CC BY
40
економiчний ефект за рахунок скорочення строюв твердiння матерiалу конструкцш та дострокового введения в експлуатащю будiвлi, що зводиться, складае 182,985 тис. грн, вщ скорочення умовних постiйних накладних витрат при зведенш монолiтного каркасу 9-поверхово1 будiвлi, яка складае 188,47 тис. грн (52,16 грн/м3).
ВИКОРИСТАН1 ДЖЕРЕЛА
1. Алкснис Ф. Ф. Твердение и деструкция гипсоцементных композиционных материалов / Фрицис Фрицевич Алкснис - Л. : Стройиздат, 1988. - 103 с.
2. Баженов Ю. М. Высокопрочный мелкозернистый бетон для армоцементных конструкций / Юрий Михайлович Баженов - М. : Госстройиздат, 1963. - 128 с.
3. Батраков В. Г. Модифицированные бетоны / Владимир Григорьевич Батраков. - М. : Стройиздат, 1990. - 400 с.
4. К оценке совместимости химических добавок с цементами в технологии бетона / Ушеров-Маршак А. В., Златковский О. А. и др. // Строительные материалы и изделия, 2003. -№ 4. - С. 11 - 15.
5. Менделеева И. Н. Сухие смеси на основе смешанных цементов [Электронный ресурс] -Систем. вимоги: Pentium ; 32 Mb RAM ; Windows 95, 98, 2000, ХР ; MS Word 97-2000. - Режим доступа к статье. : http://www.spsss.ru/confer/doclad08/medvedeva.doc
6. Мешков П. И. Способы оптимизации составов сухих строительных смесей / Мешков П. И., Мокин В. А. // Строительные материалы. - 2000. - № 5. - С. 12 - 14.
7. Мчедлов-Петросян О. П. Расширяющиеся составы на основе портландцемента (химия и технология) / О. П. Мчедлов-Петросян, Л. Г. Филатов. - М. : Изд-во лит. по строительству, 1965. - 140 с.
8. Песцов В. И. Современное состояние и перспективы развития производства сухих строительных смесей в России / В. И. Песцов, Э. Л. Большаков // Строительные материалы, 1999. - № 3. - С. 3 - 5.
9. Рекомендованные рецептуры приготовления сухих смесей. ООО «Спец-контракт» [Электронный ресурс] — по данным ООО «Спец-контракт» - К. , 2000 - Систем. вимоги: Pentium ; 32 Mb RAM ; Windows 95, 98, 2000, ХР ; MS Word 97-2000.
10. Рояк С. М. Специальные цементы / С. М. Рояк, Г. С. Рояк - М. : Стройиздат, 1983. - 279 с.
11. Саницький М. А. Модифшоваш цементи для бетошв та бущвельних розчишв / Саницький М. А., Марущак У. Д., Шевчук Г. Я. [та ш.] // Зб. наук. праць : Будiвельнi конструкци. - 2002. - № 56. - С. 378 - 385.
12. Савицкий Н. В. Ускорение процесса твердения портландцемента вяжущими эттрингитового типа / Н. В. Савицкий, О. А. Ожищенко // Проблемы современного бетона и железобетона. - 2011. - № 74, кн. 2. - С. 84 - 89.
13. Современные методы оптимизации композиционных материалов / [Вознесенский В. А., Выровой В. Н., Керш В. Я. и др.]. - К. : Будiвельник, 1983. - 144 с.
14. Сумiшi будiвельнi сухi модифшоваш Загальш техшчш умови : ДСТУ-П Б В.2.7-126:2006. - [Чинний вщ 2006-04-27]. - К. : Мшютерство будiвництва, архггектури та житлово-комунального господарства Украши, 2006. - 33 с. - Нацюнальний стандарт Украши.
15. Lamberet S. Durability of ternary binders based on portland cement, calcium aluminate cement and calcium sulfate. Thèse de doctorat de l'Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne / Lamberet Severine. - EPFL., 2005. - 186 с.
УДК 69.06:658.012.2
СЕЛЕКТОНОВАЦ1Я УПРАВЛ1НСЬКИХ Р1ШЕНЬ У РЕАЛ1ЗАЦП СКЛАДНИХ
БУД1ВЕЛЬНИХ ПРОЕКТ1В
I. Д. Павлов, * д. т. н., проф., Ф. I. Павлов, к. т. н., доц., М. О. Каплуновська, * к. т. н. * Запор1зька державна тженерна академ1я
Ключовi слова: селектоновацгя ршень, оптимальне управлгнське ршення, сгтьова модель, економгко-математична модель, складний будгвельний проект
Постановка проблеми. Виконання складного будiвельного проекту в визначений термш завжди пов'язане з можливютю використання i наявнютю ресуршв (трудових, матерiально-
техшчних, фшансових, iнформацiйних та ш.) i вимагае врахування специфiки проекту та численних умов його реатзацл.
Аналiз проблеми. Реалiзацiя складних проектiв у зазначений термш приваблюе багатьох дослiдникiв. Процедура передбачення результату е актуальною, бо стушнь надшносп та ризик управлшських рiшень безпосередньо впливае на ефектившсть виробництва. Незважаючи на значнi устхи у вирiшеннi питань управлiння складними проектами, юнуе широкий комплекс проблем щодо удосконалення методiв i пiдходiв в управлiннi органiзацiйно-технологiчною пiдготовкою складними будiвельними проектами.
Мета статть Дослщження проблеми обгрунтування термiнiв реалiзацil складних будiвельних проектiв з урахуванням специфши проектiв та умов 1х реалiзацil за допомогою методiв теорп графiв та потокових алгоритмiв.
Основний матерiал. У практичнiй роботi, а також у наукових дослщженнях завжди доводиться стикатися iз проблемою обгрунтування термшв виконання проектiв або виробничих програм. Оскшьки технологи та оргашзацп виробництва завжди притаманш багатоварiантнiсть i багатокритерiальнiсть, то вирiшення питання здiйснюватимемо на основi наукового пiдходу, використання сучасного арсеналу теорп дослiдження операцiй та засобiв обчислювально! технiки [1; 4].
Будь-який проект охоплюе впорядковану кшцеву безлiч операцiй. Режим виконання !х завжди характеризуеться як тривалiстю %, так i iнтенсивнiстю виробництва n., що пов'язано iз залученням трудових ресурсiв в одиницю часу.
Для мiнiмiзацil залучення ресурсiв та дотримання термiнiв реалiзацil проекту слiд складовi операцп (i, j) е A виконувати з певною швидкiстю, узгодженою з кiнцевою швидкiстю, заданою термшом реалiзацil проекту. Розв'яжемо цю задачу при великш кiлькостi i обсягах робщ тобто у складних проектах.
Розглянемо граф G (U, А), де U - множина вузлiв (подш) графа, А - безлiч операцiй (дуг, робiт) (i, j) е A. Кожна операщя характеризуеться тривалiстю реалiзацil - ty та штенсившстю -n. (i, j) е A [2; 4].
Мае мюце залежнiсть tj ■ n = (Q-, де Qij - трудомiсткiсть роботи (i, j) е A, яка залежить вiд обсягу (i = 1, 2,..., п - 1; j = 2, 3, ..., n), n - кшьюсть вузлiв (подш) в модель
За кожною роботою (i, j) е A вщома мшмальна штенсившсть - nD, якш вiдповiдае
тривалiсть D i d - тривалiсть, що вщповщае прискоренiй (максимальнiй) концентрацп
j j
використання ресурсiв ndy (рис. 1).
Рис. 1. Елемент атьовог модел1
Сформулюемо математичну модель задача
Дана модель (D., TD ), по (i, j) е A вщомо dy, Cy. Де Cy - «вартють» скорочення роботи на одиницю часу.
Скорочення тривалосп виконання робiт (i, j) е A на величину Ax.. = D. — x . може бути
забезпечене залученням додаткових ресуршв, тобто за рахунок збшьшення штенсивносп виробництва Any = c . • Ax.. .
Потрiбно визначити роботи (i, j) е A, яю необхщно прискорити, а також роботи, для яких необхщно зберегти нормальну тривалiсть Dy. 1ншими словами, потрiбно знайти таке рiшення (Xy, Tn), яке мiнiмiзуе цiльову функцiю [1; 4; 5]:
L(x)= ¿An.. =2 Cy • (Dy — xy) ^ min С1)
(i, f^A (i, j )еA
Множину вузлiв (подiй) можна визначити як U = (1, 2,..., n), де вузол 1 (n = 1) позначае початок реалiзацil проекту, а вузол n - заюнчення.
Обмеження у розв'язанш задачi такi:
Т -Т] + X < 0 для всiх (/, ц) е А , (2)
-Т + Т < Т (3)
хц < В ц, для всiх (/, ц) е А, (4)
- хц < -й ц , для вах (/, ц) е А , (5)
де Т (Г-) - раннш термш звершення подш реалiзащl проекту,
Тз - заданий термш на бущвництво об'екта (реалiзащl проекту).
Умова (2) вiдображаe нерозривнють сiтi та TJ = шах(Т1 + tlj) .
Умова (3) встановлюе вимогу неперевищення заданого термшу будiвництва, а обмеження (4) та (5) визначаються технологiею i органiзацiею виробництва всiх операцiй (/, Ц) е А .
Вид цшьово! функцн (1) i обмеження мають лiнiйну залежнiсть, тому сформульована задача е задачею лшшного програмування. Для И розв'язання необхщно перевiрити розв'язання при встановленому Тз. Для цього вважаемо х у = йу i визначаемо Т за алгоритмом розрахунку модел^ потiм Ху = Ву ^ Т В та Гй <Тз <Т В .
Обчислення для кожного значення Тп з сегмента [ Td + TD ] мшмуму функцн L(x)= 2 cij(Dij - xij) = 1 2 cyDy - 2 cijxij min, за умов (2) ^ (5) являе собою
(i,J)eA ^ (i,j)eA (i,y)eA )
параметричну задачу лшшного програмування. Наведена економшо-математична модель (ЕММ) е^валентна наведенiй нижче задачi лшшного програмування з максимiзацiею функцп мети.
Враховуючи, що в (1) 2 cij - Dij = const, замшимо цiльовy фyнкцiю вихщно! задачi на
(i,])eA
iншy фyнкцiю:
L(x)= 2 cy - xy ^ max , (6)
(i,j)eA
при обмеженнях: T — Tj + Xj < 0? (i, j) e A, (7)
— T + T < T (8)
+ Xj < Dj, (i, j) e A , (9)
— Xj <—dj? (i, j) e A, (10)
У постановщ (6) (10) задача може бути розв'язана ушверсальним симплекс-методом, який використовуеться для розв'язання екстремальних задач лiнiйного програмування. Таю методи громiздкi i !х застосування дощльне тiльки тодi, коли спещальш методи виявляються недостатнiми. Нижче наведемо методику приведення тако! задачi до каношчного (стандартного) виду.
Ми пропонуемо бшьш ефективний пiдxiд, заснований на теорн двоютосп лiнiйного програмування в умовах доповнювально! нежорсткостi.
У постановщ (6) (10) задача мае вигляд, аналопчний задачi мшмально! вартосп проекту, тобто визначення оптимального потоку мшмально! вартостi, а також володiе значною перевагою в обчислюваннях, мае економiчне i фiзичне тлумачення, що дуже важливо в практичному застосуванш.
Дослщжуеться задача, для яко! у вщповщшсть обмежень (7) (10) ставляться невщ'емш змiннi fj, V, уу, Sy, якi називаються дво!стими. Вони наведенi (перераxованi) в такому ж порядку, в якому вводилися обмеження в модель.
Дво!ста задача (6) ^ (10) формулюеться таким чином. Необхщно мiнiмiзyвати цiльовy функщю:
L(f) = (t-V + 2 Dy Yy — 2 dy-Sy min (11)
^ (i,y)eA (i,y)eA )
за умови, що
fy + Yy —Sy = cy для (Uy) e A, (12)
2 Л - V = 0
1=1,
2(/у - /л) = 0 для вах 1 = 2,....,п -1,
-2 /п + V = 0 1=п,
(13)
(14)
(15)
/ ,у.. ,3 > 0
J у / у ' у
-гГЧГ-Ч-- ДЛЯ BCiX (1, Л) £ ^ . (16)
Дво!ста задача (11) ^ (16) сформульована вщповщно з правилами теори лшшного програмування.
На основi математично! структури дво1ст змiннi /у, вщповщш ху в прямiй задачi, розглядаються як потоки в сiтi з обмеженою пропускною здатнiстю. Умови (13) ^ (15) вiдповiдають обмеженням потоку для початково!, промiжних i кшцево! подiй вiдповiдно.
Дво1ст змiннi у у, ёу не можуть бути одночасно позитивними, тому що о у ф й у . В
обмеженнi (12) значення уу i ёу обчислюються уу = с. - / . , при 3у = 0; 3у = / . - с у , при
у у = 0. Тому у^ = тах(0, - ф, при 3. = 0; = тах(0, ф - е^, при у у = 0.
На основi потокового алгоритму послщовно визначаються /у та Т (Ту), якi задовольняють умовам:
1) 0 < < с., а/ =0 ;
2) /у = с у, хл = 0;
3) су < /у <<ю, а" = 0;
де ау = Т - Ту + О у - резерв критичносп, а^ = Т - Ту + й у - резерв скорочення,
Ху = Т - Ту + ху , а невiдомi змшш ху = тт(Оу,Ту - Т) .
1 У Ч Ч ЧУ1'
Розглянемо приклад № 1. Сформулюемо вихiдний варiант при ТО = 21 м^., Та = 11 м^., Т3 = 16 мю. (рис. 2). Розв'язання задачi виконано послiдовно за п'ятьма торащями, в результатi чого отримано та проаналiзовано оптимальний варiант (рис. 3, табл. 1).
(101)3)
<юш>
<105й> (106)1)
Р-З /21
<103)1) (104)4Х 3-5 /7Г\ 3-4 _ /15
¿16
Рис. 2. Модель з початковими вих1дними даними (теращя - 1)
Таблиця 1
Анал1з оптимального розв 'язання задач1
№ п/п (г-]) ёу Ву су /у ху сухц суёу суВу Уу УуВу ёуЗу
1 1 - 2 1 3 3 1 3 9 3 9 2 - 6 -
2 1 - 3 2 6 1 1 5 5 2 6 - - - -
3 2 - 3 1 2 3 1 2 6 3 6 2 - 4 -
4 3 - 4 3 5 1 1 3 3 3 5 - - - -
5 3 - 6 4 9 1 1 8 8 4 9 - - - -
6 4 - 5 3 4 2 1 4 8 6 8 1 1 4 -
7 5 - 6 1 3 1 1 1 1 1 3 - - - -
8 6 - 7 2 3 4 2 3 12 8 12 2 - 6 -
152 130 158 120 -
2(/) = Т • V + 2 Ву -уг] - 2 ёу • 8у = 16 • 2 + 20 - 0 = 52 од. рес.
(г ,])еЛ (г,])еЛ
Цх) = 2 С у • ху = 52 од. рес.
Таким чином, отримали, що Ь(х)=2ф. Залучення ресуршв в оптимальному варiантi:
2 Д ху = 2 В • Су - 2 Су • ху = 58 - 52 = 6 од. рес.
(г,])еЛ (г,])еЛ (г,])еЛ
Те ж у традицшному варiантi:
2 ДЛ = 2 Ву • Су - 2 Су • ёу = 52 - 30 = 22 од. рес.
(1,1 )еЛ (г,])еЛ (г,])еЛ
Якщо традицшно потрiбне додаткове залучення 22 одиниць ресуршв, що становить 100 %, то в оптимальному варiантi потрiбно 6 одиниць ресуршв - це складае 27 % вщ 100 %.
Такий тдх1д е порiвняльним i не передбачае врахування вартосп робiт, що важливо при розробщ комплексного укрупненого сiтьового графiка (КУСГа) у складi проекту оргашзацп будiвництва (ПОБ) або технiко-економiчного обгрунтування (ТЕО) проекту.
Виконаемо перевiрочне розв'язання поставлено! задачi унiверсальним симплекс-методом. Розв'язання задачi симплекс-методом вимагае приведення И до каношчного вигляду. Рiзнобiчнiсть обмежень на виконання робгг (г, у) е Л робить процес складним i важкодоступним. У розглянутому приклад^ де розв'язання засноване на графах i мережах (сiтях), оптимальнi ршення - х .. мiнiмiзують цшьову функцiю (6). Цей результат можна
отримати на базi симплекс-методу, але такий тдхщ пов'язаний з потребами стандартизаци
тдходу, що породжуе труднощi у розв'язанш задача Якщо процедура вiдпрацьована, то проблеми спрощуються, але природа задачi i реалiзацiя тако1 процедури бувае складною.
Покажемо прийом приведення задачi до каношчного вигляду.
Цшьова функцiя задачi мае вигляд:
L(x) = 3 ■ x1 +1 ■ x2 + 3 ■ x3 +1 ■ x4 +1 ■ x5 + 2 ■ x6 +1 ■ x7 + 4 ■ x8 ^ max
Система обмежень задача
х1 + х3 + х5 + х8 < 16; х2 + х5 + х8 < 16; х1 + х3 + х4 + х6 + х7 + х8 < 16;
xi < 3; xi > 1; Х2 < 6; Х2 > 2; хз < 2; хз > 1; Х4 < 5; Х4 > 3; Х5 < 9; Х5 > 4; Хб < 4; Хб > 3; Х7 < 3; Х7 > 1; х8 < 3; х8 > 2.
Розв'язання виконане за допомогою ЕОМ шляхом 14 терацш. У процесi розв'язання задачi додано 20 додаткових змшних, 8 штучних базисiв. Ключовi елементи матриць кожно1 iтерацiï вiдповiдали наступним положенням: крок 0 - (20,8); крок 1 - (6,1); крок 2 - (10,3); крок 3 -(16,6); крок 4 - (8,2); крок 5 - (12,4); крок 6 - (14,5); крок 7 - (18,7); крок 8 - (19,28); крок 9 -(5,14); крок 10 - (9,18); крок 11 - (3,24); крок 12 - (4,16); крок 13 - (1,22).
Результат ршення отримав оптимальний план, визначеш невiдомi змшш, яю мають таю значення: х1 = 3; х2 = 5; х3 = 2; х4 = 3; х5 = 8; х6 = 4; х7 = 1; х8 = 3.
Для остаточного переконання в правильносп ршення задачi виконаемо перевiрку ïï результат.
Цшьова функщя прямоï задачi:
L(x) = 3-3 + 1-5 + 3-2 + 1-3 + 1-8 + 2-4 + 1-1 + 43=52 од. рес.
Цшьова функщя дво].'стта задача
Z(f) = 16-1 + 16-0 + 16-1 + 16-1 + 3-1 + 1-0 + 6-0 - 2-0 + 2-1 - 1-0 + 5-0 - 3-1 + 9-0 - 4-0 + 4-0 -3-0 + 3-0 - 1-1 + 3-1 - 0-2 = 52 од. рес.
Рiвнiсть цшьових функцш прямоï та двоïстоï задач L(x) = Z(f) свщчить про правильнють розв'язання.
Результати розв'язання задачi двома методами зб^аються, але вони мають рiзну трудомютюсть. ïx аналiз свщчить, що шдходи е прийнятними, але вiдрiзняються специфiкою, характерною для задачi теорiï графiв. Стандартний симплекс-метод застосовуеться до рiзнобiчниx обмежень та вимагае використання прийому формалiзацiï М-задач^ що ускладнюе структуру матрицi.
Таким чином, юнцевий етап розв'язання задачi дае значення цiльовоï функцiï L(x) = 52 одиниць ресуршв, складнiсть процесу розв'язання полягае у великому обсязi обчислювальних процедур (тут мають мюце 14 iтерацiй з масштабними таблицями iтерацiй).
Таким чином, вироблення управлшських рiшень на сучасному етапi розвитку виробництва вимагае використання математичних методiв моделювання та iнформацiйниx теxнологiй.
Установлено, що на оптимальне значення ршень (x.) впливае виxiдна iнформацiя (обмеження). Вони вщсшають точнiсть або ïï шдживлюють необxiдними додатковими даними. Порiвняемо варiанти методiв розв'язання задачi (табл. 2).
Таблиця 2
Пор1вняльна характеристика Memodieрозв 'язання задач1
Потокова задача (1-й варiант) Стова задача (2-й варiант) Задача на основi симплекс-методу (3-й варiант)
На цшьову функщю впливають значення с. - с. = % у процес оптимiзацiï (i, j) e A скорочення до 80 % - d . j Решта або D , або d за j ' ij технолопчних i органiзацiйниx умов. Звiдси i точнють значення цiльовоï функцiï в межах 5 %. Враховуе як органiзацiйно-теxнологiчнi умови ( D. + d. ), так i вартiснi (cDj - cdij), крiм цього, модель враховуе особливост умов звершення подiй Т. i потреби скорочення операцш Ax.., виходячи з 1'х вартостi. j Цiльова функцiя еталонна. Цей шдхщ унiверсальний, вимагае знань теорн ЛП, питань приведення задачi до стандартного вигляду (каношчного). Необхщно волод^и методикою зведення потреб практичних задач до М-задачi.
Говорити про справжнiй екстремум важко, осюльки значення с. (вартють скорочення операцiï) може прийматися вшьно, без ïï реального фактичного значення. Математичне моделювання задачi потребуе значення с. при ïï постановцi, але значення с. мало впливають на стшюсть рiшення. Це означае, що при рiзних с у цiльова функщя змiнюе значення, а невiдомi x. залишаються const. У випадку велико! моделi (40 та бiльше операцш) значення x. (оптимальнi значення) матимуть розбiжностi до 5 %.
Наявний досвщ розв'язання задач показуе, що в бшьшост випадкiв с у визначаеться
d / D /
П / П /
су = и/, , оскiльки до 80 % робгг скорочуеться до d.. Можливо, су = 1J/n . Значна j / dij 4 / Dij кiлькiсть робiт виконуеться за технолопчних i органiзацiйних умов або за D j, або за dy.
За вщсутност даних або через труднощi ïx отримання задовольняе рiшення, яке орiентуе лшшне програмування на прийняття вибору. Але в разi збiльшення кiлькостi умов, що дозволяють оцiнити вибiр (^м органiзацiйно-теxнологiчниx умов d.. — D.., вартiснi умови
V V
Су — Су ) можлива ця ж постановка задачi з урахуванням додаткових вартюних обмежень.
В цьому випадку ощнка рiшення (критерiй оптимальностi) е жорстюшою.
Розглянемо постановку задачi з урахуванням додаткових обмежень i сформуемо математичну модель.
Використаемо таю позначення. Розглядаеться орiентований граф G(U, A), де U -упорядкованi вузли графа, i = 1 - номер початкового вузла ст, що описуе (моделюе) проект, j = n - номер юнцевого вузла [2; 3].
Таким чином, U=(1, 2, ...; n - 1, n) та i<j, де A(i; j) - впорядкована юнцева безлiч робгг (операцiй) проекту; Tt - раннш час звершення (настання) подiï i.
Подiя (вузол) вiдображае факт завершення всix робiт A(i, j), що входять у даний вузол. Тут реалiзуються двi властивостi графа: жодне U. не вiдбудеться, якщо не будуть виконаш всi операцiï графа, що ведуть до цiеï поди, i жодна робота A(i, j) не почнеться, якщо U. не сталося. Далi вводимо такi позначення:
D. - нормальна тривалють роботи A(i, j), при детермiнованому пiдxодi (метод СРМ (Corporate Performance Management)) або очшуваний час виконання операцп при стохастичному пiдxодi (метод PERT (Project Evaluation and Review Technique));
d.- тривалють операцп A(i, j) при максимальному ïï скороченш; Ах. - значення можливого скорочення A(i, j) часу;
Тз - заданий час бущвництва (реалiзацiï проекту), може бути директивним або встановленим вищим органом управлшня;
Ах. = D. — x. - значення максимально можливого скорочення тривалосп A(i, j) за рахунок
залучення додаткових ресурав;
су. - розраxунковi витрати на реалiзацiю операцiï A(i, j);
d
с j - теж за умови максимального скорочення il тривалосп за рахунок залучення додаткових ресурав;
K¡j = (efj — С)/ Ах^ - питомi витрати на скорочення тривалостi роботи A(i, j) на одиницю часу.
Якщо m - юльюсть робiт A(i, j), n - юльюсть Uj, то модель задачi мае m + n змшних. Припускаеться, що будь-яка частка скорочення Ахj часу на виконання роботи A(i, j) мае
постшну (незмiнну у чаш) частку додаткових витрат. Це дозволяе для мшмуму витрат на скорочення часу реалiзацiï проекту використовувати модель теори оптимального лшшного програмування на графах та атях.
1з використанням наведених позначеннь модель задачi матиме такий вигляд. Визначимо цшьову функцiю задачi:
L{x)= Z с. ■ Ах. ^ min , (17)
(,,J)GÄ
при обмеженнях:
Tj > T + Dj —AXj (18)
АХ ^ (Dj — d^, 09)
T ^ T (20)
т> 0, Ах. > 0, (/,7) е А (21)
Якщо А - кiлькiсть операцiй модет, и - кiлькiсть подiй, то модель задачi мае А + п -змшних, п - обмежень (18), що вiдповiдае числу кiлькостi (вузлiв) - и, обмеження (19) вщповщае кiлькостi операцiй, А + и - обмеження (21) та одне обмеження (20).
Разом е А + и змшних, яю слщ визначити в результат виршення задачi. Для и^ф визначаються раннi термiни звершення поди моделi Т\аъ а для А - можливе скорочення операцш в дiапазонi (О. — на Ах., а також мiнiмiзацiя витрат, необхвдних (можливих) для
скорочення часу (термшу) реалiзацil проекту.
Структурна схема матриц задачi наведена у таблиц 3.
Таблиця 3
Структурна схема матриц7 задач1
Матриця змiнних задачi щодо термшв звершення подiй моделi Ti i = 1,2,...,8 Матриця змшних задачi щодо обмежень часу моделi Dt t. < Di}
Матриця обмежень термшу реатзаци моделi Тзад <16 Матриця обмежень на час виконання iтерацiй At = D - d 4 j
Примiтка: в результат розв'язання задачi запропонованим методом визначасться Xopt та Topt (термiни реатазацл операцiй (i - j)), Ti , min залучення додаткових ресурсiв при дотриманнi Т3ад = 16 од. часу.
Розглянемо приклад (табл. 4). Мiнiмiзувати витрати при реатзаци проекту в термш, установлений iнвестором. Проект пусконалагоджувально! системи складаеться з восьми операцш (А = 8), вони мають взаемозв'язок, встановлений графом G(UА) (и = 7), Т° = 21мю., Тй = 11мю, Тз = 16мю.
Використовуючи прийнятi позначення, отримаемо економшо-математичну модель для визначення мшмальних витрат, необхiдних для скорочення тривалост реатзаци проекту з 21 до 16 мсящв.
Таблиця 4
Вих1дт дам для розрахунку
Код Час виконання, Витрати, у. о. nrn^i витрати на мюяць, у. о.
операцil мю. при чаш виконання
(i; j) Нормальний, Dj Мшмальний, dj Нормальний, CD ■■ ч Мшмальний, С ij (Cd - CD)/ (D - d)
1-2 3 1 900 1 700 400
1-3 6 2 2 000 4 000 500
2-3 2 1 500 10 00 500
3-4 5 3 1 800 2 400 300
3-6 9 4 8 000 9 800 360
4-5 4 3 1 500 1 850 350
5-6 3 1 3 000 3 900 450
6-7 3 2 1 000 2 000 1 000
18 700 26 650
Визначимо вихщш даш до розв'язання задачi (табл. 5).
Таблиця5
Матриця зм1нних задач1
х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8 х9 х10 х11 х12 х13 х14 х15
0 0 0 0 0 0 0 400 500 500 300 360 350 450 1000 min
1 - 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 >3
2 - 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 >6
3 0 - 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 >2
4 0 0 - 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 >5
5 0 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 >9
6 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 >4
7 0 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 >3
8 0 0 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 >3
9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 <2
10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <4
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <1
12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <2
13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 <5
14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 <1
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 <2
16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 <1
17 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 <16
1-ша група змiнних - термши звершення подiй Т: х1 = Тюь х2 = Т102, х3 = Т103, х4 = Т104, х5 =
Т105, х6 = Т106, х7 = Т 107
2-га група змшних - оптимальш тривалосп робгг: х8 = А х101-102, х9 = А х101-103, х10 = А х102.10з,
х11 = А х103-104, х12 = А х103-106, х13 = А х104-105, х14 = А х105-106 х15 = А х106-107
Цшьова функщя:
L(x)=0x1 + 0х2 + 0х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 + 0 х7+ 400х8 + 500х9 + 500х10 + 300х11 + 360х12 + 350х13 + 450х14 + 1000х15 ^ min. Обмеження розв'язання задача
- х1 + х2 + х8 > 3; - х1 + х3 + х9 > 6; - х2 + х3 + х10 > 2; - х3 + х4 + х11 > 5; - х3 + х6 + х12 > 9;
- х4 + х5 + х13 > 4; - х5 + х6 + х14 > 3; - х6 + х7 + х15 > 3;
х8 < 2; х9 < 4; х10 < 1; х11 < 2; х12 < 5; х13 < 1; х14 < 2; х15 < 1; х7 < 16.
Далi приступимо до розрахунку задача Запишемо систему обмежень задачi в каношчному виглядк
- 1х1 + 1х2 + 0х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 + 1х8 + 0х9 + 0х10 + 0х11 + 0х12 + 0х13 + + 0х14 + 0х15 + 1х16 = 3
- х1 + х2 + х3 + х4 + х5 + х6 + х7 + х8 + х9 > 6; - х2 + х3 + х10 > 2; - х3 + х4 + х11 > 5; - х3 + х6 + х12 > 9;
- х4 + х5 + х13 > 4; - х5 + х6 + х14 > 3; - х6 + х7 + х15 > 3;
х8 < 2 ; х9 < 4; х10 < 1; х11 < 2; х12 < 5; х13 < 1; х14 < 2; х15 < 1; х7 < 16.
Ршення виконане за допомогою ЕОМ шляхом 11 терацш. В процеш ршення задачi додано 17 додаткових змшних, 8 штучних базишв. Ключовi елементи матриць кожно! iтерацiï вщповщали наступним положенням: крок 0 - (7,6); крок 1 - (6,5); крок 2 - (5,4); крок 3 - (3,3); крок 4 - (1,2); крок 5 - (17,7); крок 6 - (12,11); крок 7 - (4,13); крок 8 - (2,9); крок 9 - (14,12); крок 10 - (8,14).
Отримано оптимальний план розв'язання задач^ визначено невiдомi змшш, яю отримали наступи значення: х1 = Т101 = 0; х2 = Т102 = 3; х3 = Т103 = 5; х4 = Т104 = 8; х5 = Т105 = 11; х6 = Т106 =
13; х7 = Т 107 = 16; х8 = А х 101-102 = 0; х9 = А х101-103 = 1; х10 = А х102-103 = 0; х11 = А х103-104 = 2; х12 = А х103-106 = 1; х13 = А х104-105 = 1; х14 = А х105-106 = 1; х15 = А х106-107 = 0.
Далi виконаемо перевiрку результатв розв'язання задача
Перевiрка за цшьовою функцieю прямо! задачi: Цх) = 0-0 + 0-3 + 0-5 + 0-8 + 0-11 + 0-13 + 0-16 + 400-0 + 500-1 + 500-0 + 300-2 + 360-1 + 350-1 + 450-1 + 1000 0 = 2260 у. о. Перевiрка за цшьовою функщею дво!сто! задача
= 310-3 + 500-6 + 310-2 + 5-450 + 360-9 + 450-4 + 450-3 + 810-3 - 0-2 - 0-4 - 0-1 - 150-2 -0-5 - 100-1 - 0-2 - 0-1 - 810-16 = 15620 - 13360 = 2260 у. о. Перевiрка за ушверсальною симплекс-формулою:
х.
нов _ стар
Х У - Х у
х
Цх) = ЦхГар -
Ь(х)К1 • Ц х У (-1) • (-810)
-!-—О- = -1450 - ^—^-= 1450 + 810 = 2260у. о.
кл.эл. 1 ^
Перевiрказа обмеженнями:
- X] + х2 + х8 > 3 - 0 + 3 + 0 = 3
- х1 + х3 + х9 > 6 - 0 + 5 + 1 = 6
- х2 + х3 + х10 > 2 - 3 + 5 + 0 = 2
- х3 + х4 + хи > 5 - 5 + 8 + 2 = 5
- х3 + х6 + х12 > 9 - 5 + 13 + 1 = 9
- х4 + х5 + х13 > 4 - 8 + 11 + 1 = 4
- х5 + х6 + х14 > 3 - 11 + 13 + 1 = 3
- х6 + х7 + х15 > 3 - 13 + 16 + 0 = 3
х8 < 2 0 < 2 х9 < 4 1 < 4 х10 < 1 0 < 1 х11 < 2 2 = 2 х12 < 5 1 < 5 х13 < 1 1 = 1 х14 < 2 1 < 2 х15 < 1 0 < 1
х7 < 16 16 = 16
Проаналiзуeмо результат розв'язання задачi (рис. 4, рис. 5).
кЮЗ) 300 \104J 350
Рис. 4. Результат розв 'язання задач1
Цшьова функцiя задачi: Цх) = 400-0 + 500-1 + 500-0 + 300-2 + 360-1 + 350-1 + 450-1 + 1000-0 = 2260 у. о.
оптимальне
поди 101 500
/>питом/ витрати
ранн/и терм/н звершення поди и юз=5
номер поди 103
Рис. 5. Умоем позначення
Отримаш невiдомi змшш мають значення в порядку зростання кодiв операцш: 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 0, тобто значення невщомих х^ визначаються як - Ах^ и дорiвнюють 3 - 0 = 3; 6 -
1 = 5; 2 - 0 = 2; 5 - 2 = 3; 9 - 1 = 8; 4 - 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3 - 0 = 3.
кл
Х
х
Значення цшьово! функци:
Ь(х) = 400 ■ Ах12 +500 ■ Ах13 + 500 ■ Ах23 + 300 ■ Ах34 + 360 ■ Ах36 + 350 ■ Ах45 + 450 ■ Ах56 + +1000 ■ Ах67 = 400 ■ 0 + 500 ■ 1 + 500 ■ 0 + 300 ■ 2 + 360 ■ 1 + 350 ■ 1 + 450 ■ 1 + 1000 ■ 0 = 2260у. о.
Значення цшьово! функци показуе, що для скорочення термшу реатзацп проекту пусконалагоджувально1 системи вщ Т° = 21мiс. До Тз =16 мю. потрiбно понести додатковi витрати, значення яких становить оптимальний розмiр 2260 у. о. Тут мова йде про граничш мшмальш витрати i поняття «менше або бшьше» у додаткових витратах не мае сенсу. Якщо цi витрати не влаштовують iнвестора, то рiшення можна переглянути, але з нiчого нiчого не бувае. Для скорочення термшу реалiзацil проекту швестору потрiбно додатково залучити кошти вiдповiдно до певно! оптимально! стратеги.
Метод розв'язання задачi об'емний, вимагае спещального прийому приведення до каношчного вигляду, а розв'язання за допомогою потокового алгоритму спрощуе шдхщ. Але попередньо слiд визначити реальну вартiсть С7 за скорочення операци на одиницю часу. У будь-якому випадку розбiжнiсть у значеннях цшьово! функци становить у розглянутому прикладiЬ{х) = 2260 у. о., порiвняно з ь(х)* = 2360у. о., 4,4 %, що у великих проектах цшком припустимо при використанш потокового алгоритму теори графiв.
Висновки. В результатi проведеного дослiдження запропоновано пiдхiд до оцшки органiзацiйно-технiчних рiшень реалiзацi! складних бущвельних проектiв у строк, установлений швестором. Новий пiдхiд дозволяе розробити на основi потокових моделей ефективнi управлшсью рiшення з урахуванням необхiдних i можливих органiзацiйно-технiчних умов та обмежень будiвельного виробництва.
Задача вибору термшу реалiзацi! будiвельного проекту розв'язуеться новацшним методом, що базуеться на теори графiв i потокових алгоритмах. Вш дозволяе визначити оптимальнi строки виконання робiт при реалiзацi! будiвельного проекту в визначений термш з урахуванням часових i вартiсних обмежень.
Ефективнють запропонованого методу обгрунтована шляхом порiвняльного аналiзу з унiверсальним симплекс-методом.
ВИКОРИСТАНА Л1ТЕРАТУРА
1. Павлов И. Д. Исследование системотехнических и логистических условий по интеграции участников сложных проектов / И. Д. Павлов, А. В. Радкевич, Ф. И. Павлов // Вюник Придшпр. держ. акад бущвниц. та архггектури. - Д. : ПДАБА, 2007. - № 11. - С. 38 - 44.
2. Оре О. Теория графов / О. Оре. - М. : Наука, 1980, - 336 с.
3. Филлипс Д. Методы анализа сетей / Д. Филлипс, А. Гарсиа-Диас. - М. : Мир, 1984. - 496 с.
4. Павлов И. Д. Модели управления проектами:учеб. пособ. ЗГИА / И. Д. Павлов. -Запорожье: Изд-во ЗГИА, 1999. - 316 с.
5. Радкевич А. В. Багатоцiльовi моделi оргашзаци каштального вщновлення об'екпв: Монографiя / А. В. Радкевич, I. Д. Павлов. - Д. : Вид-во «П. П. Свщлер», 2003. - 225 с.
УДК 539.3
НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНИЙ СТАН ПРОСТОРОВИХ ОСЕСИМЕТРИЧНИХ СФЕРИЧНИХ Т1Л ПРИ НЕСИМЕТРИЧНОМУ НАВАНТАЖЕНН1
А. М. Смоляр, к. т. н., доц., I. В. М1рошкта, к. т. н.
Черкаський державний технолог1чний ушверситет
Ключовi слова: просторов7 осесиметричт сферичт тыа, несиметричне навантаження, аналгтично-чисельна методика, узагальнений метод сктченних ттегральних перетворень, сферичний мешск
Вступ. Просторовi осесиметричт сферичт тша е розрахунковою моделлю класу об'екпв бущвництва та техшки, таких як корпуси атомних реакторiв, доменних печей, елементи корпушв л^альних об'екпв, наприклад, носових частин ракет самонаведення тощо.
Пщ осесиметричними сферичними тшами будемо розум^и просторовi тша у сферичнш системi координат, обмежеш двома боковими поверхнями, що однозначно проектуються на
17
