Расширение класса преобразований векторного поля и его приложения к дифференциальным уравнениям Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 50-73

= Математика =

УДК 514.7; 532.5

Расширение класса преобразований векторного поля и его приложения к дифференциальным уравнениям *

В. П. Верещагин, Ю. Н. Субботин, Н. И. Черных

Аннотация. В работе предлагается специальное расширение класса преобразований векторного поля, изменяющих его геометрическое строение. Такое расширение представляет интерес для приложений, связанных с решением дифференциальных уравнений. Одно из возможных приложений, рассматриваемых в работе (на примере нелинейного уравнения Навье-Стокса), заключается в конструировании класса решений дифференциальных уравнений (или их систем) по уже известному частному решению.

Другое из возможных приложений, рассматриваемых в работе, связано уже с решением линейных дифференциальных уравнений относительно полей (скалярных, векторных) и основывается на выведенных в работе тождествах. Эти тождества позволяют конструировать линейные дифференциальные уравнения вместе с их решениями.

Ключевые слова: скалярные поля, векторные поля, тензорные поля, ротор, дивергенция, градиент, преобразование.

В работе [1] предложен подход к решению уравнений в частных производных и их систем (в том числе и нелинейных) относительно векторных полей, который основывается на использовании элементов конструирования решений путем подходящего преобразования геометрического строения векторных полей. Для этого в [1] построен класс гладких преобразований, изменяющих величину вектора поля в каждой точке, форму линий поля и их взаимное расположение. Задача настоящей работы состоит в том, чтобы расширить построенный там класс преобразований за счет преобразований, изменяющих форму линий векторного поля и его вихревых линий, но не изменяющих их взаимную ориентацию. Такое расширение представляет интерес для приложений, связанных с решением

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 12-01-00004, № 11-01-00462), Программы Президиума УрО РАН «Математическая теория управления» (проект № 12-П-1-1022) и Министерства образования и науки РФ (проект 1.1544.2011).

дифференциальных уравнений, если судить, например, по результатам, уже полученным в [2, с. 128-131].

1. Рассмотрим векторное поле

a = a(xi ,Ж2,Жз), (1)

заданное в R3 относительно декартовой системы координат Ox1x2x3 с базисом {ві}.

Составим преобразование

G = Q S (2)

как композицию перестановочных преобразований Q, S. Здесь Q Q(ф, l) — тензорное поле из множества тензорных полей вращений в R3, действие которого 5с на любой вектор с с началом в произвольной точке x = xiei + + x2e2 + x3e3 Є R3 сводится к повороту вектора на угол ф вокруг оси, проходящей через точку x в направлении орта l, и предполагается, что ф и l не зависят от точки х; действие оператора S на любое поле в R3 (скалярное, векторное, тензорное) как функцию координат x1,x2,x3 сводится к замене

xn ^ x^(x1,x2,x3, ж), n = 1,2,3, (3)

координат xn переменными xn(x1,x2,x3, ж), зависящими от некоторого набора ж связанных с S параметров. Соответствие (3) будем устанавливать в явном виде, исходя из требования

rot Ga = ц,<3 rot a, (4)

где ^ — не зависящий от координат точек х Є R3 параметр. Причем это требование должно выполняться для любого гладкого в R3 поля a (1). Обозначим через

a" = a//(x1, x2, x3, ж) = ¿Qa(x1, x2, x3) (5)

образ поля a (1) при его отображении посредством преобразования (2). Через a' = a/(x1, x2, x3, ж) = Sa(x^ x2, x3) = a(x1, x2, x3) =

ЖП^ЖП(Ж1,Ж2,Ж3,Ж)

= a(x1(x1, x2, x3, ж), x/2(x1, x2, x3, ж), x;3 (x1, x2, x3, ж)) (6)

обозначим образ поля a (1) при его отображении посредством S. Отсюда и из (2) следует, что поле a'' (5) можно рассматривать как образ поля a' (6) при отображении Q:

a'' = a''(x1, x2, x3, ж) = Qa'(x1, x2, x3, ж). (7)

2. Сформулируем и докажем следующее утверждение.

Предложение 1. Соответствие (3) отвечает требованию (4) при любом гладком в Я3 поле а (1), если и только если это соответствие выражается правилами

3

жПг(Ж1,Ж2,Жз, ж) = ( Оега, в,)ж^- + 5П, п = 1,2,3, (8)

і=1

где ж = {^,51,52,^3,^, 1} — набор связанных с Б параметров, каждый из которых не зависит от координат точек х Є Я3.

Доказательство. Для доказательства найдем сначала ротор поля а" (5). Используя выражение для ротора векторного поля через оператор

Гамильтона V = ^ е; д/дж;, равенство І=1

(9)

справедливое для преобразования О в силу его ортогональности, и формулу (7) запишем

го! а" = [V, а"] = ^

д

в;, -— а

І=1

дж;

д

;=1

;=1

Е|е;,°джа' = Е°

дж

;=1

0 1ві, а'

дж;

(10)

Здесь и ниже аргументы у полей для сокращения записи опускаются, если это не приводит к недоразумениям. Далее, учитывая (6), запишем

7^ а'(ж1,ж2,жз, ж) = -^Б>а(ж1 ,ж2,жз) = дж; дж;

:Е

П=1

3

£

П=1

д а(ж1, ж2, ж3) джП

да(ж1, ж2, ж3) джга

жк =жк (хі,х2,хз,ж)

(хі,Х2,жз,ж)

дж^(ж1, ж2, ж3, ж)

дж;

дж^(ж1, ж2, ж3, ж) дж;

ЕджП(жь ж2, ж3, ж) - д , .

-------о!------а(ж1, ж2, ж3).

П=1

дж;

джп

* В настоящей работе используются символы (с, ф) и [с, d] для обозначения скалярного и векторного произведений векторов с, ф.

Следовательно,

а/(жі,ж2,жз, ж) = -^5а(жі ,ж2,жз) = дж,; дж,-

^ джП(Жі,Ж2,Жз, ж) * д \ ■ 10 9 глл\

У,----------S^- а(ж1,ж2,ж3), г = 1, 2, 3. (11)

П=1

дж;

джп

Заметим, что процедура вывода формулы (11) в случае скалярного или тензорного поля привела бы к результату, который получается из (11) путем замены векторного поля на скалярное или тензорное. Это позволяет утверждать, что при любых гладких соответствиях (3) справедливы формулы

д ^ ^ джП(жьЖ2,жз, ж) ~_д_ I = 12 3

П=1

дж;

дж;

джп

(12)

выражающие символически правила перестановки операций д/дж^ и >5.

Вернемся к последнему из равенств (10). Учитывая формулу (11), будем иметь

rot а// = *

П=1

д

г=1

д_

джп

n=1

д

джп

а

. (13)

Найдем теперь образ поля rot а при его отображении, посредством G:

3 3

Grot а = G[V, а] = *S ^ en, —— а = * ^ en, S

' дж^

д

А

джп

а

ж (14)

- - L дж^ J

n=1 n=1

Подстановка (13), (14) в (4) позволяет выразить требование (4)

следующим равенством:

Г / * * д

Vжra — en, G—— а

П=1

джп

0.

(15)

Равенство (15) выполняется при любом гладком в Я3 поле а, если и только если выполняется система равенств

Vжn — ^ *en = 0, n = 1, 2, 3.

(16)

Действительно, в противном случае выполнимость равенства (15) будет зависеть от поля а. Используя формулы Оеп _ ^3=1 (0еп,е^')е^' _ _ £3=1(0е„, е,-^ж,- _ ^3=1(0е„, е,)ж,, преобразуем систему (16) к виду

V

( * en ej)ж?

j=1

= 0, n = 1, 2, 3.

(17)

а

Разрешая (17) относительно жП и принимая обозначения sn для постоянных интегрирования, придем к правилам (8). Предложение доказано.

Таким образом, при соответствиях (8) имеем

rot а" = rot Ga = ^Grot а. (18)

Замечание 1. В дальнейшем условимся без дополнительных оговорок подразумевать всюду под S охарактеризованное выше в разделе 1 преобразование S при соответствиях (8).

Исходя из (18) запишем формулу

rot G = ^G rot, (19)

выражающую символически правило перестановки местами операции rot и преобразования G.

Сделаем еще ряд замечаний, относящихся к перестановке местами операций дифференцирования по координатам и преобразований, входящих в (2).

Замечание 2. Правила (12) при соответствиях (8) выражаются формулами

г) ^ ^ ^

— S = ^7(е*,7V), i = 1, 2, 3. (20)

дж*

Исходя из (20) сформулируем следующее, достаточно очевидное замечание.

Замечание 3. Перестановка операций V и S подчиняется правилу, которое выражается символически формулой

VS = ^GV. (21)

Наконец, убедимся, что для любого векторного поля С = с(Ж1, Ж2, жз) в R3 имеет место равенство

(Gc, V)Ga = ^5(с, V)a, (22)

выражающее правило перестановки местами операций дифференцирования по направлению поля с и G. Для этого рассмотрим производную (с/;, V)aw, где с" = Gc — образ поля с при его отображении G в R3, и выразим

его через производную (с, V)a. Запишем сначала (с", V)a" = (¿^с, V)Ga =

= (С?с, V)7Sa = 7(С?с, V)Sa = 7(С?с, VS)a. Отсюда, используя правило (21) выводим (с", V)a" = ^ 7(С?с, GV)a. Замечая теперь, что (G^GV) = = ( 75с, 7SV) = (7с, SV) = 5(с, V), придем к равенству (22).

3. Гладкому в R3 полю a (1) можно поставить в соответствие его

дивергенцию diva = (V, a), которая есть непрерывное в R3 скалярное

поле. Чтобы связать дивергенцию поля a с дивергенцией его образа a/;

(5), требуется оговорить правило преобразования скалярного поля при отображении его посредством композиции (2) тензорного * и скалярного S преобразований.

Пусть

u = и(ж1,ж2,ж3) (23)

— некоторое гладкое в R3 скалярное поле. Обозначим через

и/ = и/(ж1, ж2, ж3, ж) = ¿?и(ж1, ж2, ж3) = и(ж1, ж2, ж3) =

ЖП^ЖП(Ж1,Ж2,Ж3,Ж)

= и(ж1(ж1, ж2, ж3, ж), ж/2(ж1, ж2, ж3, ж), ж3(ж1, ж2, ж3, ж)) (24)

образ поля и при его отображении в R3 посредством преобразования S.

Преобразование *, будучи вращением векторов, не изменяет скалярного поля. Следовательно, действие преобразования G* на такое поле

исчерпывается действием преобразования S. Учитывая это, будем полагать

u// = Gu = * Su = * u/ = u/ = Su. (25)

Найдем дивергенцию поля а// (5). Для этого запишем divа// = div(*а = = (V, (5а) = (V, * 5а) = (V*, * а) = (^GV, * а) = ^( * SV, * а) = ^(SV, а) = = ^S(V, а), где использовано правило (21). Отсюда следует, что

div а// = div (*а = ^Sdiv а. (26)

Принимая во внимание (26), запишем формулу

div G = ^S div, (27)

символически выражающую правило перестановки местами операций div и

G. Эту формулу можно записать и так:

div G = ^G div,

если операцию G div понимать, следуя принятому выше соглашению (см. формулу (25)).

Вернемся к обсуждению скалярного поля и (23). Отметим, что полю и и его образу u// = и/ (см. (25), (24)) можно поставить в соответствие векторные поля grad u = Vu и grad u// = grad u/ = Vu/. Подстановка поля u в (21) в качестве операнда приводит к формуле VSu = ^GVu, использование которой позволяет выразить поле grad u// через поле grad u:

grad u// = grad Gu = ^G grad u. (28)

Отсюда следует выраженное символически правило

grad G = grad S = ^G grad (29)

перестановки местами операций grad и G (или S в случае скалярного поля).

Что же касается лапласиана А = (V, V) скалярного и векторного полей, непрерывно дифференцируемых дважды в R3, то его перестановка с S в случае скалярного поля и с G в случае векторного поля подчиняется правилам

ASu = ^2SAu, (30)

AGa = ^2GAa. (31)

В справедливости первого нетрудно убедиться, используя формулу ASu = = div gradSu, правило (29), а затем правило (27). При выводе второго используется тождество AGa = grad div Ga — rot rot Ga, правила (27), (19) и (29), а затем снова исходное тождество после замены в нем Ga на a.

4. Выясним, какие изменения происходят в геометрическом строении

поля a (1) и соответствующего ему поля rot a как семейств линий,

непрерывно заполняющих пространство R3, при отображении поля a в R3 посредством преобразования G (2). Для сравнения взаимной ориентации линий полей aw = Ga, rot a/; = rot Ga и взаимной ориентации линий

полей a, rot a в каждой точке x € R3 образуем скалярное произведение

полей направлений, соответствующих полям a , rot a и выразим его через скалярное произведение полей направлений, соответствующих полям

a, rot a. Используя правило (19) и учитывая, что

|Gc| = |Sc| = S|c|, (Gc, Gd) = (Sic, Sd) = S(c, d) (32)

в силу ортогональности преобразования Q в G (2), запишем

/ a" rot a" \ / Ga rot Ga \ / Ga ^G rot a \

V |a//|, 1 rot a';| / V |Ga|, | rot Ga|' ' |Ga|, |^G rot a|'

/ Sa ^S rot a \ ^ S/ a rot a \

' |Sa| , |^S rot a| ' Ы ' |a| , | rot a| ' ,

т. е. ,, ,,

( a rot a ^ = rot a ^ (33)

V |a"| , | rot a"| / |^| V |a| , | rot a| / ’

Согласно (33), угол между векторами a/; и rot aw, взятыми в точке с координатами xn, n = 1, 2, 3, совпадает с углом между векторами a и rot a, взятыми в точке с координатами жП(жъХ2,ж3, ж), n = 1, 2, 3, когда ^ > 0, а при ^ < 0 отличается на п. Учитывая это, сформулируем следующее

Предложение 2. Взаимная ориентация линий поля a" и поля rot a" в любой из точек с координатами ж1,ж2,ж3 и взаимная ориентация линий поля a и rot a в точке с координатами ж1(ж1,ж2,ж3, ж), ж/2(ж1, x2, x3, ж), Х3(Ж1,Ж2,Ж3, ж) совпадают.

Следствие 1. Преобразование G отображает всякое продольно вихревое в R3 векторное поле в продольно вихревое в R3, а поперечно вихревое в R3 векторное поле в поперечно вихревое в R3.

К продольно вихревым и поперечно вихревым в R3 (по терминологии работы [1]) относятся поля, удовлетворяющие соответственно условиям [a, rot a] = 0 в R3, rot a = 0 п. в. в R3 и условию (a, rot a) = 0 в R3.

Чтобы судить об изменении формы линий поля a при его отображении в R3 посредством G, введем единичное векторное поле направлений а, соответствующее полю a, и образуем, следуя Гамильтону, векторное поле

h = -[а, rot а]. (34)

Вектор поля h в каждой точке x Є R3 равен по модулю кривизне k линии поля a, проходящей через точку х, и направлен вдоль главной нормали к

линии поля a в этой точке. Образу a/; поля a при его отображении G также

поставим в соответствие единичное векторное поле направлений а" = Ga и образуем поле h" = -[а", rot а"]. Нетрудно убедиться, что

h" = ^Gh и |h"| = HS|h|. (35)

Принимая во внимание последнее из равенств (35), сформулируем предложение.

Предложение 3. Кривизна kw линии поля a" = Ga, проходящей через любую из точек с координатами жі,ж2,ж3 отличается от кривизны k линии поля a, проходящей через точку с координатами ж1(ж1,ж2,ж3, ж), X2(x1,x2,x3, ж), ж/3(ж1, x2, x3, ж) множителем |ц| :

k" = H^k. (36)

Следствие 2. Преобразование G не изменяет кривизну линий поля a, если линии поля a прямолинейны.

Кручение т линий поля a выражается через поле h (34) и его производную в направлении поля a формулой т = (а, [h, (а, V)h])/k2 (см., например, [1]), а кручение т/; = (а/;, [hw, (а", V)h"])/k//2 линий поля a" = (7a выражается через кручение линий поля a, в чем нетрудно убедиться, используя формулу (36), первое из равенств (35), правило (22) и равенства (9), (32), формулой т/; = цбт.

Учитывая это, сформулируем следующее предложение.

Предложение 4. Кручение т" линии поля a" = Ga, проходящей через любую из точек с координатами ж1,ж2,ж3 отличается от кручения т линии поля a, проходящей через точку с координатами ж1(ж1,ж2,ж3, ж), Х2(ж1,ж2,ж3, ж), ж/3(ж1, x2, x3, ж) множителем ц : т/; = цбт.

5. Обозначим через {G} класс преобразований G = QS, подразумевая по прежнему под S охарактеризованное в разделе 1 преобразование S при соответствиях (8). Через Gi = ¿?(жг) обозначим преобразование из {G}, соответствующее некоторому фиксированному набору

ж» = {^¿,s1j),s2j),s3j),^i, li} (37)

значений параметров преобразования (см. предложение 1). Каждое из преобразований класса {G}, действуя на любое поле a (1), удовлетворяет по построению требованию (4) и не изменяет, в смысле предложения 2 и следствия 1 в частных случаях, взаимную ориентацию линий поля a и его вихревых линий.

Обсудим возможность расширения класса {G} за счет преобразований

T = J] аД, (38)

j

каждое из которых составлено как линейная комбинация преобразований из {G} с независящими от координат точек x € R3 коэффициентами а». Заметим, что rot Ta = rot £3=1 aiGia = £3=1 а» rot G^ = £3=1 ai^iGi rot a в силу (18). Отсюда видно, что преобразование (38) для любого гладкого в R3 поля a (1) отвечает требованию (4): rot Ta = ^Trot a, если и только если каждому преобразованию Gi = G^) в (38) соответствует набор жi (37) параметров в котором ^ = ^, т. е. жi = {^, s^, s2i), s3i), ^i, li}.

Учитывая это, сформулируем следующее предложение.

Предложение 5. Расширение класса {G} до класса {Т} преобразований, не изменяющих взаимную ориентацию линий гладкого в R3 векторного поля и его вихревых линий, с помощью линейных операций над G исчерпывается

преобразованиями (38), каждое из которых есть линейная комбинация

преобразований Gi = Gi^i) € {G} при условии, что параметр ^ € жi не зависит от i.

Замечание 4. Для любого преобразования T € {Т} и для любых гладких в R3 полей, векторного — a или скалярного — u, имеют место, в силу (18), (26), (31), (25), (28), (30), следующие правила:

rot Ta = ^T rot a, div Ta = ^Tdiv a = ^ ^ ai»S'idiv a,

i

ATa = ^2TAa;

Tu = ^ ai»S'iu, grad Tu = ^T grad u,

i

ATu = ^2TAu = ^2 ^ a^Au.

i

6. Одно из возможных приложений построенного здесь класса {Т} преобразований заключается в конструировании класса решений дифференциальных уравнений (или их систем) относительно векторных полей по уже известному частному решению, которое в этом случае рассматривается как операнд преобразования из {Т}.

Для иллюстрации обратимся к нелинейной системе уравнений

д 1

— v + (v, V)v = — Vp + f + vAv, div v = 0 в D4 (39)

относительно векторного — v и скалярного — p полей в D4 = {(x, t) : x € R3, t € [0, +^)} при заданных постоянных p, v и заданном потенциале и векторного поля f = — Vu. Решения системы (39) могут использоваться для описания движения жидкости, заполняющей в каждый момент времени t ^ 0 пространство R3, при условии, что сжимаемостью и теплопроводностью жидкости можно пренебречь, поскольку законы движения такой модельной среды выражаются уравнением Навье - Стокса и уравнением непрерывности для несжимаемой среды. Тогда в системе уравнений (39) под v,p,p, f, v следует соответственно подразумевать скорость жидкости в точке x € R3 в момент времени t, плотность жидкости, давление в жидкости, плотность (на единицу массы) внешней потенциальной силы, вязкость жидкости.

Будем интересоваться частными решениями (v,p) системы (39), элемент v которых принадлежит классу L(R3) продольно вихревых в R3 векторных полей. В качестве операнда возьмем векторное поле

a = C 0(ж3)- (40)

Здесь C — не зависящий от координат параметр, а

в(х3) = ei cos Ах3 — e2 sin Ах3 (41)

— построенное в [1] единичное векторное поле (см. формулу (3) при ^(x) = = —Ах3), где А — постоянная. Поле (40) имеет простейшее в классе L(R3) геометрическое строение: 1) линии его — сонаправленные параллельные прямые, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости Ж3 = 0; 2) линии, лежащие в этих плоскостях, повернуты относительно линий в плоскости Х3 = 0 на угол, зависящий линейно от расстояния до плоскости Ж3 = 0. Вместе с тем, поле (39) обладает, в чем нетрудно убедиться, свойствами

rot a = Аа, (a, V)a = V11a|2, div a = 0, Aa = — A2a. (42)

При этом следует иметь в виду, что второе из равенств (42), выражающее свойство потенциальности поля (a, V)a, справедливо в случае любого продольно вихревого поля a в силу тождества (c, V)c = |c|2/2 — [c, rot с].

Нетрудно убедиться также, что поле (40) при C = C(t) = C0 exp(—vA2t), где Co — постоянная, является элементом

a = а(хз, t) = C (¿)в(жз) (43)

пары (a, p) полей, которая есть частное решение системы (39). Элемент же p пары выражается тогда формулой p = P(t) — p{(|a(x3,t)|2/2) + + u(xi, x2, x3, t)}, где P(t) — непрерывная функция t € [0, +ro),

u(xi,x2,x3, t) — потенциал поля f в (39).

Для образа Та поля (43) при его отображении на D4 посредством преобразования T из расширения {Т}, в силу замечания 4, имеем rot Та = = ^Trot a, div Та = ^ o'iS'idiv а, ДТа = ^2ТДа. Отсюда, учитывая (42),

выводим rot Та = ^АТа, (Та, V)Ta = V|Ta|2/2, div Та = 0, ДТа = — ^2А2Та.

Следовательно, второе уравнение системы (39) удовлетворяется при v = Та, а первое принимает вид

Jtia + v^2A2Ta = —v( 1 p +2 |Т^а|2 + u). (44)

Правая часть в (44) — потенциальное векторное поле, поэтому уравнение (44) разрешимо, если и только если равен нулю ротор от поля в левой части

(44), а это имеет место, в чем нетрудно убедиться, если и только если

д — —

— Та + v^2A2Ta = 0. (45)

Уравнение (45) выражает в дифференциальной форме ограничения на выбор параметров преобразования Т.

Составим в качестве примера принадлежащее расширению {Т} преобразование

,°i

i=1 i=l

Здесь ° і = ° (п/2, ві) — тензорное поле вращений на угол ф = п/2 вокруг оси 1, направленной в каждой точке х Є Л3 вдоль орта в^, которое действует на любое векторное поле с по правилу, °¿с = ві(ві, с) + [ві, с]; 5° : жга ^

^ жП(жі,ж2, ж3, Жі), п = 1, 2, 3, где Жі = {^, ,з3г), п/2, ві} — наборы

постоянных, и, следовательно (см. (8)),

Ж^(Ж1 ,Ж2,Ж3, Жі) = (e„, ei)xi - ^(e„, [ei, ej])xj > + s^.

j=1

Переходя в (45) к явным выражениям (46) и (43) для Т и a, получим

3 д

Е (dt^C + ^2А2агс)сгв = 0.

i=1

Это уравнение эквивалентно системе уравнений д

— o¿C + v^^o^C = 0, i = 1, 2, 3, (47)

dt

в силу линейной независимости полей Gi/3 : Gi/S = ei cos f2 — e3 sin f2,

G2/9 = —e3 cos f + e2 sin ^1, G3/9 = e2 cos f3 — e1 sin f3, где f = —^Аж1 +

+ s32), f2 = —^Аж2 + s31), f3 = —^АЖ3 + s33).

Разрешая систему (47), найдем aiC = Ciexp(—v^^t), i = 1,2,3, где Ci — постоянные. Стало быть, образ aw = Ta поля a (43) при отображении его посредством преобразования T (46) удовлетворяет условию (45)

разрешимости уравнения Навье - Стокса в (39), если и только если параметры ai его таковы, что ai = С ехр^А2(1 — ^2)t], i = 1, 2, 3. При этих условиях поле

a" = Ta = exp(—v^^^w, (48)

где w = (C1 cos ^2 — C3 sin <^3)e1 + (C3 cos ^3 + C2 sin <^1)e2 — (C2 cos f + + C1 sin f2)e3, будет, что легко проверить, элементом пары (a",p) полей, которая есть частное решение системы уравнений (39), если p = P (t) — p{(|a"(x1, Х2, Ж3, t) |2/2) + и(ж1,ж2,ж3, t)}.

Сконструированное поле a (48) принадлежит, как и его прообраз a (43), классу L(R3), но имеет другое геометрическое строение, если среди постоянных Ci по крайней мере две отличны от нуля. Действительно, тогда |w|2 = C2 + Cf + C| + 2(C2C3 sin f cos f3 + C1C2 sin f2 cos f —

— C1C3 sinf3 cos f2) = const и линии поля a" в R3 имеют (см. [1]) уже не равную нулю кривизну в отличие от линий его прообраза a.

7. Найдем еще одно частное решение системы уравнений (39), векторное поле, в котором строится по полю a (43) посредством другого преобразования из класса {T}.

Для этого составим сначала преобразование G (2). Тензорное поле вращений в (2) зададим как функцию Q = Q(f, $, ф) = £j n=1 ^j„(f, $, ф^ ■ e„ не зависящих от координат углов Эйлера: f € [0, 2п], $ € [0, п], ф € [0, 2п]. Здесь

íj„(f, $,ф) = (áj1 cos f + áj2 sin f)(¿„1 cos ф — ¿„2 sin ф) +

+ [¿j3 sin $ — (j sin f — ¿j2 cos f) cos $](¿ra1 sin ф + ¿n2 cos ф) +

+ [¿j3 cos $ + (¿ji. sin f — ¿j2 cos f) sin $]¿n3, j, n = 1, 2, 3, (49)

где ¿ij — символ Кронекера; ej ■ e„ — тензорное произведение векторов ej и e„, действие которого на произвольный вектор c определяется правилом

ej ■ enc = ej(en, c). Преобразование S в (2) зададим как замену жп

— жП(ж^ ж2, ж3, а следовательно (см. (8)

— жП(ж1,ж2,ж3, а), n = 1, 2, 3, где а = p, §,ф} — набор постоянных, и

з

[4(жь ж2, жз, а) = ^ ^ ^jn(p, §, ф^-. (50)

j=i

Преобразование T составим как “линейную комбинацию”

2п п 2п

T = J dp J d§ J a(p, §, ф, t)Q(p, §^)S (51)

0 0 0

с “коэффициентами”

а = a(p,§^,í) = ( ^¿(§ - пИФ - P_G [0,п1, (52)

1 0, p€[0,n],

где a(t) — непрерывная функция t € [0, +го), ¿(§ — п/2), ¿(ф — п/2) —

символические дельта-функции Дирака (см., например, [3, с. 21.9-2]).

Найдем образ поля a (43) при его отображении посредством преобразования T (51). Для этого найдем сначала образ S/9 поля

в. Последнее зависит только от координаты жз (см. (41)). Поэтому Se = в(ж3)| ,/ N. Переменная ж3 выражается, согласно (50),

I I \ 3/ 1жз^Ж'з(Ж1,Ж2,Жз,Ж) ^ 3 i" i V Л

(49), через координаты ж1 ,ж2,ж3 формулой ж'3(ж1,ж2,ж3, а) = ^[(ж1 sin p —

— ж2 cos p) sin § + ж3 cos §]. Координаты ж1,ж2,ж3 здесь выразим в свою очередь через цилиндрические координаты r € [0, +го), Y € [0, 2п), z € R, используя формулы

ж1 = r cos y, ж2 = r sin y, ж3 = z.

Получим

ж/3(ж1(г, y), ж2(г, y), ж3(z), а) = ж;3(г, y, z, а) = ^[r sin(p — y) sin § + z cos §].

Далее во избежание громоздких формул учтем сразу же специфику зависимости “коэффициентов” а (52) от §, ф и запишем

se

= e1 cos(A^r sin(p — y)) — e2 sin(A^r sin(p — y)),

$=п/2, ^=п/2

Q (p, §, ф)5в = sin(A^r sin(p — y ))er (p) + cos(A^r sin(p — Y))e3,

$=п/2, ^=п/2

где er (p) = cos pe1 + sin pe2.

——

Используя (53) и (52), выразим образ Та поля а (43) при его отображении посредством преобразования Т (51) формулой

{■к

У 8т(А^Г 8ш(^> — 7))ег(^>)

0

п 'I

+ J cos(A^r sin(^> — 7)) d^> e3 >.

0

Замечая теперь, что

П П

У sin(A^r sin(^> — Y))er(^>) d^> = J sin(A^r sin ^>)er+ y) d^> =

00

П П

= er(y) J sin(A^r sin ^>) cos ^d^ + eY(y) J sin(A^r sin ^>) sin ^d^ = 00 = nJi(A^r)e7 (y),

П П

У cos(A^r sin(^> — y)) d^> = J cos(A^r sin ^>) d^> = nJ0(A^r),

00 придем к формуле

Ta = C (í)E(í)[Ji(A^r)e7 (y) + Jo(A^r)e3], (54)

где eY (y) = — sin Ye1 + cos ye2, J1 (A^r) и J0(A^r) — функции Бесселя порядка один и ноль (см., например, [3, п. 21.8-2]).

Постановка (54) в (45) приводит к уравнению

д i

— C(t)E(t) + v^2A2C(t)E(t) [Ji(A^r)e7(y) + Jo(A^r)e3j = 0.

Это уравнение удовлетворяется очевидно, если и только если

д

— C (t)E(t) + v^2A2C (t)E(t) = 0. (55)

Разрешая уравнение (55) будем иметь C(t)E(t) = а0exp(—v^2A2í), где а0 — постоянная. Следовательно, образ aw = Ta поля a (43) при отображении его посредством преобразования T (51) удовлетворяет условию разрешимости

(45) уравнения Навье - Стокса, если и только если функция E(t), входящая

в параметр а (52) такова, что E(t) = (a0/C0) exp[vA2(1 — ^2)íj. При этом

условии поле

a" = Ta = а0 exp(—v^2A2í)[J1(A^r)e7 (y) + J0(A^r)e3]

будет, что легко проверить, элементом пары (а/;,р) полей, которая есть еще одно частное решение системы уравнений (39), если

В заключение разделов 6, 7 отметим следующее обстоятельство. Условие разрешимости уравнения Навье - Стокса в (39), выражаемое уравнением, подобным уравнению (45), в классе соленоидальных продольно вихревых векторных полей, накладывает достаточно жесткие ограничения на вид функциональной зависимости от Ь искомого частного решения в случаях, когда задаваемое векторное поле £ потенциально. Эти ограничения можно ослабить, если векторное поле £ дополнить соленоидальной составляющей. Последняя может рассматриваться тогда как управление решением по аналогии с задачами управления.

8. Другое из возможных приложений построенного здесь класса {Т} преобразований относится к решению задач, связанных с нахождением: 1) скалярного поля по заданному градиенту его; 2) векторного поля по заданному ротору его, либо дивергенции. Это направление приложений основывается на использовании тождеств, которые выражают связь между операциями дифференцирования поля-образа, полученного при отображении поля-прообраза посредством преобразования Т из {Т}, по параметру ^ преобразования Г и по координатам. Поэтому дальнейшая задача состоит главным образом в том, чтобы вывести эти тождества.

9. Возьмем преобразование

из класса {Т}, охарактеризованного в предложении 5, причем такое, в

скалярного поля и (23) при отображении (56) и найдем его производную

(56)

котором параметры ст, «1;, «2 , «з1^^ не зависят от ^ для любого г. Рассмотрим образ

(О „(О „(О

3 ди(ж1,ж2,ж3) джП(жі,Ж2,жз,ж)

Е

джП

гол

Xfc =xk(xi,X2,X3,ffi) дЦ

£ £(Te„, ej)xj ди(ЖдЖП2-Жз)

n=1j=1 n

xfc^x'fc (xi ,X2,X3,ffi)

V V (ej, Пе„)ж, T д“(ждж2,жз) = V V (Xj ej, T Te,,) д“(жьж2’жз)

дЖГО дЖГО

ГО=1J=1 ГО=1J=1

3 / ^ д \

= S (x,Ge™ = (x’GV)u-

' дЖ.

n=1

Следовательно,

д

д~?u = (x, GV)u. (58)

Умножая теперь (58) на ц и учитывая правило (21), будем иметь

д

ц — Su = (x, VS?)u = (x, V)S?u. (59)

Из вывода формул (58), (59) легко видеть, что тот же результат получился бы и при дифференцировании по ц векторного поля S?a. Учитывая это, запишем

д

— S?a = (x,GV)a, дц

д

ц — S?a = (x, VS?)а = (x, V)S?a. (60)

дц

В случае же скалярного поля формулу (58) можно выразить в виде

д

— S>u = (x, G grad u). (61)

Что же касается производной (57), то через производные по координатам она будет выражаться в силу (61) следующей формулой

дд

—— T u = — ^S^u = (x, T grad u). (62)

дц дц *-rJ

Заметим, что равенство (61) справедливо для любого гладкого в

R3 скалярного поля u при любых значениях параметров ц, S1, S2, S3, ф, l преобразований S? G и является, следовательно, тождеством. То же самое можно утверждать очевидно и в отношении равенства (62).

Тождества (61), (62) можно выразить в интегральной форме:

м

Su = u0 + J (x, G grad u)

м=м

du,

(63)

где u0 = Su

м=0

u(s^ s2, S3);

M

CTjS'ju = u0 + У (x, T grad u)

м=м

du,

где u0 = £ j CTiu(s1*), s2^ , S3^), удобной для некоторых приложений.

Так, тождество (63) может представлять интерес для приложений, связанных с решением уравнения

grad u = g в R3, (64)

где g — заданное в R3 векторное поле, удовлетворяющее условию

rot g = 0. (65)

Действительно, исключая grad u в (63) с помощью (64), придем к формуле

Su = u0 + / (x, Gg)

M=u

du-

Формула (66) дает решение уравнения

Ggradu = Gg в R3,

(66)

(67)

где rot Gg = 0, поскольку rot Gg = iG rot g в силу правила (19), а rot g = 0 в силу условия (65). В самом деле, градиент поля в левой части формулы (66) равен

grad Su = iG grad u, (68)

в силу правила (29), а градиент поля в правой части формулы (66) / м ч м

dц = цб^,

grad u0 + / (x, Gg) du = V(x, (Gg)

м=м

м=м

(69)

поскольку V(x, (Gg) = (d/di)iGg в силу тождества

^ ^ d ^ V(x, Ga) = [x, rot Ga] + — i Ga

(70)

(пояснения ниже) и равенства rot Gg = 0. Из равенства градиентов (68), (69) следует уравнение (67). Уравнение (67) представляет собой образ уравнения

м

(64) при его отображении посредством преобразования G и эквивалентно в силу (68) уравнению

grad Su = iGg (71)

относительно поля Su, имеющему тот же вид, что и уравнение (64). Решением же уравнения (71), как и уравнения (67), будет поле Su, определяемое формулой (66).

Убедимся в справедливости тождества (70). Для это обратимся к известному тождеству

V(c, d) = [c, rot d] + [d, rot c] + (c, V)d + (d, V)c. (72)

Из (72) при c = x, d = Ga выводим

V(x, Ga) = [x, rot Ga] + (x, V)Ga + Ga, (73)

используя легко проверяемые формулы rot x = 0, (Ga, V)x = Ga. Второе слагаемое в правой части (73) преобразуем, учитывая формулы (60), следующим образом: (x, V)Ga = (x, V)GSa = G(x, V)Sa = Gi (d/di)Sa = = i (d/di)GSa. Отсюда выводим

(x, V)Ga = idi^a. (74)

Подстановка (74) в (73) и приводит к тождеству (70).

Заметим также, что из (70) и (56) следует еще одно тождество

^ ^ д ^

V(x, Ta) = [x, rot Ta] + — ¡iTa (75)

уже для образа TGa поля a при его отображении посредством любого из преобразований T (56).

Возвращаясь к уравнению (67), отметим, что при ц = 1, s1 = s2 = s3 = = 0, ф = 0 оно переходит в уравнение (64), поскольку при таких значениях параметров G = GS есть тождественное преобразование. Что же касается решения уравнения (64), то оно выражается формулой

1

u = u0 + y"(x, SMg) di,

0

где u0 — постоянная, SMg = g(x1,x2,x3) (66), если учесть, что Su

, следующей из решения

Xn^X^=^Xn

есть тождественное

^=0

= и, G

М=1,51 = 52 = 53 = 0,^ = 0

преобразование, а действия преобразования 5, взятого при ц = 1, 81 = 82 = = Зз = 0, ф = 0, сводится к действию преобразования £м.

Наконец, исходя уже из формул (66), (71), легко видеть, что формула

Sju = uo + /(x,Tg)

du,

m=u

Ef (i) (i) (i)\

i aju(s1 ,s3 ), дает решение уравнения grad CTi»S'iu = /j,Tg в R3 при условии rot g = 0 в R3.

м

10. Тождества (70), (75), выраженные в интегральной форме:

м

м

цGa = V / (x, Ga) I du — / [x, ЦG rot a]

J m=m j

oo

d u,

m=u

(76)

м

m

¡j.Ta = V / (x, Ta) du — / [x, цTrot a]

7 m=m 7

oo

M=u

с учетом формулы rot Ga = iG rot a (см. (18)) и формулы rot Ta = //Trot a (см. замечание 4), могут найти применение в приложениях, связанных с решением уравнения

rot a = R в R

3

(77)

где R — заданное в R3 векторное поле, удовлетворяющее условию

div R = 0. (78)

Так, при rot a = R из тождества (76), в частности, следует формула

м

м

iGa = V / (x, (7a) du — / [x, цGR]

J m=m 7

oo

d u.

m=m

Ротор поля в левой части формулы (79)

rot iGa = i2G rot a в силу правила (19), а ротор поля в правой части формулы (79)

(79)

(80)

м

м

rot I V J (x, (Ga) u du — J [x, iGR] oo

m=m

du =

м

— rot[x, iGR]

m=m

du = i2GR,

(81)

поскольку rot[x, мGR] = —(d/dм)m2GR в силу тождества

— ^ д — rot[x, MGa] = /мх div Ga — — M2Ga (82)

(пояснения ниже), равенства divGR = м$ divR (см. правило (27)) и условия

div R = 0 (78). Из равенства роторов (80), (81) следует уравнение

G rot a = GR,

которое есть образ уравнения (77) при его отображении посредством преобразования G. Это уравнение эквивалентно, в силу (80), уравнению

rot м (7a = м 2 GR, (83)

относительно поля м Ga, имеющему тот же вид, что и уравнение (77). Согласно (79), решение уравнения (83) выражается с точностью до градиента произвольного скалярного поля формулой

м

MGa = — [х, mGR] _ dju- (84)

о

Убедимся в справедливости тождества (82). Для этого обратимся к известному тождеству

rot[c, d] = c div d — d div c + (d, V)c — (c, V)d. (85)

Из (85) при c = x, d = м Ga выводим

rot[x, MGa] = мхdiv Ga — 2MGa — м(х, V)Ga,

используя легко проверяемые формулы divx = 3, (мGa, V)x = м Ga.

Учитывая теперь формулу (74), придем к тождеству (82).

Заметим также, что из тождества (82) и формулы (56) следует тождество

д

rot[x, M^a] = Mxdiv Ta — — M2Ta (86)

для образа Ta поля a при его отображении посредством любого из

преобразований T (56); из (83) и (56) следует уравнение

rot м Ta = m2TR

относительно поля м Ta, а из (84) и (56) — его решение

„ d^

MTa = — J [x, mTR] о

с точностью до градиента произвольного скалярного поля.

Наконец, отметим, что уравнение (83) при / = 1, = 82 = 83 = 0,

0 = 0 совпадает с уравнением (77). Решение уравнения (77) найдем,

исходя из решения (84) и учитывая, что /Са

д=1, 51=^2=53=0, ^ = 0

д=д, 51=52 =53=0, ^=0

результате получим

= ^¿553Я, где 5дЯ = Я(ж1,ж2,ж3)

. В

Жп^ЖП=ДХп

а = VU — / [х, Я] ^/,

где и — произвольное гладкое в Л3 скалярное поле.

11. Вернемся к тождествам (82), (86) и выразим их в интегральной форме

д д

д=д

— го^х, / С? а]

д=д

(87)

д д

/2Та = х/2/ стг^^г ё1у а _ ^ — го^х,/Та]

У д=д У

д=д

d ц,

учитывая формулу ё1уС а = / 5ё1у а (см. (27)) и формулу ё1уТа = = / ^¿ч^у а (см. замечание 4).

Эти тождества могут представлять интерес для приложений, связанных, в частности, с решением уравнения

ё1уа = V в Я3, (88)

где V — заданное в Я3 скалярное поле. Действительно, обратимся, например, к тождеству (87). При ё1у а = V из (87) следует формула

/ 2Са = х/2тР

д=д

— го^х, /Са]

dц.

д=ц

Дивергенция поля в левой части формулы (89) равна

ё1у / 2 ¿а = / ^ ё1у а

(89)

(90)

в силу правила (27), а дивергенция поля в правой части формулы (89) равна / д д \

ё1у ^ j x|JL2SV

д

д=ц

d ц — го^х,/¿а]

д=ц

= ё1у (х/2,<ТР)

д=ц

dц = /х35? V,

(91)

1

д

д

поскольку div (x/2SD) = (d/d/)/3SD в силу тождества

— d — div (x/ 2Su) = — /t3Su (92)

(пояснения ниже). Из равенства дивергенций (90), (91) следует уравнение

S div a = SD,

представляющее собой образ уравнения (88) при его отображении посредством G. Это уравнение эквивалентно в силу правила (27) уравнению

div / 2Ga = / 3SD (93)

относительно поля /t2Ga, имеющему тот же вид, что и уравнение (88). Согласно (89), решение уравнения (93) выражается с точностью до ротора произвольного векторного поля формулой

д

/ 2Ga = J x/2SD

о

„ d^. (94)

д=д

Убедимся в справедливости тождестве (92). Для этого запишем ^у (х/25и) = (diу х)/25и + (х, V/25и) = 3/25и + / 2(х, V«S')■u. Отсюда, учитывая (59), выводим (92).

Из тождества (92) и формулы (56) с учетом соглашения (25) следует тождество

.2 ^ _.Т.„Л = А,■ 3 ' д/

г

для образа £г стг£ги скалярного поля и при его отображении посредством любого из преобразований Т (56); из (93) и (56) следует уравнение

ёгу /і2Та = ¿и3 Е 0І^

І

относительно поля и 2Та, а из (94) и (56) — его решение

д

2

/t2Ta = j x/2^ OiSjD

г

„ d^

д=д

с точностью до ротора произвольного векторного поля.

Отметим, что уравнение (93) при / = 1, 81 = 82 = 83 = 0, 0 = 0 совпадает с уравнением (88). Решение уравнения (88) найдем, исходя из решения (94)

и учитывая, что /.^Са

/1=1, «1=«2

¿4=1, «1=«2 = «3=0, ^=0

1=Д, «1=«2=«3=0, ^=0

. В результате получим

а, /2>Р

= ^2£дР, где Р = Р(Ж1,Ж2,Жз)

Хи^х'п=ЦХи

1

х/ 2,51 Р + го1 с,

0

где с — произвольное гладкое в Я3 векторное поле.

12. В заключение отметим, что расширение класса преобразований геометрического строения полей за счет специально составленных здесь преобразований и их приложения к решению дифференциальных уравнений рассматривалось в связи с классами векторных и скалярных полей, область определения которых отождествлялась со всем пространством Я3. Последнее однако не имеет принципиального значения. Так, использованный подход непосредственно применим и к полям в области О С Я3, если О — звездная область относительно какой-либо точки Р € О, при подходящем выборе параметров з^, §2^, ^ преобразования (см. (37) и предложение 5). Что же касается незвездных областей О, то распространение этого подхода представляется возможным и на такие случаи.

1. Верещагин В.П., Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Преобразование, изменяющее геометрическое строение векторного поля // Труды ИММ УрО РАН. 2009. Т.15. №1. С. 111-121.

2. Верещагин В.П., Субботин Ю.Н., Черных Н.И. К механике винтовых потоков в идеальной несжимаемой невязкой сплошной среде // Труды ИММ УрО РАН. 2012. Т.18. №4. С. 120-134.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1977. 678 с.

Верещагин Владимир Пантелеевич ([email protected]), д.ф.-м.н., Институт математики и механики УрО РАН; РГППУ, Екатеринбург.

Черных Николай Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., Институт математики и механики УрО РАН, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург.

Субботин Юрий Николаевич ([email protected]), д.ф.-м.н., член-корр. РАН, Институт математики и механики УрО РАН, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина,, Екатеринбург.

Список литературы

Expansion of a class of vector field transformations and application to differential equations

V. P. Vereshchagin, Yu. N. Subbotin, N.I. Chernykh

Abstract. Special expansion is presented in the paper for the standard class of vector fields transformations changing geometric structure of the field. Such expansions are of interest for applications connected with solutions of differential equations. One of possible applications consist in construction of the new solutions of differential equations with known a partial solution. It discussed on example of the nonlinear Navier-Stokes expansion. Another possible applications (also presented in the paper) is connected with the solutions of linear differential equations for scalar or vector fields. This approach is based on identifies obtained in the paper, that allows to construct a set of linear differential equations together with their solutions.

Keywords : scalar fields, vector fields, tensor fields,curl, divergence, gradient, transformation.

Vereshchagin Vladimir ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, Institute of Mathematics and Mechanics, Russian Academy of Sciences, Ural Branch; Ekaterinburg.

Chernykh Nikolai ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, Institute of Mathematics and Mechanics, Russian Academy of Sciences, Ural Branch; Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin, Ekaterinburg.

Subbotin Yurii ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, corresponding member of RAS, Institute of Mathematics and Mechanics, Russian Academy of Sciences, Ural Branch; Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin„ Ekaterinburg.

Поступила 12.08.2013