СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ВОДОРОДОУПРУГОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№4 (73) / 2020.

УДК 669.788:539.37 ©2020. Ж.Л. Глухова

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ВОДОРОДОУПРУГОСТИ

В настоящей работе рассмотрено взаимодействие механической, диффузионной и термодинамической составляющих явления водородоупругости. Сформулирована система связанных нелинейных уравнений, описывающих взаимосвязь концентрационных водородных полей, температурных полей и полей деформаций/напряжений.

Ключевые слова: водородоупругость, диффузия водорода в металлах, определяющие уравнения модели.

Введение. Внедренные атомы водорода вызывают расширение кристаллической решетки металла. Вследствие этого в неравновесных условиях в системах металл-водород имеет место явление водородоупругости [1,2]. Данное явление проявляется различными эффектами, и, соответственно, изучается с отдельных сторон. В одних случаях фиксируются механические проявления явления (эффект обратимого формоизменения образца, эффект Горского [3]). В других случаях фиксируются его диффузионные и термодинамические проявления (замедление классической диффузии согласно закону Фика, эффект «восходящей» диффузии, эффект Льюиса [4], эффект термо-баро-упруго-диффузионного равновесия [1]).

Для понимания различных сторон явления как единого целого необходимо рассмотреть во взаимосвязи механическую, диффузионную и термодинамическую составляющие явления водородоупругости. Этому вопросу посвящена данная статья.

1. Термодинамический потенциал Гиббса системы Ме-Н. Пусть система Ме-Н характеризуется следующим набором независимых параметров:

- абсолютной температурой Т(х,у,г,г);

- компонентами тензора напряжений а^(х,у,г,Ь);

п , .ч Nн (х,у,г,г)

- концентрацией растворенного водорода Сн {х,у, г,ъ) = —-;-г, где

Ымв (х, у, г, г)

Кн и Мме - количество атомов водорода и металла в выделенном объеме, соответственно.

Тогда состояние системы Ме-Н, как термодинамической системы, предста-вимо потенциалом Гиббса О = О (Т,а^ ,Сн), полный дифференциал которого можно записать в виде:

йО = иц.йСн — е^ йа^ — БвТ (1)

где

1 сЮ п

водорода;

н = —7—---химическим потенциал в расчете на один атом растворенного

п дСн

за

£ц = — —--компоненты тензора деформаций;

дач

Б = — т^ ~ энтропия единицы объема системы Ме-Н;

п = ~~ объемная концентрация атомов металла, р - плотность металла, Кд - число Авогадро, А - молярная масса.

Пусть естественное состояние системы характеризуется следующими параметрами:

Сн = 0, агз = 0, Т = То.

Разложим потенциал а (Т,ац ,Сн) в ряд Тейлора в окрестности естественного состояния. Ограничиваясь при этом двумя первыми порядками членов разложения, получаем:

а = а (т, ац ,Сн) = а0 + ат т + аа а^ + ас Сн+

+ 2 (Сттт2 + + ОссСн2) + (2)

+аTaтагj + ааС ац Сн + аст Сн т,

где т = Т — То, т ^ То, а0 = а (То, 0, 0), а производные от а обозначаются нижней индексацией по следующей схеме:

за „ д2а т =дт, тт=дт*ъ т- д-

С учетом (2) верны следующие соотношения:

пц = ас + асс Сн + аас агj + аст т, (3)

£гj = — (аа + аааагj + атат + аасСн), (4)

Б = — (ат + аттт + атaагj + аст Сн). (5)

Соотношения (3)-(5) отражают взаимосвязь механических и термодинамических характеристик системы Ме-Н.

2. Уравнение состояния системы Ме-Н. Нетрудно убедиться, что в естественном состоянии выражение (4) преобразуется в уравнение Гука для изотропной среды [5]:

1 Ё

где 6у - тензор Кронекера, Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона. С учетом изменения линейных размеров при изменении температуры и концентрации растворенного водорода в условиях свободного расширения (а^ = 0), получаем:

а ас = —ан 6гj, ата = —ат 6гj, (7)

ец = [(1 + V) (Гц - Мкк5г]\ , (6)

где ан - коэффициент линейного расширения металла при растворении водорода. ат - температурный коэффициент линейного расширения металла. Тогда с учетом соотношений (6-7) уравнение состояния системы Ме-Н можно записать в виде:

ец = + («яСя + атт - (8)

либо в виде :

Е ( V \ Е

°* = ТТй + 1-2и£кк6^) ~ 1-2и (анСн + атТ) ^

где - след тензора деформаций.

3. Уравнение диффузионного переноса водорода. Согласно уравнению непрерывности для диффузионного потока водорода справедливо соотношение

,7н = —СнВ дтай (10)

где ,!н - поток водорода, дтай / - обобщенная движущая сила, В - величина, называемая подвижностью и имеющая смысл средней скорости направленного движения атомов водорода. Подставляя в (10) соотношение (3) с учетом (7), получим уравнение потока для массопереноса водорода в условиях неизотермической водородоупругости:

1н = -^-{СссУСн-анУ(Ткк + СстУт). (11)

п

Коэффициент диффузии О и подвижность В связаны соотношением Эйнштейна:

в - Ш <12>

Выражение (12) записано для случая классической диффузии, вызванной разностью концентраций водорода, однако оно верно и для общего случая, когда в процесс формирования потока водорода включаются градиент напряжений, градиент температуры и другие факторы [6]. Тогда под В и О понимают соответствующие «эффективные» величины, которые могут быть рассчитаны различными способами [7, 8].

С учетом (12) выражение (11) можно записать:

1н = -^г{СссУСн-анУ(Ткк + СстУт). (13)

Согласно (13) поток водорода в системе определяется тремя движущими термодинамическими силами: градиентом концентрации водорода, градиентом внутренних напряжений и градиентом температуры.

Рассмотрим далее физический смысл отдельных слагаемых в уравнении (13). Для изотермической системы в отсутствии неоднородностей напряжений (Ут =

0, Уаик = 0) для потока , вызванного разностью концентраций водорода, справедливо уравнение Фика:

= —БУСн. (14)

Сопоставляя (13) и (14), асс можно выразить в виде:

Бп пкТ

Сгсс = = ~г< • I15)

Из уравнения термодиффузии

для потока <1то, вызванного разностью температур:

Зтв = -ВУСн - ^-¿^т, (16)

аналогичным образом получаем

г (Л

Сст = вкТ2» (17)

где К - универсальная газовая постоянная, Q - теплота переноса. Тогда (13) можно переписать в виде:

/я = -ВУСН - + В^т. (18)

И, наконец, используя уравнение непрерывности, получаем временное уравнение диффузии:

дсн

—— = (1гу &Ь

-Вдга<1 СН - В^^дгаП акк + И^дтоЛ Т

(19)

4. Обобщенное уравнение теплопроводности. Как известно, поток тепла связан с неоднородностью температурного поля уравнением Фурье:

4 = —Лд ЧТ, (20)

где Лд - коэффициент теплопроводности металла. При отсутствии источников тепла из I и II начал термодинамики следует:

г1Ч

^ = -Г—. (21)

Учитывая соотношения (3), (7), (17), (20) выражение (21) можно преобразовать к виду:

сИу (Ад дгай Т) = -Т (сттт - атакк + -¡^¿н) , (22)

где точками сверху обозначены производные по времени. Поскольку теплоемкость металла еа без учета напряжений определяется соотношением

\дт)а \дТ2

то

_ д2С (Тр, 0,0) Стт =-Ш-= ~То, (23)

где еа - теплоемкость 1 м3 металла при неизменном напряжении в естественном состоянии. Учитывая (19), можно получить уравнение теплопроводности в виде

сМь (Ад дгай Т) = + атТакк - ^Сн. (24)

То А

Это уравнение описывает перенос тепла, вызываемый как градиентами температуры, так и градиентами напряжений, а также диффузией водорода в системе Ме-Н в неизотермических условиях.

5. Система уравнений водородоупругости. Таким образом, состояние системы Ме-Н описывается следующими величинами: 6-ю компонентами симметричного тензора деформаций е^ (г, Ь), 6-ю компонентами симметричного тензора напряжений а^ (г, Ь), 3-мя компонентами вектора перемещения и (г, Ь), температурой Т (г, Ь), концентрацией водорода Сн (Г, Ь). Для описания состояния системы Ме-Н к обобщенным уравнениям состояния (8), диффузионного переноса водорода (19) и теплопроводности (24) следует добавить уравнения движения

^ = РЩ, (25)

дху

а также уравнения, связывающие компоненты тензора деформации е^ и составляющие вектора перемещения щ:

В изотермическом случае из описания состояния системы Ме-Н исключается уравнение теплопроводности (24), а уравнение (19) следует записать в виде

дСн

—— = (1гу дЬ

-Идгаё, Сн - ВСн^Идгай акк рКТ

(27)

Выводы. В настоящей работе рассмотрено взаимодействие механической, диффузионной и термодинамической составляющих явления водородоупруго-сти. Сформулирована система связанных нелинейных уравнений, описывающих взаимосвязь концентрационных водородных полей, температурных полей и полей деформаций/напряжений. Полученные системы уравнений при заданных

начальных и граничных условиях могут быть использованы для математического моделирования механических и диффузионных эффектов, обусловленных

явлением водородоупругости.

1. Goltsov V.A. Fundamentals of Hudrogen Treatment of Materials / V.A. Goltsov // Progress in Hydrogen Treatment of Materials. Edited by V.A. Goltsov. - Donetsk: Kassiopeya Ltd, 2001. -Р. 3-37.

2. Goltsov V.A. Theory of Hydrogen Elasticity Phenomenon / V.A. Goltsov, T.A. Rumshina, L.I. Smirnov, Zh.L. Glukhova, R.V. Kotelva // Progress in Hydrogen Treatment of Materials, Edited by V.A.Goltsov. - Donetsk: Kassiopeya Ltd, 2001. - Р. 95-107.

3. Водород в металлах Т. 1. / Под ред. Г. Алефельда и И. Фёлькля. - М.: Мир, 1981. - 475 с.

4. Lewis F.A. The "Uphill" Diffusion of Hydrogen. Strain-gradient Induced Effects in Palladium Alloy Membranes / F.A. Lewis, K. Kandasamy, B. Baranowski // Platinum Metals Rev. - 1988. - V. 32, no l. - P. 22-26.

5. Ландау Л.Д. Механика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. - М.:Гос. Изд-во технико-теоретической литературы, 1954. - 754 с.

6. Вагнер Х. Упругое взаимодействие и фазовые переходы в когерентных сплавах металл-водород / Х.Вагнер // Водород в металлах. Под ред. Г. Алефельда и И. Фелькля. - М.: Мир, 1981. - Т.1. - С. 16-68.

7. Зайт В. Диффузия в металлах / В. Зайт. - М.: Изд-во ИН, 1958. - 381 с.

8. Smirnov L.I. Diffusion And Diffusive Phenomena In Interstitial Subsystems / L.I. Smirnov , V.A. Goltsov // Progress in Hydrogen Treatment of Materials. Edited by V.A. Goltsov. -Donetsk: Kassiopeya Ltd, 2001. - Р. 65-93.

Zh.L. Glukhova

System of equations for hydrogen-elasticity.

Interaction of mechanical, diffusive and thermodynamic constituents of hydrogen-elasticity phenomenon is considered. A system of connected nonlinear equations describing the relationship of concentration hydrogen fields, temperature fields, and strain/stress fields is developed.

Keywords: Hydrogen elasticity, diffusion behavior of hydrogen in metals, the governing equations of the model.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный технический университет", Получено 23.12.2020

Донецк

glukhov1964@yandex.ru