Система уравнений Монжа - Ампера, возникающая в двухжидкостной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.374

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МОНЖА - АМПЕРА, ВОЗНИКАЮЩАЯ В ДВУХЖИДКОСТНОЙ СРЕДЕ

Холматжон Худайназарович Имомназаров

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: imom@omzg.sscc.ru

В статье получена система уравнений типа Монжа - Ампера из уравнений двухско-ростной гидродинамики с равновесием фаз по давлению. В случае частной системы с постоянными коэффициентами получены общие решения на основе метода обобщенного разделения переменных.

Ключевые слова: двухжидкостная среда, уравнение Монжа - Ампера, метод обобщенного разделения переменных, гипергеометрическая функция, парциальная плотность.

THE SYSTEM OF THE MONGE - AMPERE EQUITIONS ARISING IN TWO-FLUID MEDIA

Kholmatzhon Kh. Imomnazarov

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Аkademik Lavrentiev Prospect, D. Sc., Leading Researcher, tel. (383)330-83-52, e-mail: imom@omzg.sscc.ru

In this paper, a system of the Monge - Ampere equations from two-velocity hydrodynamics equations with phase equilibrium pressure has been obtained. In the case of a particular system with constant coefficients, general solutions based on the generalized method of separation of variables have been obtained.

Key words: two-fluid medium, Monge - Ampere equation, method of generalized separation of variables, hypergeometric function, partial density.

В векторном анализе, теории поля и математической физике важную роль играют дифференциальные тождества классического вида. В [1] получены формулы векторного анализа и показано в случае, когда кривые и поверхности являются соответственно векторными линиями физических полей (решений уравнений математической физики) и поверхностями, ортогональными к этим векторным линиям. С помощью этих формул дифференциальной геометрии и векторного анализа, получены новые дифференциальные законы сохранения в трехмерном случае для решений уравнения эйконала (для поля времен в трехмерной кинематической сейсмике (геометрической оптике)), уравнения Пуассона и для решений гидродинамических уравнений Эйлера.

Система уравнений несжимаемой двухскоростной гидродинамики с одним давлением в случае постоянства объемных насыщенностей веществ имеет вид [2-5]:

дг v 1 р 2р v 1 w

дг у } р2рУ) W

гдевекторы скорости подсистем, составляющих двухскоростной - у и у континуум с соответствующими парциальными плотностями р и р, р = р + р - общая плотность континуума; \ - вектор массовой силы, отнесенной к единице массы; р = - у)21 - уравнение состояния континуума.

В [7, 8] доказана следующая теорема: система уравнений Монжа - Ампера

и2 —и и й2 — й й =Р (4)

ху XX уу ' ху XX уу V /

(в общем случае F,F — гладкие функции от Х,у,и,й,их,йх,иу,йу,ихх,йхх, параметра I) и система уравнений для функции тока плоского движения несжимаемых сред

~{иу (АмX -их (Ам),} = (Ам) + (■к)' ~[йу (М)х -йх(Дй)у} = (Дм), + (шГ2 ■ к),

где Г= *-Е^+^у^ £= f--Р^ = (й - и )2 + (й - и )2. 1 р 2р ' 2 р 2р ' \ * *> \ у у)

Рассмотрим следующий частный случай системы уравнений Монжа - Ампера вида

и2 —и и =ай , и2 -й и =Ьи , (5)

ху хх уу у^ ху хх уу у? V /

где а и Ь - некоторые положительные постоянные.

Далее используя метод обобщенного разделения переменных [9] строятся точные решения системы (5). Будем искать точные решения системы (5) в виде

и(х, у) = (р(х)у + 1//(х), й(х, у) = ф(х)у + у/(х), (6)

или

и(х, у) = ср(х)у2 + ц/(х)у + х(х\ й(х, у) = ф(х)у2 + ц/(х)у + х(х). (7)

Подставляя (6) в (5) получим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

(ер (х)} = аф(х■), (фУх^ =Ъср(х).

(8)

Очевидно, что эта система имеет нулевое решение. Далее рассмотрим невырожденный случай (р(х) ф О, ф(х) ф 0. Из этой системы следует связь между функциями ср(х) и ф(х)

( (х) = Л ( (х) + С1?

где ( - постоянная интегрирования.

Функция ф(х) является решением трансцендентного уравнения

2 ^

125 \Ъ

з'з'з'

С

ф(х) = (у/Ьх +

где (х,у;I;и) - гипергеометрическая функция.

Функция р(х) определяется по явной формуле

р(х) =

г г~ \2/3

( (X) + С

В случае представления решений в виде (7) функции ср(х) и ф(х) имеют

вид

((х)■

С X

, ф(Х) :

С4-С3х

(9)

Здесь С3,С4 и сз,с4 - постоянные интегрирования.

Функции ц/(х) и у/(х) удовлетворяют системе ОДУ второго порядка

'' / \ 2Сз ' - , Сд Сзх

ц/(х) =--—ц/(х)-а—

Съх

у/(х)= ~2С1 ц/(х)-Ьса съх

С3 х

1

1

Решения этой системы имеют вид

ц/(х) = С6+ {а С2 (5С3С4 - 3С3С4 )х - аСъС\х2 -

С3 (аСл (11С2С2 -15С3С4С3С4 + 6С2С2) - 6С33С5) Сз( С4 - С3 х )

6а(със4 - С3С4) 1п(С4 - С3.х)

С3 ( С4 - С3Х )

6аС3(С3С4 -С3С4) 1п(С3 -С4х^

Сз

ф(х) = С6+ —^ЪС2 (5С3С4 - ЗС4С3)х - ЪСъС\х2 -

6Сз4

С3 (¿С4 (11С32С2 -15С3С4С3С4 + 6С2С32) - 6С33С5) вЬ(С3С4 - С3С41 1п (С4 - С3л) 6/?( ,3 (С3С4 - С3С41 1п(С3 - С4л)

-3^4 ^3^4) 1П(^4 6ЙС3(С3С4 С3С4)

сз(с4-сзл) Сз

(10)

(11)

где С5,Сб и с5,сб - постоянные интегрирования.

Функции %(х), х(х) являются решением следующей линейной неоднородной системы ОДУ

ХОО = \{СЪ - С2х)\у/(х)~]2 - ^а(С3 - С2х)ц/(х\ (12)

Х(х) = ^(С3-С2х)\у(х)]2 ~{С3-С2х)у/(х). (13)

Формулы (9)—(11) и решение системы (12), (13) определяют точное решение системы (5) с обобщенным разделением переменных вида (6), (7).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 16-01-00729).

2

>

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Megrabov A. G. Divergence formulas (conservation laws) for the families of curves and surfaces and applications // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. Series: Mathematical Modeling in Geophysics. - 2014. - Issue 17. - Р. 47-55.

2. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В. Теория частичного плавления // Геология и геофизика. - 1989. - № 9. - С. 56-64.

3. Жабборов Н. М., Имомназаров Х. Х., Коробов П. В. Трехмерные вихревые течения несжимаемых двухскоростных сред в случае постоянства объемной насыщенности веществ // Вестник НГУ, Серия: математика, механика, информатика. - 2014. - № 2. - C. 15-23.

4. Фундаментальное решение для стационарного уравнения двухскоростной гидродинамики с одним давлением / Х. Х. Имомназаров, Ш. Х. Имомназаров, М. М. Маматкулов, Е. Г. Черных // СибЖИМ. - 2014. - Т. 17, № 4 (60). - С. 60-66.

5. The fundamental solution of the stationary two-velocity hydrodunamics equation with one pressure / Kh. Kh. Imomnazarov, Sh. Kh. Imomnazarov, M. M. Mamatqulov, E. G. Chernykh // Bull. Of the Novosibirsk Computing Center, series: Mathematical Modeling in Geophysics. -2014. - № 17. - Р. 5-12.

6. Imomnazarov Kh. Kh., Korobov P. V., Zhabborov N. M. Three-dimensional vortex flows of incompressible two-velocity media at constant saturation of substances // Bull. Nov. Comp. Center, series: Num. Model. in Atmosph. etc. - 2014. - № 14.- Р. 17-25.

7. Жабборов Н. М., Коробов П. В., Имомназаров Х. Х. Применение дифференциальных тождеств Меграбова к уравнениям двухскоростной гидродинамики с одним давлением // Journal of Siberian Federal University, Maths and Physics. - 2012. - 5 (2). - С. 156-163.

8. Жабборов Н. М., Имомназаров Х. Х. Некоторые начально-краевые задачи механики двухскоростных сред. - Ташкент, 2012. - 212 с.

9. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Метод разделения переменных в математической физике : учеб. пособие. - СПб. : РГПУ им А.И. Герцена, 2009. - 92 с.

© Х. Х. Имомназаров, 2017