CC BY
22
4. ШФОРМАЩЙШ ТЕХНОЛОГИ ГАЛУЗ!
УДК 538.56:519.21
СИСТЕМНИЙ АНАЛ1З НЕГАРМОН1ЧНИХ СИГНАЛ1В I СИСТЕМ ТА АТЕВ-ФУНКЦН Я.П. Драган1,1.М. Дронюк2
Зроблено огляд застосувань оператора узагальненого зсуву для теори негармошчних сигналiв. Класична теорiя комунжацп та опрацювання сигналiв спираеться на формаль-ний апарат теорп гармонiчних функцш. Але для мереж спецiального призначення важ-ливо використовувати iншi функци. Показано, що у комушкацп широко використову-вали розклади за функцкми Беселя, а також будь-яка повна ортонормована система функцш може бути використана для розкладу у ряди чи штеграли, що е вщповщниками й узагальненнями розкладiв Фур'е. Тому запропоновано за базис розкладу використати Л1еЬ-фунщп, як ортонормовану систему. Показано, що так введет перетворення утво-рюють алгебру.
Ключовi слова: оператор узагальненого зсуву, Л1еЬ-фунщп, алгебра Л1еЬ-перетво-рень, мережi спещально! комунжацп.
Вступ. Суть комушкаци та И теор1я. Класична теор1я комушкацп та опрацювання сигналш (так називають ф1зичш процеси, тобто змшш у час ф1зичш величини, за допомогою яких передають вщомосп, числов1 даш 1 тлн.) спираеться на формальний апарат теори гармошчних функцш, тобто синусощних та косинусовдних чи на теоретично створене 1 запроваджене Ойлером комплек-сне стисле подання узагальнення !х у вигляд1 комплексних експонент: ех=сохг+«тх, созк=1/2(ва:+е~-х), smx=1/2(eи-e-'x). Шдставою його була, як наго-лошують дослвдники, природнкть генерування таких коливних процес1в та не менш ктотна в цьому раз1 обставина, що гармошчш коливання (як переносники даних, ведомостей, тобто р1зного типу повщомлень) проходять через швар1ан-тш, тобто з1 сталими в час характеристиками та параметрами, без спотворень. Таю системи перетворення тшьки послаблюють !х (тобто зменшують ампл1ту-ди) 1 затримують в час1: А[ае'х]=сАае'(х-ф), де А - оператор системи, а - ампл1ту-да, ф - затримка (фаза), с - коефщент. А через пов'язання гармошчних функцш формулами Ойлера або вираження 1х за допомогою комплексних екпонент, да-ють змогу використовувати для розрахунюв операторний метод Гевкайда [8, 15], коли операцда диференцдавання трактують як формальну зм1нну чи пов'язане з ним традицшне для математиюв перетворення Лапласа [20].
У середиш ХХ ст. фахшщ широко дискутували можливосп створення за-собш комушкаци (для р1зних щлей, зокрема й для т. зв. спещальних), базованих на використанш - замкть традицшних до того 1 безапеляцшно пашвних гармошчних носив - сигнал1в у вигляд шших ортогональних функцш. Зокрема, з'ясовано, що система функцш Гаара-Уолша мае таку важливу перевагу, що можна побудувати теорда фшьтрш, для реал1зацп яких немае потреби викорис-
1 проф. Я.П. Драгая, д-р ф.-м. наук - НУ "Львгвська полггехнгка";
2 доц. 1.М. Дронюк, канд. ф.-м. наук - НУ "Льв1вська полггехнжа"
товувати шдуктивносп, як у разi звичайних частотних фiльтрiв. Тому свого часу в багатьох крашах були побудоваш i успiшно функщонували багатоканальнi системи на таких функщях [13, 17, 22]. Це зумовило потребу розроблення пи-тань модуляцп (латин. шоёи1ог розмiрюю - тут у значенш змiна в часi парамет-рiв регулярного фiзичного процесу) сигналiв-носiíв та канатв i мереж, переси-лання 1х з метою отримати певш "виграшi" [8]. Зокрема, як тепер кажуть, з метою "захисту шфомацц" (чи радше захисту пересилання даних).
Пiд мережею розумши розгалужену систему, створену шляхом послвдов-ного та паралельного сполучення ланок загалом негармонiчних переносникiв. Для аналiзу 1х за еталон досить узяти мережу з усша ланками iз однотипними переносниками, тобто такими, що елементарш переносники в них е п самi. В iншому разi, потрiбен узгоджувач-перетворювач "координат" [7] або, як ще на-зивають 1х, координатних чи базових функцiй сигналiв-переносникiв.
1. Пошуки нових можливостей. Лiнiйнi iнварiантнi в часi електричнi кола тшьки послаблюють i затримують гармонiчнi (тобто синусовдш та косинусовд-нi, а в теорц в силу формул Ейлера - комплексно-екпонентнi) функцií. Вони мали переваги над шшими повними системами ортогональних функцiй доти, доки резистори, емносп та шдуктивносп були основними елементами електричних кш перетворювачiв. Електричнi радiолампи i транзистори забезпечили можли-вiсть генерувати таю несинусовдш коливання як послiдовностi шпульсш, але до виникнення iнтегральних схем реалiзувати цю можливiсть було економiчно не-вигiдно.
Використання синусовдних функцш теоретично забезпечуе формальний математичний апарат аналiзу Фур'е, що у вислвд дае перехад вiд функцiй часу до функцш частоти, тобто Фур'е-образш функцш часу. Але, з шшого боку, по-дання через синусощш функцií е тiльки одним iз багатьох можливих. Бо всяка повна ортонормована система функцш може бути використана для розкладу на елементарш складники - розклади у ряди чи штеграли, що е вiдповiдниками й узагальненнями розкладав Фур'е. Зокрема, у комушкацл широко використову-вали розклади за функщями Беселя. I для багатьох систем функцш е також пе-ретворення, подiбнi до перетворень Фур'е [8, 13, 17, 22]. Показано, що для них кнують методи модуляцш, яш ввдповщають амплiтуднiй, частотнiй i фазовiй модуляцп гармонiк.
Зокрема, узагальнення поняття частоти дало багато теоретичних результа-тiв, важливих для теорп комунiкацiй. 1дея його така [15]: частота е параметром, тобто ^зичною) величиною, задания значень яко1 характеризуе об'ект, i яка е сталою тiльки за умов конкретно!' задача Показано [15, 22], що частоту можна штерпретувати як половину кшькосп перетишв функцiею нульового рiвия ("нуля") за одиницю часу. Перетин "нуля" можна означити i для несинусощно! функцií. Для цього запроваджено новий термш ф-часткть як половину се-редньо! кiлькостi перетинiв нульового ршня за одиницю часу.
Поняття перюду коливань Т=1// i довжини хвилi Х=у// пов'язане з частотою. Тому замша частоти/на часйиъ ф веде до таких загальшших означена: середнiй перiод коливань Т=1/ф як середня вщстань у часi мiж перетинами нуля, помножена на два; середня довжина хвилi А=у / ф - середня вщстань у просторi мiж нулями, помножена на два. Тут V - швидюиъ розповсюдження нулш.
Уже розроблено цифровi пристро!' ущiльнення та фшьтри на бiнарних циф-рових елементах, носи сигнув у яких описують за допомогою функцiй Волша (Walsh) чи Вiленкiна-Крестенсона [17, 22], якi мають певнi переваги (простiшi i надiйнiшi за синусоïднi), зокрема просто реалiзуються засобами геометрично!' оптики та штегральних схем у спецiальних застосуваннях.
Подальшим розвитком iдеï ортогонального подання (розкладу) е розгляну-те далi використання для цiеï мети запроваджених i дослiджених у працях [5-7] Г-варiантних процесгв.
2. Попереднi пщсумки пошукiв та перспективи А1еЬ-комушкащ'1
Як прояв ролi класично! парадигми в наущ стало свого часу повсюдне па-нування концепцiï коливань фбращй, осциляцiй, хвиль, гармонiк), перетворень Фур'е як подання коливань у вигляд суперпозицiй гармонiк, а це привело до пошуюв причин цього i до того ж, виражених у найзагальшшому виглядi, i пе-реконання, що вони полягають у прийнятш (пiдсвiдомо часто) стабiльностi речей i процесгв, режимов ïх перебку. Такий погляд пiдкрiплявся значними здо-бутками механiки, електрорадiотехнiки, оптики i спорвднених з ними галузей. Таю стабiльнi об'екти стали називати iнварiантними (з лат. invariantis), стащ-онарними (з лат. stationarius - непорушний, усталений), коли розглядаються процеси (з лат. processus - порядок проходження).
Можна вважати, що одшею з перших монографш, у якiй систематизоване, викладене з единих позицiй i математично строго обгрунтоване широке коло за-соб1в аналiзу динамiчних, iнварiантних у часi систем, як називае ïх автор В. Браун, була книжка [2]. А таю динамiчнi системи, за його словами, займають важливе мiсце в науцi й техшщ, зокрема, системи радiолокацiï, комушкацл, уп-равлiння е такими системами. Термш динамiчний (з грец. Suva^ÎKœo вiд Suva^io - сила) тут означае пов'язаний з видозмшами. Питания строгого обгрунтування стало прiоритетним перед фiзичним сенсом i навiть загальнона-уковим значенням цього справд важливого класу систем як об'екта дослщжен-ня. Книжка [23] теж як чисто математична не вказуе новi шляхи дослiджень, а тiльки розумшня минулого [20]. Ця обставина змушуе поглянути на всю проблему зi сучасних позицiй - трактування цього класу як важливого i навиъ пев-ним чином зразкового для вивчення iнших - в якомусь сенсi аналогiчних кла-ав, але вже коли вiн (тобто iнварiантний клас) стае одним iз них: позбавляемо-ся при цьому ореолу унiкальностi (з лат. unicum - едине, виняткове), а стае одним iз об'ектiв, виокремлених за унiверсальним (з лат. universum - всезагальне) вiдповiдно до тези А. Пуанкаре: "Простота - единий грунт, що на ньому можна спорудити будгвлю наших узагальнень" [18]. Отже, зi зазначеного випливае, що потрiбен виразно сформульований критерiй, придатний за основу принципу класифiкацiï.
Концептуальний бiк його стае зрозумшим з таких факпв. Очевидне сшв-ввдношення UseltÀ= el(+s)1 = eltÀ- elsÀ, що випливае iз сенсу оператора зсуву Us, який дiе як Usx(t) = x(t + s), тепер для цiеï мети можна трактувати так, що eis1 за
всякого фшсованого s е значенням у цш точцi гармонiки e1, а крапка.....е поз-
начення мiсця на ïï аргумент, тобто як UV1 = el1s ■ e1 (у певних дослiджениях,
коли важливо розрiзняти функцiю як таку та п значения за конкретного значен-ня И аргументу, математики вживають такi позначення; практики ж вважають, що краще вказувати явно аргумент функцп, зокрема послугуватись для цього Дiраковою символiкою [14]: замiсть ф(\Х), а в цьому разi е1, цей факт подали в термiнах кй-вектора - загалом |ф,1) > i вiдповiдно \е1а >, де X - параметр, а / -
час як аргумент його). А звДдси проглядаеться Ддея - узагальнити (перенести) цей факт на випадки, коли замДсть гармошки поставити Дншу функщю ф(/, X) з параметром X, яка е власною для iншого нiж диференцдавання Ж/Жг порiдного оператора Ь.Ж. Дельсарт [24] брав дещо змодифiкованi функцп Беселя зпдно з вимогою, щоб у нулi вони мали значення 1. Таким шляхом вш запровадив т. зв. оператори узагальненого зсуву (ОУЗ) Т (з лат. ТгашроЛо - переношу) зi змша-ми. У пiзнiших застосуваннях [8, 13] ще'' iдеí за порДдний взято оператор Штурма-Лiувiлля i за прикладом, що випливае з iдеí Дельсарта, означено формально вщповДдний ОУЗ виразом Т* = ф Ь) через власну функцда порiдного оператора: Ь-ф(г,Х) = 1-фг,Х). А це ршносильне тому, що Т*ф(-,1) = ф*1)ф(-,1).
ОскДльки, що показано в монографп [11] i спеиiально пiдкреслено ще у пленарнiй доповiдi [10], лшшнкть, тобто подання через лiнiйнi комбшацц еле-ментш множин, рiвносильна лМйнш упорядкованостi ''х, то функщю х(/) трак-тують як послiдовнiсть п значень, позначену (занумеровану) значеннями аргументу / на дiйснiй осД Я, що з використанням 5-функцш (у разi послiдовностi -вДдповДдно символу Кронекера [9]) i традииiйного подання вектора через його компоненти: X = (хьх2,...,хя) або ж як лшшну комбiнаиiю х = ^хк8к (тепер тут {8к, к е Щ - природний базис) подають ц у виглядд х() = | х(*)- 8(г - (а тут 8(г - *), * е Я за кожного фiксованого * е Я е Дмпульс, зосереджений у точиi *), а вся впорядкована множина цих ДмпульсДв - гребiнка íх, як кажуть техиiки, тодi "вибирае" послiдовно щ значення х(г) функцп х( )). Тому, використовуючи традицшне у фДзикДв "ортонормування на ¿-функщю" нового базису {е(г,Це Я} простору функцш, що його виражають як | е(г,Х)е(з,Х)ЖХ = д(г - *), матимемо розклад функцп за цим базисом у виглядД прямого перетворення х() = |х(*)[|е(г,1)ф,И* = - *) = IеМ)[|= |X(1)е(гД)Ж1,
де X(1) = | - образ Фур'е функиií' як вiдповiдне цьому розкладовi
зворотне перетворення. ЦД формули е вираженням розкладу функцп за цим но-вим базисом: аналогом коефщкнпв розкладу е значення образу - Х(1), що мае сенс прямого перетворення Фур'е функцп х(), а сам розклад тодД - це зворотне перетворення цього образу.
Наведеш тут машпуляцп з використанням недолюблюваного серед загалу математикДв формалДзму теорц ¿-функцп шдтверджуе не тДльки сформульовану тезу доповвд [10], але й ращю шшдатора активного використання запровадже-но'' ще ГевДсайдом функцп похДдно'' вДд його "сходинки" як виразу увшкнення електричного кола, а названо'' ошсля Дм'ям цього дослДдника ¿-функщею ДДрака Д факт, що " символДчний метод неминуче веде до розриву з кторичною лшкю
розвитку, але зате дае змогу п1Д1йти до нових 1дей якомога прост1шим шляхом" [23]. 1дея Дельсарта опираеться на факт, установления якого схематично вигля-дае так: загальноввдому (ввд 1715 р.) формулу ряду Тейлора
f (x) = £ ^ - ,
k=o k!
коли аргументом функцй' е час t, а s - параметром зсуву, тобто зафшсованим моментом часу, та D = d / dt - оператор диференцтавання за часом, подають у вигляд1
Sk
f(t + s) = (Usf )(t) = 2 jiDkf )(t).
keN„ k!
А тод1, використавши отримуваний Í3 ще!' ж формули ряд для розкладу експо-
xk
ненти ex = ^ —, цей вираз стисло подають як (Usf )(t) = esDf (t), що фактично е
keN0 k!
поданням сш'!' оператор1в зсуву Us через оператор диференщювання як порщ-ний для зсуву, тобто у вигляд експоненти ввд цього оператора Us = esD.
I тут вступае в дда факт, зумовлений обставиною, що власними функщями
цього оператора (диференцдавання) е в силу очевидно!' ршносп de'tÁ = iÁeitX,
dt
де i - уявна одиниця i = л/-1, а параметр X мае мати ф1зичну розм1ршсть, обер-нену до часу, щоб добуток 1х був безрозм1рним числом (формально це пишуть так [l] = [t]-1 i цю величину як ф1зичну трактують як частоту гармошки). Дал1 треба пригадати, що фiзики i технiки звикли зображати коливнi процеси триго-нометричними функцiями cosXt та sinXt, але вони мають простi вирази через експоненти eiix = cos x + i sin x як образи гармошк за допомогою формул Ойлера. А формально cosx=1/2(ea+e-¿r), sinx=1/2(elx-e"¿x), тому подання розкладiв функцш на гармонiки за допомогою прямого i зворотного перетворень Фур'е зручшше i простiше подати через експоненти (принаймш в теоретичних дослiджениях):
1 i
x(t) = jX(1)eit1dt, X(l) = — j x(sj' sds,
що просто випливае з подання 5-функцй' у виглядi d(u) = у~{ e'u1d1 та if власти-
востi x(t) = J d(t - s)x(s)ds .
Для повноти апарату дослiдження, окрш описаного вже придатного для паралельного з'еднання систем i сигналiв, потрiбен ще апарат для послщовного, що в разi гармонiк базуеться на властивостях згортки функцш, означувано!' ви-разом x(t) = (x¡ о x2)(t) = J x¡(s)x2(t - s)ds, яку за допомогою оператора зсуву аргументу функцй' на величину s можна подати у виглядi
(x1 о x2)(t) = J xi(s)7 sx2(t)ds . Тут — знак ермггового спряження, бо оператор U е уштарним, тобто не змiнюе квадрат норми функцй': ||x||2 = Цx(t)|2dt, бо J|Usx(t)|2dt = J|x(t + s)| dt i в силу влас-320 Збiрник науково-техшчних праць
тивостi штегралу цей вираз ршний Ц х(г)|2 Л, а ермiтово спряжений такого оператора доршнюе його оберненому и = и-. Вiдображення Фур'е теж формально можна так трактувати, що деколи роблять, бо справдi
||х||2 = |^Ж)[| ^Хрплул]Лу =|XI2
(останне в силу ¿-ортонормованосп базису). Але природшшим е трактування, що це тотожнкть Парсеваля-Релея i закон збереження енергií як загальна версiя теореми Шфагора.
I не тшьки, бо дуже повчальним е трактування цiеí тотожностi як частко-вий випадок загальшшого факту, який у разi iнварiантних у часi [23] систем ви-ражае властивiсть оператора згортки: Фур'е-перетворення згортки доршнюе до-бутковi Фур'е-образiв 11 компонента. А тому в разi загального перетворення Фур'е через гармошки воно (таке трактування) теж мало б бути справедливе.
А тепер тут постала проблема: чи можна 0 якщо так, то як) перенести цю властивкть на iншi, окрш гармонiк, базиси? На цю думку насправдi навели по-шуки потрiбного матерiалу в математичнш лiтературi, у процесi яких перший з авторiв статтi [4] як кершник групи теорц сигналш 1нституту машинознавства та автоматики АН УРСР (з 1964 р. Фiзико-механiчного шституту), вiдкрив для себе публшацда Ж. Дельсарта [24]. Другий автор мав завдання - вивчити мож-ливостi використання бесело'д у комушкацп, що його поставив йому третш автор - тода керiвник вiддiлу, в якому вони працювали. Цi факти вщповвдають те-зi А. Пуанкаре [18]: "Не так важливо, яку теорему математик довiв i яку вар-варську назву вiн дав 1'й, як те, як вiн до цього всього дшшов". Ця теза, на думку 11 автора, розкривае сенс науково!' творчостi.
Позитивна (ствердна) вiдповiдь на цю проблему привела до вироблення концепцп Г-класш систем i сигналш, базовано!' на вде!' Дельсарта, як пiдстави розроблення апарату аналiзу систем зi змшними в часi параметрами та нестащ-онарних випадкових процесш - моделей сигналш, прiоритет яко!' засвiдчуе пуб-лiкацiя [4]. На цьому конкретному кторичному вже прикладi маемо шдтвер-дження слушностi i продуктивностi тези про доконечнкть рiзнобiчного системного аналiзу на кожному етапi дослвдження та його рекуренцшно!', а не фшалк-тично1 природи.
3. Пiдсумок, коментарi та вдея реалiзацГí Ateb-комунiкацГí. Наведемо тепер стислий шдсумок аргументацп обраного шляху реалiзацií' Ateb-комунiкацií' з використанням алгебри Г-класш. Позаяк за традищею, яка пов'язана з теорiею електричних кiл, у теорц сигналш i перетворювачiв 1'х зi сталими параметрами головну роль ввдграють подання та перетворення 1'хшх характеристик засобами перетворення Фур'е-Лапласа чи операторного методу Гевкайда, який е^ва-лентний розширенню кшьця функцiй iз множенням у ньому, означуваним за до-помогою виразу
г
(Г ° 8)(г) = | Г(№ -
0
що його, особливо прикладники, називають згорткою, до поля вiдношень, теоретики ж подають з використанням оператора зсуву - такого, що
и*/ (г) = / (г + де 5 - величина змши аргументу функцц, трактована як зсув улшо й графка, i тому е параметром сш'1 {и*, * е Я} операторiв, у виглядi
г
(/ ° 8)(г) = I /(зй(1)
0
а сам оператор и* (вш уштарний, — символ ермгтового спряжения й* = и—) пов'язаний формулою Тейлора, поданою в операторнiй форм^ з оператором ди-ференщювання Б виразом
и* = £ —Бк = ею
кеЫк!
та його власними функцiями ерг: Берг = рерг, як е водночас власними i для оператора зсуву: и*ерг = ер(г+з) = ер* ■ ерг, то цi факти навели на думку - узагальнити 1х, керуючись вiдомим фактом, що перетвiр (образ) Фур'е (чи Лапласа) е зви-чайним добутком як функцш перетворш (образш) компонентов згортки. Це т. зв. основна теорема про згортку (ОТЗ). Вона е шдставою для побудови алгебри пе-ретворювачiв, позаяк згортка описуе низкове (послвдовне, каскадне) сполучен-ня перетворювачш. I тодi подання мереж як послщовно-паралельних сполучень iиварiантних перетворювачiв не виходить за межi цiеí алгебри i е також "рвд-ним" для подання стацiонарних в iмовiрнiсному сена сигналов, тому íх (сигна-ли та перетворювач^ було об'еднано в один клас - iиварiаитний (за сталктю 1х-нiх характеристик, лат. туапаш - сталий, незмiнний), який став зразком для оз-начення iнших Г-класш, як класiв варiантностi характеристик сигналш та перет-ворювачш, тип яко1 стисло виражае оператор зсуву за законом змши в час цих характеристик, а в разi iиварiантного класу - незмшносп, сталостi (iнварiан-тностi) !х.
Отже, зввдси випливае вже, що пот^бне узагальнення мае мати у свош ос-новi зазначене i опиратись на вiдповiднiй згортцi вигляду
г
(/ * 8)(г) = I /(*¥ *8(Г)&(Л), (2)
0
замiсть виразу (1). Тобто iнварiантний клас стае тепер одним iз Т-клаав як "ви-роджений" i як зразок тлумачення сенсу !х, коли гiпергрупа стае групою зви-чайних зсувiв. Таку можливкть вiдкрило запровадження оператора узагальне-ного зсуву (ОУЗ) за допомогою ще!' Ж. Дельсарта. Для розроблення потрiбного математичного апарату використано, окрш iдеí Дельсарта, дещо доповнену формальну теорда ОУЗ результатами застосувань ц до певних чисто матема-тичних задач у працях колишнього харюв'янина Б. Левiтана [14] та киянина Ю. Березанського [1].
Зокрема, у монографп [8] використано можливiсть застосування цiеí iдеí до розв'язюв задачi для оператора Штурма-Лiувiлля Ьг на швосг коли розв'язки 11 знаходять методом Ршана, i тодi для вщповщного ОУЗ отримують вираз
1 г+*
Т* = + и + | duaX.t,и)]
2 ф с
та при цьому справедливе вiдтак узагальнення формули Тейлора-Дельсарта Tts = fkL = f(s, Lt), де f(t,1) = £ Ikfk(t) - власнi функцп оператора Lt [8]. Це, ок-
kîN
рш усього, наводить на думку, що серед трiади: 1) ортонормованй базис простору сигналiв, як 1хшх математичних образiв; 2) порiдний оператор базису та 3) ОУЗ - виртальним е саме ОУЗ; бо вш забезпечуе конструкщею згортки, яка е зовнiшнiм щодо функцiй простору множенням, побудову алгебри, як засобу аналiзу у часовш областi, коли послiдовному (каскадному сполученню перетво-рювачiв вiдповiдае саме згортка ïxmx часових характеристиках (iмпульсних ре-акцiй, як кажуть прикладники).
Власне запровадження поняття Г-клас1в стало шдставою виокремлення ти-пiв часово!' змши властивостей сигнал1в i перетворювач1в та обгрунтування математичних засобiв аналiзу ïx на змiну диxотомiчного подалу на стацiонарнi та неcтацiонарнi. Специфжу, що ïï вносить т. зв. дискретний час - мова комп'юте-рiв i порiвняння з випадком континуального (неперервного) часу, проаналiзова-но в монографц [8], зокрема так недолюблювану математиками, а рiдну для фь зикiв i теxнiкiв т. зв. "ортонормовашсть на дельта-функцiю", просто перетлума-чено в термiнаx математично коректно!' теорiï оснащених гшьбертових просто-рiв [11]. А беручи до уваги, що Ateb-функцп творять обширну множину орто-нормованих функцш та кнуе значне напрацювання з використання ïx для за-хисту полiграфiчниx документiв [16], бачимо потребу i дощльнкть використання алгебричного трактування iдеï Г-клаав стосовно Ateb-функцiй як елеменпв базисiв простор1в сигналiв для спещальних комунiкацiйниx задач, продовжу-ючи традищю праць [7, 13, 17, 22].
Свого часу (1938 р.) Ж. Дельсарт у шонерськш пращ [24], показав можли-вкть розроблення ефективного апарату аналiзу в термшах функцiй, вiдмiнниx вiд гармонiк, опираючись на узагальнене трактування ряду Тейлора, i для того запровадив надзвичайно продуктивне поняття оператора узагальненого зсуву та гшергрупи. А також, як приклад, розглянув змодифжоване р1вняння Беселя з
. D d2 2 p +1 d . ,
порщним оператором Lt = Bt =—- + —--- заступником у цьому разi дифе-
dt2 t dt
2 РГ( p +1)
ренцiювання та власними функщями jp(t1) = — ^ p Ip(t1), де Ip() - функцк
Беселя p-го порядку за |p| > 1/2, та рiвнянням на власнi значення Btlp(tl) = (il)2 jp(tl) = -Á2jp(tÁ). Тому ОУЗ на пiдставi розкладу
^ G(p +1) ( itlf
]p(t1) = 2 ГП + + nI ^Т I визначае вираз к=0 Г(к - 1)Г(к + p + 1) V 2 )
Ttsf (t) = Y-Г(p +1)f2-Bkf (t) = - Г(p +11 p f(t2 + s2 - 2ts cos f) sin2p fdè,.
tJy> toГ(к- 1)Г(к + p +1) tjy> pG(p +1/2)
А вiдповiдне iнтегральне перетворення та зворотне його в цьому разi е пе-ретворенням Ганкеля
Hf(t) = J f(tyjthp(t1)dt = F(l), H -1F(1) = J F(À}Jaip(tÀ1dÀ = f (t).
Позаяк власш функцií порiдного оператора дшсш, то згортка в цьому pa3i
(g * f )(t) = J g(sWf
А з використанням вiдомоí в теорií функцiй Беселя формули Ломмеля для функцiй з обмеженим частотою зрiзу Л носкм спектра Ганкеля отримано т. зв. теорему вщлшв - пiдстaву дискретизацп неперервних сигнaлiв
fL(t) = I f(tk) *fKfL2 t2),
keN LIpA(Atk)(t2 - ф
де tk - кореш рiвняння Ip(Ltk) = 0. Подробищ описано в моногрaфií [8].
4. Алгебра Ateb-перетворень. Ateb-функцп, яю використовуються для по-дальших дослщжень, вперше згадують у прaцi шведського математика Е. Лун-дберга 1879 р., де вш називае ix гiперкутометричними функциями або сучасною мовою - гшертригонометричними чи узагальненими тригонометричними функциями [26]. Майже через сто рокш цi сaмi функцп, ще без назви AteЬ-функцií, означено у класичнш прaцi Р. Розенберга 1963 р. [27]. Дещо шзшше П.М. Се-ник узагальнив та дослвдив функцiонaльнi влaстивостi AteЬ-функцiй [20]. Введет перюдичш та гiперболiчнi AteЬ-функцií застосовують для побудови розв'язюв систем нелiнiйниx диференцiaльниx рiвнянь. П.М. Сеник застосову-вав розв'язки Ateb-функцш для дослiдження стацюнарних коливань в ктотно нелiнiйниx системах, яш взаемоддать з джерелом енергií.
У 70-ri роки учень П.М. Сеника А.М. Возний вперше розклав перiодичнi та гiперболiчнi AteЬ-функцií в ряди Тейлора в околi початкового значения аргументу. У 80-90-х роках ХХ ст. розвиток теорц AteЬ-функцiй продовжив Б.1. Со-кiл [21]. Вш довiв ортонормовaнiсть перiодичниx AteЬ-функцiй. Це дало змогу дослвдити одночaстотнi нелшшш коливання одновимiрниx тiл у резонансному та нерезонансному випадках. Було дослщжено поздовжш та крутильнi коливан-ня нелiнiйио-пружниx валш, стержнiв, зaкрiплениx рiзними способами.
У моногрaфií [17] М.А. Назаркевич розглядала застосування AteЬ-функцiй до захисту зображень. У цiй пращ показано, що застосування AteЬ-функцiй можна розширити у всi облaстi, де застосовуються звичaйнi тригонометричнi функцií, цим самим збшьшивши iнструмеитaрiй дослiджения. Зокрема, вiдомо, що будь-яку перiодичну досить гладку функщю можна розкласти в ряд за базисом ортонормованих функцш Оскшьки в [22] доведено, що перюдичш Ateb-функцií е ортонормованими, для них за аналогкю з наведеним вище, можемо побудувати розклад в ряд.
Розглянемо перюдичну вiдносно змiнноí g на промiжку [-П(т, n), П(т, n)] функцiю f(g). Вважаемо, що функщя f(g) неперервна i не мае екстремумш на за-даному штервал! Тодi ряд Фур'е для тако! функцií збiгaеться на всьому промiж-ку [-П(т, n), П(т,n)], i буде збiжним ряд на основi Ateb-функцiй. Розклад у ряд для функцпТ^) матиме вигляд
у/ а0 kpg kpg
I (g) = — + Ь \akca—-- + bksa-
2 k=1 П(т, n) П(т, n)
де: ak = 1 f f (g)ca(kP(m,n)g)dg, bk = 1 f /(g)sa(kn(m,n)g)dg.
П(т, n) П(т, n)
На цiй 0CH0Bi можна побудувати алгебру Ateb-перетворень у виглядi Л = (Л, Wf, де Л - множина операторiв Ateb-перетворення, W - сигнатура ал-гебри Л. Множина операцш W мiстить "додавання" та "множення". Ввдношен-ня додавання е звичайним додаванням функцiй (коректнiсть випливае з адитив-ностi додавання), а множенням - слугуе згортка.
Висновки. Системний аналiз, як потужний iнструмент наукових досль джень, дав змогу видiлити новий шдхвд до вивчення узагальнених гармошчних сигналiв та на цiй основi використати теорда оператор1в узагальненого зсуву. Використання цiеí теорií гарантувало далекосяжт узагальнення фундаменталь-них понять та принципе, пов'язаних з ними. Зокрема, ввдомо [14], що теорiя оператор1в узагальненого зсуву мае вагоме застосування до гармонiчного аналь зу. Оскшьки Ateb-функцп узагальнюють тригонометричнi функцц, то i^ можна застосувати до гармошчного аналiзу, тому таке поеднання вщкрило можливiсть отримати принципово новi результати у теорп узагальнених тригонометричних функцш.
Доведено, що оператори Ateb-перетворення утворюють алгебру над век-торним простором комплекснозначних функцiй, заданих на множит дшсних чисел. Вiдомо, що формальний апарат алгебр е потужним шструментом для вивчення об'ект1в, а також е основою для побудови нових конструкцш. Важли-вим напрямком подальших дослiджень е вивчення властивостей розклад1в на основi Ateb-функцiй, що випливають iз введеного формального апарату та застосування i^ для спещальних задач комунiкацií.
Лiтература
1. Березанский Ю.М. О теории почти периодических функций относительно сдвига в гиперкомплексных системах / Ю.М. Березанский // Доклады АН СССР. - 1952. - Вып. 81, № 1. -С. 9-12.
2. Браун В.М. Анализ линейных инвариантных во времени систем / В.М. Браун. - М. : Изд-во "Машиностроение", 1966. - 436 с.
3. Возний А.М. Застосування Ateb-функцш для побудови розв'язку одного класу ¡стотно нелшшних диференщальних ршнянь / А.М. Возний // Доповщ АН УРСР. - Сер. А. - 1970. -Вып. 9. - С. 971-974.
4. Глушков В.М. Алгебра. Языки. Программирование / В.М. Глушков, Г.Е. Цейтлин, Е.Л. Ющенко. - К. : Изд-во "Наук. думка", 1978. - 319 с.
5. Драган Я.П. До теори нестащонарних випадкових процеив / Я.П. Драган, Я.О. Дубров, В.М. Михайловський // Доповщ АН УРСР. - 1962. - № 9. - С. 1162-1165.
6. Драган Я.П. Некоторые общие свойства линейных преобразований / Я.П. Драган, Я. А. Дубров, В Н. Михайловский // Вопросы передачи информации : сб. науч. тр. - К. : Изд-во АН УРСР. - 1963. - Вип. 2. - С. 5-28.
7. Драган Я.П. Анализ линейных систем и нестационарных процессов / Я.П. Драган, Я. А. Дубров, В Н. Михайловский // Вопросы передачи информации : сб. науч. тр. - К. : Изд-во АН УРСР. - 1963. - Вип. 2. - С. 29-43.
8. Драган Я.П. Про класи комутативних i некомутативних лшшних перетворень випадкових ироцеов / Я.П. Драган // Доповщ АН УРСР. - 1969. - № 5. - С. 400-402.
9. Драган Я.П. Модели сигналов в линейных системах / Я.П. Драган. - К. : Изд-во "Наук. думка", 1972. - 303 с.
10. Драган Я.П. Структура и представления моделей стохастических сигналов / Я.П. Драган. - К. : Изд-во "Наук. думка", 1980. - 384 с.
11. ^ати Я П. Пpинципи лшшност модeлi в тeоpiï yпpавлiння / Я.П. ^ати // Автомати-ка-95 i пpацi Дpyгоï yxp. конф. з автомат. ^py^ - Льв1в i Вид-во HBЦ "1Т1С", 1995. - Т. 1. -143 с. - 7-S.
12. ^ати Я.П. Системний аншпз станy та обгpyнтyвання основ сyчасяоï тeоpiï стоxастич-ниx сигяалiв: eяepгeтичяа концепщя, математичний сyбстpат, фiзичяe тлyмачeння / Я.П. ^агав, Я.С. O^p^ Б.1. Явоpський. - Льв1в i Вид-во !ИВФ "Укpаïяськi тexяологiï", 2014. - 240 с.
13. ^отом^е^ка Х.Т. Iнтeгpyвання дeякиx Ateb-фyнкцiй / Х.Т. ^отом^е^ка // Biсяик Дepжавяого yнiвepситeтy "Льв1вська полiтexяiка". - Cep.: Фiзико-матeматичяi наyки. - Льв1в i Вид-во ДУ "Льв1вська полiтexяiка". - 1997. - Вип. 46. - С. 10S-110.
14. Лабyнeц В.Г. Aлгeбpаичeская тeоpия сигналов и систем / В.Г. Лабyнeц. - Кpасяояpск : Изд-во Ун-та, 19S4. - 244 с.
15. Левитан БЖ. Опepатоpы обобщенного сдвига и mx яeкотоpыe пpимeяeния / Б.M. Левитан. - M. : Изд-во "Физматгиз", 1962. - 324 с.
16. Льюнг Л. Идентификация систем. Тeоpия для пользователей / Л. Льюнг. - M. : Изд-во "Шука", 1991. - 472 с.
17. Hазаpкeвич MA. MeTC^ пiдвищeння eфeктивяостi полiгpафiчяого заxистy засобами Ateb-фyнкцiй / M. А. Hазаpкeвич. - Львiв : Вид-во Льв1всько'1 полiтexяiки, 2011. - 2SS с.
1S. Пойда В.П. Cпeктpальный анализ в .^^pe^bix оpтогояальяыx базисаx / В.П. Пойда. -Mинск : Изд-во "Hавyка i тэxнiка", 197S. - 136 с.
19. Пyанкаpe А. О яаyкe / А. Пyанкаpe. - M. : Изд-во "№5™", 19S3. - 560 с.
20. Сеник П.M. ^о Ateb-фyнкцiï / П.M. Сеник // Доповщ AH УРСР. - Cep. А. - 196S. -Вип. 1. - С. 23-27.
21. Сюлфевич АЛ. Опepатоpныe методы в статистической динамике автоматически систем / АЛ. Cкляpeвич. - M. : Изд-во "Hаyка", 1965. - 460 с.
22. Сокш Б.1. Heлiнiйнi коливання мexаяiчниx систем i аналиичш методи ïx дослiджeяь : автсфеф. дис. на здо6уття наyк. стyпeяя д-pа тexя. яаyк: спец. 05.02.09 - "Динамша та мш^сть машин" / Cокiл Богдан 1ванович; HY "Льв1вська полiтexяiка". - Льв1в, 2001. - 36 с.
23. Xаpмyт Х.Ф. Пepeдача инфоpмации оpтогояальяыми функциями / Х.Ф. Xаpмyт. - M. : Изд-во "Связь", 1975. - 26S с.
24. Х^шман И.И. Пpeобpазованиe типа свepтки / И.И. Х^шман, Д.В. Уид^. - M. : Изд-во ИИЛ, 195S. - 313 с.
25. Delsarte J. Sur une extension de la formule de Tаylor / J. Delsarte // Journ. de math. pures et appl. - 193S. - Vol. 17, ser. 9. - Pp. 213-231.
26. Lundberg E. Om hypergoniometriska funktioner af komplexa variabla / E. Lundberg // Stockholm, 1S79. English translation: On hypergoniometric functions of complex variables. In Preparation.
27. Rosenberg R. The Ateb(h) - functions and their proporties / R. Rosenberg // Quarterly of Applied Mathematics. - 1963. - Vol. 21, issue 1. - Pp. 37-47.
Надтшла доредакцп 07.12.2016р.
Драган Я.П., Дронюк И.М. Системный анализ негармонических сигналов и систем и Ateb-функции
Сделан обзоp ^^ожений опepатоpа обобщенного сдвига к тeоpии яeгаpмояичeскиx сигналов. Классическая тeоpия коммуникации и обpаботки сигналов основывается на фоpмальном аппаpатe тeоpии гаpмояичeскиx функций. № для сетей специального назначения важно использовать дpyгиe функции. Показано, что в коммуникации ш^око использовались pазложeния по функциям Бесселя, а также любая полная оpтоноpмиpо-ванная система функций может быть использована для pазложeяия в pяды или инте^а-лы, что является обобщениями pазложeний Фypьe. Поэтому ^едложено в качестве базиса pазложeяия использовать Ateb-функции, как оpтоноpмиpованнyю систему. Показано, что так введенные пpeобpазования обpазyют алгeбpy.
Ключевые слова: опepатоp обобщенного сдвига, Ateb-функции, алгeбpа Ateb-^еоб-pазований, сети специальной коммуникации.
Dragan Ya.P., Droniuk I.M. System Analysis of Non-harmonic Signals and Systems and Ateb-function
The article reviews the application of the generalized shift operator to the theory of non-harmonic signals. The classical theory of communication and signal processing is based on the formal apparatus of the harmonic functions theory. But for special purpose networks it is important to use other functions. It is shown that for expansions in series or integrals can be used, which is a generalization of the Fourier expansions in communication is widely used for the expansion of the Bessel functions, as well as any complete orthonormal system of functions. Therefore as basis decomposition we suggest using Ateb-functions like orthonormal system. It is shown that Ateb-transformation forms algebra.
Keywords: generalized shift operator, Ateb-functions, Ateb-transformation algebra, special purpose networks.
УДК 007:343.9:351.86:659.2/.4
К1БЕР1НТЕРВЕНЦ1Я ТА К1БЕРБЕЗПЕКА УКРА1НИ: ПРОБЛЕМИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ IX ПОДОЛАННЯ
Ю.1. Грицюк1
Розглянуто деякi проблеми юберштервенци та юбербезпеки Укра!ни, а також пер-спективи !х подолання. Наведено прюритетш засади державно! пол^ики у сфер! забез-печення юбернетично! безпеки Укра!ни в умовах проведения вшськових дш з Роиею. На шдстав1 анал1зу правових джерел визначено шляхи формування засад сучасно! державно! политики у сфер! забезпечення юбернетично! безпеки Укра!ни. Детал1зовано основы загрози та напрями деструктивно! д1яльност1 Росшсько! Федераци в шформа-цшному простор! Укра!ни на шкоду нацюнальним !нтересам держави. Обгрунтовано доцшьшсть розроблення оргашзацшно-правових та методолопчних засад щодо забезпечення юбернетично! безпеки Укра!ни в умовах ведения вшни з Рос!ею, а також побу-дови нац!онально! системи юбербезпеки.
Ключовi слова: державш шформацшш ресурси, !нформац!йний суверенитет, в1тчиз-няний шформацшний проспр, пбрщна вшна, антитерористична операц!я, шформа-ц!йна атака, державна политика у сфер! забезпечення юбернетично! безпеки, юбертеро-ризм, юберзлочиншсть, вгтчизняний сегмент юберпростору, об'екти критично! шфрас-труктури, сощальш мережу спец!альна шформацшна операц!я, вшська !нформац!йних операцш, национальна система юбербезпеки.
Вступ. За останне десятилiIтя значно зросла кiлькiсть суспшьно небезпеч-них дiй в кiберпросторi Украши, спрямованих на нанесення шкоди !Т держав-ним iнтересам [4, 6, 8, 25]. Вчинення насильницьких посягань з боку iнших суб'екпв на державнi, полiтичнi чи економiчнi iнтереси шляхом втручання у процес функцiонування !'х учасникiв мiстить ознаки штервенщ!' [7, 14, 20, 23]. Оскшьки подiбнi дií здiйснюються з використанням комп'ютерних систем i в кь берпросторi держави, то такий вид злочину називаеться кiбернетичною вшною2,3 або кiбернетичною iнтервенцiею (кiберiнтервенцiею) [29, 30].
Прикладом кiберiнтервенцií була триденна безперервна кiбератака на сайт Президента Украши В. А. Ющенка, яка розпочалася 30 жовтня 2007 року i нара-ховувала близько 18 тис. точкових атак, якi здiйснювалися з територií Росií, Казахстану, Украши, США, Ьрашю та Великобританií. Проте у Службi безпеки
1 проф. Ю.1. Грицюк, д-р техн. наук, НУ "Львгвська полггехнка", E-mail: [email protected]
2 Юбер-вшна i свгг. https://day.kyiv.ua/uk/article/den-planeti/kiber-viyna-i-svit
3 Росшсько-украшська шбервшна. https://uk.wikipedia.org/wiki/Роriйсько-украшська_кiбервшна
