Застосування методу декомпозиції для розв'язування задач математичного програмування із нелінійними обмеженнями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.863 Доц. М.В. Дацко, асист. О.М. Ланьош -

Львiвський НУ M. 1вана Франка

ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ДЕКОМПОЗИЦП ДЛЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ 13 НЕЛ1Н1ЙНИМИ ОБМЕЖЕННЯМИ

Запропоновано тдхщ до розв'язування задач математичного програмування для випадку нелiнiйних обмежень.

Ключов1 слова: метод декомпозицп, нелшшш обмеження, оптимальне вико-ристання ресурав.

Assoc. prof. M. V. Dacko; assist. O.M. Lanyosh -L'viv NU named after Ivan Franko

The approach to solving of the mathematical programming problems in the case of non linear restrictions is introduced

Offered approach to untying of tasks of the mathematical programming for the case of nonlinear limitations.

Keywords: decomposition method, non linear restrictions, optimal use of resources.

Можна навести багато приклад1в, коли при постановщ задач лшшного програмування невщомими, чи не до кшця визначеними е значення матриц обмежень задач! лшшного програмування.

Нехай, виходячи з1 сказаного вище, маемо задачу лшшного програмування, задану у вигляд1

n

max L = J CjXj , (1)

j=1

J ajXj = b0 , (2)

j=1

Aj aj <bj, j = U де k <n, (3)

Xj > 0, j = ~n . (4)

У задач! (1-4) частина стовпщв, зокрема з першого по k-тий, матриц системи обмежень (2) не задаш явно, а е розв'язком систем нер1вностей (3). Така задача мае вважатися задачею нелшшного програмування, тому, якщо стовпщ a3 ( j = 1, k ) вважати невщомими, то система обмежень (2) е нель ншною з уЫма наслщками, що з цього випливають. Отже, найважливше, що таку задачу не можна розв'язувати за допомогою метод1в типу симплексного.

Задач1 такого типу можуть мати р1зну економ1чну штерпретацда. Роз-глянемо, наприклад, задачу про оптимальне використання ресурЫв. Матема-тичну модель цiеï задач1 запишемо:

n n n

max L = J CjXj ; J ajXj < b0 ; J ajXj < b0 . j=1 j=1 j=1

У цiй задачi m-вимiрний вектор b0 своïми компонентами задае наявш запаси ресурсiв, Xj шукаш обсяги випуску продукцiï, с3- прибуток вщ реаль

5. Тнформацшш технологи галузi

263

зац11 одиниц1 продукци ]-го виду, а т-вимфш стовпчики а] м1стять затрати ресурЫв кожного виду на випуск одинищ продукци ]-го виду. В деяких ви-робничих процесах, наприклад у х1м1чнш промисловост щ затрати на випуск одинищ продукци певних (або вЫх) вид1в можуть бути не детермшованими, а залежними вщ використання т1е! чи шшо! технологи, що застосовуеться у виробнищш. Тод1, якщо щ залежност можна точно, або хоча б наближено, подати у вигляд1 лшшних систем виду

Л1 а1 < Ь, j = \к де к < п,

То тод1 отримаемо задачу виду (1)-(4). За допомогою методу декомпо-зици задачу (1-4) можна розв'язати з використанням лшшних метод1в розв'яз-ку. Перепишемо умови задач! 1-4 у виглядг

к п

тах Ь = £ с + £ с , (5)

1=1 ] = к +1 к п

£ + £ = Ь0, (6)

1=1 ] = к+1

Л1 а1 < Ы, ] = 1Д, (7)

X] >0, 1 = \п . (8)

Для спрощення викладок приймемо допущення про те, що кожна 1з к систем (7) визначае обмежену множину. Под1бно, як це зроблено в загально-му метод! декомпозици, шдхщ, який буде розглянуто нижче, може бути уза-гальнений 1 на загальний випадок.

Нехай {а, V = 1, Sj■ (9) сукупшсть вЫх вершин системи обмежень (7)

для кожного у = 1, к. Тод1 довшьний стовпець а] (у = 1, к) системи обмежень (6) можна подати у вигляд1 опукло! лшшно! комбшаци стовпщв сукупност

(9).

Sj . . Sj _

aj = £ajzj, £zj = 1 zj >0, v = 1, Sj (10)

v=1 v=1

Перетворимо задачу (5-8) за наступними правилами:

1. Кожне Xj (j = 1, к) у першш частинi цшьово! функци помножимо на

sj

рiвну одиницi суму £ zj

v=1

2. Кожне aJ (j = 1, к ) у лiвiй частинi системи обмежень (6) замшимо

Sj

сумою £ aj,zj

v=1

Унаслщок одержимо задачу такого виду:

к Sj n

max L = £ CjXj £ zj + £ CjXj , (11)

j=1 v=1 j=к+1

к S ■ n

£ (£ zJaJ)Xj + £ aJXj = b0, (12)

j=1 v=1 j=к +1

264

Збiрник науково-технiчних праць

Xj > 0, j = 1, n, zj > 0. (13)

Очевидно, якщо aJ (j = 1, к ) поданi у виглядi (10), то системи (7) за-довольняються автоматично. Перетворимо одержану задачу так:

к Sj п

max L = ZZ CjXjzV + Z cjXj, (14)

j =1 v=1 j=к+1

к Sj n

ZZaVxjzV + Z ajxj = b0, (15)

j=1 v=1 j=к+1

Xj > 0, j = 1, n, zV > 0 j = 1, k, v = 1, Sj. (16)

Далi зробимо замшу Xjzj= yV j = 1,k, v = 1,Sk (17). Враховуючи не-вщ'емшсть Xj та zV, що ошдуе з умов (16), yV також невщ'емш. Одержуемо задачу

k Sj n

maxL = ZZ CjyV + Z cjXj , (18)

j=1 v=1 j=k+1

k S ■ n

ZZaiyV + Z j = b0, (19)

j=1 v=1 j=k+1

xj > 0, j = к +1, n, yV > 0 j = 1, к, v = 1, Sj . (20)

Задачу (18-20) назвемо X-Y задача. Для розв'язування ще! задачi про-понуеться застосувати симплекс-метод з оберненою матрицею. При такому mдxодi до Ii розв'язування не потрiбно мати вс стовпцi aJ, j = 1, к, v = 1, Sj (стовпцi aJ, j = к + 1,n, вiдомi). Достатньо на кожнш iтерацii методу мати ix сумарну кшьюсть рiвну m, оскшьки система обмежень (16) складаеться iз m рiвнянь.

Нехай маемо базисний план X-Y задачi (18-20), перевiримо його на оптимальнiсть. 1з запису X-Y задачi видно, що вона мае двi групи змiнниx

yVj (j = 1, к, v = 1, Sj) та xj (j = к +1, n). Для цього будемо шукати найменшу серед ощнок в обидвох групах змшних.

Нехай В-базисна матриця вщповщна базисному плану, який перевь ряеться на оптимальшсть. Оцiнки змiнниx xj (j = к +1, п) можна обчислити

явно за вщомою формулою оцiнок dj = сБв~1аJ - cj, j = к +1, п , або dj = Лтаj - Cj, де Лт = стбВ —.

Для оцiнок Av решти змiнниx yj в кожнiй з k груп шукаемо найменшi

min Av = min (сБВ_1аJ - Cj) = min (ЛтaJ)- Cj .

v=1? S j v=1? S J

Для цих оцiнок задача визначення найменшо!' ощнки може бути сфор-мульована так: серед вершин кожного многогранника (3) знайти таку, яка мь нiмiзуе лшшну форму ЛтaJ. Визначити таю вершини можна розв'язуючи за-дачi (назвемо !х ax - задачами).

5. 1нформацшш технологи raiy3i

265

Лтаj ^ min Ajaj < bj, j = 1k

Якщо aj (j = l k) - оптимальнi плани цих задач, то умовою оптималь-

ност плану X-Y задачi, котрий перевiряеться, е виконання умов:

dj > 0, j = k +1 n , (21)

A j =Лта^ - cj > 0, j = 1k. (22)

Якщо серед умов (21,22) виконуються не Bei, то план X-Y задачi не оптимальний i для його покращення потрiбно ввести в базу стовпець коефь цiентiв при невiдомiй, що мае найменшу оцiнку. Якщо найменшою е одна i3 оцiнок dj, j = k +1 n, то в базу вводимо вщповщний стовпець aj, якщо ж

найменшою е одна i3 ощнок AJ , то в базу вводиться вщповщний вектор aJ ,

rj rj

що е оптимальним планом вщповщно! ах -задачi.

Виходячи iз наведених вище мiркувань, можна запропонувати такий алгоритм розв'язку задачi (11)-(13):

1. Задачу (11)-(13) зводимо до каношчно! форми.

2. Будуемо початковий базисний план i заповнюемо початкову сим-плекс-таблицю для симплекс методу з оберненою матрицею X-Y задачi. Якщо система обмежень (2) була системою нерiвностей типу "<" i вектор b0 мав невщ'емт компоненти, то початковий план очевидний. Базисними бу-дуть доповнювальнi змшт, доданi до лiвих частин уЫх нерiвностей. Вектор сБ буде дорiвнювати 0-вектору. Базисна матриця B е одиничною матрицею. Тому AT = стБВ-1 =( 0,...,0) нульова с^чка. Якщо серед обмежень (2) були рiв-

няння або (i) нерiвностi типу " >", то для визначення початково! бази X-Y за-дачi можна використати метод штучного базису (в обмеження, як не мають базисних змшних вводяться штучш змiннi з коефщентом М у цiльовiй фун-кци, де М - як завгодно велике число).

3. Обчислюемо AT = стВ-1.

4. Обчислюемо ощнки dj, j = k +1, n за формулою dj = Лтаj - сj.

Лта3 ^ min

5. Розв'язуемо к ах задач __Нехай аГ оптимальнi плани

Ajaj < bj, j = 1k J

цих задач.

6.Обчислюемо к найменших оцiнок для кожно! з к груп невiдомих yi (j = 1, k) за формулою Amin = ATaJt.J - сj.

7. Серед ощнок dj, j = k +1, n та Amin,(j = 1k) вибираемо найменшу. Якщо вона вщ'емна, то робимо висновок про те, що план X-Y задач^ який пере-вiряеться, не е оптимальним i переходимо на наступний пункт. У протилеж-ному випадку план X-Y задачi оптимальний i переходимо на пункт.

8. Для покращення плану X-Y задачi в базис потрiбно ввести стовпець коефщенлв при невiдомiй, яка мае найменшу ощнку. Це може бути або кот-рийсь iз стовпцiв aj j = k +1, n, якщо найменшою виявилась котрась iз ощнок

266

Збiрник науково-техшчних праць

ёу, або розв'язок котро!сь ах задач^ якщо найменшою була ощнка з групи оцiнок Ду. Для цього обчислюемо добуток обернено! матрицi до базисно! на вибраний для введення в базу стовпець. Унаслщок одержуемо розв'язковий стовпець. Шсля цього виконуемо симплекс перетворення, внаслщок чого от-римуемо новий базисний план Х-У задачi i обернену матрицю до ново! базисно!. Далi переходимо на пункт (3).

9. 1з оптимального плану Х-У задачi отримуемо оптимальний план початково! задачi. Якщо серед базисних компонент оптимального плану Х-У за-дачi е змiннi ху, (у > к +1), то !'хш значення в оптимальному плат Х-У задачi

залишаються i в оптимальному плаш початково! задачi. Якщо ж серед базисних змшних !х нема, то вони мають значення рiвнi нулю.

Значення змiнних ху (у < к) в оптимальному плат початково! задачi

рiвнi х°пт = £ у у опт .

м=1

Таким чином, запропонований у стат пiдхiд дае змогу розв'язати задачу лшшного програмування iз врахуванням можливих невщомих значень матрицi обмежень за допомогою методу декомпозицi!.

УДК 681.518:004.9 Ст наук. ствроб. Л.А. Блонський, канд. фiз.-маm наук -

Мiжрегiональна академш управлтня персоналом

CTHEPrETmHI ПPИHЦИПИ ПРОЕКТУВАИЯЯ ABТOМAТИЗOBAHИX IHФOPМAЦIЙHИX СИСТЕМ

Розглянуто основш засади та методологш синергетичного тдходу до проекту-вання автоматизованих шформацшних систем

Kлючoвi слoвa: синергетичш принципи, автоматизоваш шформацшш систе-

ми.

Senior research officer L.A. Blonsky -Inter-Regional Academy of Personnel Management

The synergetic basic principles in the information automated

systems design

The synergetic basic principles and methodology in the information automated systems design are considered.

Keywords: synergetic principles, information automated systems.

Основним напрямом розвитку вЫх сфер дiяльностi сучасного суспшь-ства e створення та вдосконалення автоматизованих шформацшних систем рiзного призначення, шдвищення !'х продуктивностi, нaдiйностi та якость Са-ме у цьому нaпрямi вiдбувaeться iнтенсифiкaцiя пошукових робiт спещалю-тiв з iнформaцiйних технологiй: проектувальниюв, дослiдникiв, прогрaмiстiв, дизaйнерiв. Для усшшного досягнення позитивних результaтiв важливо мати сучасне свггобачення у загальному тдхода до процесу проектування та досль дження iнформaцiйних систем. Таким свггобаченням сьогоднi e синергетика - наука i методолопя вивчення процеЫв сaмооргaнiзaцiï, виникнення, шд-

5. IM(|)o|)Maiiiiíiii технoлoгïi гaлузi

26V