CC BY
15
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 3
УДК 681.5.01 DOI: 10.17213/1560-3644-2020-3-13-17
СИНТЕЗ ЗАКОНОВ КОМБИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЕКТОРУ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ*
© 2020 г. В.С. Елсуков, В.И. Лачин, В.В. Павлов
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия
SYNTHESIS OF COMBINED CONTROL LAWS BY STATE VECTOR FOR NONLINEAR OBJECTS WITH FUNCTIONAL UNCERTAINTIES
V.S. Elsukov, V.I. Lachin, V.V. Pavlov
Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia
Елсуков Владимир Сергеевич - д-р техн. наук, профессор, Elsukov Vladimir S. - Doctor of Technical Science, Professor, кафедра «Автоматика и телемеханика», Южно-Российский Department of «Automation and Remote Control», Platov государственный политехнический университет (НПИ) имени South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocher-М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Е-mail: elsvs@mail.ru kassk, Russia. Е-mail: elsvs@mail.ru
Лачин Вячеслав Иванович - д-р техн. наук, профессор, Lachin Vyacheslav I. - Doctor of Technical Science, Professor, кафедра «Автоматика и телемеханика», Южно-Российский Department of «Automation and Remote Control», Platov государственный политехнический университет (НПИ) имени South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocher-М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Е-mail: lachinv@mail.ru kassk, Russia. Е-mail: lachinv@mail.ru
Павлов Владимир Владимирович - аспирант, Южно- Pavlov Vladimir V. - Postgraduate Student, Platov South-Российский государственный политехнический университет Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Е-mail: Russia. Е-mail: v_pavlov93@mail.ru v_pavlo v93@mail.ru
Предложен метод синтеза адаптивных систем для нелинейных объектов с функциональной неопределенностью по состоянию в прямой цепи и в цепи их собственных обратных связей.
Отличительная особенность синтезируемых систем заключается в том, что в них применяется контур самонастройки коэффициента усиления прямой цепи системы. Причем для определения текущего значения коэффициента усиления объекта управления n-го порядка предложено использовать производную его выходного сигнала, порядок которой меньше n.
Ключевые слова: объект управления; нелинейность; нестационарность; закон управления; синтез.
A method for the synthesis of adaptive systems for nonlinear objects with functional state uncertainty in the forward chain and in the chain of their own feedbacks is proposed.
A distinctive feature of the synthesized systems is that they use a self-tuning loop of the amplification coefficient of the direct chain of the system. Moreover, to determine the current value of the gain of the control object of the n-th order, it is proposed to use the derivative of its output signal, the order of which is less than n.
Keywords: control object; nonlinearity; nonstationarity; control law; synthesis.
Введение ления. В [3 - 5] рассмотрены задачи синтеза адаптивных систем управления. Синтезу САУ в усло-
Для синтеза систем автоматического виях неопределенности посвящены работы [6 - 9]. управления (САУ) с неминимально-фазовыми и Различные алгоритмы аналитического син-
нестационарными объектами с неопределенными теза САУ для неопределенных по состоянию
в ограниченном диапазоне параметрами в работах нелинейных объектов с произвольным относи-
[1, 2] предложны алгоритмы робастного управ- тельным порядком и правыми собственными
'Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 19-08-00493.
13
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 3
значениями матрицы выхода предложены в статьях [10 - 12]. Но все эти алгоритмы не пригодны для синтеза законов управления нелинейными нестационарными объектами с функциональной неопределенностью по состоянию в их прямой цепи.
В работах [13, 14] предложены методы синтеза адаптивных САУ с комбинированным законом управления по вектору состояния для нелинейных объектов с функциональной неопределенностью по состоянию как в прямой цепи, так и в цепи их собственных обратных связей, правыми собственными значениями матрицы выхода и неустойчивым состоянием равновесия. Отличительной особенностью синтезируемых систем является то, что они содержат в своей прямой цепи последовательно соединенные пропорциональный регулятор состояния и блок умножения, подключенный вторым входом к выходу вычислителя коэффициента, значение которого изменяется обратно пропорционально текущему значению коэффициента усиления объекта управления (ОУ). Однако при реализации вычислителя применен дифференцирующий фильтр п-го порядка для получения п-й производной выходного сигнала ОУ. Но системы с таким дифференцирующим фильтром имеют достаточно высокую чувствительность к высокочастотным помехам во входном сигнале фильтра.
В настоящей работе рассмотрена модификация предложенного в [14] метода синтеза адаптивных САУ с комбинированным законом управления по вектору состояния для нелинейных астатических объектов с функциональной неопределенностью по состоянию в прямой цепи и цепи их собственных обратных связей. Причем в синтезируемых САУ для реализации указанного выше вычислителя предлагается использовать не п-ю производную, а (п-1)-ю производную выходного сигнала ОУ и, соответственно, дифференцирующий фильтр (п-1)-го порядка. Этим обеспечивается снижение чувствительности синтезируемых САУ к высокочастотным помехам. И снижение чувствительности будет тем больше, чем больше l - число, на единицу меньшее числа коэффициентов в матрице выхода ОУ.
Постановка задачи
Допустимый класс объектов управления описывается математической моделью вида
х =
Ixi+l при i = l,n — l;
b(t,x)u — (p(t,x2,x3,...,xn) при i — n;
у = сх,
где Ь(^х), ф(^х) - нестационарные нелинейные функции, которые, как и их производные по времени, являются ограниченными:
¿0 <й(^,х)<й1? \с1Ь(?9х)/сй\<у1 ,1
|ф(7,х)|<ф0, |ф(7,х)/^|<у2, |
(2)
где u - управляющее воздействие; х - вектор состояния, х=[х1,..., Xn\T, причем х1(0) = х10 Ф 0; у - выходная величина; С - матрица выхода, С = [1, С1,..., о ], причем п>1 > 1 и некоторые из
коэффициентов е1 (/ = 1, I) могут быть отрицательными.
Необходимо синтезировать закон управления и = и(у, g) объектом (1), чтобы движение синтезированной САУ отвечало уравнению
1+Е^У i=i
у =
1+Е^У
i=1
g,
(3)
(1)
где g - сигнал задания, g = const; 1,(7 = 1, п) постоянные коэффициенты, которые подлежат определению из условий [9 - 14]:
да
I =\[х1(0)-x^t)]dt ^ min, x1(0) > 0; (4) 0
ИР)|p=у» * 1 , (5)
где A(p) - характеристический полином алгоритмически линеаризованной системы.
Алгоритм решения
Из уравнения движения САУ (3) можно найти требуемый закон изменения производной n-й переменной состояния:
Кт =х\т =—jg - S } ' (6)
тп I /=0 J
где то = 1.
Если учесть ограничения (2), то при подстановке выражения (6) в уравнение ОУ (1), можно получить искомый закон управления:
u = b~l(t)(XnT + uk ), (7)
где uk - компенсирующая функцию ф(^ x) составляющая управления; b(t) - оценка коэффициента усиления b(t,x) объекта управления.
В силу ограничений (2) и инерционности ОУ для реализации закона (7) можно принять следующие допущения. Во-первых, оценки переменных состояния Xj (i = 1, n) ОУ (1) могут быть получены без учета его внутренних обратных связей благодаря применению достаточно
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 3
быстродействующего наблюдателя. Во-вторых, составляющую управления Uk можно получить путем применения в САУ дифференциальной компенсирующей связи по возмущению следую-
п-1
щей агрегированной переменной х^х+^т,- хг+1.
=1
В-третьих, вычисление коэффициента, обратно пропорционального текущему значению коэффициента усиления ОУ, можно произвести путем деления приращения входного сигнала ОУ на приращение производной его п-й переменной состояния.
В силу принятых допущений можно предложить следующий алгоритм синтеза закона управления (7):
1. Записать уравнение наблюдателя преобразованного ОУ (1) с учетом того, что функция его обратных связей ф(^х) компенсируется составляющей управления Uk, а функция в его прямой цепи Ь(^х) компенсируется сигналом оценки ), обратной значению коэффициента усиления ОУ ь(^х), т.е.
х = Ах + КО - Сх) + В(ХиГ + ик ), (8)
где
B
" 0" " 0 1 0 . .0
0 0 0 1 . .0
, A =
0 0 0 0 .. . 1
1 0 0 0 .. .0
матрицы
b~\t) = k-L\ \clWl(рЦ—b(t) Р
i-i
W2(Р)У — E cAn-l+i - xn-l+i i=1
,(9)
где слагаемые суммы под знаком второго модуля при l = 1 полагаются равными нулю; ¿_1(0) = 1;
(1 - е-2п р1Р ) (1 - е ) рп-1
ж1(р)=--тг-; Щ(р)=■ ' ■
(1 + Ц1Р )n
(1 + V1P )n
h >10/(ищ).
4. На основании соотношений (6), (7) и вырожденных уравнений ОУ (1), найти передаточную функцию синтезируемой САУ по сигналу задания g относительно оценки агрегированной переменной ХА:
ф(р) = /[тп(ор+1)рп + "¿ЧрО , (10)
¿=0 / I. ¿=0 )
где звеном с постоянной времени о учитывается инерционность наблюдателя, о = яць то=1.
5. Сформировать составляющую управления ик с помощью соответствующей компенсирующей связи
( п-1 Л
и,, =■
Фэ(р)g - ET
ixi+1
i=0
(11)
где ХI (1 = 1, п) - оценки переменных состояния; Фэ (р) - передаточная функция эталонной САУ, Ф Э (р) = Ф(р); к - коэффициент усиления компенсирующего регулятора, к > 10у .
/ Тп
6. При помощи оценок переменных состояния и выражения (6) для производной хпт записать требуемый закон изменения производной п-й переменной состояния:
1
ХпТ
n—1
ixi+1
i=0
(12)
управления и состояния преобразованного ОУ соответственно; К - искомая матрица постоянных коэффициентов; х - вектор оценки вектора
Л Л Л т
состояния х, х = [х^..., хп ] .
2. На основании выбранного полинома наблюдателя det(р1 - А + КС) найти компоненты матрицы К, приравнивая его полиному биномиальной формы (р-1 + р) , причем Ц1 - достаточно малая постоянная времени.
3. Для получения оценки Ь_1(0 применить соответствующий вычислитель с алгоритмом работы:
7. На основании соотношений (7) - (12) записать искомый закон управления
и =
b"4o
n—1
(
i=0
n—1
м
— E Ti-xi+1+k фэ(р)g—ET
i=0
>. (13)
8. С помощью уравнений (1), (9) - (13) составить структурную схему синтезируемой САУ и, полагая, что функция ОУ ф(^ х) компенсируется составляющей управления ик, найти характеристический полином системы
п-1
А(р) = т„ (1 + ор) рп + Х тр1 +1, (14)
¿=1
где то = 1.
9. На основании полинома (14) и дополнительных условий (4), (5) найти значения подлежащих определению коэффициентов [9 - 14]:
0п К/2 пРи ]=1;
Т1 = 2 0; ТУ+1 =1 2,- ■ ;;-Т
1т] /2т]-1 при ] = 2, п -1.
т
п
T
п
т
и
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 3
Пример синтеза
Рассмотрим тот же объект управления, что и в [14]:
\хм при / = 1, 2;
xi = 1
[[¿]г/-ф(х) при / = 3; (15) y = x1 - с1 x2, x1(0) = 0,2, где ci = 0,2; [b] - интервальный коэффициент, b е [0,2; 2,0]; ф(х) = x2 - x3 , причем
|ф(/,х)| < ф0, |dip(t,х)/ dt\ < ф1.
Необходимо найти закон управления u = u(y, g) объектом (15), чтобы движение синтезированной САУ отвечало уравнению
Г з Л
1y = (1 -ciP)#,
i=1 )
где g - сигнал задания, g = const; коэффициенты Ti (i = 1, 3) подлежат определению из условий, аналогичных условиям (4), (5).
Решение сформулированной задачи осуществляем в соответствии с предложенным выше алгоритмом:
1. Записываем уравнение наблюдателя преобразованного ОУ (16) с учетом того, что его функция обратных связей ф(х) компенсируется составляющей управления uk, а его интервальный коэффициент усиления [b] компенсируется сигналом оценки, обратной значению коэффициента усиления ОУ, т.е.
х = Ах +
(у-[ 1 -0,2 0]х) +
det < p I - Ax + k2 [1 -0,2 0]
k3
1
— + Р
,
\3
Ь) = {\ciWi (р)и\ - Ь-1 (I)\Ж2 (р)у - Хз |}, (18)
(1 -, -бир ) (1 - е-бщр ) рР
где Ь (0) = 1; \1(р)= 1--/■; \2(р)= ^-.
(1 + Ц1р) (1 + Ц1р)
4. На основании соотношений (6), (7) и вырожденных ОУ (15), находим передаточную функцию синтезируемой САУ по сигналу задания g относительно оценки агрегированной переменной ХА = т 2 Х3 - т1 х2 - Х1:
Ф(р) = (Т2 р2 + Т1 р +1)/(Тз (ар+1) р3 + Т2 р2 + Т1 р+1),(19)
где а = 3ць
5. Формируем компенсирующую составляющую управления
к
ик = — (фэ(р)g - т2•Хз - Т1Х2 - Х1) > (20)
где x
i ( =1 n)
n - оценки переменных состояния;
Фэ(р) = Ф(р); k - коэффициент усиления компенсирующего регулятора, полагаем k = 1000.
6. При помощи оценок переменных состояния и выражения (12) формируем требуемый закон изменения производной третьей переменной состояния:
ХЗТ --{§ ~ _Т1Х2 _т2Хз}-
т3
(21)
7. На основании соотношений (16), (18) -(2i) формируем искомый закон управления
А-1 Г If 2 V
u=—1 g-Z TixX j
i+1
i=0
ФЭ (Р)g -Z TiXi+1
/=0 J
>. (22)
0 1 0 где А =0 0 1 0 0 0
2. Характеристический полином наблюдателя приравниваем желаемому:
'(17)
где полагаем = 0,01.
Из равенства (17) находим значения коэффициентов наблюдателя: Ь = 4,6-104, k2 = 2,3-105, kз - 1,0-106.
3. Записываем алгоритм вычисления оценки коэффициента, обратно пропорционального текущему значению коэффициента усиления ОУ:
8. С помощью уравнений (15), (16) и (18) -(22) составляем структурную схему САУ и, полагая, что функция ф(х) объекта управления компенсируется составляющей управления щ, находим характеристический полином системы
А( р) = т3 (1 + ар) ръ + т2 р2 + т1 р +1. (23)
9. На основании полинома (23) и условий (4), (5) находим значения подлежащих определению коэффициентов: Т1 - 0,4; Т2 = 0,08; тз = 0,008.
Переходные процессы синтезированной САУ получены на ПК с помощью программного пакета Simulink [15]. На рис. 1 приведены графики переходных процессов САУ по переменной состояния xl(t) и выходной величине у(^ при отработке системой ступенчатого сигнала задания в момент времени ^ = 0 и ступенчатом изменении коэффициента усиления ОУ Ь с минимального значения 0,2 до максимального значения 2 в момент времени Ь = 1,8 с.
3
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 3
6. Бурносов C.B., Козлов Р.И. Исследование динамики нелинейных систем с неопределенностью и возмущениями на основе метода ВФЛ. I. // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. № 4. С. 56 - 63.
7. Сиддиков И.Х., Измайлова Р.Н., Юнусова С.Т. Алгоритм робастного управления техническим объектом, функционирующим в расплывчатых условиях // Вестн. ТГТУ. № 3-4. 2012. С. 47 - 51.
8. Юркевич В.Д. Синтез нелинейных нестационарных систем управления с разнотемповыми процессами: монография. М.: Наука, 2000. 288 с.
9. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Синтез систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с произвольным относительным порядком по выходу // Изв. вузов. Электромеханика. 2014. № 1. С. 88 - 90.
10. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Управление ограниченно неопределенными нелинейными объектами // Инженерный вестн. Дона. 2017. №3. URL: ivdon.ru/ mag-azine/archive/n3y2017/4392/ (дата обращения: 18.06.2019).
11. Елсуков В.С., Лачин В.И., Демидов О.Ю. Синтез систем управления по выходу неминимально-фазовых нелинейных объектов с неустойчивым состоянием равновесия // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2017. № 1. С. 8 - 12.
12. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Синтез нелинейных систем с компенсирующей связью по вектору состояния в условиях ограниченной неопределенности // Изв. вузов. Электромеханика. 2018. Т.61. № 3. С. 37 - 42. DOI: 10.17213/0136-3360-2018-3-37-42
13. Елсуков В.С., Лачин В.И., Демидов О.Ю. Управление ограниченно неопределенными по состоянию и управлению нелинейными объектами // Инженерный вестн. Дона. 2018. №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2018/5080/ (дата обращения: 18.06.2019).
14. Елсуков В.С., Лачин В.И., Павлов В.В. Синтез систем комбинированного управления по вектору состояния нелинейных объектов с функциональными неопределенностями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2019. № 3. С. 5 - 12.
15. Дьяконов В.П. Simulink 5/6/7: самоучитель. M.: DMK-Пресс, 2008. 784 с.
References
1. Grebenshikov D.E., Parscheva A.I., Zykunov A.M. Robust control Algorithm for a class of minimum phase not objects / Vestnik of ASTU. Series: Management, Computer Science and Informatics. 2010. No. 1. Pp. 89 - 94.
2. Polyak B.T., Shcherbakov P.S. Robust sustainability and management. M.: 2002. 303 p.
3. Furtat I.B. Adaptive management not minimum phase nonlinear objects // J. Instrument engineering. 2013. No. 3. Pp. 30 - 37.
4. Glumov V.M., Countrymen S.D., Rutkowski V.Y. Adaptive Jig parametric control transient objects: some results and directions of development // Automatics and telemechanics. 1999. No. 6. Pp. 100 - 116.
5. Miroshnik I.V., Nikiforov V.O., Fradkov A.L. Nonlinear and adaptive control of complex dynamic systems. SPb., 2000. 386 p.
6. Burnosov S.V., Kozlov R.I. Studie van die dinamika van lineere stelsels met onsekerheid en perturbations op die basis van die VFL. I. // Izv. RAW. Tegniese Cybernetics. 1994. No. 4. Pp. 56 - 63.
7. Siddikov I.H. Izmailova R.N., Yunusova S.T. Robuuste beheer algoritme tegniese onderwerp in vae terme // Transactions of the TSTU. No. 3 - 4. 2012. Pp. 47 - 51.
8. Yurkevich V.D. Synthesis of nonlinear control systems with time-varying at different speeds processes. M., Stience, 2000. 288 p.
9. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Synthesis of control system for limit indefinite nonlinear objects with a random relative order on an exit // Izv. vuzov. Electromechanics. 2014. No. 1. Pp. 88 - 90.
10. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Management limit by indefinite nonlinear objects // Engineering journal of Don. 2017. No. 3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2017/4392/ (date of treatment: 18.06.2019).
11. Elsukov V.S., Lachin V.I., Demidov O.Yu. Synthesis of control systems for the output of non-minimal phase nonlinear objects with unstable equilibrium state // Izv. vuzov. North-Caucasian region. Tech. science. 2017. No. 1. Pp. 8 - 12.
12. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Synthesis of nonlinear systems with compensating state vector coupling under conditions of limited uncertainty^// Izv. vuzov. Electromechanics. 2018. Vol. 61. No. 3. Pp. 37 - 42. DOI: 10.17213/0136-3360-2018-3-37-42.
13. Elsukov V.S., Lachin V.I., Demidov O.Yu. Control of nonlinear objects with limited uncertainty in state and control // Engineering journal of Don. 2018. No. 3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2018/5080/ (date of treatment: 18.06.2019).
14. Elsukov V.S., Lachin V.I., Pavlov V.V. Synthesis of combined control systems based on the state vector of nonlinear objects with functional uncertainties // Izv. vuzov. North-Caucasian region. Tech. science. 2019. No. 3. Pp. 5 - 11.
15. Dyakonov V.P. Simulink 5/6/7. Tutorial. M., DMK-Press. 2008. 784 p.
Поступила в редакцию /Received 25 августа 2020 г. /August 25, 2020
x1
-y ; : ; i
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 t, с
y, xi
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0
Рис. 1. Переходные процессы / Fig. 1. Transient processes
Обработка результатов моделирования показала, что синтезированная САУ обеспечивает требуемые показатели качества переходных процессов.
Литература
1. Гребенщиков Д.Е., Паршева А.И., Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления для одного класса неминимально-фазовых объектов // Вестн. АГТУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 1. С. 89 - 94.
2. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.
3. Фуртат И.Б. Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. № 3. С. 30 - 37.
4. Глумов В.М., Земляков С.Д., Рутковский В.Ю. Адаптивное координатно-параметрическое управление нестационарными объектами: некоторые результаты и направления развития // Автоматика и телемеханика. 1999. № 6. С. 100 - 116.
5. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков A.JI. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 386 с.
