Об одной начально-краевой задаче для уравнений двухскоростной гидродинамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 550.34

ОБ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВУХСКОРОСТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

Холматжон Худайназарович Имомназаров

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: imom@omzg.sscc.ru

Шерзад Холматжонович Имомназаров

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, аспирант, тел. (383)330-83-52

В статье исследуются свойства решений одной начально-краевой задачи для уравнений двухскоростной гидродинамики. Представлены достаточные граничные условия, при которых имеют место разрушения решения. Получена оценка на времена разрушений решений рассматриваемой начально-краевой задачи.

Ключевые слова: начально-краевая задача, двухжидкостная среда, разрушения решений.

AN INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR TWO-VELOCITY HYDRODYNAMICS EQUATIONS

Kholmatzhon Kh. Imomnazarov

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Аkademik Lavrentiev Prospect, D. Sc., Leading Researcher, tel. (383)330-83-52, e-mail: imom@omzg.sscc.ru

Sherzad Kh. Imomnazarov

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Аkademik Lavrentiev Prospect, graduate student, tel. (383)330-83-52

In this paper, we study the properties of solutions to the initial boundary value problem for the two-velocity hydrodynamics equations. Presents sufficient boundary conditions under which we have the blowup solutions. An estimate on the blowup of solutions of the initial boundary value problem.

Key words: initial boundary value problem, two-velocity media, blowup solution.

Система уравнений несжимаемой двухскоростной гидродинамики с одним давлением, удовлетворяющая законам термодинамики имеет вид [1-5]:

(1)

гдевекторы скорости подсистем, составляющих двухскоростной - у и у континуум с соответствующими парциальными плотностями р и р, р = р + р - общая плотность континуума; у и у - соответствующие кинематические

вязкости; р = ~ у)) ~ уравнение состояния континуума.

Система уравнений двухскоростной гидродинамики (1)-(3) имеет решение у = 0, у = 0 для покоящейся смеси жидкостей с равномерным давлением р =

О 0 ~0 " гт1

ри, парциальными плотностями р0, р0 и температурой 1.

Исследуем для системы уравнений (1)-(3) в цилиндрической области □ = [о, я]х[о,2%]х[о, ь] следующую начально-краевой задачу со следующими

начальными

VI,=0 = у о (х), у| ^=0 = Уо (х), х = (г, р г),

(4)

граничными условиями

у (г, р,о) = о, V, (о, р, г) = V, (Я, р, г) = о:

2 % Я ,

| Л у-(г,р,Ь) - Ь^(г,р,о) йрйг Я(Ь - г)^(Я,р,= Щ), (5)

2 % Ь

ду

о о

дг

д г

2 л Я,

у о о

у2(г, ф,0) = 0, т?Г(0,ф,г) = иЯ^) = О,

\\\ у2(г,ч>,Ь)-Ь-*-(г,ч>,0) \Я{Ь-2)= Л(0, (6)

о о V дг у о о дг

где /г(7), /г(7) - непрерывные функции. Выберем пробную функцию

и = (о, о, Ь-г), г е[о, Ь ]. (7)

В силу граничных условий (5), (6) из класса у(х, t), У(х,0еС1 ((о, Г);С2(Щ) (С(2)(П) = С2(П) X С2(П) X С2(П)) имеют место следующие соотношения:

|Ауи^х = |

2% Ь

=л

ду„

1 д

г дг

' ду ^

Л_г

V дг у

1 д2у д 2у

г2 др2 дг2

(Ь - рйг =

о о

2 % Я/

Я Ь

+

дг

Я1( Ь - --)

Я1 ду ---

о о г др

2%

(Ь - ^йгйг +

о о

ду л

—- + V.

дг г у

2 % Ь

оо

Яду

Я—- (Я, р, г, t)(Ь - ^р^г + дг

г

2% Я,

+ [ [I ^ (г, ф, Ь,1) - Ь ^ (г, ФА 1) ^уЛт

0 0 V дг )

[ (у, = [

ду 1 ду ду v —2 + — —- + v

дг г Ф дф

дг

(Ь - г )гСГСф^г =

2% Ь

Я Ь

= [ [ ГУгУг 1Я (Ь - 2 ^ Фйг + [ [ УФ Уг 12% (Ь - 2 ^^ +

0 0

0 0

ду„ V,

2% Я

дг г

дК) | дУф

дг дф

(Ь - 2)ГСГСф^г =

= [ [ гУ? (Ь - г)|Ь dгdф + [у^гйгйф^г = [у^гйгйф^г.

(9)

0 0

Здесь мы воспользовались условием соленоидальности поля и

2л Я

2% Я

[VруСх = [др(Ь - г)сХ = [pdx + [ [гр(Ь - г)|Ь dгdф > -[[гЬр(г,ф,0,г )СгСф = g(1).

(10)

0 0

0 0

Умножим обе части уравнения (2) на р, уравнения (3) на р и в результате, с учетом множителя Лагранжа получим уравнение для импульса

5(ру + ру)

дг

+ р(у, V) у + р(у,У)у = -Ур + р Ур + А(руу + руу). (11)

0 1

Обозначим через Р = р + - у) . В терминах уравнения (2) примут

вид

ду / ч V? .

— + (у, V) у =--+ уАу

дг у } р

(12)

Умножая обе части уравнений (11) и (12) на пробную функцию и используя соотношения (8)-(10), можно получить равенства

¿/(р./ +

dt

= р| уг2 (}х + р| у^х + / (?), 3 = | {и,

□

си

—= С^^+лсОэ У=\(и,у)с1х,

Ж *

(13)

□

□

^ 2 я Д

Ш = + ру/г(0 + руВД, Ш = --1 |гЩг,ф,0,0^ф + уВД.

0 0

/о _ л \2

Далее, доказанную в [7] для Я £ (0,3) оценку ( 32 < 2[V2Сх.

ь(6-

□

Можно получить из (12), (13) систему дифференциальных неравенств

с Сг

/(г) = /1(0 - Л(0/ р, к2 =

(3 -Г)2

Ь(6-Х)

Таким образом, в соответствии с работами [7] мы установили справедливость следующей теоремы.

Теорема. Классическое решение задачи (2)-(6) не существует глобально при выполнении следующих условий:

1) пусть /(/),/2(/)>0, тогда при условиях ./(0),.7(0)>0 справедливы оценки снизу

3(г) > 3(0)=Кп)<х

при этом имеет место оценка на время разрушения

т , 1 • Т < — шш

00 к2

11

т т

2) пусть /(О > а2 > 0, /2 (0 > а2 > 0, тогда

а

3 (г) > — tg (акг + с0), с0 = аг^ к

к3 (0)

а

ДО ^ - + ), с0 = агс1£ к

а

V * у

оценка на время разрушения

т • '

То<- шт

к V

71 / 2 - с0 71 / 2 - с0

а

л

<2 у

3) пусть /{^>-сг,/2(Г)>-а,тогда при условиях Ш(0)>\а\,&/(0) >| а \ справедливы оценки снизу

а 1 + с e2akt J(t) > а 1 + C°e

k 1 - c{)e

2akt

с

kJ(0) - a kJ (0) + a

al + c e2akt Jit) > ° 1 +

к 1 - c0e

2 akt

с

kJ(0) - a kJ(0) + a

и оценка на время разрушения

(л г

т <т 1 •

Т < — mm

" 2k

1ln

Vа v

kJ (0) + а kJ(0) - а

1ln

/ 7 7

kJ{0) + a kJ(0) - a

J J

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 16-01-00729а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В. Теория частичного плавления // Геология и геофизика. - 1989. - № 9. - С. 56-64.

2. Фундаментальное решение для стационарного уравнения двухскоростной гидродинамики с одним давлением / Х. Х. Имомназаров, Ш. Х. Имомназаров, М. М. Маматкулов, Е. Г. Черных // СибЖИМ. - 2014. - Т. 17, № 4 (60). - С. 60-66.

3. The fundamental solution of the stationary two-velocity hydrodunamics equation with one pressure / Kh. Kh. Imomnazarov, Sh. Kh. Imomnazarov, M. M. Mamatqulov, E. G. Chernykh // Bull. Of the Novosibirsk Computing Center, series: Mathematical Modeling in Geophysics. -2014. - № 17. - Р. 5-12.

4. Жабборов Н. М., Имомназаров Х. Х. Некоторые начально-краевые задачи механики двухскоростных сред. - Изд-во НУУз им. Мирзо Улугбека, 2012. - 212 с.

5. Джураев Д., Имомназаров Х. Х., Урев М. В. Краевая задача для одной переопределенной системы возникающей в двухскоростной гидродинамике // Тезисы республиканской научной конф. (с участием зарубежных ученых) «Математическая физика и родственные проблемы современного анализа», 26-27 ноября 2015 г., Бухара. - Бухара, 2015. - С. 197-198.

6. Юшков Е. В. О разрушении решений уравнений гидродинамического типа при специальных граничных условиях // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, No. 9. -С.1234-1239.

© Х. Х. Имомназаров, Ш. Х. Имомназаров, 2017