удовлетворяющая неравенству

) < < С1 мЮ*). (3)

Обозначим через

^д (х)

1, если х Е Q \ Q*

\ Q*)

0,

если х Е Q*, если х Е Q.

(4)

Ясно, что

/ Рд ф = ^д ф = 0, 'X ]д

(5)

поэтому из (Ь4) следует, что функцию ^д можно представить в следующей форме:

^д(х) = ^Н(х).

ьеж (д)

Из леммы 1 и (4) следует, что для каждого Н Е Ж

С Г , „ , , 2С

Ид,^

Ы =

д

^ л/ш'д ^

мЮ) < 2СуЯ0).

Поэтому, учитывая также ё3), получим:

^д(х) := ^ Н(х)| < 2ЖС2 для всех х Е Q.

ьеж (д)

Таким образом, существует постоянная С3 такая, что

^д(х) < Сз < Сз|^д(х)| для всех х Е Q.

(6)

Пусть е Е (0,1) и Q Е 9. Определим множества ТОт} С 9 следующим образом:

О) = Q, Qm := Qm-l, ш = 1, 2,... (7)

(т.е. ш-й потомок Q с наименьшей мерой), и обозначим

к := тт{ш : яТОт+1) < е^ТО)}. (8)

Из (4) и (7) следует, что можно поочередно выбрать положительные числа 10,11,...,/к так, чтобы /0 = 1 и для каждого ш ^ к

т

^(ж) = 1, если ж Е Q \ Qm. (9)

¿=0

Очевидно, что полином

к к к (ж) := Е Е ь^К(ж) ^ Е ^^(ж) = Е ^ Е ^К(ж)

¿=0 ьеЖ(д*) ¿=0 ¿=0 ьеЖ(д*)

и множество Q/ := Qk+1 удовлетворяют пунктам 1), 2) и 4) леммы 2.

Пусть ж0 — некоторый элемент из Q, тогда либо ж0 Е Qm \ Qm+1 для некоторого ш Е {0,1, ...,к}, либо ж0 Е Qk+1. Если ж0 Е Q0 \ Q1, то для всех функ-циий К Е Ж ТО), г = 1,2,..., к, имеем К(ж0) = 0. Поэтому из (6) получим:

~ ~ С3

Рд (ж0) = Рд0 (ж0) < С3 < —. Если же ж0 Е Qm \ Qm+l и 1 < ш < к, то из (4) и (9)

£

следует, что /¿Рд^(ж0) < 0 для всх г Е 0,1,... ,ш — 1, так как ^ > 0, а Рд(ж0) < 0 поэтому, учитывая (5), получим:

т—1 „ т—1 т—1

/» iiv х л iiv j_ i/o _i_

0 = / Е liFQi^ = MQ \ Qm) + / liFq,< M(Q) - E |liFQi(xo)KQm).

i=0 i=0 i=0

Откуда с учетом (8) получим

m—1

]Г |liFQ,(xo)| ^ -.

£ i=0

Следовательно (см. также (9)),

k m m—1 m—1 Q

E |1iFQi(xo)| = E |1i(xo)| < E |/iFQi(xo)| + 1 + £ |1iFQi(xo)| < 3.

¿=0 ¿=0 ¿=0 ¿=0

Пусть теперь x0 E Qk+1? тогда из (4) и (5) получим

л k л k k

öW E^g*Ф = m(Q \ Qk+1) + / EliFQidM < MQ) "E^FQi(X0MQk+1).

¿=0 «^Qfc+i ¿=0 ¿=0

Учитывая (3) и (8), получим:

k

У H.FQ (Xo)l ^ ^ ^ •

^(Qk+i) ^(Qk) ^

i=0

Из последних неравенств и (6) следует, что для всех x Е Q

Pq(x) = Е Е |1.dQä.hh(x)| ^ Сз Е Iiii|Fq,(x)| ^ C.

с

i=0 heH(Q,) i=0

Лемма 2 доказана. □

Лемма 3. Пусть Q Е D и f — некоторая измеримая п. в. конечная функция на Q. Тогда для любых N Е N 6 > 0 и £ Е (0,1) существуют множество

R С Q и полином P(x) = dhh(x) по H-системе, удовлетворяющие следующим

heo

условиям:

1) j(h) > N для всех h Е О, (см. (hl));

2) M(R) > (1 - e)M(Q);

3) |P(x) — f (x)| < 6 для всех x Е R;

4) V |dhh(x)| < C|f (x)|, если x Е R;

heo

5)^^ |dhh(x)| = 0, если x Е Q.

heo

Доказательство. Из формулировки леммы следует, что, не нарушая общности,

можно считать f неотрицательной. Допустим число M выбрано так, чтобы

£

M(x Е Q : f (x) > M} < — M(Q). (10)

Выберем

числа во, в1,..., вп, удовлетворяющие условиям

0= во <в1 < ••• < вп = M, вг — вг-1 <6, i =1, 2, . . . , n, (11)

и обозначим

m := min ^(E,) где E, := {x Е Q : вг-1 ^ f (x) < вг}, i = 1, 2,..., n. (12)

Без ограничения общности можем считать, что m > 0 (в противном случае, будем рассматривать только те множества Ег, для которых ^(Ег) > 0). Поскольку множества Ег (i = 1,2, ...,n) измеримы, а мера ^ регулярная, то для каждого i существует открытое множество такое, что

£

Ei С Gi и \ Ei) < — m. (13)

10n

Можно установить (см. например [3, лемма 2.3]), что для каждого i (i = 1, 2,... ,n) существуют попарно непересекающиеся множества {Qa}ae/, такие, что

{QaW, С U Dj, UQa С Gi и ^Gi \ ( IJ Qa)) = 0. (14)

j>N ae/i ae/i

Так как множества Qa, а Е I, попарно не пересекаются, а ^G, < (см. (12) и (13)), то из (14) следует, что существует конечное подмножество ^ множества индексов I такое, что

U Q^ = ^Qa > ^Gi — 10^Ei. (15)

ae/i ae/i

Пусть a Е I. Очевидно, что если Qa П Q = 0, то Qa С un=1(Gk \ Ek). Ясно также, что если Qa С Qe для некоторого в Е /j, то Qa С Gi П Gj С U)J=1 (Gk \ Ek), так как множества Ei, i = 1,2,..., n, попарно не пересекаются. Заметим, что из определения диадической системы следует: если Q', Q" Е D, то либо Q' = Q", либо одно из них является подмножеством другого. Поэтому, если из í исключим те a, для которых Qa П Q = 0 или Qa С Qe для некоторого в Е /j, j = i, и обозначим оставшееся подмножество индексов р через /', то с учетом (12)-(15) получим, что Qa С Q для всех a Е /' (i = 1, 2,..., n)

Qa П Qe = 0 для всех a, в Е ЦЦ/', a = в, (16)

n

n(U Qa)) ^ ^(Ei) - U Qa) >^(Ei) - 10 MEi) ^(Gfc \ Efe) >

ae/i ae/i\/i k=1

£ £ / £\ > MEi) - ^M(Ei) - -M(Ei) > (1 - j) MEi). (17)

Для каждого a Е IJi=1 /', применяя лемму 2 для множества Qa и числа 2, получим

множество Qa С Qa и полином = h, удовлетворяющие условиям

hera

£

Qa е d и MQa) < 2MQj, (18)

PQa (x) = 1 для всех x Е Qa \ Qa, (19)

PQa(x) = У2 |bhh(x)| < — для всех x Е Qa, (20)

/ £

hera

pQa (x) = 0, если x Е Qa. (21)

Рассмотрим множество

a \ a

i=1 ae/i

n

R :=U (*П( UQa \ Qa)) . (22)

i

Из (10), (17) и (18) следует, что

n /

мд) ^ Е ( (1 - 9 ) -Y, 2 ^(Qa) I > (1 - eHQ).

Положим

2'

i=1 \ ae/i

Р(х) := Е 4й(х) = А-1 ^ Рд« (х) = ^ А-1 ^ Е ^&(х). (23)

ЬШ ¿=1 ае/г' ¿=1 Ьега

Из (11), (12), (16), (19)-(22) следует, что полином Р(х) удовлетворяет всем пунктам леммы 3. Лемма 3 доказана. □

Замечание 1. Если в формулировке леммы 3 функция f удовлетворяет условию |/(х)| ^ М для всех х Е то пункт 4. леммы 3 можно заменить условием

СМ

У^ |dhh(x)| ^- для всех x Е Q,

heo

которое следует из (20), (21) и (23).

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ

Доказательство теоремы 2. Пусть f — некоторая п. в. конечная, измеримая функция, а к0 Е Ж. Для каждого Q Е $ко обозначим

/д(х) := f (х)Хд(х).

Поскольку множества Q в $ко попарно не пересекаются, то достаточно доказать, что для каждой функции fg существует ряд ^ Н, где Гд — множество тех функций

ЬеГд

из Ж, для которых {х : Н(х) = 0} с Q, который абсолютно сходится и

^ аъН(х) = fg(х) п. в. на X.

ьегд

Пусть {£п} — некоторая последовательность положительных чисел с условием

го

1 > £1 > £2 > • • • , ^ £п < (24)

п=1

Положим ^ = 0 для всех Н Е Ж=: О0, (см. (Ь2)), и Р0 := ^ = 0.

Допустим уже определены полиномы Рк = ^ Н, к = 0,1,... ,т — 1, и числа

т—1

N := тах{^(Н) : Н Е Ок}. Применяя лемму 3 к функции fg(x) — ^ Рк(х) и

к=0

числам N = Хт_ 1, £ = £т+1 и £ = £т, получим множество Дт с Q и полином Рт(х) = ^ ^Н(х), удовлетворяющие условиям

тт^'(Н) : Н Е От} > , М^т) > (1 — £т)м№)>

fg (х) — Е Рк (х)

к=0

С

< £

т+1

т_1

для всех х Е Дт,

(25)

(26)

(27)

]Т |4Н(х)| < — fg(х) — ^ Рк(х)

к=0

если х Е

У^ Н(х)| = 0, если х Е Q.

(28) (29)

Таким образом, по индукции определяются полиномы Рт и множества Яг (т = 1,2,...), удовлетворяющие условиям (25)-(29). Рассмотрим ряд

го

го

у^ аъН(х) = ^ Рт(х) = ^ ^ 4Н(х) ъегд

т ( х ) т=1 т=1

(30)

множество Д := р| Дт. Из (24) и (26) следует, что =

п=1 т=п

2

т

и

Учитывая (27) и (28), для всех х Е Ят П Ят-1 получим:

С

Е Кк(х)| < —^ = Сгт, нШ £т

которое вместе с (24) и (29) обеспечивают абсолютная сходимость ряда (30) п. в. на X. Из (24), (27) и (29) получим, что сумма ряда (30) на множестве Я является fQ(x). Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 4. Пусть X — ограниченное множество, а ^ — диа-дическое семейство с параметром 6, удовлетворяющее условию (2). Из ё4) следует, что для любого числа Я > 0 существует ] Е Ж такое, что каждый элемент системы ^ содержит шар с радиусом Я. Следовательно, существует Е ^ такое, что X = . Допустим, что £ Е (0,1) и на множестве X задана п. в. конечная измеримая функция f (х). Для каждого к Е N положим

£к := ' 6к := £к+1' (31)

В силу леммы 3 существуют множество Я1 С X = и полином Р1(х) = ^^ 4к(х), удовлетворяющие условиям

М(Я1) > (1 - £1 ^), ^(х) — Р1 (х)| < 61 для всех х Е Я1.

Допустим уже построены множества Я1, Я2,..., Як-1 и полиномы Р15 Р2,..., Рк-1 такие, что

к-1 к-1 >к-1

f (х) — Рг(х) < 6к-1 для всех х Ер) Я,.

¿=1 ¿=1

Обозначим через дк следующую функцию:

к-1

чк-1

f (х) — Е Р(х), если х Е П^ Я,,

чк-1

Ак(х) = ^ ¿=1

0, если х Е X \ П2==1 Я,.

Ясно, что

|дк(х)| < 6к-1 для всех х Е X. (32)

Для функции дк(х), применяя лемму 3 и учитывая (32) и замечание 1, получим, что существуют множество Як и полином Рк(х) = ^ 4к(х) такие, что

НеОк

(к) : к Е Ок} > шах{^(к) : к Е Ок-1},

м(Як) > (1 — ^), (33)

к к

f (х) — Е Р,(х) = 1^к(х) — Рк(х)| < 6к для всех х Е Р| Я,, (34)

¿=1 ¿=1

У^ к(х)| ^ С6к-1 = С£к для всех х Е X. (35)

—' £к

Не^к

Так по индукции определяются множества Rk и полиномы Pk, удовлетворяющие условиям (33) и (34) для всех k Е N и условию (35) для всех натуральных k ^ 2.

Для каждого h Е H положим := , если h Е , k Е N, и := 0 в противном случае. Рассмотрим ряд

го го

Е flhh(x) = ^ Pk(x) = ^ ^ dhh(x) (36)

heH fc=i fc=i heftfc

и множество R := ПГО=1 Rk. Из (31) и (35) следует, что ряд (36) на множестве X равномерно и абсолютно сходится к некоторой функции g, а из (31) и (33) следует, что ^(R) > (1 — e)^(X). Ясно также (см. (34)), что для всех x Е R имеем f (x) = g(x). Теорема 4 доказана.

Библиографический список

1. Macias R., Segovia C. Lipschitz functions on spaces of homogeneous type // Adv. in Math. 1979. Vol. 33. P. 271-309.

2. Christ A. A T(b) theorem with remarks on analytic capacity and the Cauchy integral // Colloquium Math. 1990. Vol. 60/61, iss. 2. P. 601-628.

3. Aimar H., Bernardis A., Iaffel B. Multiresolution Approximations and Unconditional Bases on Weighted Lebesgue Spaces on Spaces of Homogeneous Type // J. Approx. Theory. 2007. Vol. 148, iss. 1. P. 12-34. D0I:10.1016/j.jat.2007.02.002.

4. Aimar H., Bernardis A., Nowak L. Equivalence of Haar Bases Associated to Different Dyadic Systems // J. of Geometric Analysis. 2011. Vol. 21, iss. 2. P. 288-304. DOI: 10.1007/s12220-010-9148-x.

5. Aimar H., Bernardis A., Nowak L. Dyadic Fefferman - Stein Inequalities and the Equivalence of Haar Bases on Weighted Lebesgue Spaces // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Math. 2011. Vol. 141, iss. 1. P. 1-22. DOI: 10.1017/S0308210509001796.

6. Лузин Н. Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М. ; Л. : Гостехиздат, 1951. 550 с.

7. Арутюнян Ф. Г. О рядах по системе Хаара // Докл. АН АрмССР. 1966. Т. 42, № 3. С. 134-140.

8. Давтян Р. С. О представлении функций ортогональными рядами, обладающими мар-тингальными свойствами // Матем. заметки. 1976. Т. 19, № 5. С. 673-680. DOI: 10.1007/BF01142560.

9. Gevorkjan G. G. On the Representation of Measurable Functions by Martingales // Analysis Math. 1982. Vol. 8, № 4. P. 239-256. DOI: 10.1007/BF02201774.

10. Gevorkian G. G. Representation of Measurable Functions by Absolutely Convergent Series of Translates and Dilates of One Function // East J. Approx. 1996. Vol. 2, № 4. P. 439-458.

11. Голубое Б. И. Об одном классе полных ортогональных систем // Сиб. матем. журн. 1968. Т. 9, № 2. С. 297-314.

Образец для цитирования:

Навасардян К. А. О представлении функций абсолютно сходящимися рядами по Ж-системам // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 1. С. 49-61. 001: 10.18500/1816-9791-2018-18-1-49-61.

On the Representation of Functions by Absolutely Convergent Series

by H-system

K. A. Navasardyan

Karen A. Navasardyan, https://orcid.org/0000-0002-8396-6462, Yerevan State University, 1, Alex Manoogian Str., Yerevan, Republic of Armenia, 0025, [email protected]

The paper deals with the representation of absolutely convergent series of functions in spaces of homogeneous type. The definition of a system of Haar type (H-system) associated to a dyadic family on a space of homogeneous type X is given in the Introduction. It is proved that for almost everywhere (a.e.) finite and measurable on a set X function f there exists an absolutely convergent series by the system H, which converges to f a.e. on X. From this theorem, in particular, it follows that if H = {hn} is a generalized Haar system generated by a bounded sequence {pk}, then for any a.e. finite on [0,1] and measurable function f there exists an absolutely convergent series in the system {hn}, which converges a.e. to f (x). It is also proved, that if X is a bounded set, then one can change the values of an a.e. finite and measurable function on a set of arbitrary small measure such that the Fourier series of the obtained function with respect to system H will converge uniformly. The paper results are obtained using the methods of metrical functions theory.

Key words: Haar type system, dyadic family, absolute convergence, uniform convergence. References

1. Macias R., Segovia C. Lipschitz functions on spaces of homogeneous type. Adv. in Math., 1979, vol. 33, pp. 271-309.

2. Christ A. A T(b) theorem with remarks on analytic capacity and the Cauchy integral. Colloquium Math., 1990, vol. 60/61, iss. 2, pp. 601-628.

3. Aimar H., Bernardis A., Iaffel B. Multiresolution Approximations and Unconditional Bases on Weighted Lebesgue Spaces on Spaces of Homogeneous Type. J. Approx. Theory, 2007, vol. 148, iss. 1, pp. 12-34. D0I:10.1016/j.jat.2007.02.002.

4. Aimar H., Bernardis A., Nowak L. Equivalence of Haar Bases Associated to Different Dyadic Systems. J. of Geometric Analysis, 2011, vol. 21, iss. 2, pp. 288-304. DOI: 10.1007/s12220-010-9148-x.

5. Aimar H., Bernardis A., Nowak L. Dyadic Fefferman-Stein Inequalities and the Equivalence of Haar Bases on Weighted Lebesgue Spaces. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Math., 2011, vol. 141, iss. 1, pp. 1-22. DOI: 10.1017/S0308210509001796.

6. Luzin N. N. Integral i trigonometricheskij rjad [Integral and trigonometric series]. Moscow, Leningrad, Gostehizdat, 1951. 550 p. (in Russian).

7. Arutyunyan F. G. On series in the Haar system. Dokl. Akad. Nauk Armyanskoi SSR, 1966, vol. 42, no. 3, pp. 134-140 (in Russian).

8. Davtyan R. S. On Representation of Functions by Orthogonal Series Possessing Martingale Properties. Mat. Zametki [Math. Notes], 1976, vol. 19, no. 5, pp. 405-409. DOI: 10.1007/BF01142560.

9. Gevorkjan G. G. On the Representation of Measurable Functions by Martingales. Analysis Math., 1982, vol. 8, iss. 4, pp. 239-256. DOI: 10.1007/BF02201774.

K. A. HaBacapgnH. 0 npegcraBneHnn aöcon^THO cxogn^uMncH pngaMU

10. Gevorkian G. G. Representation of Measurable Functions by Absolutely Convergent Series of Translates and Dilates of One Function. East J. Approx., 1996, vol. 2, no. 4, pp. 439-458.

11. Golubov B. I. Ob odnom klasse polnyh ortogonal'nyh sistem [On a class of complete orthogonal systems]. Sibirskij matematiceskij zurnal, 1968, vol. 9, no. 2, pp. 297-314 (in Russian).

Cite this article as:

Navasardyan K. A. On the Representation of Functions by Absolutely Convergent Series by H-system. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2018, vol. 18, iss. 1, pp. 49-61 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2018-18-1-49-61.