Оперативне планування виробництва у гнучких виробничих системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Лукинский В.С., Цвиринько И.А. Варианты решения логистической задачи определения оптимального размера заказа. // Организация международных и внутренних перевозок с применением принципов логистики: Сб. науч. тр. / Редкол.: В.С. Лукинский (отв. ред.) и др. - СПб.: СПбГИЭУ, 2001. - 228 с.

8. Белый Б.Н., Дербенцев Д.А., Юхименко А.И. Модели управления товарными запасами. - Киев: КТЭИ, 1978.

9. Транспортная логистика: Учебник для транспортных вузов./ Под ред. Миротина Л.Б. - М.:Издательство «Экзамен», 2003.- 512 с.

УДК 681.513.6.132:621.914.3

Чуб С.Г., к.т.н., доцент, нач. вiддiлу (ОСАСУ УППЗТ)

ОПЕРАТИВНЕ ПЛАНУВАННЯ ВИРОБНИЦТВА У ГНУЧКИХ ВИРОБНИЧИХ СИСТЕМАХ

Вступ. Сучасне виробництво продукци машинобудування, зокрема, виробiв транспортних засобiв, багато у чому пов'язане з використанням гнучких виробничих систем (ГВС) [1]. Забезпечення стабшьних заданих характеристик працездатност^ а також якост обробки у складi ГВС е одшею з важливших i достатньо складних задач. Виршення ще! задачi багато у чому пов'язане з ефектившстю використання так званих систем забезпечення функцюнування (СЗФ).

Постановка проблемы. Важливою складовою (шдсистемою) СЗФ е автоматизована система оперативного планування виробництва (АСОП), функщею яко! е обгрунтоване розподшення номенклатури обробляних деталей мiж наявними гнучкими виробничими модулями (ГВМ) [2]. Вiдомi реашзацн АСОП, зокрема, [3], [4] е, з одного боку, досить складними, довготривалими та недостатньо гнучкими для оперативного планування, з шшого боку, мютять недостатньо засобiв, специфiчних для ГВС. До таких засобiв, зокрема, можна вщнести планування розходування шструментальних та деяких подiбних вщновлюваних ресурЫв.

Формулювання мети (постановка завдання). Метою ще! статтi е розробка та обгрунтування засобiв оперативного планування виробництва ГВС, як мiстять у собi достатню оперативнiсть, короткотривалiсть та гнучкiсть. Щ засоби повиннi пiдтримувати загальну концепцш управлiння

ресурсооб^ом у ГВС [2]. Пiд оператившстю та короткотривалiстю розумiеться можливiсть достатньо легко виконати вщповщну процедуру планування декшька разiв за один цикл шдготування виробництва автономно! (безлюдно!) робочо! змiни. Вимога гнучкостi призводить до необхщност обробляти при плануваннi значну кшьюсть рiзних виробничих ситуацiй, характерних для реального виробництва у ГВС.

Моделювання задач оперативного планування. Нехай ГВС складаеться з п модулiв, кожний з яких мае к видiв ресурЫв. Кожному модулю можна поставити у вщповщшсть вектор наявних ресурЫв Ni, компонентами якого е Nа -кшьюсть г-ого ресурсу, i-номер модуля, I = 1,к,к,i = 1,к,п. На ГВС видано план на поточний цикл автономного функщонування (безлюдну змшу) у виглядi перелiку конкретних деталей. Кожна деталь характеризуеться вектором потрiбних для !! обробки ресуршв з компонентами М. -кiлькiсть г—го ресурсу, необхiдного для

обробки .-то! деталь Складемо матрицю розмiром т х к, стовпцями яко! е М.. Позначення т-юльюсть видiв деталей у складi плану. Його можливо

описати вектором А з компонентами А ,. = 1,..., т -кшьюсть деталей .-го

виду. Сформулюемо обмеження. Необхщно точно виконати план на змшу:

=А.,. = 1,к,т, (1)

г=1

де X. - кiлькiсть деталей .-го виду, яю повиннi бути оброблеш на i-му

модулi. Ресурси модулiв повиннi бути достатнiми для обробки вЫх запланованих деталей:

т

£х, -М. i, i = 1, к, п . (2)

}=1

Подальша формалiзацiя суттево залежить вiд знання того, як ГВС буде використовуватися в подальшому щодо плану на наступну змшу. Видшимо двi ситуацi!:

- план на наступну змшу вщомий точно,

- план на наступну змшу е невщомим.

Уведемо позначення: В -план на наступну змшу, В. -його компоненти-юльюсть деталей .-го виду, яю треба обробити, Yi]. -кiлькiсть деталей .-го виду, яю треба обробити на г-му модулi у наступну змiну.

Розглянемо випадок, коли наступний план е точно вiдомим. Тодi необхiдно спланувати роботу ГВС таким чином, щоб шсля виконання плану статнi ресурси модулiв дозволяли обробити якомога бшьше деталей з наступного плану В без поновлення ресурЫв. Це найшло вiдображення у моделi (3), яка е задачею цшочисельного лiнiйного програмування (ЦЛП)

[5] :

ХХ^

^ max

3)

>=1 ]=1

при обмеженнях щодо ресурсiв:

Х(х, + )• м] <Nг,а = П,

]=1

(4)

щодо поточного плану:

Хх а

А,, ]

1, к, т.

а=1

щодо наступного плану:

а=1

(5)

ХY] <В ], ] = 1 к. т,

(6)

де X.., У.. - цш числа, якi не е негативними.

V У

Розглянемо випадок, коли план на наступний перюд точно не вщомий. У цьому випадку будемо вважати вщомим закон розподшення плану як випадково! величини. Виршення ще! задачi будемо проводити у два етапи. На першому вибираеться матриця | X, | розподiлення деталей

поточного (вiдомого) плану. На другому етапi вибираються змшт | У, |т п,

як визначають розподiлення деталей у наступному плат. Задачi цього типу вщносяться до двохетапних задач стохастичного програмування.

Розглянемо спочатку задачу другого етапу. Нехай

«I-

конкретна реалiзацiя випадкового вектору {<£ }т=1 -плану на наступний перiод, яка вщповщае випадковiй поди Ш. Тодi задача максимiзацil

юлькост оброблюваних деталей з наступного плану за рахунок остатшх

п т

ресурсiв приймае вигляд ЦYiJ ^ тах при обмеженнях

г=1 .=1

1П , . ¡и п

1(х . + ^ )м. -Iх .М., г = 1, п, ,. = т , X, У. -щш

.=1 .=1 г=1

числа.

Вочевидь, в цш задачi оптимальний план, а також вщповщш значення функци - критерiю залежить вiд I X. I i {Е.(э)}т , де I X.. I -

л- А А I ч 1тхп V-". \ /}. =1 ^ | у 1тхп

фiксоване закрiплення деталей поточного плану за модулями. Через те, { (э)} визначаеться випадковими факторами, природним е провести

усереднення функци-критерда за розподшенням Ее (®)| при кожному

фжсованому | X.. |т п i в подальшому розглядати математичне очiкування

функци - критерш.

Нехай <( X..,(е}|)-оптимальне значення функцп-критерш.

Позначимо ф( X.. |) = М<( X. |,{£■(©)}) Тепер сформулюемо задачу першого етапу: вибрати X = | X.. | таким чином, щоб максимiзувати Ф(х).. Доведено, що Ф(х) визначена для будь-яких не негативних X i е вгнутою функцiею. Тому цю задачу можна розглядати як задачу опуклого програмування. Остаточно маемо задачу:

М

М У

^ тах, (7)

при обмеженнях

I( +х.<N4,г = 1,к,п, (8)

.=1

£х„=А.,. = 1, к т, (9)

г=1

^У^Е,. = 1,^, т, (10)

X.., У.. -цiлi числа, яю не е негативними.

У У

Можна помггити, що для кожного конкретного {£г }т=1 отримана задача

ствпадае з (3)-(6) i е 11 узагальненням для випадку плану, який е невщомим заздалегiдь.

Основна складтсть при вирiшеннi задач двохетапного стохастичного програмування полягае в тому, що цшьова функщя (7) задаеться не в явному вигляд^ а сюсно, як результат рiшення безкшечно! множини задач ЦЛП i подальшого усереднення значень цiльових функцiй вiдповiдно до конкретного розподшення.

Розглянемо загальну схему виршення задачi (7)-(10) за допомогою методу стохастичних градiентiв. Запропонований метод стосовно до опукло! функци описуеться ггеративною формулою виду хк+1 = хк - К (хк )А(хк), де Ик -кроковий множник на к-му кроцi, А(хк)-випадковий вектор, математичне очжування якого спiвпадае з узагальненим градiентом мiнiмiзованоl функци у точщ хк i коли х* -едина точка мшмума функци / (х), то вiдповiдний iтеративний процес сходиться до ще! точки за кшцеве число крокiв.

Для виршувано! двохетапно! задачi стохастичного програмування процедура iз застосуванням запропонованого методу складаеться з чотирьох крокiв, наведених нижче.

Крок 1. За допомогою процедури-датчика псевдовипадкових чисел отримуемо послщовшсть С\ • • •Ск • • •, яка iмiтуе послiдовнiсть реалiзацiй незалежних випадкових величин, розподiлених як випадковий параметр

с(Ш )

Крок 2. Починаючи з х = х0, шсля к крокiв маемо х = хк. Пiсля цього виробляемо значення Ск+1 та виршуемого задачу (7)-(10) при х = хк i С = С к+1, отримуючи значення дво!стих змiнних Л^ (хк).

Крок 3. Виконуемо крок випадкового пошуку хк+1 = р +[хк -А(хк)• Ик], де р + -оператор, який обертае у нуль негативш компоненти вектора х. В якост А(хк) приймаемо вектор -АТЛ*? (хк). Таким чином,

хк+1=р Лхк+к А Т Л>к+1 (хк )Ц.

Крок 4. Змшюемо к на к+1 та переходимо до кроку 2. Шд АТ розумiемо транспоновану матрицю А. Зокрема, стовпцями ще! матрицi е вектори потрiбних ресурсiв:

А =

М„ М12 М21 М22

Мк1 Мк2

м м.

1т

м

кт

1снуе важливий для практичного використання частковий випадок, коли множина значень випадкового вектору }т=1 е кiнцевою. Тодi

розглядувана задача зводиться до задачi ЛП спещального виду.

Нехай вектор }т=1 приймае кiнцеве число значень £(1) ... £(г)

вiдповiдно до ймовiрностей Р1... Рг, I Рк = 1, Рк > 0, Бк = (к)}, к = 1,..., г. Тод^

к=1

якщо позначити змшш у спiввiдношеннях (7)-(10) при векторi = £(к) через Yij, то аналiзована задача зведеться до наступно! задачi ЛП:

IР |

(к) у

к=1

г=1 ] =1

^ тах

при

I (х+ Y(к))м . < N.,i = 1,., п, к = 1,г,

\ 1] 1] / ] I ' 3 3 7

обмеженнях

Л х . =А ], ] = и. т ,

]=1

1=1

IY]. к),] = 1,т,к = 1,...,г, X.,Yij-цiлi числа, якi не е негативними. Ця

1=1

задача розбиваеться на г незалежних задач, пов'язаних тшьки спiльними змiнними X.. i е задачею ЛП.

Розглянутi моделi для оперативного планування виробництва ГВС були пов'язаш з ЦЛП. Додатково проаналiзуемо двi моделi, пов,язанi з квадратичним цшочисельним програмуванням (КЦП). В якостi ршення буде закрiплення деталеоперацiй за модулями. Нагадаемо, що ранiше знаходилося закршлення деталей за модулями. Використованi позначення аналопчш використаним з однiею вщмшшстю: пiд ni будемо розумiти кшьюсть деталеоперацiй, якi виконуються на / -му модулi. Очевидно, ni може бути визначено:

п

i =1Х] ' т] , ] = 1,к , т

]=1

(11)

де т -кiлькiсть тишв ресурсiв, якi використовуються для обробки деталi ]. Уведемо поняття псер -середня кiлькiсть деталеоперацiй, як виконуються на одному модулi тд час реалiзацil плану:

1 ^

Псер = n X • (12)

" i=1

Пiдставляючи у (12) значення щ з (11), маемо:

1 n m

пСр = 1XXхm, • (13)

п i=1 y=1

Тепер сформулюемо модель:

X (ncep -1У^ max (14)

i=1

при обмеженнях

¿Х,=А,, j = 1,k , m, (15)

i=1

m

XX,-M, < Ni,i = 1,k,n , (16)

,=1

де X, -цiлi числа.

Результат вирiшення задачi (14)-(16) буде надавати закршлення як деталей, так i деталеоперацш направляються, якi направляються на кожний модуль n,i = 1,...,n. Цшьова функщя (14) побудована таким чином, щоб на одну групу модулiв направити якомога бiльше деталеоперацiй, на шшу при можливостi не направляти взагаль Такий пiдхiд доцiльно застосовувати у тих випадках, коли заздалепдь вщомо, що поточний план можливо виконати за допомогою меншо! кшькосл модулiв, нiж е в наявност у складi ГВС.

Бiльш ефективною для використання в умовах значного завантаження модулiв е наступна модель.

Поставимо у вщповщшсть до кожного вектору M, число S, -суму

частин потрiбних ресурсiв• Якщо Г, -повний ресурс з шдексом l, а к-

максимальна кiлькiсть ресурсiв, то S, можна обчислити:

^ M,

S, = X——, j = 1,k,m, де M,-компоненти вектору M,, j = 1,.,m,i = 1,...,к.

i=1 ri

Кожному модулю поставимо у вщповщтсть число ф -суму частин використаних ресурЫв

m

ф=Ухj-Sj,i = 1,...,л . (17)

j=1

Уведемо число фсер -середню суму частин використаних ресурЫв для всiх модулiв при виконаннi плану А:

1 п

Фсер = П Еф . (18)

П i=1

1 п m

Пiдставляючи у (18) ви^в для ф з (17), маемо: ф =— ТУХ. S .

р п t=11=1 1 1

Сформулюемо слiдуючу постановку:

У (-ф)2 ^ max (19)

i=1

при обмеженнях

±Xj = А1, j = 1,...,m, (20)

i=1

m

УХУ. М j < Ni, i = 1,..., п , (21)

j=1

Х.. > 0, i - 1, к, п, j = 1, к, m .

у J

Нагадаймо, що обидвi сформульованi постановки, а саме (14)-(16) i (19)-(21) е задачами КЦП. Для знаходження методу виршення цих задач необхщно дослiдити вiдповiднi квадратичнi форми, як отримаемо з цiльових функцiй (14), (19). Для цього ix необхiдно представити у виглядi: [(Dx, x)+(с, x)] min, де x -невiдомий вектор, D -симетрична матриця квадратичноi форми, с -певний вектор коефiцiентiв. Пiсля цього необхщно встановити вигляд матрицi D. Якщо вона не е негативно-визначеною, то задача вирiшуеться методом опуклого програмування. Якщо D -непозитивто-визначена матриця, то це задача вгнутого програмування.

Найбшьш складним е випадок, при якому власш значення, В мають рiзнi знаки.

Для опуклого й вгнутого програмування юнуе достатня кiлькiсть методiв вирiшення [6]. Однак у випадку невизначено-значимост матрицi iзне iснуе алгорштв зi складнiстю полiномiального типу. В таких випадках зазвичай застосовуеться покращений перебiр усiх граней багатогранно! множини обмежень.

Шсля вирiшення задачi квадратичного програмування знаходяться цшочисельне рiшення за допомогою одного з методiв вщЫчень [6].

Розглянемо модель, яка дозволяе досить ефективно сумютити автоматичну процедуру комп'ютерного планування з дiями оператора, який мае необхщшсть коректно втрутитися у цей процес. Уведемо коефщент аг,I = 1,...,п та сформулюемо модель:

при обмеженнях (3)-(6). При умовi а1 = а2 = ••• = ап ця постановка спiвпадае з (2). При умовi а1 > а2 > ••• >ап рiшення задачi (22) надае закрiплення деталей Хгу, Yi]■, яке мае двi кориснi властивостi. Перша властивють: на

остатнiх ресурсах можна обробити максимально можливу кшьюсть деталей наступного плану. Друга полягае в ре^заци ще! роздiлення всiх наявних ГВМ на двi групи таким чином, щоб у однiй зосередились модулi з практично виробленими ресурсами (при вказаних вище умовах це будуть модулi з номерами iз), а у другiй-модулi iз суттевими остатшми ресурсами, якi дозволяють обробити найбшьшу кiлькiсть деталей наступного плану. Це означае, що при пiдготовцi наступно! змiни необхiдно буде вiдновити ресурси тшьки на модулях iз номерами I = 1,., г, г < п . При необхщност вивести з участ в процедурi планування модуль з номером I оператору достатньо вказати а = 0. Ця постановка може бути використана для розробки плану у випадку, коли шформащя щодо наступного плану повшстю вщсутня. Для цього вибираемо коефщенти а, I = 1,., п таким чином, щоб а > а2 > • • • > ап. Позначимо через ^ вектор остатнiх ресурсiв I -го модуля. Маемо:

ЕЕа •%]■ ^ max,

(22)

I=1 ]=1

^ = NI -£Х] .м

]

(23)

]=1

Отримуемо наступну задачу:

£^ ^ min, (24)

1 =1 i=1

при обмеженнях

m n

£Xy.М; < N i, i = 1,... , n = А;, j = 1,... , m, i = 1,..., n (25)

j=1 i=1

i знову отримуемуемо задачу ЛП. Ii' рiшення буде надавати таке X.,

що найбiльшi остатнi ресурси будуть мати модулi з бiльшими номерами i чим бшьший номер, тим вiрогiднiше, що там зостануться невичерпаш ресурси.

Процедура оперативного планування виробництва ГВС. Як видно зi структури наведених вище сшввщношень, усi задачi оперативного планування виробництва ГВС, надаш вище,за виключенням (14)-(16), (19)-(21) або е задачами ЦЛП, або зводяться до них. 1снуе достатня кiлькiсть методiв вирiшення задач ЦЛП, кожний з яких е послщовшстю взаемопов'язаних задач [5].

Розглянемо один iз таких методiв, який вважаеться доцiльним для практичного використання. Кожна вихщна задача розглядаеться як задача ЛП без вимоги цшочисельност виршення. Така задача виршуеться за допомогою сiмплекс-методу (СМ) або модифжованого сiмплекс-методу (МСМ). Отриманий результат перевiряеться на цiлочисельнiсть. Для нецшочисельних рiшень проводимо сiчення, конкретно, Ычення Гоморрi першого порядку. Очення будуеться наступним чином. Нехай у ршенш вихщно'' задачi ЛП присутне нецше значення z.. Якщо таких значень

декiлька, то вибираеться значення з найменшим j. Для z. будуеться

строка сiмплекс-таблицi. До матрицi коефщент1в додаеться строка (f. L f]m), де f. = [ajt ]- aji, тобто ffi -дробова частина вщповщного

елементу, взята зi знаком "-". Крiм того, у стовпець правих частин додаеться дрiбна частина z} {z.}, взята зi знаком „-". В результат маемо

дво'сту задачу ЛП (ДЗ), яка виршуеться дво'стим СМ або дво'стим модифiкованим СМ (МСМ). Процедура проведення Ычень повторюеться до тих шр, поки не отримаемо чисто чiлочисельне рiшення вихщно'' задачi ЦЛП. Для рiшення задачi СМ необхщно привести вихiдну задачу до каношчного вигляду. Для цього формуеться допомiжна задача ЛП,

ршення яко! надае початкову сiмплекс-таблицю вихщно! задачi ЛП. Критерiем оптимальностi е не негатившсть коефiцiентiв цшьово! функци. Цього домагаються за допомогою спещально! замiни базису Ымплекс-таблицi вщносно розрiшуючого елемента. Дво1стий СМ застосовуеться до вщомо! початково! сiмплекс-таблицi i також полягае в замiнi базису Ымплекс-таблищ вiдносно розрiшуючого елементу. Цей елемент вибираеться, виходячи з того, що критерiем оптимальностi ДСМ е не негатившсть компонент вектору-правих частин дво1сто1 сiмплекс-таблицi. Процедуру приведення вихщно! задачi (моделi) до канонiчного

вигляду розглянемо стосовно до (3)-(6): £(х, + у,)м, <N.,. = 1,...,п. Тут

1=1

записано к х п нерiвнянь, у яких 2 х т х п змiнних. Додамо у лiвi частини цих нерiвнянь фiктивну змшну ,1 = 1,., к ■ п, а знак "<" змiнимо на знак "=". Маемо к х п рiвнянь з к ■ п + 2 ■ т ■ п невiдомими:

£ X, = А,, , = 1,т. (26)

г=1

Записано т рiвнянь, а невiдомi вже облжоват в (5).

£ У, < В,,, = 1, к, т. (27)

г=1

Записано т рiвнянь, невiдомi теж облiкованi. Додамо до лiвоl частини (27) змшну ,1 = к ■ п +1,., к ■ п + т. Цiею дiею анаизоваш нерiвняння, зведенi до обмежень типу рiвняння. Усього маемо к ■ п + 2т рiвнянь з 2 ■ п ■ т + к ■ п + т невщомими.

Побудуемо каношчну систему рiвнянь для задачi ЛП. Для цього в лiву частину рiвняння (26) додамо штучну змiнну. Маемо всього 2 ■ п ■ т + 2 ■ к ■ п + 3т невщомих. Матриця коефщенлв Ымплекс-таблищ визначиться(28):

м М1 I

м М1 I

I I

I I I

(28)

де I -одиничш мaтриця. Стовпець npaBrn чaстин буде мaти вигляд:

ßT =(N 11 ■■■N 1к •••N„i •••nПкAl l AnBl lb„). (29)

Коефщенти цiльовоï функцiï для допомiжноï сiмплекс-тaблицi зaпишуться:

r л

p= j^kjjl,?!.^,-1 k -1

V n n J

(30)

кк де Pl =(Pl k Pm ), Pj(l) =-£M;l - 1, P2 =(Pl(2) k ) ^ =-£M(;;) - 1. (31)

l=l j=l

Знaчення цiльовоï допомiжноï функцiï:

n m m

(- G)=-]T Nj (A; +B;). (32)

i=l ;=l ;=l

Анaлогiчно, для постaновки (23)-(25) мaтриця коефiцieнтiв Ымплекс-тaблицi:

M 11

M : : I

I I :

(33)

Стовпець прaвих чaстин:

ßT =(N 11 l N 1к l N „i l n ^ Al l A m ). Коефщенти цiльовоï функци для допомiжноï зaдaчi:

r л

P= î,1...p1, - 1k - 1

V n J

(34)

(35)

Зшчення цiльовоï функци:

п т т / \

р = -Е Е N „-£ (а (36)

¿=1 1 =1 1=1

Таким чином, отримаш допомiжнi сiмплекс-таблицi для основних видiв аналiзованих задач.

Розглянемо алгорштчну реалiзацiю аналiзовано! процедури оперативного планування. Вона складаеться з декшькох крокiв.

Крок 1. Користувач вказуе вид постановки, яка може вмiщувати або не вмщувати данi щодо плану на наступний перюд. В залежност вiд цього використовуеться шмплекс-таблиця (28) або (33). Стовпцi право! !! частини, коефiцiенти цiльово! функцн й значення цiльово! функцн обчислюються згiдно (29)-(32) або (34)-(36) вщповщно. Усi штучнi змiннi, якi використовуються для приведення задачi до каношчного вигляду, вибираються базисними, iншi-вiльними.

Крок 2. Для отримання допомiжно! шмплекс-таблищ будуеться оптимальне рiшення на основi СМ. Оскiльки СМ використовуеться також i на iнших кроках цього алгоритму, його реалiзацiю розглянемо нижче. Шсля кожного кроку СМ проводиться перевiрка переходу будь-яко! штучно! змшно! з базисно! у вiльну. При наявност такого переходу вiдповiдний елемент Ымплекс-таблищ викреслюеться. Далi можливi два випадки:

- цшьова функцiя виявилася бшьшою за нуль. Це означае, що допомiжна функцiя не мае ршення;

- цiльова функцiя дорiвнюе нулю. У цьому випадку також видшимо два випадки:

- серед базисних змшних не iснуе нi однiе! штучно!. Це означае, щоодержана оптимальна Ымплекс-таблиця допомiжно! задачi е початковою Ымплекс-таблицею основно! задачi;

-серед базисних змшних юнуе по менший мiрi одна штучна змiнна. Тодi: якщо вс елементи вiдповiдно! сiмплекс-таблицi дорiвнюють нулю-строка викреслюеться, в iншому випадку любий ненульовий елемент ще! строки вибираеться як розршуючий i виконуеться замша базису. Якщо у складi Ымплекс-таблищ п строк, то така операщя може бути проведена не бшьше нiж п - г разiв, де г -ранг матрищ сiмплекс-таблицi. Пiсля замiни штучна змшна е вiльною i вiдповiдний стовпець викреслюеться.

Отримана оптимальна Ымплекс-таблиця допомiжно! задачi е початковою для вихщно! задачi.

Крок 3. Проводиться перерахування вихщно! цiльово! функцi! у функщю вiльних змiнних. Для цього береться Ымплекс-таблиця, яка

побудована за допомогою кроку 1. При цьому уточнюеться вибiр критерiю оптимiзацii. Якщо обраний критерiй пов'язаний з вибором коефщенпв уводить то користувач вводить 'хш бажанi значення. У вщповщносп до отримано'' шформаци обчислюються коефiцiенти цшьово'' функци та ii значення. Далi виконуеться процедура перерахунку:

- обираеться номер n базисно'' змшно'' з сiмплекс-таблицi, яка отримана за допомогою кроку 2;

- у вщповщному стовпцi сiмплекс-таблицi шукаеться ненульовий елемент Акп, де k -номер строки. Даш для всiх m = k + 1,... , krw, i - 1,..., kst (krw -число строк у Ымплекс-таблищ, kst -число стовбщв) виконуеться:

А mi = А mi - А min * А ki / А kn .

Ця операцiя проводиться для всiх n номерiв базисних змiнних сiмплекс-таблицi кроку 2. Така процедура е коректною тому, що матрицi (28), (33) мають ранг, який дорiвнюе кiлькостi строк, таким чином, ус строки зазначених матриць е лшшно-незалежними. Це означае, що лшшна операцiя, яка проводиться, не може перетворити будь-яку строку в нульову. Таким чином, кожного разу тд номером базисно'' змшно'' у вщповщному стовпцi буде знаходитися ненульовий елемент Акп, що i робить коректною цю процедуру перерахунку цшьово' функци. Коефщенти цшьово'' функци перераховуються наступним чином: р = р - Pn * Аы / Аn, i = 1,..., ks. Стовпець правих частин перераховуеться: Bm = Bm - Bk * Аmn / Аkn, m = 1, k, krw . Значення цiльовоi функцй' буде: G = G - Bk * Pn / Аkn. Отримаш значення р, G приписуються до Ымплекс-таблищ кроку 2 замють ранiшнiх.

Крок 4. Проводиться ршення отримано'' на кроку 3 задачi (сiмплекс-таблицi) за допомогою СМ. Маемо ршення задачi ЛП. Однак серед ршень (правих частин оптимально'' Ымплекс-таблищ) можуть бути нецiлочисельнi, цьому виконуеться крок 5.

Крок 5. Знаходиться нецшочисельне ршення Вг. в оптимальнш сiмплекс-таблицi. Якщо такого немае, то виконуеться перехщ до кроку 6. 1накше для знайденого Вг проводиться сiчення. До матрицi Ымплекс-таблицi дописуеться строка ({Аг1}{Аi2}.,{Аlkst},{Бг}), яка взята зi знаком „мшус", {Аk},k = 1,.,kst -дробова частина елементу Аk, i-номер строки з нецшим рiшенням Вг.. В результатi маемо дво'сту задачу ЛП, яка вирiшуеться за допомогою дво'стого СМ. Якщо в результап вирiшення номер приписувано'' строки змшюеться з базисного на вшьний i усi елементи вiдповiдного стовпцю позитивш, цей стовпець викреслюеться. Шсля отримання оптимально'' таблицi ДЗ слщуе перехiд до кроку 6.

Крок 6. Маемо оптимальне цiлочисельне ршення, однак необхiдно подати його у виглядi розподiлення деталей X,, а також, якщо необхiно,

розподшення для слiдуючого плану У,,/ = 1,..., п,, = 1,..., т. Для цього

проводиться переставляння строк оптимально! Ымплекс-таблищ для того, щоб номери базисних змшних розташовувалися зростаючи. Далi за допомогою допомiжно! таблиц кроку 1 встановлюеться вiдповiднiсть мiж номером базисно! змiнно! та елементом матриц рiшень X,, У,. Отримаш

результати виводяться.

Зазначена процедура може бути використана кшька разiв до тих шр, поки користувач не буде задоволений отриманим ршенням. При цьому можуть варшватися критерiй або коефщенти.

Розглянемо особливостi алгоритмiчно! оргашзаци СМ. Нехай побудована сiмплекс-таблиця каношчно! форми задачi ЛП. Розглядувана реалiзацiя складаеться з трьох крокiв.

Крок 1. Вибiр розв'язуючого стовпця. Якщо вс коефiцiенти цшьово! функцi! не е негативними, оптимальне ршення знайдено. В супротивному випадку (серед коефщенлв цшьово! функцi! е негативне число) запам'ятовуеться номер негативного коефiцiента ,*. Якщо таких коефщеш!в декiлька, то за , * вважаеться номер найменшого негативного

Р„.

,

Крок 2. Вибiр розв'язуючо! строки. Якщо в розв'язуючому стовпщ , * всi елементи А, не е позитивними, то мiнiмуму не iснуе. В супротивному

випадку для вЫх позитивних А, необхiдно обчислити спiввiдношення В. / А. Строка 1", для яко! -В— = шт-^-, е розв'язуючою строкою.

Крок 3. Замша базису. Якщо д -будь-яке значення в Ымплекс-таблищ, то через д позначимо значення елементу, який сто!ть у новш таблицi на тому ж самому мющ: I = ,*,, = 1 для всiх I* ,*, ,* =Г,, = 1 для

вск / * ,*, А* = —^, —, ** = Аг,* для всiх , * ,*, 13,.. = В. • А,..*, А,* = • —,

г* ,

для всiх 1*1", рр,* = —РР, -А,*, *, — = А, -А,*-— для всiх 1*1",, * ,", Р, = Р, - А,* ■ Р,* для всiх , * ,", В, = В, - В,* ■ А для вЫх г * 1",

(-60)= (-О0)-В■ Р. Далi слiдуе перехiд до кроку 1.

Реалiзацiя ДСМ е дещо особливою. Нехай маемо дво!сту Ымплекс-таблицю з позначеннями, якi аналопчш СМ. Тодi:

Крок 1. Вибiр розв'язуючо'' строки. Серед негативних Вг.

вибираються мiнiмальне число, а вщповщна строка зветься розв'язуючою, Якщо усi в. позитивнi-знайдено оптимальне рiшення.

Крок 2. Вибiр розв'язуючого стовпця. Якщо усi елементи розв'язуючо'' строки не е негативними, то оптимального ршення не iснуе. В супротивному випадку для вЫх негативних А складаеться вiдношення

р. /| А|. Стовпець j, у якому це вiдношення е мiнiмальним, е

P р

розв язуючим: —— = min - J

А а »<о А ¿"7* « I

Крок 3. Спiвпадае з вщповщним кроком СМ.

Висновки й перспективы використання. Таким чином, запропоноваш матерiали, якi можуть бути теоретичною основою для створення засобiв автоматизованого оперативного планування у складi СЗФ ГВС. Зокрема, запропоноваш моделi вiдтворюють достатнш перелiк реальних виробничих ситуацiй, як виникають при використаннi ГВС. Бшьшють цих моделей може бути реалiзована за допомогою достатньо простих обчислень. Наведена процедура оперативного планування вщтворюе специфшу оперативного планування виробництва у ГВС та базуеться на використанш математичного апарату ЦЛП.

Перспективою запропонованого е його програмне реалiзування у складi СЗФ.

Список лтератури

1. Чуб С. Проблеми термшологл гнучких виробничих систем // Стандартизащя. Сертифкащя. Яюсть. - 2005. - №5. - С. 37-42.

2. Чуб С.Г. Управлшня ресурсооб^ом у гнучких виробничих системах // Зб. науков. праць. - Донецьк: Дон 1ЗТ, 2005. - Вип. 4 . - С.19-24.

3. Тресков М.К., Новиков И.Я. Оперативное планирование производства на уровне механического цеха // Совершенствование орг. и планир. пр-ва изделий на пром. предприятиях / Под ред. В.А. Петрова. - Л., 1981. - 92 с.

4. Iwata K., Murotsu Y., Oba F., Yasuda K. Optimum Produstion Sheduling in Flexible Manufacturing Systems. - VI Intern. Conf. on Production Research, Novi Sad, Yugoslavia, 1981. - P. 441-445.

5. Ашманов С.А. Линейное программирование. - М.: Наука, 1981. -340 с.

6. Саати Т. Целочисленные методы оптимизации и связанные с ними экстремальные проблемы. - М.: Мир, 1973. - 302 с.