CC BY
34
Заключение
В ходе работы была предложена векторно-матричная модель и методика синтеза системы управления электропривода оси сканирования инфракрасного телескопа, построенной по двухконтурной структуре, содержащей внутренний контур динамической коррекции для демпфирования слабо затухающих угловых колебаний вала с обратной связью по скорости вала, позволяющий перейти от колебательного к апериодическому переходному процессу и получить время переходного процесса, равного 1,1 с, и внешний контур регулирования угла, обеспечивающий настройку контура положения на технический оптимум. На основе анализа результатов математического моделирования был сделан вывод о корректности предложенных математических моделей и методики синтеза, а также о возможности реализации требуемого движения исполнительной оси в режиме слежения за трапецеидальным задающим воздействием.
Литература
1. Борисов П.А., Томасов В.С. Методы анализа и синтеза энергоподсистем электротехнических комплексов с высокими энергетическими показателям // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. -2009. - № 1 (59). - С. 5-13.
2. Толмачев В.А., Никитина М.В., Сергеева М.Е. Синтез системы управления электропривода азимутальной оси алтайского телескопа ТИ-3.12 // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2010. -№ 5 (69). - С. 39-43.
3. Толмачев В.А., Антипова И.В., Фомин С.Г. Математическая модель следящего электропривода оси опорно-поворотного устройства // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2007. - № 44. -С. 142-147.
4. Толмачев В.А., Демидова Г.Л. Математические модели и динамические характеристики электромеханических преобразователей с ограниченным углом поворота // Изв. вузов. Приборостроение. - 2008. -Т. 51. - № 11. - С. 18-23.
5. Фрер Ф., Орттенбургер Ф. Введение в электронную технику регулирования. - М.: Энергия, 1973. -190 с.
Толмачев Валерий Александрович Субботин Дмитрий Андреевич
УДК 681.5:621.865.8+519.71
СИСТЕМА И АЛГОРИТМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ БОЛБОТА А.С. Боргуль, В.С. Громов, К.А. Зименко, С.Ю. Маклашевич
Решена задача стабилизации неустойчивой конструкции с шаром в основании и двух присоединенных к нему приводов. Синтезированы регуляторы на основе метода оптимизации линейно-квадратичного функционала и метода обеспечения качественной экспоненциальной устойчивости. Проведены экспериментальные исследования системы управления на макете, собранном на базе робототехнического комплекса LegoNXT.
Ключевые слова: болбот, перевернутый математический маятник, линейно-квадратичный регулятор, качественно-экспоненциальная устойчивость.
Введение
Болбот (ВаИЬо^ - это мобильный робот, основной задачей которого является удержание собственной конструкции в положении равновесия на сферическом катке (шаре). Динамическая устойчивость болбота в сочетании с шаром вместо колес приводит к ряду уникальных свойств в области наземного транспорта: болбот является всенаправленным, т.е. может перемещаться в любом направлении и в любой момент времени, ограничиваясь лишь собственной динамикой, но не механическими связями, как у других конструкций. Таким образом, он не должен отклоняться от курса для того, чтобы изменить направление. Все это делает его более маневренным по сравнению с другим наземным транспортом.
Обладая уникальными характеристиками, такая система может найти ряд практических применений в условиях ограниченного пространства и требований к высокой маневренности, например, в условиях библиотеки или склада. Свойство динамической устойчивости позволяет использовать робота в динамических средах с возмущениями, таких как корабли, поезда [1]. Всенаправленность движения делает болбота пригодным для быстрой навигации в системах с нанесенной координатной сеткой. Также в условиях роста игровой индустрии и повышающегося интереса к созданию роботов, использующихся в сфере обслуживания, болбот обладает большими перспективами к дальнейшему развитию. Однако до сих пор болбот остается объектом научных исследований и служит узко определенным целям.
- Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, [email protected]
- Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, [email protected]
Постановка задачи
Рассматривается задача стабилизации болбота, представляющего собой робототехнический комплекс на подвижном основании (шаре), которое образует систему независимых перевернутых маятников. Задача решается при дополнительных условиях - неучтенной динамике и внешних возмущениях. Требуется выявить оптимальный метод стабилизации болбота с заданными показателями качества как при позиционировании на месте, так и при траекторном управлении, а также при наличии дополнительных управляющих воздействий.
Устройство робота
Основными элементами конструкции являются: шар, контроллер, два гироскопа, два двигателя постоянного тока со встроенными редукторами и энкодерами. Добавлен ультразвуковой датчик расстояния для контроля препятствий при перемещении и взаимодействия с объектами. Пластиковый шар в основании закреплен с трех сторон - одним свободно вращающимся колесом и двумя присоединенными к двигателям, с помощью которых осуществляется управление конструкцией.
Рис. 1. Основные элементы конструкции Математическая модель
Рассматривается модель, в которой движения в продольном и поперечном направлениях не связаны, и уравнения движения в этих двух плоскостях одинаковы. Тогда болбот можно рассматривать как две модели отдельных одинаковых перевернутых маятников на сферическом катке [2]. На рис. 2 показана система координат перевернутого маятника на сферическом катке, где у - угол отклонения конструкции; 6 - угол поворота катка; 6s - угол поворота катка, задаваемый двигателем. Двигатель вращает сферический каток через колесо с резиновой покрышкой. Допускается, что между ними нет скольжения. 6m - угол поворота двигателя. Rw6m = Rs6s.
Опишем уравнение движения перевернутого маятника на сферическом катке методом Лагранжа, основываясь на системе координат, указанной ранее. Если 6 =0 при t=0, тогда каждая координата задается следующим образом:
(х , z ) = (R6, z), (XS, ¿s) = (Rs6,0) ,
(xb, zb) = (x+L sin у, z+L cosy), (Хь, ¿b) = (Rs6 + Ly cosy,—Ly sin у) .
Кинетическая энергия поступательного движения Ti, вращательного движения T2, потенциальная энергия U записываются следующим образом:
T = 1M (х2 + ¿2)+2Mb(xb + ¿2)
i
i
i
i
2 +-J, 2
2
m ~ m
=2 J 6 2 + 2 Jу У2 + 2( Jm + Jw) R2(6—y),
Тг - 20 2 + 2 3 уУ2 + 2 ^ и-+ мь&ь .
Лагранжиан Ь имеет вид
Ь - Т1 + т2 - и .
Используем 0 и у как обобщенные координаты. Уравнение Лагранжа имеет вид
—(д£\-дЬ - р — {дь 1 дь - Р
—' ® да- 0 , —'["ду^ ду- у .
Рис. 2. Система координат перевернутого маятника С учетом постоянного крутящего момента двигателя и вязкого трения обобщенные силы равны Р0 = - /т0т - 0 , Ру = - /т0т , где I - ток двигателя; (9 т = к(0 -у) - угловая скорость двигателя. Без учета трения внутри двигателя и индуктивности обобщенные силы выражаются [3] следующим образом:
F0 = аи- (Р + fs )0 + Py, Fy =-au + p0 -Py, а =
Kt а _ iríKtKb
R„
, Р = к (-
R„
+ fm )-
Линеаризуем уравнения состояния, рассматривая предел y ^ 0 (sin y ^ y,cosy ^ 1) и пренебрегая слагаемым второго порядка y2, в векторно-матричной форме имеем:
(Mb + Ms )R2 + Js + Jm MbLRs - к2 Jm
" 0" "0" "0"
E + F + G = Ни , E =
_y _ _y _
MbLRs - к2 J„
MbL + Jy+ к 2 Jm
"P + fs -P" , G = "0 0 " a
F = , H =
_ -P P_ 0 - MbgL_ -a
Обозначим х - вектор состояния; и - вход.
х = [( у 0 у ^ ; и = и;
Таким образом, представим уравнения состояния в форме Коши: х = Л(() х(Г) + Б(Г)и(Г)
"0 0 1 0 " " 0 "
0 0 0 1 0
A = , B =
0 A(3,2) A(3,3) A(3,4) B(3)
0 A(4,2) A(4,3) A(4,4) _ B(4)_
Л(3,2) = MbgLE(1,2)Мег(Е);
Л(4,2) = -М^Е(1,1)Ме1(Е);
Л(3,3) = -[(Р + /)Е(2,2) + рЕ(1,2)]Ме1(Е);
Л(4,3) = [(Р + / )Е(1,2) + рЕ(1,1)]Ме!(Е);
Л(3,4) = -р[Е(2,2) + Е(1,2)]Мег(Е) Л(4,4) = -р[Е(1,1) + Е(1,2)]Мег(Е);
Б(3) = -а[Е(2,2) + Е(1,2)]Ме1(Е);
Б(4) = -а[Е(1,1) + Е(1,2)]Мег(Е) аег(Е) = Е(1,1)Е(2,2) - Е(1,2)2 .
Расчет регуляторов
На вход системы управления подается напряжение управления двигателями. Выходом системы являяются значения с энкодеров угла поворота двигателя 0ш и угловая скорость отклонения конструкции от вертикали у . Численное значение угла отклонения у получается путем интегрирования угловой скорости у . Начальные условия при интегрировании определяются из условия вертикального запуска,
выбранного положения объекта. Положение равновесия является неустойчивым. При минимальном отклонении необходимо двигать болбот в направлении угла наклона конструкции, чтобы удержать баланс.
Линейно-квадратичный регулятор. Для решения задачи удержания перевернутого маятника в положении неустойчивого равновесия синтезируется пропорционально-интегральный регулятор (рис. 3). С9 - матрица выхода для получения 9 из х.
Рис. 3. Схема пропорционально-интегрального регулятора
Рассчитаем коэффициенты пропорциональной и интегральной составляющих на основе метода линейно-квадратичного регулятора. Линейно-квадратичный регулятор - в теории управления один из видов оптимальных регуляторов, использующий квадратичный функционал качества [4]. Выберем весовые матрицы Q и Я [5]:
2 =
о
6 х 10
о о о
о о оо
о о 1о
Я = 6 х 1о3 х
18о
ж
где 2(2,2) - элемент весовой матрицы состояния, характеризующий вес значения угла отклонения конструкции, 2(5,5) - элемент весовой матрицы состояния, характеризующий вес по времени интегрирования разницы между ранее измеренным и полученным углами.
Используя полученные ранее математическую модель робота и весовую матрицу, рассчитаем в среде МаНаЪ численные значения коэффициентов для пропорциональной и интегральной составляющих. Функция 1дг вычисляет матрицу коэффициентов регулирования со среднеквадратичным функционалом качества [6]. В результате вычислений получается набор коэффициентов: к1 = [-о,о15 -1,5698 -о,о27 -о,2325], к, = -о,оо71.
Качественная экспоненциальная устойчивость. Построим регулятор, обеспечивающий экспоненциальную сходимость со следующими показателями качества: ?п = о,36 с; 8п = о . В линейных системах подлежит минимизации квадратичный критерий качества
О (х, и ) = ДхТ (0>(/)х()+иТ ( )я( )и(()
Ж
Непрерывная система экспоненциально устойчива в точке х = о, если существуют такая квадратичная функция Ляпунова
V (х(( )) = хТ (()р(( )х(?),
Т
где Р = Р - положительно определенная п х п матрица, и такой параметр X : X < о, при которых на всех траекториях движения системы в любой момент времени / > о выполняется условие V(х(())< 2XV(х(().
Данное условие имеет место, если справедливо уравнение V(х(()) - 2XV(х(()) = -хТ (()2(()х(() -иТ (г)я(г)и(г).
Подставив квадратичную функцию Ляпунова и ее производную, получим: [Х(()х(()+В(()и (() - Хх(()] Р(()х(()+хТ (/)р(/)[А(/)х(/)+В(ф (?) - Хх(?)] + хТ (?)Р(? )х(/)+
+ хТ (()2(()х(()+иТ (/)я(/)и(/) = о ,
2
на основе которого, воспользовавшись методом локальной оптимизации [7], находим оптимальное управление:
и(() = Я_1(( )БТ (( )Р^)х(().
Получим систему матричных уравнений типа Риккати [7]:
Р (()+ [[(()- б(( )к (/) - XI ]т р(()+р(( )А ) - б(/ )к (г ) - XI ]+кт (г Щ )к (г)+б(/)=о,
К (() = Я~1(()Бт ()р(0.
Так как матрицы Л, Б, Q, Я постоянны, то процесс достигает установившегося состояния в том смысле, что становится постоянной матрица Р (Р = 0):
[лЛ -БК-XI]Р + Р[Л-БК-XI] + КТЯК + Q = 0, К = Я~1БТР .
Из матричных алгебраических уравнений получается следующая матрица обратных связей К регулятора: Кг = [-0,0117 -1,4993 -0,0284 -0,2432].
Сравнительный анализ полученных регуляторов (линейно-квадратичного регулятора на рис. 4 и регулятора на основе метода качественной экспоненциальной устойчивости на рис. 5) проведен на основе экспериментальных данных.
9ш
рад
15 10 5 0
-5
;
|
..................... ; ; : 1
: :
|
0
10
15
20
25
t, с
у, рад/с 0
-50 -100 -150 -200
0
15 б
Рис. 4. Показания при использовании линейно-квадратичного регулятора: угол поворота двигателя (а); скорость изменения угла крена (б)
0Ш
рад
15 10 5 0
-5
0
У- рад/с 0
-50 -100 -150 -200
б
t, с
Рис. 5. Показания при использовании регулятора на основе метода качественной экспоненциальной устойчивости: угол поворота двигателя (а); скорость изменения угла крена (б)
5
а
А.А. Бобцов, А.С. Боргуль, К.А. Зименко, А.А. Пыркин
Из полученных графиков видно, что использование качественно-экспоненциального регулятора приводит к уменьшению колебательности процесса стабилизации болбота и более точному позиционированию конструкции.
Заключение
В результате проделанной работы был получен опытный образец и синтезирован алгоритм, позволяющий стабилизировать в вертикальном положении объект на сферическом катке, обладающий достаточным запасом качества для отработки дополнительных управляющих воздействий. Был произведен синтез линейно-квадратичного регулятора и регулятора на основе качественной экспоненциальной устойчивости. Анализ полученных данных показал, что регулятор на основе качественной экспоненциальной устойчивости обеспечивает лучшие точностные и качественные показатели, а, следовательно, является более предпочтительным в условиях поставленной задачи.
Литература
1. Lauwers T.B., Kantor G.A., Hollis R.L. A dynamically stable single-wheeled mobile robot with inverse mouse-ball drive // IEEE International Conference on Robotics and Automation. - 2006. - 2884 р.
2. Nagarajan U., Mampetta A., Kantor G., Hollis R. State transition, balancing, station keeping, and yaw control for a dynamically stable single spherical wheel mobile robot // IEEE International Conference on Robotics and Automation. - 2009. - P. 3161-3166.
3. Колюбин С. А., Пыркин А.А. Управление нетривиальными маятниковыми системами в условиях параметрической и функциональной неопределенностей // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2010. - № 69. - С. 34-39.
4. Anderson B.D.O., Moore J.B. Optimal control: linear quadratic methods. - Prentice-Hall, 1989. - 394 p.
5. Ha Y.-S., Yuta S. Trajectory tracking control for navigation of self-contained mobile inverse pendulum // Proc. IEEE/RSJ Int'l. Conf. on Intelligent Robots and Systems. - 1994. - Р. 1875-1882.
6. Linear-Quadratic-Regulator (LQR) design - MATLAB [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.mathworks.com/help/toolbox/control/ref/lqr.html, св. Яз. англ. (дата обращения 18.03.2011).
7. Быстров С.В., Григорьев В.В., Рабыш Е.Ю., Черевко Н.А. Экспоненциальная устойчивость непрерывных динамических систем // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2011. - № 73. -С. 44-47.
Боргуль Александр Сергеевич
Громов Владислав Сергеевич
Зименко Константин Александрович
Маклашевич Сергей Юрьевич
Санкт-Петербургский государственный технологий, механики и оптики, студент, Санкт-Петербургский государственный технологий, механики и оптики, студент, Санкт-Петербургский государственный технологий, механики и оптики, студент, Санкт-Петербургский государственный технологий, механики и оптики, студент,
университет информационных [email protected] университет информационных [email protected] университет информационных [email protected] университет информационных [email protected]
УДК 681.513.1, 681.513.3
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ АВТОНОМНЫМ ДВУХКОЛЕСНЫМ МОБИЛЬНЫМ РОБОТОМ «МОТОБОТ» А.А. Бобцов, А.С. Боргуль, К.А. Зименко, А.А. Пыркин
Рассмотрена задача управления мобильным роботом типа мотоцикл, построенном на базе Lego Mindstorms NXT. Для макета робота разработан регулятор, обеспечивающий устойчивое вертикальное положение при перемещении по горизонтальной плоскости с возможностью дистанционного управления траекторией движения. Ключевые слова: мобильные роботы, автономный мотоцикл, неустойчивые системы, управление по выходу.
Введение
Роботы сегодня входят в нашу жизнь в различных областях. Они летают в космос, исследуют другие планеты, помогают в военных целях - разминируют бомбы и разведывают обстановку с воздуха. В промышленности многие отрасли уже немыслимы без роботов: они собирают автомобили, помогают находить новые лекарства. Многие устройства, принимающие решения на основе полученных от сенсоров данных, тоже можно считать роботами, например, лифты, стиральные машины, системы антиблокировочного торможения, помогающие избежать аварий.
Одну из наиболее важных проблем, которую можно решить с помощью робототехники - это вопрос, связанный с транспортом. В условиях современной загруженности дорог (пробки в городе и, наоборот, бездорожье в сельской местности) особую ценность представляет одноколейный транспорт, об-
