CC BY
11
УДК 517.9
Применение дифференциальных тождеств Меграбова к уравнениям двухскоростной гидродинамики с одним давлением
Насриддин М. Жабборов*
Национальный Университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека,
Вузгородок, Ташкент, 100174, Узбекистан
Пётр В. Коробов Холматжон Х. Имомназаров^
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,
академика Лаврентьева 6, Новосибирск, 630090,
Россия
Получена 29.11.2011, окончательный вариант 29.12.2011, принята к печати 10.01.2012 Найден ряд дифференциальных тождеств, связывающих скорости, давление и массовую силу в уравнениях двухскоростной гидродинамики с равновесием фаз по давлению. Некоторые из этих тождеств имеют дивергентный вид и могут 'рассматриваться как некоторые законы сохранения. Обнаружено, что функции только для плоского движения удовлетворяют системе уравнений Монжа-Ампера.
Ключевые слова: двухскоростная гидродинамика, гиперболическая система.
Введение
В векторном анализе, теории поля и математической физике важную роль играют дифференциальные тождества классического вида. В работе [1] получено обобщение ряда тождеств теории обратных задач для кинетических уравнений. В работе [2] получен ряд формул векторного анализа в виде дифференциальных тождеств второго и третьего порядков, связывающих лапласиан произвольной гладкой скалярной функции и (x, y) двух независимых переменных, модуль градиента этой функции, угловую величину и направление градиента. Найдено представление гауссовой кривизны поверхности в трехмерном евклидовом пространстве с графиком z = и (x,y). Даны некоторое его обобщения и аналогичные формулы для поверхности в псевдоевклидовом пространстве. Результаты работы [2] обобщене в работе [3] по двум направлениям: на трехмерный случай и для произвольного (не обязательно потенциального) гладкого векторного поля v. Получен ряд формул векторного анализа в виде дифференциальных тождеств, которые, с одной стороны, связывают модуль |v| и направление т произвольного гладкого векторного поля v = |v| т в трехмерном (v = v (x, y, z)) и в двумерном (v = v (x, y)) случаях. С другой стороны, найденные формулы в определенном смысле разделяют модуль |v| и направление т векторного поля v = |v| т. А именно, основное тождество любому гладкому векторному полю v сопоставляет в явном виде векторное поле Q = P + S, где P определяется только модулем |v| поля v и является потенциальным как в двумерном, так и в трехмерном случаях, а поле S определяется только
[email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved
направлением т поля v и является соленоидальным в двумерном случае. Даны приложения полученных тождеств к гидродинамическому уравнению Эйлера.
В данной работе даны приложения полученных тождеств из [3] к уравнениям двухско-ростной гидродинамики с одним давлением.
1. Дифференциальные тождества Меграбова,
связывающие модуль и направление векторного поля
В работе [3] Меграбов получил следующее утверждение
Теорема 1. Для любого векторного поля v = v (x, y, z) = |v| т с компонентами (x, y, z) G C1 (D), k = 1, 2, 3 модулем |v| = 0 в D и направлением т справедливо тождество
Q = Q(v) = P (|v|) + S(t ), (1)
где
s def v div v + v x rot v ,.defm . . V I vi
Q(v) =-fra-, P(|v|) = V]n(v) = —i-f (2)
| v| | v|
S = S (т) d=f т div т + т x rot т = Q (v) - P (|v|). (3)
Для векторного поля S справедливо любое из представлений
S = S (т) = т div т - т8 = - {(т x V) x т + (т • V) т} = - (v x V x v (4)
| v|
(тя = (т • V) т = rot т x т — производная вектора т по направлению т),
S = rot (ak) - cos2 0rot (ak - tg#A) = rot (ak + cos 0-0) - 2 cos в rot (5)
где A = - sin a¿ + cos aj, — = - sin вА + a cos 0k,
S = -Va x (cos вт - k) + Ve x A, S = тdiv т - kv, (6)
где к — кривизна векторной линии поля v, v — ее главная нормаль. Справедлива формула к2 = sin2 в a;; +02, где as = (Va • т), 0s = (V0 • т) — производные углов a, в по направлению т. Основное тождество (1) может быть представлено также в любой из форм
Q + И, = Vln(v) + rot Fi, i = 1,2,
где И1 = cos2 в rot (ak - tg вА), H2 = 2 cos в rot —, F1 = ak, F2 = ak + cos в—, так что векторы Hi,Fi, как и S, определяются только углами a, в, т.е. направлением т поля. Если не предполагать наличие свойства |v| = 0 в D, то (1) принимает вид
W = v div v + v x rot v = V |v|2 - V,
где V =f - |v|2 S = 2 V |v|2 - v div v - v x rot v = - |v|2 {т div т + т x rot т} = v x V x v.
Другие формулы для W, V получаются подстановкой любого выражения для S из (4)-(6) в последние равенства.
Теорема 2. При условиях теоремы 1 и (x,y, z) G C2 (D) (k = 1, 2, 3) справедливы формулы
2 sin в (v • B)
divS = -2 sin в (т • B) = --
где B = Va х W = rot (aW) = -rot (0Va). Кроме того, имеет место тождество
Ív div v + v x rot v
-+v--V ln |v| + ИЛ =0, (г = 1, 2),
|v|
которое можно рассматривать как закон сохранения (его дифференциальную форму) с интегральной формой для потока ff S ([Q — P + H¿] • n) dS = 0, где S — кусочно-гладкая граница области D с нормалью ц.
В теоремах 1 и 2 приняты следующие обозначения: символы (а • b) и а х b обозначают скалярное и векторное произведения векторов а и b; V — оператор Лапласа; D — некоторая область в пространстве x, y, z; г, j, k орты по осям x, y, z; v = v (x, y, z) = uií + U2j + изк — векторное поле, определенное в D,uk = u^ (x, y, z) - скалярные функции, k = 1, 2, 3, |v|2 = и2 + и2 + u|; a = a (x, y, z) — угол наклона вектора (uií + U2j) к оси Ox, так что cos a = —, sin a = Y*, где g = и 2 + и2, т.е. a (x, y, z) — полярный угол точки (£ = u i,? = U2) на плоскости £, ? или аргумент Argw комплексного числа w = £ + г? (г — мнимая единица):
a =f arctan — + (2k + ó) п, k G Z (7)
ui
¿ = 0 и ¿ =1 соответственно в квадрантах I, IV, II, III плоскости £, ?; в = в (x, y, z) — угол
ГЛ üdef u3 n ^ a a u3 - a V^
между вектором v и осью Oz : в = arccos -г—г, так что 0 ^ в ^ п, cos в = -г—г, sin в = -р-г-.
|v| |v| |v|
То есть a, в — сферические координаты в пространстве £ = u 1, ? = U2, Z = U3. При этом v = |v| т, где т = т (a, в) = cos a sin вг + sin a sin вj + cos вк — направление векторного поля v(|T | = 1).
п
В двумерном случае v = v (x, y) = uií + U2j = v |т|, U3 =0, в = ^ т = т (a) =
cos ai + sin aj, угол a определяется формулой (7), Vв = B = 0; Vy (x, y) G C1 (D) имеем
, ,, . . dy
rot (yk) = г — ^xj где = .
Из теоремы 1 следует
Теорема 3. Для любого плоского векторного поля v(x,y) с компонентами uk (x,y) G C1 (D) , k = 1, 2 модулем |v| = 0 в D и направлением т = т (a) справедливо тождество
^ def vdiv v + v X rot v „, . . , , .
Q =--= Vln |v| +rot (ak) ^ (8)
|v|
div v = ({V ln |v| + rot (ak)} • v), rot v = {V ln |v| + rot (ak)} х v.
При этом S = rot (ak) ^ (S • Va) = 0, т.е. векторные линии векторного поля S совпадают с линиями уровня скалярного поля углов a (x, y). Если uk (x, y) G C2 (D), k = 1, 2, то справедливы тождества
div S = 0, rot S = — (Aa) k ^ Aln |v| = div Q, (Aa) k = —rot Q ^ ALn v |v| e±ia} = div Q ± г (rot Q • k).
В законе сохранения теоремы 2 имеем И = 0.
Как известно [4], любое гладкое векторное поле можно представить в виде суммы градиента некоторого скаляра и ротора некоторого вектора. Тождество (8) дает такое представление для векторного поля Q. При v = Vu (x,y) теорема 3 дает тождества работы [2].
2. Уравнения двухскоростной гидродинамики с одним давлением
В работах [5,6] на основе законов сохранения, инвариантности уравнений относительно преобразований Галилея и условия термодинамической согласованности построена нелинейная двухскоростная модель движения жидкости через деформируемую пористую среду. Двухскоростная гидродинамическая теория с условием равновесия фаз по давлению, была построена в работе [7]. Уравнения движения двухскоростной среды с одним давлением в системе в изотермический случай имеет вид [7]
+ + ру) = 0, ^+^(/5*) =0, (9)
д- + (у, V) у = - V + 2*: V (55 - у)2 + /, (10)
^ + (*, V) * = - ^ (55 - у)2 + /, (11)
где 55 и у — вектора скорости подсистем, составляющих двухскоростной континуум с соответствующими парциальными плотностями р и р, р = р + р — общая плотность континуума; р = р ^р, (55 - у)2^ — уравнение состояния континуума; / — вектор массовой силы,
отнесенной к единице массы. В терминах векторов Т, V, 5, Р, Щ, Fi, ТУ, V55, <5, Р, Н, Fi, определенных в теореме 1, система уравнений (10), (11) может быть записана в любой из следующих форм (символы без тильды и с тильдой относятся к соответствующим подсистемам континуума):
W = % +vdiyy+i Vu2 + V - ¿V (у - v)2 - f,
at 2 /9 2/9
-V = ^ + y div y + Vp - -A V (у - y)2 - f; dt p 2p v ' -1'
(12)
Gd= M* + ydiy у + V9P - 2pV (У - y)2 - /} = S (= Q - P) - ,13,
— G + И, = rot Fi, i = 1, 2;
W = dV+VdivV+1 VU2 + Vp - p V (v - v)2 - f, <9tJ 2 p 2p v >
-V = £ + У div V + Vp - PV (V - v)2 - f;
at p 2yO
(14)
G* M| + Vdiv У + VOP - 2pV (У - у)2 - /} = S (= Q - P) « (15)
— G + Hi = rot F,, i = 1,2. В случае однородных несжимаемых сред, т.е. при условии р = const, р = const ^ div v = 0, div v = 0 — v = rot A, v = rot A, где A, A - векторные потенциалы скоростей v, v, уравнения двухскоростной гидродинамики представимы в виде
W = v( 1 u2 + P + U - (v - v)2l +rot {At + M},
12 p 2p
-V = V £ + U - f- (v - v)2 + rot {At + M} ,
ip 2P j
W = v{ 1 u2 + p + U - 2P(y- v)2} + rot {At + m},
-V = v{ p + U - 2P(y - v)2} + rot {At + m},
где f = VU + rot M; At, At — временные производные векторов A, A. Отсюда при совпадении скоростей и физических плотностей фаз получим W = W, V = V и, как следствие, формулы для векторных полей W, V из работы [2]. Таким образом, решение (v, v,p) системы уравнений двухскоростной гидродинамики для однородных несжимаемых сред дает представление векторных полей W, V, W, V, определенных в теореме 1 (где v = rot A, v = rot A) в виде суммы VФ + rot Ф. Из (13), (15) и теоремы 2 вытекает
Теорема 4. Для любого движения идеальной двухскоростной системы с одним давлением (v = 0, v = 0) справедливы тождества
div div
-{ dt + v div v + V — 2=V (* — v)2 — f
1 (д v
u2 [ dt
1 f д v
u2 I 3t
un dt+vdivv+Vp — (v—v)2—f
sin в
= —2-(v • (Va х Vв)) = div S,
=2
u sin
va x Vв = div S
Кроме того, помимо общего закона сохранения теоремы 2, справедливого для любых гладких векторных полей V (ж, у, г, ¿), V (ж, у, г, €), также выполняются законы сохранения дифференциальных форм
div(G + Я*)=0, div ((5 + #) =0 ^
div
div
^ It + 'divv+ | — ^V (f — v)2 — 4 + И,
M S + + VT — (f — v)2 — f} + И,
и интегральных форм для потоков
S ([G + #] • n) dS = 0, ( G + # • n)dS = 0, i = 1, 2.
Здесь векторы И, определены в теореме 1 и выражаются только через углы
а (а), в направлений скоростей v (x, y, z, t), v (x, y, z,t), S — кусочно-гладкая граница области D, n — нормаль к S. Для безвихревого движения (при v = Vu, v = VU) имеем
G d= 1 { Vut + Vu Vu + V - V (VU - Vu)2 - f 1 , и2 I p 2/3
G d=f i 1 VVt + vu Vu + V - ^ V (vu - Vu)2 - f
и2 [ p 2yO
и справедливы тождества
2 2 sin в д (u, а, в) divG = — div {urot (a cos в)} =---—--,
и и д (x,y, z)
divG = ц-div j urot ^a cos У I
2 sin f д ^ a
U д (x, y, z) '
если выполнено одно из условий:
u = u (x, y) (u = u (x, y)) ^ в = 2 = "|j ; u (a, в) (u = u (a, в)) ; u = u (a, в) (f = U (a, в)) ; Uz = y (ux, uy) (uz = y (ux, uy)),
то divG = 0 ^divG = 0 j. В плоском случае v = v (x, y, t) = ur, v =v (x, y, t) = uf, т = cos ai + sin aj, f = cos ai + sin aj, a = a (x, y,t), a = a(x, y,t) — угол наклона линии
0
тока (векторной линии поля v (v) при t = const). Для несжимаемых сред имеем div v = 0, div v = 0, v = uyi — uxj = rot (uk), v = uyi — uxj = rot (uk), u2 = uX + , и2 = uX + uy, где u = u (x,y,t) и u = u (x,y,t) — функция тока. Из уравнения (13), (15) и теоремы 3 следует
Теорема 5. Система уравнений двухскоростной гидродинамики с одним давлением (10), (11) для плоского движения (v = v (x, y, t) v = v(x, y, t) u = 0, u = 0) представима в виде тождеств
G = rot (a(x, y, t)k), G = rot (a(x, y, t)k) ^ div G = 0, div G = 0,
rot G = — (Aa)k, rot G = — (Aa)k ^ Alnu = div Q, AlnU = div Q, (16)
(Aa)k = —rot Q, (Aa)k = —rot Q,
где поля G, Q,G, Q определены в (8), (13), (15).
Из теоремы 3 вытекает
Следствие 1. Как в случае (v = Vu (x, y,t), v = Vu (x,y,t)) плоского безвихревого движения с потенциалами u = u (x, y, t), u = u (x, y, t) G C3(D), так и в случае плоского движения несжимаемого двухскоростного континуума (v = rot (u (x, y, t) k) = uyi — uyj, v = rot (u (x,y,t) k) = uyi — uxj) с функцией тока u (x, y,t), u (x, y, t) G C3 (D) для величин
ax, ay, u = |v|, Q, S, V = —u2S, div V, rot V (ax, ay, u = |v|, Q, S, V = —u2S, div V, rot V)
получаем одни и те же выражения через производные функции u(u), при этом u = ^/g, g =
AuVu ^ , , , N ^ AuVu
■"ж 1 ^ V У 7 У "'ж 1
uX + u2, u = а/з, g = uX + u2, Q =-, S = rot (ak), Q = —-—, S = rot (ak),
gg
1 2
(uyuxy — uKuyy) i + (uKuKy — uyuxx) j = (Vu x V) Vu,
V = 2 V (uX + uy) — AuVu = — (uX + uy) rot (ak) = (^
divV = 2 (мХу - иххмуу) , rotV = |Му (Ам)х - (Ам)у|к, (18)
V = 2V (ЙХ + му) - АйУй = - (йХ + му) rot (ак) =
= (йуМху - йхйуу) г + (йхйху - МуМхх) = (V« х V) Ум,
div V = 2 (мХу - йххйу^ , rot V = {йу (Ам)х - йх (Ам)у|, (20)
и справедливы тождества (и = 0, и = 0)
Ам м Ам м
д = -^— = V 1п и + rot (ак), д = —^— = V 1п и + rot (ак) ^
и2 и 2
^е/ Ам . -г ^е/ Ам
^ л = —^-rot (мк) = -Уа + rot (1п ик) , л = (мк) = -Уа + rot (1п ик) ^
и2 и2
V 1пи = div д, V 1пи = div д, (Аа) к = -ш^, (Аа) к = -ш^. Из (12), (14) и (18), (20) следует Теорема 6. Система уравнений Монжа-Ампера
мху - мххмуу = мХу - мххмуу = Ё (21)
( в общем случае F, F — гладкие функции от x, y, u, u, ux, ux, uy, uy, uxx, uxx, uxy, uxy, uyy, uyy, параметра t) и система уравнений для функции тока плоского движения несжимаемых сред
- {uy (Au)x - Ux (Au)y} = (Au)t + (rot Я • k),
} (22) - (Au)x - Ux (AU) J = (AU)t + (rot Я • k),
где f* = f--— + — Vw, f* = f--z--—Vw, w = (ux — ux) +(uy — uy) , связаны между
^+А = / - — - р-...... - и )2и )2
собой следующим образом: их левые части выражаются, соответственно, через дивергенцию и ротор одних и тех же векторных полей V, V вида (17), (19) по формулам (18), (20).
Пусть функции v(x, y, t) - uy % Uxj7 v(x, y, t) = Uy % - Uxj, p (x, y, t) в следующей области
: {(x,y) G D, t G (ti, t2)} удовлетворяют системе уравнений двухскоростной гидродинамики с одним давлением (10), (11) для плоского движения несжимаемых сред. Тогда в области функции тока u (x,y,t), u(x, y,t) удовлетворяют обоим уравнениям (21) и (22) при
F = dif, F.= df. (23)
2 2 V ;
Обратно, пусть функции u (x, y, t), u (x, y, t) p (x, y, t) удовлетворяют в области уравнениям (21) и (22) с правой частью (23) и на границе S области D при t G (ti,t2) выполняется равенство (V • п) = ([/* - rot (utk)] • n), (V • nj = ([/* - rot (utk)] • n), где n — нормаль к S. В частности, последние равенства справедливы, если на S выполняются равенства (10), (11). Тогда функции v (x, y, t) = uy% - uxj, v (x, y, t) = uy% - uxj, p (x, y, t) в области удовлетворяют системе уравнений двухскоростной гидродинамики с одним давлением (10), (11) для плоского движения несжимаемых сред.
В частности, для однородных сред р = const, р = const и потенциального поля f = -VU уравнения (21), (22) принимают вид
(rot V • k) = - {uy (Au)x - ux (Au) J = (Au)t,
(rot V • k) = - {uy (Au)x - ux (Au) J = (Au)t,
(24)
div V 2 j-i div V _2
2 иху иххиуу 2 иху иххиуу Г (25)
Г А (и + Л -1*) й А (и +1 - >)
Г =--, Г =--.
22
Следовательно функции тока и (х,у,£), и(х, у,£), найденные, например, как решение известной системы уравнений (24), при любом фиксированном £ дают одновременно решение системы уравнений Монжа-Ампера (25), правую часть которых можно найти из системы уравнений двухскоростной гидродинамики с одним давлением (10), (11) при
V = иуг - их^', V = йуг -
В заключение авторы выражают благодарность Ю.В. Перепечко за обсуждение проблемы и за ряд ценных замечаний, которые были учтены при подготовке статьи.
Список литературы
[1] В.М.Нещадим, Обратные задачи для кинетических уравнений. Алгебраические и дифференциальные тождества, Докл. РАН, 400(2005), №3, 315-318.
[2] А.Г.Меграбов, Дифференциальные тождества, связывающие лапласиан скалярной функции, модуль ее градиента и угол его направления, Докл. РАН, 424( 2009), №5, 599-603.
[3] А.Г.Меграбов, Дифференциальные тождества, связывающие модуль и направления векторного поля, гидродинамические уравнения Эйлера, Докл. РАН, 433(2010), №3, 309-313.
[4] Н.Е.Кочин, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, Л.-М., ГОНТИ, 1938.
[5] В.Н.Доровский, Континуальная теория фильтрации, Геология и геофизика, (1989), №7, 39-45.
[6] В.Н.Доровский, Ю.В.Перепечко, Феноменологическое описание двухскоростных сред с релаксирующими касательными напряжениями, ПМТФ, (1992), №3, 94-105.
[7] В.Н.Доровский, Ю.В.Перепечко, Теория частичного плавления, Геология и геофизика, (1989), №9, 56-64.
Application of Megrabov's Differential Identities to the Two-velocity Hydrodynamics Equations with One Pressure
Nasriddin M. Zhabborov Petr V. Korobov Kholmatzhon Kh. Imomnazarov
A series of the differential identities connecting velocities, pressure and body force in the two-velocity hydrodynamics equations with equilibrium of pressure phases are found. Some of these identities have a divergent form and can be considered as some conservation laws. It is detected that the flow functions for plane motion satisfy the Monge-Ampere system of equations.
Keywords: two-velocity hydrodynamics, hyperbolic system.
