Решение задачи течений вязких несжимаемых двухжидкостных сред в случае постоянства насыщенностей фаз Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.374

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКИХ НЕСЖИМАЕМЫХ ДВУХЖИДКОСТНЫХ СРЕД В СЛУЧАЕ ПОСТОЯНСТВА НАСЫЩЕННОСТЕЙ ФАЗ

Жарасбек Бейшемиров

Казахский госуниверситет им. Абая, 050010, Казахстан, г. Алматы, пр. Дустик, 13, кандидат физико-математических наук, e-mail: zbai.kz@gmail.com

Жиан-Ган Тан

Илийский педагогический университет, Китай, e-mail: tjg@ylsy.edu.cn Холматжон Худайназарович Имомназаров

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: imom@omzg.sscc.ru

Мусажон Маматкулов

Национальный университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека, 100174, Узбекистан, г. Ташкент, ул. Университетская, 4, магистрант

В статье получено решение системы уравнений вязких однородных несжимаемых двухжидкостных сред с равновесием фаз по давлению в случае постоянства фаз. Показано влияние физических плотностей фаз, объемной насыщенности веществ и вязкости составляющего двухфазного континуума на скорости течений и давления. Также построено решение, допускающее предельный переход к известному решению для задачи течения вязкой несжимаемой однофазной среды.

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, двухскоростная гидродинамика, несжимаемая жидкость, вязкость, парциальная плотность, переопределенная система.

SOLVING THE PROBLEM OF TWO VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLUID MEDIA WITH CONSTANT PHASE SATURATIONS

Zharasbek Baishemirov

Abay Kazakh National Pedagogical University, 050010, Kazakhstan, Almaty, Dustik Ave, 13, Ph. D., e-mail: zbai.kz@gmail.com

Jian-Gang Tang

YiLi Normal University 448 Jiefang Road, Yinning Xinjiang, P.R. of China, e-mail: jg@ylsy.edu.cn Kholmatzhon Kh. Imomnazarov

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, Siberian Branch of RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, Lavrentiev Ave, 6, Doctor of Science, Leading Researcher, tel. (383)330-83-52, e-mail: imom@omzg.sscc.ru

Musajon Mamatqulov

National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek, 100174, Uzbekistan, Tashkent, Un-iversitetskaya str., 4, Undergraduate

In this paper, the solution to equations of two viscous homogeneous incompressible fluid media with the pressure phase equilibrium in the case of a constant phase is obtained. The influence of the physical phase densities, saturation, volume and viscosity of substances constituting a two-phase continuum in the flow velocity and pressure is shown. Also, the solution admitting a limiting transition to the known solution of the problem of a flow of a viscous incompressible single-phase medium is constructed.

Key words: Navier-Stokes equations, two-velocity hydrodynamics, incompressible fluid, viscosity, partial density, overdetermine system.

В последнее время в различных областях науки и техники внимание ученых привлекают нелинейные динамические системы. Изучение физико-технических процессов в механике сплошных сред начинается с построения математической модели. При этом получаемые динамические системы, как правило, являются нелинейными. Их изучение привело к открытию таких явлений как детерминированное хаотическое поведение, принципиальная непредсказуемость развития событий и самоорганизация. Геология занимается изучением Земли как динамической системы. Подавляющее большинство взаимодействий в природных геологических процессах являются необратимыми нелинейными - отклик всегда пропорционален действию. Геология имеет дело с результатами взаимодействий - смещениями, деформациями и образованием различных структур самых разных масштабов.

Большинство геологических процессов, протекающих в недрах Земли, приурочены к её внешней, латерально неоднородной по строению и составу сферической оболочке мощностью ~700 км, называемой тектоносферой. Наблюдающиеся в тектоносфере движения и деформации обусловлены, с одной стороны, физико-химическими процессами и гравитационной дифференциацией, а с другой - стремлением тектоносферы к изостатическому выравниванию (компенсации). Анализ целого ряда геофизических данных [1] позволил предположить, что в условиях чрезвычайно медленного протекания во времени геологических процессов (t~103 ... 107 лет) и больших размеров геологических тел (L~10 ... 106 м) тектоносферу Земли можно считать сильновязкой несжимаемой многофазной жидкой средой. Поэтому сплошная среда в геологическом временном масштабе может быть представлена как вязкая жидкость-1 за счет собственной вязкости, либо достигающая необходимых термодинамических условий протекания фазового перехода по другим причинам. По границам зерен и межзеренным узлам начинает скапливаться магма - жидкость-2 с вязкостью, присущей известным в геологии расплавам. Такой расплав включается в процесс совместного тепломассопереноса и фильтруется сквозь систему, его породившую. Другими словами, эта модель представляет собой динамику взаимного проникновения одной менее вязкой жидкости сквозь более вязкую среду, как своеобразный процесс фильтрации. Или по аналогии с уравнением Навье-Стокса эту модель можно назвать двухскоростной системой уравнений Навье-Стокса или уравнением двухскоростной гидродинамики. С учетом этих обстоятельств движение тектоносферы является диссипативным и может быть описа-

но уравнениями двухскоростной системы Навье-Стокса с равновесием фаз по давлению [2, 3], которые в этих условиях существенно упрощаются и имеют следующий вид:

ViAu-t = Vp — pf, divu-t = 0, (1)

v2Au2 = Vp — pf, divu2 = 0. (2)

В формулах (1) и (2) / = C/1,/2,/3) - массовая сила, отнесенная к единице массы, ui = (ulitu2i,u3i) - скорости i - ой фазы, i = 1,2, р - давление, Д и V -операторы Лапласа и градиента по х = {xlt х2, х3) соответственно, р = рг + р2 -общая плотность двухскоростного континуума, (Pi) и v2 (р2) - соответствующие сдвиговые вязкости (парциальные плотности) фаз [2, 3].

В данной работе построено решение системы уравнений вязких двухжид-костных сред (1), (2), которое в ряде случаев позволяет получить аналитический вид решения задачи для более сложных моделей строения различных областей тектоносферы Земли.

2. Постановка задачи

Требуется найти u^x) (i = 1,2), и р(х) решение системы уравнений (1), (2) для некоторой произвольной ограниченной области iici?3 — трехмерное евклидово пространство. Предположим, что искомые функции и$(х) (i = 1,2) и р(х) удовлетворяют условиям на бесконечности:

Ui(x) = OCIxl"1), р(х) = 0(|х|"2), при 1x1^0.(1 = 1,2), (3)

где |х| = у/х I + х2 + х\.

Предположим, что функция /(х) непрерывна вместе со своими первыми производными в некоторой ограниченной области flcfi и имеет финитный носитель suppf(x) = Q. Кроме того, будем считать, что области Q и О ограничены кусочно-гладкими поверхностями дС2 и дQ.

Решение задачи

Применим оператор дивергенции к обеим частям первого (1) и, учитывая второе уравнение (1), получим уравнение Пуассона для давления

Др = pdivf. (4)

Эту уравнения можно получить из системы (2). Отметим, что система (1), (2) является переопределенной системой [3].

Так как функция divf равна нулю вне области П в силу финитности функции f (х) , а область П ограничена кусочно-гладкой поверхностью сЮ, то решение уравнения (4), удовлетворяющее при |х| -» оо условиям (3) , можно записать в виде

В формуле (5) Я(х, = |х — - расстояние между точками х и Исключая из первых уравнений (1), (2) давления, с учетом (5), получим

у1и1(х) рг х,^ $ сю, у2и2(х) + х,г; сьт г; <ш.

= -рВД,

= -ред.

(6)

(7)

Система уравнений (6), (7) также являются уравнениями Пуассона относительно функции, представленных в квадратных скобках. Так как функция ^х) является финитной функцией, а искомые скорости и^(х) (I = 1,2) удовлетворяют условиям (3) на бесконечности, то решения системы уравнений (6), (7) можно представить в виде

^ г

и1(х) = — Г——-—V Г/г х,? г; (8)

^ г

и2(х) = — Г——<т, V Г/г х,? ?

4Ш/2 ¿Д х,?

(9)

с другой стороны между скоростями в силу переопределенности системы (1), (2) имеется связь [3]:

у^Сх) = У2и2(х). (10)

Из (8), (9) с учетом формулы Гаусса-Остроградского и силу финитности функция ^х) , получим:

{ С

11-1 (х) = — [-—йас - — V Г УЯ X,? , Г ? йа,, (11)

1 4лг/1 х Я х.С с вш/! ^ ' * с V 7

[Я X,?

^ г

и2(х) = — \——йа, - — V [ уд х,г;, {г; ¿ш,.

(12)

Выражения (6), (11), (12) являются решением системы уравнений (1), (2) и удовлетворяют соотношению (10).

Заключение

Построено решение для описания трехмерных стационарных течений вязких жидкостей двухскоростного континуума с равновесием фаз по давлению. Показано влияние физических плотностей фаз, объемной насыщенности веществ и вязкости составляющего двухфазного континуума на скорости течений и давления.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Артюшков Е.В. Геодинамика. - М.: Наука, 1979. - 328 с.

2. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В. Теория частичного плавления // Геология и геофизика. 1989. № 9. С. 56-64.

3. Имомназаров Х.Х., Имомназаров Ш.Х., Маматкулов М.М, Черных Г.Г. Фундаментальное решение для стационарного уравнения двухскоростной гидродинамики с одним давлением // СибЖИМ, 2014, т. 17, № 4(60), с. 60-66.

4. Косыгин В.Ю., Пятаков Ю.В. Решение задачи динамики сильно вязких несжимаемых сред и его приложение к моделированию напряженно-деформированного состояния тектоносферы Земли // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. - Т. 4, № 4. -С. 42-51.

© Ж. Байшемиров, Жиан-Ган Тан, Х. Х. Имомназаров, М. Маматкулов, 2016