УДК 681.5.01:519.71
АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ АГРЕГИРОВАННЫХ ЗАКОНОВ КОМБИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
© 2010 г. О.С. Гавриленко, B.C. Елсуков
South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)
Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)
Предложена модификация метода аналитического конструирования агрегированных законов комбинированного управления нелинейными объектами, рассмотрен пример синтеза нелинейной системы автоматического управления.
Ключевые слова: система автоматического управления; комбинированное управление; синтез; агрегированный закон.
Updating of a method of analytical designing of the aggregated laws of the combined management by nonlinear objects is offered, the example of synthesis of nonlinear system of automatic control is considered.
Keywords: system of automatic control; combined management; synthesis; aggregated law.
Введение
Синтез законов управления нелинейными объектами в условиях ограниченной неопределенности является достаточно актуальной задачей [1 - 5]. В настоящей статье данная задача решается путем синтеза такой системы автоматического управления, составляющие закона управления которой формируются с помощью дифференциальных бинарно-операторных связей.
Постановка задачи
Рассматривается класс нелинейных объектов, которые можно описать уравнением вида
у(п)^) = к (у, у,..., у(п-1), t )и^) -
Необходимо найти для объекта (1) такой закон управления и(^) = и(у, у,..., у(п)), чтобы движение САУ удовлетворяло, например, линейному дифференциальному уравнению:
1+1^ Iy(t) = g,
i =1
(3)
где g - сигнал задания, g = const; т,- i = (1, n) - неопределенные постоянные коэффициенты, которые подлежат определению путем решения задачи на условный экстремум функционала:
ад
J = J LK0) - y(t )]dt ^ 0, y(0) > 0,
-ф( y, y,..., y(n-1), X, t ):
(1)
\dk(...)/ dt| <Vj = const,
|d ф(...)/ dt| < V 2 = const,
(2)
y = y =... = y(n-1) = 0
причем к (...) = 0 при к1 < к (...) < к2.
Указанные функции представляют собой неопределенные характеристики объекта управления, причем зависимость их от времени t отражает действие параметрических возмущений.
y(i) (0) = 0 (i = 1, n -1)
где у(() - выходная величина; и(() - управляющее воздействие; X = - неизмеряемое внешнее
возмущающее воздействие; к ^у,у,...,у(п-1),t) ,
Ф^у,у,...,у(п-1),X,^ - неизвестные ограниченные
непрерывно-дифференцируемые нелинейные функции, скорость изменения которых является тоже ограниченной, т.е.
при ограничении
|A( p)|
p=J®
> 1,
(4)
(5)
где А(р) - характеристический полином линеаризованной системы; p=d/dt.
Алгоритм структурного синтеза
Из заданного уравнения движения системы (3) можно выразить требуемый закон изменения старшей (п-й) производной выходной величины объекта (1):
Fn(t) =—ig-Í1 + EIy(t)
(6)
Подставляя полученное выражение (6) в уравнение объекта (1) вместо у(п)(0, можно найти искомый закон управления в общем виде, который с учетом условий его реализации можно представить следующим образом [6]:
X
n
u(t) = k \t)
— {»Ъ( Р) g - ^д( p) y(t) +T „<p(t)}
(7)
где к , ф^) - оценки обратного значения текущего коэффициента усиления и эквивалентного аддитивного возмущения ф(...) старшей производной выходной величины объекта (1). В закон управления (7) введены дифференцирующий фильтр с передаточной
функцией Wд (р) = + ^ тгр ^ (1 + цр) для реализации форсирующего звена и инерционный фильтр с передаточной функцией WИ(р) = 1/(1 + цр)п и достаточно малой постоянной времени ц для согласования каналов формирования сравниваемых сигналов.
Для получения оценок к~1(Г) и ф(Г) можно
учесть следующее. Если продифференцировать по времени обе части уравнения (1), то получим
у(п+1) = к(...^и /dt + и(^к(...)/dt-dф(...)/dt . В силу ограничений (2) в синтезируемой системе можно создать две разнотемповые составляющие скорости изменения старшей производной выходной величины: одна, медленно меняющаяся, создается составляющими и(^к(...)/ dt и dф(...)/ dt, а другую, быстро меняющуюся, можно создать составляющей к(...^и / dt. Тогда оценку к-1 (Г) можно сформировать с помощью операции деления
k~\t)=\u(t)/ y (n+1)(t).
(8)
Реализация операции (8) может быть осуществлена при помощи дифференциальной бинарно-операторной обратной связи со следующим алгоритмом оператора [6]:
к^) = — {К( р)и (о|-СТо р И А 1
~k-\t) |^д2( p) y(t )|}+ k~\0),
(9)
через и0 входной сигнал преобразованного объекта, охваченного мультипликативной обратной связью (9). Введение данной связи приводит к тому, что коэффициент усиления прямой цепи преобразованного объекта становится равным единице.
Тогда с учетом ограничения функции ф(...), ее оценку ф(Г) можно получить с помощью применения
еще одной бинарно-операторной связи. Но в отличие от известных технических решений [6, 8], сигнал этой связи нами предложено формировать в виде двух составляющих. Одна из них пропорциональна сигналу «дифференциальной вилки», т.е. сигналу рассогласования между требуемым и текущим значениями старшей производной выходной величины.
8=^(р^ ^) р)у(),
где Wд3(р) - передаточная функция дифференцирующего фильтра, Wд3 (р) = тпрп / (1 + цр)п, который
служит для получения п-й производной выходной величины.
Другая фИ равна интегралу от суммы двух сигналов. Один из них - это сигнал £. Другой, знакопеременный, пропорционален модулю измеренного косвенным способом эквивалентного возмущения ф(...) старшей производной выходной величины. При этом знак указанного сигнала определяется полярностью сигнала «дифференциальной вилки», т.е.
тиф(0 = е + — {е + |фи (t)| signe} , стр
(10)
где к '(0) = д/к1 1к- 1 , Wд1 (р) - передаточная функция дифференцирующего фильтра,
Wд1(р) =хпстр / ((1 + стр)(1 + цр)п ) ,
с помощью которого осуществляется приближенная реализация производной сигнала и(/); о - постоянный коэффициент, значение которого будет определено при параметрическом синтезе; Wд2(p) - передаточная функция дифференцирующего фильтра, Wд2 (р) = тпстр(п+!) / ((1 + стр)(1 + цр)п), который служит для получения (п+1)-й производной выходной величины.
Если подключить к входу объекта (1) умножитель и подать на один его вход сигнал оценки (9), то другой вход последнего будет представлять собой вход преобразованного объекта управления. Обозначим
где Фи (0 = т^и (р)ио - Wдз (р)у^).
Структурная схема САУ, соответствующая уравнениям (1), (7), (9) и (10), приведена на рис. 1. На нем пунктирной линией обозначен контур стабилизации коэффициента усиления объекта управления с мультипликативной обратной связью по сигналу (9).
Синтезированная структурная схема САУ содержит три контура регулирования, которые имеют разные темпы протекания процессов. Первый, внешний контур регулирования с составляющей управляющего воздействия в виде требуемого закона измерения старшей производной выходной величины имеет относительно медленный темп протекания процессов. Второй контур регулирования, входящий в состав дифференциальной бинарно-операторной связи для формирования компенсирующего сигнала ф(Г), имеет
переменную структуру и работает в скользящем режиме. Он имеет более быстрый темп протекания процессов. А темп изменения процессов в третьем, интегральном контуре, который входит в состав дифференциальной бинарно-операторной связи для формирования оценки к-1 (Г) , на порядок выше темпа протекания процессов во втором контуре регулирования. Именно поэтому постоянная времени интегратора этого контура о0 на порядок выше постоянной времени о интегратора во втором контуре регулирования.
n
Wdp)
ХпФ
X„Uq
^ abs sign
« 1 • ^
I L
abs
i
—i
y !
\
X
abs
WM(p)
Wy(p)
Фи
Wдз(p)
Wд(p)
Рис. 1. Структурная схема системы автоматического управления
Алгоритм параметрического синтеза
Второй контур регулирования системы содержит инерционное звено с передаточной функцией 1/(1 + цр)п . Для его устойчивости необходимо, чтобы
характеристическое уравнение не содержало правых корней [4]. Это требование будет всегда выполняться, если постоянную о интегратора контура выбрать из условия его настройки по техническому оптимуму [7]: ст = . В этом случае второй контур регулирования системы можно аппроксимировать эквивалентным апериодическим звеном первого порядка с постоянной времени о. Если же еще учесть, что действие введенных в систему дифференциальных бинарно-операторных связей линеаризует объект управления и преобразует его в эквивалентное последовательное соединение инерционного звена первого порядка с постоянной времени о и п интегрирующих звеньев с единичным коэффициентом усиления, то с помощью схемы системы на рис. 1 можно записать ее характеристический полином, т.е.
А(р) = [(1 + цр)п (1 + стр) ]т пРп + Е ър' +1. (11)
¿=1
Подставляя выражение (11) в неравенство (5) и учитывая, что требование (4) в силу теоремы о предельном значении функции эквивалентно условию [8] т^тт, то можно найти неизвестные до сих пор параметры
1 / 2 при у = 1;
2
X! = 2 (ст + пц); х=-Пример синтеза
X j /2x j-1
при j = 2, n-1.
+k (y, y,..., y(n 1), t)u(t);
где в качестве неопределенных функций ф(...) и к (...)
приняты следующие: ф(у,у,...,у(п-1),X,t) = y3(t) + Х ,
к (у, у,..., у(п-1), t) = 1 + у(0 , 1 < к (...) < 20 .
Формируем требуемый закон движения системы
(l + tip + Х2p2) y(t) = g .
(13)
Из уравнения (13) выражаем требуемый закон изменения второй производной выходной величины объекта (12)
^(0 = -(1 + х1р)у«} . (14)
Х2
Подставляя выражение (14) в уравнение объекта (12), находим искомый закон управления в общем виде, который с учетом условий его реализации можно представить следующим образом:
u(t) = k 1(t)
1
1
X2 [ (1 + МР)
-g"
1 + X1 P
(1+mp)2
y(t) — ^2 5 + ^2Cp(t)
(15)
где к , ф^) - оценки обратного значения коэффициента усиления и эквивалентного возмущения ф(...) старшей производной выходной величины объекта (12).
Для получения оценки кприменяем дифференциальную бинарно-операторную связь с аналогичным (9) алгоритмом:
Рассмотрим задачу синтеза САУ для нелинейного объекта второго порядка, аналогичного приведенному в [3], но имеющего неопределенный коэффициент усиления
■у^) = 5-ф( у, у,..., у(п - X, t) +
k—1(t) i стоP [
X2CTP
(1 + ap)(1 + мр)2
-u(t)
— k-\t)
X2CTP
(1 + ap)(1 + mp)2
-y(t)
+ k_1(0):
(16)
(12) где k—1(0) =7V2Ö«0,22, ст = 4ц .
u
k
Оценку ф(?) получаем с помощью еще одной дифференциальной операторной связи. Сигнал этой дифференциальной связи формируем в виде суммы двух составляющих:
ф(0 = 8 + ^{8 + |фи(?)|, (17)
где фи - измеренное косвенным способом эквивалентное возмущение ф(...),
Фи<? ) =
u -
Т2 р'
y(t)
2 "0 2 (1+цр)2 (1+цр)2
12 ^(t)-т^У«
(1+ НР)
(1 + цр)'
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,1
2
1
0,5
1,0
1,5
t, с
Рис. 2. Переходные процессы
Параметры управляющего устройства синтезированной системы были выбраны следующими: ц = = 0,005 с; а = 0,02 с; Х1 = 0,12 с; Т2 = 0,0072 с2. Исследование системы (12), (15) - (17) выполнялось методом компьютерного моделирования. Исследовалась реакция синтезированной системы на единичное ступенчатое изменение возмущающего воздействия X. На рис. 2 представлены реакции синтезированной системы (кривая 1) и известной системы [6] (кривая 2).
Из сравнения полученных кривых видно, что динамическая точность управления синтезированной системы гораздо выше динамической точности управления известной системы [6]. В частности, интегральная ошибка в известной системе на порядок больше, чем в синтезированной системе.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 10-08-00254-а.
Литература
1. Morse A.S. High-order parameter tuners for adaptive control of nonlinear systems // Systems, Models and Feedback: Theory and Applications / eds A. Isodori, T.J. Tarn. Birkhauser, 1992.
2. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб., 2003.
3. Воронов К.В., Королева О.И., Никифоров В.О. Робастное управление нелинейными объектами с функциональными неопределенностями // Автоматика и телемеханика. 2001. № 2. С. 112 - 121.
4. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратных связей : управление при неопределенности. М., 1997.
5. Востриков А.С. Синтез систем регулирования методом локализации. Новосибирск, 2007.
6. Елсуков В.С., Лачин В.И. Синтез нелинейных систем управления с комбинированной знакопеременной обратной связью // Проблемы управления и моделирования в сложных системах : тр. XI междунар. конф. (Самара, 22-24 июня 2009 г.) / под ред. акад. Е.А. Федосова, акад. Н.А. Кузнецова, проф. В.А. Виттиха. Самара, 2009. С.103 - 109.
7. Фрер Ф., Орттенбургер Ф. Введение в электронную технику регулирования. М., 1973.
8. Елсуков В.С., Лачин В.И. Синтез агрегированных законов управления нелинейными объектами с функциональными неопределенностями // Проблемы управления и моделирования в сложных системах : труды X междунар. конф. (Самара, 23-25 июня 2008 г.) / под ред. акад. Е.А. Федосова, акад. Н.А. Кузнецова, проф. В.А. Виттиха. Самара, 2008. С. 87 - 94.
Поступила в редакцию
22 апреля 2010 г.
х
2
Б
0
Гавриленко Ольга Сергеевна - аспирант, кафедра «Автоматика и телемеханика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635) 25-52-97. E-mail: [email protected]
Елсуков Владимир Сергеевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Автоматика и телемеханика», ЮжноРоссийский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635) 25-52-97. E-mail: [email protected]
Gavrilenko Olga Sergeevna - post-graduate student, department «Automatics and Telemechanics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635) 25-52-97. E-mail: [email protected]
Elsukov Vladimir Sergeevich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Automatics and Telemechanics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635) 25-52-97. E-mail: [email protected]