CC BY
10
УДК 69.06:658.012.2
А. В. РАДКЕВИЧ (ДПТ)
СИСТЕМОТЕХН1ЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ ЗАДАЧ1 В1ДНОВЛЕННЯ ОБ'еКТШ У ВСТАНОВЛЕН1 ТЕРМ1НИ
За допомогою двшсго! задачi в сiтьовiй штерпретацп розроблено модель, яка дозволяе виробити оптима-льнi органiзацiйно-технологiчнi рiшення з вщновлення об'ектiв у заданi термши.
С помощью двойственной задачи в сетевой интерпретации разработана модель, которая позволяет выработать оптимальные организационно-технологические решения по восстановлению объектов в заданные сроки.
By an ambivalent task in a network interpretation a model has been developed, which allows producing optimal organizational and technological solutions for renewal of facilities in a set timeframe.
Введення
У практичнш робот^ а також у наукових до-слщженнях завжди доводиться стикатися з проблемою обгрунтовування термшв виконан-ня проектов або програм у заданий (встановле-ний) час. У принциш, виршити грамотно пи-тання можна тшьки на основi наукового тдхо-ду i використаннi сучасного арсеналу теори дослiдження операцiй i засобiв обчислювально! технiки. Технологи i оргашзаци виробництва завжди властивi багатоварiантнiсть i багатокри-терiальнiсть. Оскiльки будь-який проект вклю-чае впорядковану кiнцеву безлiч операцш, то режим виконання !х завжди характеризуеться як тривалютю (Тц), так i iнтенсивнiстю виробництва, що пов'язане iз залученням трудових ресурсiв (п ц) в одиницю часу.
Вибору рiшень у виглядi конкретного ва-рiанта дш слiд зiставляти кiлькiсну оцiнку ступеня досягнення мети. Ознака, по якш по-рiвнюються i оцiнюються варiанти, назива-еться критерiем оптимальностi. Якщо процес вибору рiшень описати функщею, шуканi змiннi яко! е допустимими i описують рух до мети, то таку функщю прийнято називати щ-льовою, а рiшення - оптимальним. Таким чином, встановити оптимальне ршення означае визначити екстремум функцп, i всi розмови про менш або бiльш оптимальне ршення без-пiдставнi, оскiльки е екстремальне ршення, тобто оптимальне, або його немае.
Постановка задачi
Для досягнення мети роботи, що становлять (/, Ц) е А , слщ виконувати з певною швидкютю,
злагодженою з кiнцевою метою, заданою тер-мiном введення. Можливих варiантiв досягнен-
ня мети при великих об'емах робгг (в складних проектах) е практично множина, непiддатлива огляду. Залучення ресурсiв пов'язано з додатко-вими витратами i збiльшенням змшносто виробництва. Проблема трудових ресурив виробництва актуальна, тому можна поставити мету мш> мiзувати залучення ресурив для дотримання термiнiв реалiзацi! проекту. Це те ж саме, що мiнiмiзувати виробництво робiт в двi i три змiни.
Результати дослщження
Розглянемо граф О (и, А). Кожна операщя
характеризуеться тривалютю реалiзацi! - (Тц) i
iнтенсивнiстю - (Пц) (/, Ц) е А . и - безлiч вуз-
лiв (подiй) графа, А - безлiч дуг (робiт). Мае мюце залежнiсть х цП ц = QjJ■, де QiJ■ - трудомют-
кiсть роботи (/, ц) залежить вiд об'ему, 1 = 1,2,..., п -1, Ц = 2,3,...,п, де п - число вуз-лiв (подiй) в моделi.
По кожнш роботi (/, ц) е А вщома нормальна
iнтенсивнiсть - пВ, якiй вiдповiдае тривалiсть
В ц ■; ё - тривалiсть, вiдповiдна максимальнiй
ц
концентрацл ресурсiв пё (тобто прискорена).
Сформулюемо математичну модель задачi. Дана сиъова модель (В цТВ), по (/, Ц) е А в> доме ёц, Сц - «щна» скорочення роботи на
оДиниЦю, Тзаданий .
Скорочення тривалостi виконання (/, ц) роботи на величину АХ ц = Вц - X ц може бути забез-
печене залученням додаткових ресурсiв, тобто за рахунок збшьшення iнтенсивностi виробництва:
^ = Сц АХ ц .
n0Tpi6H0 визначити, яю роботи (i, j) е A прискорити, а для яких зберегти нормальну тривалють Dj . 1ншими словами, потрiбно
знайти таке рiшення (XiJTn), яке MiHiMi3ye фyнкцiю:
L (х) S Mj = S Cj (Dj - Xj ) ^ min . (1)
Безлiч вyзлiв (подiй) можна визначити як U = (1,2,...,n), де вузол 1 позначае початок ро-
бiт (проекту), а вузол n - закiнчення. Обме-ження на рiшення задачi такi:
T - Tj + X j < 0 для всiх (i, j) е A , (2)
-T1 + Tn < T3,
(3)
'кР
рiшення, а iнакше немае.
Якщо покласти X ^ = Бу , то одержимо . Як видно необхiдне дотримання умови
Тй < Т3 < т°. Визначення для кожного значення Тп з сегменту Тй Т° мiнiмум функцл:
L (x ) = 2 Cj ( DJ - XJ ) =
= (2CjDj-ECjX/)^ min (6)
за умов (2)-(5) e параметричною задачею лшш-ного програмування. Дана модель е^валентна задачi лiнiйного програмування, що розгляда-еться нижче, з максимiзацieю функци мети. Враховуючи, що в (6) 2 CyDy - const,
замшимо цiльову функцiю початково! задачi на iншу функцiю
L(x) = 2 C jX j ^ max
(7)
яка приймала б максимальне значення i за-довольняла умови:
Xу < Б для вшх (/, у) е А , (4)
X 1} > для всiх (/, у) е А , (5)
де Т (Ту) - раннш термш завершення поди /(у). Умова (2) вiдображае нерозривнiсть мереж
ТУ = тах (Т +Ц ).
Умова (3) показуе, що в оптимальному р> шенш величина критичного шляху Тп е Т не
повинна перевищувати заданого термiну реал> зацп проекту. Умови (4), (5) визначаються тех-нологiею виконання робгг (/, у) е А .
Якщо подивитися на цшьову функщю (1) i обмеження, а !х чотири в нашому випадку, то не важко пом^ити, що наша мета - визначити невiдомi X у, задля яких i ставимо задачу, а (х)
i обмеження мають лшшну залежнiсть (Xj в
першому степеш). Тому сформульована задача е задачею лшшного програмування. Для И розв'язання потрiбно перевiрити припустимiсть при встановленому Т3. Використовуемо для цього наступний прийом. Вважаемо, що X у = й у i певний при цьому критичний шлях
позначимо як Тр . Якщо Т3 > Тй , то задача мае
T - Tj + X j < 0 для всiх (i, j) е A,
Ti + Tn <T3,
xJ < DJ -X j <-d J
длявах (, j)e A, для вах (, j) е A.
(8)
Рiшення задачi
Дана задача може бути виршена утверсаль-ним симплекс-методом, що використовуеться для виршення екстремальних задач лiнiйного програмування, в яких на невiдомi накладет обмеження. Таю методи бшьш громiздкi (у порiвняннi з алгоритмом, наприклад, транспортно! задачi) i 1х застосування доцiльне тiльки тод^ коли спецiальнi методи виявляються недостаттми.
У нашому випадку слiд використовувати ш-ший метод рiшення поставлено! задача Вiн за-снований на теорп двоютосп лiнiйного програмування i умовах доповнюючо! нежорсткостi.
У постановщ (7), (8) задача мае вигляд, ана-логiчний задачi мiнiмiзацil вартостi проекту, тобто задача знаходження оптимального потоку, що володiе значною перевагою в обчислю-вальному вщношенш.
Для цього дослiджуеться задача, для яко! у вiдповiднiсть обмеженням (8) ставляться не-негативнi змшш /у ,У, у у, 8 у , званi подвiйними.
Вони перераховуються в такому ж порядку, в якому вводилися обмеження в дану модель.
Дво1сту задачу можна сформулювати таким чином.
Мiнiмiзувати цiльову функщю:
(
\
Z (f )= TV+2 Dj Yj -2 j
■ тш
за умови, що
fj + Y j - 5 j = Cij для j) е A ■
X / - V = 0 , = 1, (9)
Х/ - ) = 0 для i = 0,.,п -1, (10) -X /п + V = 0 i = п,
/, уц, Ьу > 0 (,, ц) е А .
Дво!сп обмеження е рiвнiстю, осюльки змiннi в основнiй задачi в явному виглядi не обмеженi по знаку.
На основi математично! структури дво!сто! задачi дво!ст змiннi /ц можна розглядати як
потоки в ст з обмеженою пропускною спро-можнiстю. Умови (9), (10) вщповщають обме-женням потоку для джерела промiжних i юнце-во! подш вiдповiдно.
Так, обмеження (10) вщповщае вiдомим об-меженням на збереження потоку в промiжних вузлах (типа Г. Р. Кирхгофа).
Використовуючи умови доповнюючо! не-жорсткостi для задачi лiнiйного програмування, можна вивести таю результати, яю повиннi ви-конуватися для оптимального рiшення:
Т - Тц + Хц < 0, / = 0, 1
Т -Т + Хц = 0 /ц =
якщо Хц = Вц, то уц > 0;
якщо Хц = ёц,
то 5 ц < 0;
Тому
Уц = тах [0, Сц - ^ ] при 5ц = ^ 5ц = тах [0, / - Сц ] при уц = 0.
При дослщженш всiх можливих значень Лц, Чц, 5ц можна видiлити три випадки:
у„ > 0, 5ц = 0, 0 < / < Сц, Хц = В„
У ' У *>У ~ У У У:
У ~ "У " ->У " ^У .
у„ = 0, 5ц = 0, / = Си, ё„ < Хн < В,
' У У
Уц = 0 5ц > 0
' У Т У /Ц > Сц , Хц ='
Для кожного випадку з урахуванням умов доповнюючо! нежорсткосп знаходимо умови оптимальностi:
0 < / < С
у
i Т - Тц + Вц = 0
або
/ц = 0 iT1 - Тц + Вц < 0;
/ц = Сц i Т - Тц + Хц = 0, ёг} < Хц < Вц ;
Сц </ц <<*> i Т-Тц +ёц = 0.
Введемо таю додатковi позначення:
• резерв критичносп
= Т - Т+В;
• резерв скорочення
= Т - Тц + ёц; Хц = Т - Тц + Хц ■
Умови оптимальностi для кожного випадку можна записати в шшому виглядi:
0 < /ц < Сц а'ц = 0;
= Сц ХЧ = 0;
С,, < /ц <» а1 = 0.
(11)
якщо Хц < Вц, то Уц = 0.
Подвшш змiннi уц, 5ц не можуть одночас-но використовуватись, осюльки Вц Ф ёц.
В обмеженнi ^ +Y,J -5,ц =С,ц значення уи
■ У 1 у у и 1 '.I
i 5ц визначаються за формулами:
= Сц - при 5ц = 0;^
5ц = / - Сц при Уц = 0-|
За допомогою алгоритму послiдовно визначаються / ц i Т (Тц), задовольняючи умовам
(11) для убуваючих значень Т п, тсля чого шу-канi невiдомi визначаються за формулою:
Х, ц = т1п
у
т (В, Т - Т).
,, ц - номери подш, Т(ц) - раннiй термiн зве-ршення ,(ц); Вц ёц - вщповщно тривалiсть виконання операцш (,, ц) при нормальнш i приско-ренiй реалiзацi!; Сц - «цша» скорочення операцi! (,, ц); /ц - потк по дузi (,, ц); Хц - невiдомi
режими виробництва (слщ визначити).
Прийнятi в задачi позначення показаш на
рисунку.
Рис. Початкова сиъова модель
Висновок
Наукова новизна розд^ полягае в детальному теоретичному i практичному дослщжент дво-1сто1 задачi в спъовш штерпретацл i визначеннi 11 змiнних - f, у j, 5 j . Це вперше дозволило дати
чггку економiко-математичну iнтерпретацiю рь шення, повшше взнати i зрозумiти дiалектичну едшсть прямих i подвiйних оцiнок в задачах ci-тьово1 структури. Запропонований пiдхiд виявляе правильн1сть як постановки задач^ так i 11 методу ршення, що не практикувалося рашше. Такi до-слщження вiдcутнi як у вггчизнятй, так i доступ-нiй зарубiжнiй лiтературi.
Вперше виконано практичне порiвняння i оцiнка ршень задачi вироблення ОТР в строк на пiдcтавi ciтьового пiдходу i симплекс-методу. Встановлена особлива природа у вщ-мiнноcтi результатiв ршення прямо! i дво!сто! задач, що практично вщсутнш при рiшеннi тра-дицiйних задач ЛП (задача про розкрш матер> алу, про оптимальний рацiон, в розподiльних
задачах та iH.). Рiшення дво!сто! задачi мае по-двiйну перевагу: швидка зб1жшсть до оптимального рiшення i отримання вiдразу подвiйних ощ-нок - fj, чого немае в стандартам процедурi. У
разi використовування симплекс-методу змiннi (оптимальн1 потоки по дугах) визначаються дода-тково, але за умови розумiння двоюто! задачi.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Гусаков А. А. Организационно-технологическая надежность строительства / А. А. Гусаков и др. -М.: SVP Apsys, 1994. - 427 с.
2. Миллер В. ПЕРТ - система управления: Пер. с англ. - М.: Экономика, 1965. - 140 с.
3. Павлов И. Д. Модели управления проектами: Учебное пособие / И. Д. Павлов, А. В. Радкевич. -Запорожье: ГУ «ЗИГМУ», 2004. - 320 с.
4. Филлипс Д. Методы анализа сетей / Д. Фил-липс, А. Гарсиа-Диас; Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 496 с.
5. Форд Л. Р. Потоки в сетях / Л. Р. Форд, Д. Фал-керсон; Пер. с англ. - М.: Мир, 1966. - 276 с.
Надшшла до редколегда 15.06.2005.
