Математическая модель и алгоритм имитационного моделирования многозвенной оптико-механической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Система отрабатывает движение с постоянной скоростью с ошибкой слежения, не превышающей 2 мм, что является очень хорошим точностным показателем для такого класса объектов. В то же время в сигнале ошибки наблюдаются малоамплитудные незатухающие колебания. Предположительно, они связаны с аппроксимацией объекта моделью (7) с единичной практической относительной степенью и с пренебрежением динамикой гидроусилителя.

Заключение

В работе рассмотрена задача построения системы управления положением гидропривода. Рассмотрена математическая модель гидропривода, предложена ее упрощенная аппроксимация, включающая замену динамики гидроусилителя статической нелинейной характеристикой. Для полученной аппроксимации построен релейно-пропорциональный закон управления с компенсацией статической нелинейности гидроусилителя. Результаты эксперимента показывают работоспособность предложенной схемы и высокую точность слежения. Дальнейшие исследования могут быть направлены на построение релейных законов управления более высокого порядка, применимых для объектов с практической передаточной степенью выше единицы, что позволит избежать незатухающих колебаний в сигнале ошибки.

Литература

1. Боровин Г.К., Костюк А.В., Сит Д., Ястребов В.В. Моделирование гидравлической системы экзоске-летона // Математическое моделирование. - 2006. - Т. 18. - № 10. - С. 39-54.

2. Колюбин С.А., Ефимов Д.В., Никифоров В.О., Бобцов А.А. Управление нелинейными системами на основе гибридных моделей с адаптацией // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2012. - № 3 (79). - С. 64-67.

3. Sohl G.A., Bobrow J.E. Experiments and simulations on the nonlinear control of a hydraulic servosystem // IEEE Trans. Control Syst. Technol. - 1999. - V. 7. - P. 238-247.

4. Yanada H., Furuta K. Adaptive control of an electrohydraulic servo system utilizing online estimate of its natural frequency // Mechatronics. - 2007. - V. 17. - P. 337-343.

5. Уткин В. Скользящие режимы в системах с переменной структурой. - М.: Наука, 1974. - 272 c.

6. Кочетков С.А., Уткин В.А. Компенсация неустранимых неидеальностей исполнительных устройств // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 5. - С. 21-47.

7. Арановский С.В., Фрейдович Л.Б., Никифорова Л.В., Лосенков А.А. Моделирование и идентификация динамики золотникового гидрораспределителя, часть I. Моделирование // Изв. вузов. Приборостроение. - 2013. - Т. 56. - № 4. - С. 52-57.

8. Арановский С.В., Фрейдович Л.Б., Никифорова Л.В., Лосенков А.А. Моделирование и идентификация динамики золотникового гидрораспределителя, часть II. Идентификация // Изв. вузов. Приборостроение. - 2013. - Т. 56. - № 4. - С. 57-61.

9. Levant A. Practical relative degree in black-box control // Proc. IEEE Conf. Decision and Control. - 2012. -P. 7101-7106.

Лосенков Андрей Андреевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, студент, alosenkov@yandex.ru

Арановский Станислав Владимирович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, s.aranovskiy@gmail.com

УДК 531.396

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОЗВЕННОЙ ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ А.В. Демин, И. А. Ковалев

Рассмотрены особенности построения математических моделей сложных пространственных многозвенных механических систем, положение центров тяжести звеньев которых относительно приборной системы координат опреде-ляеются уравнениями движения звеньев. Предложена математическая модель и алгоритм для имитационного моделирования подобной системы на примере корабельного визира.

Ключевые слова: математическая модель, многозвенная механическая система, имитационное моделирование, алгоритм компьютерного моделирования.

Введение

Современные механические системы, как правило, имеют сложную пространственную структуру. Важным этапом проектирования подобных систем является анализ движения компонентов данной механической системы с целью получения законов движения в рамках всей системы и формирования систе-

мы управления пространственным положением компонентов. Существующие методики позволяют поэлементно анализировать связи внутри системы, но не позволяют анализировать всю совокупность элементов данной системы как одно целое. Требуется общая методика создания математических моделей произвольных пространственных механических систем. Такая методика должна быть универсальной и адаптируемой под любую пространственную конфигурацию механической системы. Математические модели, создаваемые с применением данной методики, должны отвечать следующим требованиям:

- достаточная полнота описания процессов, происходящих в системе;

- возможность моделирования как внешних, так и внутренних действующих сил;

- возможность динамического анализа параметров системы;

- возможность ввода ограничений как на пространственное положение объектов, так и на действующие силы;

- возможность ввода действующих сил как функций времени;

- возможность получения искомых параметров и зависимостей как функций времени.

Целью работы является формирование обобщенного принципа построения математической модели произвольной пространственной механической системы с последующим составлением универсальной методики построения математической модели механической системы. Данная методика позволяет быстро создать математическую модель произвольной механической системы для последующего анализа законов движения компонентов системы. Полученные законы движения могут быть применены как для определения конструктивных параметров механической системы, так и для формирования алгоритмов управления ею.

Построение математической модели произвольной механической системы

Построение математической модели произвольной механической системы может быть выполнено на основе известных законов механики и представленияи их относительно обобщенных сил, определяемых через энергию системы и обобщенные координаты. Уравнения движения в этом случае имеют вид уравнений Лагранжа второго рода в векторно-матричной форме. Достоинством метода Лагранжа второго рода является его общность и единообразность построения уравнений. Однако форма представления уравнений является труднообозримой в плане пространственной ориентации системы и анализа ее составных частей, что немаловажно при имитационном моделировании [1-3]. В этой связи в целях упрощения построения процедуры составления уравнений применим понятие квазискоростей, т. е. проведем линеаризацию обобщенных скоростей. Такое упрощение позволяет составить математическую модель движения механической системы по ее отдельным частям в удобном для поэлементного анализа виде, что является одним из преимуществ имитационного моделирования.

В качестве исходных соотношений используем известные уравнения движения свободного тела в векторной форме:

!„ [W0 + ю0 X г0 + ю0 X (о0 X r0)] = F0;

J0®0 + Ю0 X(J0ю0 )+ m0r0 X W0 = M 0; (1)

W0 = V0 + Ю0X V0,

где m0 и J0 - масса и тензор инерции тела, приведенные к началу связанной с телом системы координат X0YoZ0; F0 и M0 - главные векторы внешних сил и моментов внешних сил, приложенных к телу, относительно системы координат X0Y0Z0; ю0 и V0 - векторы угловой и линейной скоростей начала X0Y0Z0; r0 -радиус-вектор центра масс тела.

Первое уравнение выражает теорему количества движения (уравнение движения центра масс). Второе уравнение выражает теорему количества движения относительно начала X0Y0Z0 (уравнение «вращения»).

Всякую механическую систему можно разложить на конечную совокупность твердых тел S,(i = n,...,N; n = 0,1, ...). При этом положение каждого тела Si будем определять относительно тела Si-1 данной совокупности, а положение и движение тела S0 будем определять относительно инерциальной системы координат XYZ. Также предположим, что тело Si может совершать движение относительно тела Si-1 только при воздействии вектора сил Fin от тела Si-1. В этом случае при движении системы твердых тел положение центра инерции Ci не изменяется по отношению к полюсу Oi, связанному с телом Si системы координат XiYiZi, но изменяется по отношению к полюсам систем координат с индексами, отличными от i. Положение центра инерции СО (системы отсчета) тела S0 относительно инерциальной системы координат XYZ может быть определено радиус-вектором

R00 = R0 + Rco, (2)

где R0 - радиус-вектор начала X0Y0Z0 относительно начала XYZ; RCO - радиус-вектор центра масс тела S0 в X0Y0Z0.

Положение центра инерции C1 тела S1 по отношению к XYZ и X0Y0Z0 равно

R01 _ R00 + Ri + Rci _ Ro + Reo + Ri +Rci. Легко показать, что в общем случае

R п = L (R> + R *);

R „ = R „

L(+ R*)+R -

(3)

(4)

Для определения векторов скоростей центров инерции тела относительно соответствующих систем координат необходимо выполнить операцию дифференцирования по времени соответствующих проекций радиус-векторов на оси систем координат, т.е.

V = R = V + m

т 00 "-00 т 0 ^ "'о '

R„

V01 = R01 = V0 + V1 + m0 X R1 +(m0 + mi )Rci;

V = R

T 0n iv0n'

Также легко показать, что в общем случае

V, = R, = L

k

Vk +1 Lm' " mk

R k + mk;

R

(5)

(6)

где / = 0, 1, 2, ..., Ы; / = п, п+1, ..., Ы; Ук = Rk - вектор скорости полюса Ок, связанного с телом системы координат ХкУк1к, по отношению к Хк-1Ук-12к-1, связанной с телом Бк-1.

Определение векторов ускорений центров инерции тел Б/ относительно соответствующих систем координат аналогично. Можно показать, что в общем случае

1 ( ( к \ ( к

W = V, = = Vk + 2| Lm, -mk |x Vk +1 Lm, "m,

R k +

L m,-

m,

L m,-

mk

Rk

L m,-

m,

L R, - Rk + R Ck 1 +

L

m,

k

L m k

R

где ук - вектор ускорения полюса О/ системы координат связанной с телом 5/, по отношению к

Х/_1У/_12/_1, связанной с телом 5-1, в проекциях на оси

Таким образом, методика построения математической модели механической системы состоит в следующем.

1. Определение количества движущихся частей и степеней свободы системы.

2. Составление векторной схемы системы.

3. Привязка подвижных частей системы к собственным системам координат, начало которых совпадает с вектором движения.

4. Определение положения нулевого звена относительно инерциальной системы координат.

5. Определение главных моментов и сил, действующих на систему со стороны внешней среды.

6. Составление векторных уравнений, определяющих положение центра инерции тел 5 относительно инерциальной системы координат.

7. Определение векторов скоростей центров инерции тел 5 относительно соответствующих систем координат методом дифференцирования по времени векторных уравнений положения центров инерции этих тел.

8. Составление уравнений векторов ускорений центров инерции тел 5,- относительно соответствующих систем координат методом дифференцирования векторных уравнений скоростей движения этих тел.

9. Определение тензоров моментов инерции тел 5,- и передач от двигателя к подвижному телу в соответствии с конструктивными данными.

В результате выполнения этой процедуры для всех тел, входящих в систему, можно получить уравнения движения системы в векторно-матричной или скалярной форме. При этом необходимо отметить, что тензор моментов инерции - это матрица 3*3, в которой диагональные элементы - это моменты инерции относительно ортогональных осей, а недиагональные - соответствующие центробежные моменты инерции; тензор передач - это матрица 1*3 коэффициентов покоординатных передач между двумя соседними ступенями.

Рассмотрим возможности предлагаемой методики на примере построения математической модели пространственной механической системы, которая может быть отнесена к классу детерминированных систем, а именно на примере корабельного визира, приведенного на рис. 1, с учетом его вращения вокруг

i =0

самого себя, углов крена, тангажа и рысканья, т.е. обеспечения инвариантности процесса визирования относительно качки корабля.

Рис. 1. Структурная схема корабельного визира

Инвариантность процесса визирования относительно качки палубы может быть представлена следующим соотношением [4]:

arctg [ Wtg ( + aj) - F (aj) = arctg [ Wtgij ] + 5;

Wxa. / \ •

<-j-- - F (a..) = 5;

1 + ((2 - i)[sin( + aj ) J a j = sin (a j )a j (t).

В системе, приведенной на рис. 1, первые три звена - К, T, R - моделируют вращение судна относительно трех ортогональных осей таким образом, что юК - угловая скорость разворота палубы по углу крена, юТ - угловая скорость разворота палубы по углу рысканья, aR - угловая скорость разворота палубы по углу тангажа. Полюса этих звеньев совпадают и находятся в центре качения судна. Вторая тройка звеньев -G, V, C - моделируют вращение оптического прибора таким образом, что raG - угловая скорость разворота оптического прибора по углу горизонта, - угловая скорость разворота оптического прибора по углу вертикали, юс - угловая скорость разворота оптического прибора по углу компенсации (компенсирует вращение плоскости изображения вокруг оптической оси прибора). Полюса этих звеньев в общем случае не совпадают, и их взаимное расположение определяется соответствующими радиус-векторами.

Таким образом, система содержит шесть подвижных звеньев, каждое из которых имеет по одной вращательной степени свободы. Вся система целиком имеет возможность линейного перемещения в пространстве со скоростью V. В данном случае вектор скорости V следует применить к первому звену К. Обозначив все необходимые векторы через соответствующие индексы, геометрический центр Земли -через О, а угловую скорость вращения Земли - через ю0, составим векторную схему системы, которая представлена на рис. 2 [5, 6].

В схеме положение каждого отдельного элемента можно описать системой уравнений, приведенной выше, при этом необходимо учитывать, что вращение первой тройки звеньев осуществляется внешними силами, в то время как вращение второй тройки звеньев осуществляется соответствующими приводами, каждый из которых имеет свои характеристики и влияющие на систему параметры, а связь между звеньями определяется векторами ускорений центров инерции данных звеньев относительно систем координат, связанных с соответствующими звеньями по формуле (7). Таким образом, в системе, состоящей из N компонентов, связь между компонентами можно описать матрицей N*N векторов ускорений, которая выглядит следующим образом:

W кт WкG W ку Wкс

W Т»тк Wтт W W W ту W

Wж W WRR WRG W WRC

WGк W ^^ЗЗ W WGс

Wк W ут WуR WуG W уу Wус

WCк W WCR WCG W Wсс

Рис. 2. Графо-векторная схема корабельного визира

Конечный вид математической модели будет зависеть от многих факторов, в том числе от количества звеньев цепи, наличия приводов в тех или иных соединениях, величин радиус-векторов, связывающих полюсы звеньев, наличия и вида дополнительных внешних сил и воздействий, а также наличия дополнительных степеней свободы компонентов.

Таким образом, полученная математическая модель довольно громоздка и сложна в вычислениях, но современная аппаратная база позволяет производить имитационное моделирование в реальном масштабе времени и в динамике в зависимости от всех рассмотренных в модели факторов. Целью имитационного моделирования многозвенной механической системы управления визиром является исследование влияния внешних возмущений на кинематику сопровождения цели визиром. Блок-схема имитационного моделирования визира, отражающая алгоритм моделирования в соответствии с формулами (1)-(7) модели, представлена на рис. 3.

Рис. 3. Блок-схема имитационного моделирования пространственной многозвенной оптико-механической

системы

Рис. 4. Блок-схема алгоритма написания математической модели многозвенной механической системы

В соотетствии с описанным выше способом построения математической модели можно составить алгоритм автоматизированного построения подобной математической модели. В целом процедура написания математической модели многозвенной механической системы есть последовательность выполнения операций, представленных в виде алгоритма (рис. 4).

Заключение

Рассмотрена методика построения математической модели произвольной пространственной механической системы и алгоритм ее имитационного моделирования. В основу положен метод построения векторной схемы системы, определяющий взаимосвязь между компонентами данной системы. Положение элементов в пространстве определяется уравнениями движения свободного тела в векторной форме. Применение метода продемонстрировано на примере корабельного визира.

Литература

1. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. - М.: Мир,1978. - 420 с.

2. Максимей И.В. Имитационное моделирование на ЭВМ. - М.: Радио и связь, 1988. - 232 с.

3. Демин А.В., Копорский Н.С. Имитационное моделирование информационно-измерительных и управляющих систем. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2007. - 139 с.

4. Демин А.В., Джаманбаев А.А. Стабилизация изображения в телескопических приборах // Оптический журнал. - 1995. - № 8. - С. 56-58.

5. Демин А.В., Григорьев А.А., Ющенко В.И., Константинов В.В. Математическая модель многоступенчатого разветвленного карданового подвеса // Материалы XIV межотраслевой научно-технической конференции памяти Н.И. Острякова. - Л.: ЦНИИ РУБМ, 1985. - 2 с.

6. Чемоданов Б.К., Данилов В.Л., Нефедов В.Д. Астроследящие системы. - М.: Машиностроение, 1977. - 304 с.

Демин Анатолий Владимирович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой; ОАО «ЛОМО», начальник бюро; dav_60@mail.ru

Ковалев Иван Александрович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, аспирант; ОАО «ЛОМО», инженер-конструктор; smith_17@bk.ru