Фундаментальное решение стационарной системы уравнений двухскоростной гидродинамики с равновесием фаз по давлению Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.994

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДВУХСКОРОСТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ С РАВНОВЕСИЕМ ФАЗ ПО ДАВЛЕНИЮ

Холматжон Худайназарович Имомназаров

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: [email protected]

Евгений Геннадьевич Черных

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, тел. (383)330-83-52

В статье получена переопределенная система дифференциальных уравнений с частными производными. Построено фундаментальное решение для полученной системы уравнений. Показано, что полученное решение допускает предельного перехода при исчезновении насыщенности одной из фаз к фундаментальному решению системы уравнений односко-ростной гидродинамики. Представлены результаты численного моделирования.

Ключевые слова: двухжидкостная среда, фундаментальное решение, вязкая жидкость, насыщенность, переопределенная система.

THE FUNDAMENTAL SOLUTION OF A STATIONARY SYSTEM OF EQUATIONS OF THE TWO-VELOCITY HYDRODYNAMICS WITH PRESSURE PHASE EQUILIBRIUM

Kholmatzhon Kh. Imomnazarov

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Аkademik Lavrentiev Prospect, D. Sc., Leading Researcher, tel. (383)330-83-52, e-mail: [email protected]

Eugene G. Chernykh

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Аkademik Lavrentiev Prospect, tel. (383)330-83-52

In this paper, an overdetermined system of partial differential equations has been obtained. The fundamental solution for the resulting system of equations has been built. It is shown that the solution obtained allows the passage to the limit with disappearance of saturation of one phase to the fundamental solution of a single-velocity system of hydrodynamics equations. The results of numerical simulation are presented.

Key words: two-fluid medium, fundamental solution, viscous fluid, saturation, overdeter-mined system.

Изучение течений вязких сжимаемых / несжимаемых жидкостей на основе решения полной системы уравнений двухскоростной гидродинамики представляется актуальным. В литературе известно очень ограниченное число случаев, допускающих аналитическое интегрирование уравнений Навье -Стокса [1-3]. Задача настоящей работы состоит в построении фундаменталь-

ных решений для стационарной системы уравнений двухскоростной гидродинамики с равновесием фаз по давлению. Эти решения могут быть полезными для тестирования численных методов решения уравнений двухскоростной гидродинамики.

Система уравнений несжимаемой двухскоростной гидродинамики с одним давлением в случае постоянства объемных насыщенностей веществ имеет вид [4-6]:

^ + + = ^ + сИу(р$) = О, (1)

(2)

дг у ' р р 3 р 2 р у } ' w

& + у) V = -—+ —+ ТОП* -АуГу-+ (3)

& v 1 р р Зр 2р v 1 7

гдевекторы скорости подсистем, составляющих двухскоростной - у и у континуум с соответствующими парциальными плотностями р и р, р = р + р

- общая плотность континуума; { - вектор массовой силы, отнесенной к единице массы; р = - уравнение состояния континуума, у{/л) и ^(Д)

- соответствующие сдвиговые (объемные) вязкости фаз.

В отсутствие массовых сил Г = 0 система уравнений (1)-(3) имеет решение у = 0, у = 0, р = р°, р = р° для покоящейся смеси жидкостей с равномерным

О 0 ~0 " Г]-,

давлением р = р , парциальными плотностями р , р и температурой 1.

Система (1)-(3) в стационарном случае (р,р,\ ,\) = 0 является переопределенной системой

СИУУ = 0, СИУУ = 0, (4)

уАу = Ур-р^ уАу = Ур-р°£ (5)

Изучению краевых задач для таких переопределенных систем уравнений в частных производных посвящена работа [7].

Компоненты фундаментальной матрицы решений Сг (г,г'), (5гГ(г,г'), />(г,г') /' = г + 3, / = у + 3, г, у = 1,2,3 стационарной системы уравнений двухскоростной гидродинамики (4), (5) удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений

(г,г') = 0, амС,( г,г') = 0, т' = т+3, (6)

где 8, - символ Кронекера, г - г') - функция Дирака, дг =

дх

Обозначим через (9(а), у(а), р(а)) преобразование Фурье от (у(г), у(г), р(г)), а именно

(у(а), у(а), р(а)) = Г (у(г), у(г), р(г))етЧг.

(2ж) я3

1 ( - "> 3 Умножим (6), (7) на -—(г г) и проинтегрируем по Я , получим

(2ж)

а О = 0, а О ,, = 0, т' = т+3,

т пу ' т т] ? ?

(8)

уа2Ощ -1а,Р) = -т2агу -/а,!) = 81у.

— 1// г I т- —

(9)

Отсюда функции (5 , (5г,,, /; определяются единственным образом

1

г~< _ _

У ~ (п \3/2 2

(2ж) уа

а,а,

-8„+- 1 '

' а2

(10)

/~< ____

V ~ \3/2 ~ 2

(2ж) уа

аа,

и а2

р = 1ак

' /_ \3/2 2

а

( 2^)3

(11)

Обратное преобразование Фурье и формулы [8]

*(г - г '),

1 г - г

МЛ

4ж |г - г ' Г 8ж

( 2ж)

— гГ1 -1 -1

\3/2 II' 2' 4

1 а а

е'а (г-г') йа

дают

(г, г ') =1

у

4 ж г - г '

■+а,д

г - г

8 ж

(12)

1/

^Г |г - г '

-+дк д ,I—

4 ж г - г '

8 ж

, Рк (г,г ') = дА

4 ж г - г ' |

Из этих выражений получим формулы Грина задачи (5), (5) в виде

д

Оы (г, г ') =

8жу

3

г - г

(хк -хк)(х, -Х,)

г - г

8 жу

3

к,

Г-Г

(Хк - Хк )(х, - Х} )

г - г

Рк (г,г ') = -± Х^Т 8ж г - г '

Таким образом, для описания трехмерных стационарных течений вязких жидкостей двухскоростного континуума с равновесием фаз по давлению построено фундаментальное решение.

Ниже представлены результаты численного моделирования для пробной модели среды.

На рис. 1 и 2 представлены поля течения для сосредоточенной силы направленной вдоль оси Ох с единичной силой приложенной в начале коорди-

г г

нат при 2 = 0, рх = 0.7—-, р2 = 0.9—-, вязкость жидкости принимала 1 Па• с,

см см

единицы измерения в координатных осях соответствуют км, насыщенность принимала 5 %. Рис. 1 соответствует ^ компоненты скорости у, а рис. 2 соответствует V компоненты скорости.

15 10 5 0 5 10 15

Рис. 1

15 10 5 0 5 10 15

Рис. 2

15

15

5

5

0

0

5

5

15

15

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 16-01-00729 и № 17-01-00174).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М. : Наука, 1978.

2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М. : Наука, 1974.

3. Drazin P., Riley N. The Navier-Stokes equations. A classification of flows and exact solutions. - Cambidge Univ. Press: Cambridge, 2006.

4. Жабборов Н. М., Имомназаров Х. Х., Коробов П. В. Трехмерные вихревые течения несжимаемых двухскоростных сред в случае постоянства объемной насыщенности веществ // Вестник НГУ, Серия: математика, механика, информатика. - 2014. - № 2. - C. 15-23.

5. Фундаментальное решение для стационарного уравнения двухскоростной гидродинамики с одним давлением / Х. Х. Имомназаров, Ш. Х. Имомназаров., М. М. Маматкулов, Е. Г. Черных // СибЖИМ. - 2014. - Т. 17, № 4 (60). - С. 60-66.

6. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В. Теория частичного плавления // Геология и геофизика. - 1989. - № 9. - С. 56-64.

7. Гудович И. С., Крейн С. Г. О некоторых краевых задачах, эллиптических в подпространстве // Матем. сб. - 1971. - Т. 84 (126), № 4. - С. 595-606.

8. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. - Изд-во Наука, 1970.

© Х. Х. Имомназаров, Е. Г. Черных, 2017