Управление ограниченно неопределенными по состоянию и управлению нелинейными объектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Управление ограниченно неопределенными по состоянию и управлению

нелинейными объектами

В. С. Елсуков, В.И. Лачин, О.Ю. Демидов

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск

Аннотация: Предложен метод структурно-параметрического синтеза законов управления нелинейными объектами п-го порядка с функциональной неопределенностью по состоянию и управлению. Причем объекты управления могут обладать неустойчивым состоянием равновесия, а их матрица выхода может содержать правые собственные значения. Алгоритм структурного синтеза предложенного метода основан на задании закона изменения производной п-й переменной состояния синтезируемой системы автоматического управления, применении операторно-параметрической обратная связи по вычисленному обратному значению неопределенного коэффициента усиления объекта управления, а также использовании наблюдателя переменных состояния и компенсирующей связи по отклонению вектора состояния синтезируемой и эталонной системы. Ключевые слова: объект управления, неопределенность, нелинейность, закон управления, синтез.

Введение. В настоящее время известны различные методы синтеза законов управления для линейных и нелинейных неминимально-фазовых объектов [1-9]. Но известные методы не пригодны для синтеза законов управления неопределенными по состоянию и управлению нелинейными объектами. В работах [10-12] рассмотрены методы структурно-параметрического синтеза законов управления нелинейными объектами с произвольным относительным порядком и функциональной неопределенностью по состоянию.

В настоящей статье предлагается метод синтеза законов управления нелинейными объектами с функциональной неопределенностью по состоянию и управлению. Причем объекты управления могут иметь неустойчивое состояние равновесия и правые собственные значения матрицы выхода.

Постановка задачи. Допустимый класс объектов управления (ОУ) описывается математической моделью вида:

X,- = 1

xi+1 при i = 1, n -1; b(t)u - ф(x) при i = n; У = Cx ,

(1)

где Ь(I), ф(х) -неопределенные функции, которые подчинены следующим ограничениям:

b0 <b(t) <bl, |db(t)/dt\ < Yj, |ф(х)| <ф0, дф(х)/dx^

<

y 2;

(2)

и - управляющее воздействие; х - вектор состояния, х=[хь..., хп] ; у - выходная величина; С- матрица выхода, С= [1, с1,..., с/], причем п>/ > 1 и некоторые из коэффициентов с1 (1 = 1, /) могут быть меньше нуля.

Необходимо осуществить синтез закона управления и = и (у, g) объектом (1), чтобы движение синтезированной системы автоматического управления (САУ) было подчинено уравнению:

1 iPi V i=1

У=

f l 1 + 1 clpi

V i=1

(3)

где y =

( 1 ■ ^ — 1+X cip1 -i, g -сигнал задания, g = const; т (i = 1, n) - постоян-

V i=1 У

ные коэффициенты, подлежащие определению из дополнительных условий [10-12]:

да

I = | [x1 (0) - x1 (t)]dt ^ min, x1 (0) > 0; (4)

0

и р) 1> (5)

где А(р) - характеристический полином синтезированной линеаризованной системы.

Алгоритм решения. Уравнением движения САУ (3) по сути, задается закон изменения производной п-й переменной состояния:

X = x (n) = 1J g

xnT - Л\Г ~ 16

f n-1

1 +ZT lPi

V i =1

x

(6)

n

Если учесть ограничения (2), то при подстановке выражения для производной хпТ в уравнение ОУ (1) искомый закон управления можно представить в виде:

и = Ь )(хггТ + ик), (7)

где ик -составляющая управления, которая служит для компенсации функции Ф( х).

Для реализации закона (7) можно принять следующие допущения. В силу ограничений (2), во-первых, полагаем, что путем применения достаточно быстродействующего наблюдателя оценки переменных состояния

х1 ( = 1, п) ОУ (1) могут быть получены без учета его внутренних обратных связей. Во-вторых, для формирования компоненты управления Ь'1^) можно применить операторно-параметрическую обратную связь с соответствующим вычислителем оценки текущего значения обратного коэффициента усиления

ОУ Ь_1(?). В-третьих, составляющую управления ик можно сформировать с помощью компенсирующей связи по отклонению вектора состояния синтезируемой и эталонной САУ.

В силу принятых допущений, на основании соотношений (6), (7) и вырожденных уравнений ОУ (1) можно найти передаточную функцию синтезируемой алгоритмически линеаризованной САУ по сигналу задания относи-

п-1

тельно агрегированной переменной хА = х1 + Ет ¡х^+1 :

I=1

(п-1 ■ Л К п-1 Л

ф (р) = Ет {р1 +1 т п (ар +1) рп + Ет р +1 , (8)

VI =1 У/ V I=1 у

где апериодическим звеном с постоянной времени о учитывается инерционность наблюдателя переменных состояния ОУ.

И для синтеза закона управления объектом (1) можно предложить следующий алгоритм.

1. Определить оценку текущего значения обратного коэффициента усиления ОУ с помощью следующего вычислителя:

Ь-1 (I) = — { |Ф1(р)и| - Ь-1 (I)|Ф2 (р)у|}, (9)

Щ р

где ц1< а/5; Ф1(р), Ф2(р) - передаточные функции дифференциальных диф-

Ц (1+ Е 1=1 с,-р') Ц (1 + 11=1 с,-р' ) .

ференцирующих фильтров, Ф1( р)

(1 + Ц р )п (1 + р )

Ф2(р) = ^рП ^1рП

(1 + ц р)п (1 + рУ

2. Сформировать компенсирующую составляющую управления с помощью соответствующей компенсирующей связи

ик

к ( п-1 Л

— Фэ (р)g - X -1т1-хх1-+1 , (10)

тп V /=1 У

где X. (/ = 1, п) - оценки переменных состояния; к - коэффициент усиления компенсирующего регулятора, к> 10; Ф э (р) - передаточная функция эталонной системы, аналогичная передаточной функции (8)

(п-1 Л /( п л

Ф э (р ) = Ет 1р1 +1 Ет ,.р' +1 . (11)

V/ =1 У/ V /=1 У

3. Записать уравнение наблюдателя переменных состояния объекта управления (1) без учета его внутренних обратных связей

X = АХ + К(у - СХ) + В(ХпГ + ик), (12)

т

где А - матрица состояния преобразованного ОУ; В = [0,..., 0, 1] ; К - искомая матрица постоянных коэффициентов.

4. Вычислить компоненты матрицы К на основании выбранных корней характеристического полинома наблюдателя det (р1 - А + КС). Например, приравнивая его полиному биномиальной формы (ц-1 + р, причем п^2=а.

1

5. На основании полученных с помощью наблюдателя оценок переменных состояния и выражения (6) для производной хпТ сформировать требуемый

закон изменения производной п'й переменной состояния:

1 Г п-1 1

хпТ =— 1 ё - х1 - Ет¡х+1 \ . (13)

т п I i =1 J

6. Записать выражение для передаточной функция эталонной системы (11).

7. На основании уравнений ОУ (1) и соотношений (7)-(13) сформировать искомый закон управления

Ти I ¡=1

8. На основании уравнений (1), (9), (11) и (14) составить структурную схему синтезируемой САУ и, полагая, что функция ф(х) ОУ компенсируется составляющей управления ик, найти характеристический полином системы

ь ) ( п-1 , ( п-1 , Л

и =-1 ё - х\ - Етiх 1+\ + к фэ (р)ё - х - Етх+1 \. (14)

V ¡=1

п-1

А(р) = т и (1 + ар) рп + Ет р +1. (15)

i=1

9. Из дополнительных условий (4) и (5) с помощью полинома (15) найти значения подлежащих определению коэффициентов [10-12]:

т1 = 2п о; ту+1 =

т2/2 при у = 1;

т2у/2т у-1 при у = 2, п -1.

(16)

Пример синтеза. Пусть задан нелинейный объект управления третьего порядка с математической моделью

Гхм при / = 1, 2;

Х1 = 1

[[Ь] и -ф(х) при I = 3; (17)

У = х1 - с1 х2 ,

где с1=0.2; ф(х) = х1 + х2 - х3; [Ь] - интервальный коэффициент, Ь е [0.1, 1.1].

Необходимо осуществить синтез закона управления и = и (у, ё) объектом (1), чтобы движение синтезированной САУ с сигналом задания и = и (у, ё) было подчинено уравнению:

г 3 л

1 + 1т,рг У = (1 - с1 р)ё,

V ¡=1 у

(18)

где коэффициенты т 1 (/ = 1, 3) подлежат определению из дополнительных условий, аналогичных условиям (4) и (5).

На основании предложенного выше алгоритма определяем оценку текущего значения обратного коэффициента усиления объекта управления

Ь

-1

1

р

(1+с1 рX, (1+с1 р)

-и -

и

- Ь

-1

р У

р У

(1 + р)3 ( + 5^1 р)3

(1 + р)3 (1 + 5^1 р)3 где полагаем ^=0.005 с.

Формируем компенсирующую составляющую управления

(19)

к

и.

2

Т 2 р + Т1 р + 1 - х - 2 х 3 2 лё х1 ^т/х/+1

т 3 р + Т 2 р + т1 р + 1 ¡=1

(20)

где к=10.

Пренебрегая внутренними обратными связями объекта управления (17) записываем уравнение наблюдателя его переменных состояния

х =

"0 1 0" " к" "0"

0 0 1 х+ к 2 (у -[1 - 0,2 0]Х) + 0 (ХЪТ + ик ^ (21)

0 0 0 _ к3 _ 1 _

И характеристический полином этого уравнения приравниваем полиному биномиальной формы третьего порядка

det 1

"0 1 0" " к"

р1 - 0 0 1 х+ к 2 [1 - 0,2 0

0 0 0 _ к 3 _

1

— + р

>2 ,

(22)

где ^2=0,016 с.

т

3

3

1

Раскрывая в уравнении (22) определитель и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях оператора р справа и слева от знака равенства, находим значения коэффициентов наблюдателя: к1~12300, к2~60550, к3~244140.

На основании полученных с помощью наблюдателя оценок переменных состояния и выражения (13) формируем требуемый закон изменения производной третьей переменной состояния:

Х3Т = { - Х1 - т1 Х2 - т2Х3 }. (23)

т 3

Записываем выражение для передаточной функция эталонной системы Фэ (р) = (т 2 р2 +Т1 р + 1^(т3 р 3 +т 2р 2 +Т1 р + 1). (24)

С помощью уравнений ОУ (17) и соотношений (7), (19) - (21), (23) и (24) формируем искомый закон управления

Ь 4

и =-{ - X! - т1Х2 - т2Х3 + к(Фэ (р)g - ХХ1 - т1Х2 - т2Х3)}. (25)

т 3

На основании уравнений (17), (19), (24) и (25) составляем структурную схему синтезируемой САУ и, полагая, что функция ф(х) ОУ компенсируется составляющей управления ик, находим характеристический полином системы

о 9

А( р) = т 3(1 + ар) р + т 2 р +т! р +1, (26)

где а=3 ^2=0,048.

Из дополнительных условий (4) и (5) с помощью полинома (26) находим значения подлежащих определению коэффициентов: т1~ 0,4, т2=0,08, т3=0,008.

Переходные процессы синтезированной САУ исследованы методом моделирования на ПК с помощью ППП Зжи/тк. На рис.1 приведены графики ее переходных процессов по переменной состояния Х1(1) и выходной величине у(1) при отработке системой ступенчатого сигнала задания в момент времени 10=0 и практически ступенчатом изменении коэффициента усиления

объекта управления Ь с минимально допустимого до максимально допустимого значения в момент времени ^=2 с.

Рис.1. - Переходные процессы Заметим также, что при введении в прямую цепь синтезированной САУ сингулярного возмущения в виде инерционного звена первого порядка с постоянной времени Т=0,01 с и нелинейности типа «насыщение» с ограничением сигнала на уровне 5=125 характер переходных процессов системы практически не меняется. Результаты моделирования показывают, что синтезированная предложенным методом САУ является грубой и обеспечивает требуемые показатели качества переходных процессов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 16-08-00572.

Литература

1. Ким Д.П. Синтез неминимально-фазовых систем управления с заданным временем регулирования // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 4. С. 5-10.

2. Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 360 с.

3. Гребенщиков Д.Е., Паршева А.И., Цыкунов А.М. Алгоритм робастно-го управления для одного класса неминимально-фазовых объектов // Вестник АГТУ. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 1.С. 89-94.

4. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 1999. 467 с.

5. Фуртат И.Б. Адаптивное управление неминимально-фазовыми объектами определенного класса // Проблемы управления. 2013. № 1. С.19-25.

6. Фуртат И.Б. Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. № 3. С. 30- 37.

7. Андрашитов Д.С., Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В., Ценных Б.М. Универсальный метод синтеза оптимальных управлений нелинейными Лагранжевыми динамическими системами // Инженерный вестник Дона, 2014, №1 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2014/2251/.

8. Atassi A.N., Khalil H.K. A Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Tras. Automat. Control. 1999. Vol. 44, N 9. pp. 16721687.

9. Keller H. Verefacht Ljapunov - Synthese fur nichtlineare system // Automatisierung. 1990. N 3. pp. 11-113.

10. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Синтез систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с произвольным относительным порядком по выходу // Изв. вузов. Электромеханика. 2014. № 1. С. 88-90.

11. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Синтез систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с правыми собствен-

ными значениями матрицы выхода // Изв. вузов. Электромеханика. 2015. № 5.С. 70-75.

12. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Управление ограниченно неопределенными нелинейными объектами // Инженерный вестник Дона, 2017, №3 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2017/4392/.

References

1. Kim D.P. Mehatronika, avtomatizatsija, upravlenie. 2010. № 4. pp. 5-10.

2. Gayduk A.R. Teorija i metody analiticheskogo sinteza system avtomati-cheskogo upravlenija [Theory and techniques for feedback systems analytical synthesis]. M.: FIZMATLIT, 2012. 360 p.

3. Grebenshikov D.E., Parscheva A.I., Zykunov A.M. Vestnik AGTU. Serija: Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika. 2010. № 1. pp. 89-94.

4. Andrievskiy B.R., Fradkov A.L. Izbrannye glavy teorii avtomaticheskogo upravlenija s primerami na jazyke MATLAB [Control theory elements with MATLAB samples]. SPb.: Nauka, 1999. 467 p.

5. Furtat I.B. Problemy upravlenija. 2013. № 1. pp. 19-25.

6. Furtat I.B. Izv. vuzov. Priborostroenie. 2013. № 3. pp. 30-37.

7. Andrashitov D.S., Kostoglotov A.A., Kostoglotov A.I., Zennykh B.M. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, №1. URL: idon.ru/magazine /archive/n1y2014/2251/.

8. Atassi A.N., Khalil H.K. IEEE Tras. Automat. Control. 1999. Vol. 44, № 9. pp. 1672-1687.

9. Keller H. Automatisierung. 1990. № 3. pp. 11-113.

10. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Izv. vuzov. Elektromehanika. 2014. № 1. pp. 88-90.

11. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Izv. vuzov. Elektromehanika. 2015. № 5. pp. 70-75.

12. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2017/4392/.