Система управления гидроприводом с компенсацией статической нелинейности Текст научной статьи по специальности «Математика»

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УДК 681.5

СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ГИДРОПРИВОДОМ С КОМПЕНСАЦИЕЙ СТАТИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ1 А.А. Лосенков, С.В. Арановский

Для решения задачи управления положением гидропривода при слежении за линейной траекторией предложен ре-лейно-пропорциональный закон управления, дополненный компенсацией статической нелинейности гидроусилителя. Для предложенного закона управления показана устойчивость замкнутой системы. Экспериментальные исследования, проведенные на лабораторном прототипе крана-манипулятора, применяющегося в лесозаготовительной технике, иллюстрируют достигнутую высокую точность слежения. Ключевые слова: гидропривод, релейное управление, компенсация нелинейности.

Введение

Системы гидропривода и устройства на его основе нашли широкое применение в различных отраслях промышленности, в горнодобывающей, лесозаготовительной, строительной технике. К преимуществам гидропривода относится высокая развиваемая мощность на единицу массы - масса гидропривода на порядок меньше массы электрической машины той же мощности. При этом большинство гидроприводов, использующихся в различных машинах, являются неавтоматизированными, с ручным управлением. Одной из причин малой распространенности систем автоматического управления гидроприводами является существенная нелинейность протекающих в них процессов. Часто при анализе систем управления используют аппроксимацию нелинейной динамики линейной [1] или гибридно-линейной [2] моделью, а также прибегают к линеаризации обратной связью [3], требующей точного и редко достижимого на практике знания параметров системы. Пример построения адаптивной системы управления может быть найден, например, в работе [4], где параметрическая неопределенность компенсируется автоматической подстройкой параметров регулятора. Альтернативным подходом к построению регулятора в условиях параметрической и структурной неопределенностей является робастное управление, в частности, управление с переключающейся структурой, также известное как релейное [5]. При этом практическое использование релейного управления неизбежно связано с ограничениями, накладываемыми исполнительными механизмами [6]. В системах гидропривода таким ограничением является нелинейная характеристика гидрораспределителя, включающая в себя мертвую зону.

В настоящей работе предложен расширенный релейно-пропорциональный закон управления положением гидропривода, включающий в себя компенсацию статической нелинейности гидроусилителя, что позволяет снизить амплитуду нежелательных осцилляций и существенно повысить точность слежения. Основным режимом работы гидропривода считается слежение за линейной траекторией с известной постоянной скоростью. В качестве объекта управления рассматривается гидропривод телескопического звена крана, применяемого в лесозаготовительной технике для захвата и транспортировки стволов деревьев. Все описанные в работе эксперименты осуществлялись на лабораторном прототипе такого крана масштабом в две трети.

Математическая модель гидропривода с золотниковым гидрораспределителем

Схема гидравлического цилиндра с золотниковым распределителем представлена на рис. 1. Гидропривод функционирует следующим образом. На соленоид гидрораспределителя (не показан на рисунке) подается входной (управляющий) сигнал i(t). Создаваемая электромагнитная сила приводит к смещению золотника xs (t) и соответственно к открытию рабочего окна гидрораспределителя площадью Ssp (xs). В зависимости от направления движения золотника образовавшееся окно соединяет либо камеру A (давление Pa) с насосом (давление PS), а камеру B (давление Pb) с резервуаром (давление PT ), либо наоборот, камеру A с резервуаром, а камеру B с насосом. Из-за образовавшейся разницы давлений в цилиндре возникает гидравлическая сила, которая приводит в движение поршень. Традиционно за положительное направление принимается выдвижение поршня из цилиндра, а за отрицательное - втягивание.

1 Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.0778 «Разработка методов построения и настройки систем управления, а также функциональной автоматизации многозвенных гидравлических кранов на подвижных платформах (ГКПП) для лесозаготовительной промышленности».

4

гидроцилиндр

А

1а Р°

А

Чь

X

золотник

п

поршень -1

А В

fT

jb IX X 1 1 i 1 т т |AV XI

Р Т

гидрораспределитель

а б

Рис. 1. Схема гидравлического цилиндра с золотниковым распределителем (а) и соответствующее символьное обозначение (б): P - источник давления (насос); T - резервуар

Нелинейная динамическая модель гидроусилителя была подробно рассмотрена в работе [7], а в работе [8] был предложен метод идентификации ее параметров. В то же время в рассматриваемых в работе приводах лесозаготовительных машин динамические процессы, протекающие в гидроусилителе, существенно превосходят по быстродействию процессы, протекающие непосредственно в гидроцилиндре. Соответственно, динамикой гидроусилителя можно пренебречь и представить математическую модель гидроусилителя [7] как статическую нелинейную зависимость между током, протекающим через соленоид, и условной площадью рабочего окна S(i) = Ssp (xs (i)) sign(xs (i)), где sign( ) - функция знака,

доопределенная в нуле нулем. Тогда абсолютная величина S равна непосредственно площади рабочего окна Ssp , а знак S определяет направление потоков. В результате математическая модель гидроусилителя задается статической зависимостью

S = fs (), (1)

где конкретная форма функции fS ( ) зависит от геометрии золотника и, как правило, включает в себя

мертвую зону и насыщение.

Протекающие в гидроцилиндре процессы описываются алгебраическими уравнениями потоков, динамическими уравнениями давлений в камерах цилиндра и динамическими уравнениями движения поршня. Потоки между цилиндром и усилителем описываются следующими выражениями:

\qa = cS(i) sign(Ps - Pa))Ps -Pa\ \qb = cS(i) sign(P -Pb))P -p| \qa = c\S (i)|sign (P - Pa )) P - Pal \qb = c|S(i)sign( -Pb ))Ps - Pb\

где qa - поток от гидроусилителя в камеру A; qb - поток от гидроусилителя в камеру B; c > 0 - постоянный коэффициент, зависящий от физических параметров гидроусилителя и рабочей жидкости. Потоки qa и qb положительны, если жидкость движется от гидроусилителя к цилиндру, и отрицательны в противном случае. Изменение давлений в цилиндре описывается следующими динамическими соотношениями:

Р

при S (i)> 0, при S(i)< 0,

(2)

Л =-

^0 + ХАс

Pb =■

Р

( -XAa), ( + М),

(3)

Ко - ХАЬ

где р - модуль объемного сжатия рабочей жидкости; X - смещение поршня относительно положения, принятого за нулевое; Уа0,УЬ0 - объемы камер А и В соответственно при нулевом смещении поршня; Аа, Аь - площади поршня со сторон камер А и В соответственно. Движение поршня описывается следующими выражениями:

Fhydr — PaAa PbAb

mX — F - F

,пл 1 hydr 1 вн'

(4)

где Ffyd^r - гидравлическая сила, создаваемая давлениями в камерах цилиндра; m - суммарная масса подвижной части поршня и нагрузки; Fek - совокупная внешняя сила, включающая в себя силу тяжести и силу трения.

Будем полагать, что нагрузка гидропривода не меняется в ходе работы и, следовательно, силы тяжести и трения можно считать постоянными, Fek - const. Анализируя уравнения движения (2)-(4), можно показать, что при постоянной внешней силе и постоянном входном воздействии система асимптотически стремится к положению динамического равновесия, которому соответствует движение с постоянной скоростью, X — 0, причем установившаяся скорость движения пропорциональна площади рабочего окна золотника и совпадает по знаку со знаком смещения золотника xs (t):

Х» — a ■ Ssp (Xs )sign (Xs )- a ■ S (), (5)

где a > 0 - коэффициент пропорциональности, а Xж — X (t) при t ^ж - установившаяся скорость движения поршня. Как правило, условная площадь (1) не доступна прямому измерению, измеряются только входной ток и положение поршня. Тогда, с учетом (1), можно переписать (5) как

Хж— a ■ fs (i) — fa (i). (6)

Функция fa (i) описывает статическую нелинейную зависимость между постоянным значением входного тока и установившейся скоростью движения и может быть определена экспериментально [8]. На рис. 2 приведена кривая fa (i), соответствующая рассматриваемому в работе гидроприводу. По оси

абсцисс отложен входной ток, нормализованный к диапазону от -1 до 1, а по оси ординат - скорость движения поршня.

0 I

Рис. 2. Функция /а (I), описывающая статическую зависимость между установившейся скоростью движения поршня и током. Функция содержит мертвую зону и насыщение. Ток I указан в нормализованных единицах, установившаяся скорость движения Хю в м/с

Предполагая, что практическая относительная степень системы [9] может быть оценена как единица, модель гидропривода может быть представлена в виде

X (0 = х (I )-л(, I, К,, X, х, ра, р) (7)

где /а (I) определяет установившееся значение, а ,I, ,X,X, Ра,Рь) описывает асимптотически затухающий переходный процесс, причем в силу технического смысла данная функция является ограниченной в пределах рабочих режимов гидропривода, |"л()| ^ |0, где значение |0 может быть оценено экспериментально.

Построение закона управления

Для обеспечения низкой чувствительности системы управления к возможным возмущениям и неучтенной динамике будем строить закон управления как релейно-пропорциональный. Хорошо известно, что наличие у объекта управления мертвой зоны при использовании релейных законов управления мо-

(9)

жет привести к нежелательным осцилляциям сигнала управления, которые отрицательно сказываются на качестве работы системы. Для снижения нежелательного эффекта дополним закон управления статической компенсацией нелинейности гидроусилителя. Введем в рассмотрение функцию у( ) такую, что

fa (V(V))= V . (8)

Такая функция может быть легко найдена, например, путем численной аппроксимации кривой (6), ее обращения в диапазоне [min(Xm), 0)u(0, max(Xm)] и доопределения в нуле нулем. Такое обращение

возможно, так как функция (1) на интервалах между насыщением и мертвой зоной является монотонной. Желаемая траектория движения задается как движение с известной постоянной скоростью: X* (t) = V*t + X* (0).

Сформируем сигнал ошибки e(t) = X*(t) - X(t). Тогда релейно-пропорциональный закон управления с компенсацией статической нелинейности примет вид

i (t ) = V(v (t)),

v (t) = V * + kle (t) + k0 sign (e (t)), где k0 > 0, k1 > 0 - настраиваемые параметры. Сигнал v(t) имеет смысл виртуального управления, т.е.

такого управления, которое могло бы быть применено, если бы объект не обладал статической нелинейностью. Для анализа поведения замкнутой системы введем в рассмотрение функцию Ляпунова вида W (e) = e2/2. С учетом (7) производная по времени от сигнала ошибки может быть найдена как

e = v* - X = v* - fa (i )+л(, i, FвH, X, x , Pa, Pb).

Подставляя (9), с учетом (8) получим e = V* -v + "л(-) = -k1e -k0sign(e) + "л('). Тогда производная по времени от функции Ляпунова равна

W (e) = ee = -k1e2 -(k0sign(e)--q(-))e .

При выборе настраиваемого параметра k0 —^0 обеспечивается W(e) < 0 V e Ф 0 и W(e) = 0 при e = 0, и, следовательно, положение e = 0 является устойчивым.

Результаты эксперимента

20

3 0,45

>я

I 0,4

а

5 0,35

s

и

&0,3

(D

S

0 0,25 0,2

у/

1 ; ;

15

10

5

3

ю

к А S3 0 О

-5

t, c

----X*(t)

8

■ X(t)

10

10 15 t, c

25 30

а б

Рис. 3. Результаты эксперимента на лабораторном прототипе гидравлического крана. Слежение за траекторией с постоянной скоростью 5 см/с (а) и сигнал ошибки (б)

Экспериментальные исследования проводились на телескопическом звене лабораторного прототипа гидравлического крана, применяющегося в лесозаготовительной промышленности2. Желаемая траектория была сформирована как движение с постоянной скоростью 5 см/с, а закон управления был выбран в соответствии с (9). На рис. 3 приведены результаты эксперимента - как траектория движения, так и ошибка слежения.

2

4

6

2 Авторы благодарят департамент прикладной физики и электроники Университета Умео, г. Умео, Швеция, за предоставленное для проведения экспериментов оборудование.

А.В. Демин, И.А. Ковалев

Система отрабатывает движение с постоянной скоростью с ошибкой слежения, не превышающей 2 мм, что является очень хорошим точностным показателем для такого класса объектов. В то же время в сигнале ошибки наблюдаются малоамплитудные незатухающие колебания. Предположительно, они связаны с аппроксимацией объекта моделью (7) с единичной практической относительной степенью и с пренебрежением динамикой гидроусилителя.

Заключение

В работе рассмотрена задача построения системы управления положением гидропривода. Рассмотрена математическая модель гидропривода, предложена ее упрощенная аппроксимация, включающая замену динамики гидроусилителя статической нелинейной характеристикой. Для полученной аппроксимации построен релейно-пропорциональный закон управления с компенсацией статической нелинейности гидроусилителя. Результаты эксперимента показывают работоспособность предложенной схемы и высокую точность слежения. Дальнейшие исследования могут быть направлены на построение релейных законов управления более высокого порядка, применимых для объектов с практической передаточной степенью выше единицы, что позволит избежать незатухающих колебаний в сигнале ошибки.

Литература

1. Боровин Г.К., Костюк А.В., Сит Д., Ястребов В.В. Моделирование гидравлической системы экзоске-летона // Математическое моделирование. - 2006. - Т. 18. - № 10. - С. 39-54.

2. Колюбин С.А., Ефимов Д.В., Никифоров В.О., Бобцов А.А. Управление нелинейными системами на основе гибридных моделей с адаптацией // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2012. - № 3 (79). - С. 64-67.

3. Sohl G.A., Bobrow J.E. Experiments and simulations on the nonlinear control of a hydraulic servosystem // IEEE Trans. Control Syst. Technol. - 1999. - V. 7. - P. 238-247.

4. Yanada H., Furuta K. Adaptive control of an electrohydraulic servo system utilizing online estimate of its natural frequency // Mechatronics. - 2007. - V. 17. - P. 337-343.

5. Уткин В. Скользящие режимы в системах с переменной структурой. - М.: Наука, 1974. - 272 c.

6. Кочетков С.А., Уткин В.А. Компенсация неустранимых неидеальностей исполнительных устройств // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 5. - С. 21-47.

7. Арановский С.В., Фрейдович Л.Б., Никифорова Л.В., Лосенков А.А. Моделирование и идентификация динамики золотникового гидрораспределителя, часть I. Моделирование // Изв. вузов. Приборостроение. - 2013. - Т. 56. - № 4. - С. 52-57.

8. Арановский С.В., Фрейдович Л.Б., Никифорова Л.В., Лосенков А.А. Моделирование и идентификация динамики золотникового гидрораспределителя, часть II. Идентификация // Изв. вузов. Приборостроение. - 2013. - Т. 56. - № 4. - С. 57-61.

9. Levant A. Practical relative degree in black-box control // Proc. IEEE Conf. Decision and Control. - 2012. -P. 7101-7106.

Лосенков Андрей Андреевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, студент, alosenkov@yandex.ru

Арановский Станислав Владимирович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, s.aranovskiy@gmail.com

УДК 531.396

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОЗВЕННОЙ ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ А.В. Демин, И. А. Ковалев

Рассмотрены особенности построения математических моделей сложных пространственных многозвенных механических систем, положение центров тяжести звеньев которых относительно приборной системы координат опреде-ляеются уравнениями движения звеньев. Предложена математическая модель и алгоритм для имитационного моделирования подобной системы на примере корабельного визира.

Ключевые слова: математическая модель, многозвенная механическая система, имитационное моделирование, алгоритм компьютерного моделирования.

Введение

Современные механические системы, как правило, имеют сложную пространственную структуру. Важным этапом проектирования подобных систем является анализ движения компонентов данной механической системы с целью получения законов движения в рамках всей системы и формирования систе-