Научная статья на тему 'Аналитическое конструирование агрегированных законов комбинированного управления нелинейными объектами'

Аналитическое конструирование агрегированных законов комбинированного управления нелинейными объектами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
58
19
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
система автоматического управления / комбинированное управление / Синтез / агрегированный закон / system of automatic control / combined management / Synthesis / aggregated law

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Гавриленко Ольга Сергеевна, Елсуков Владимир Сергеевич

Предложена модификация метода аналитического конструирования агрегированных законов комбинированного управления нелинейными объектами, рассмотрен пример синтеза нелинейной системы автоматического управления.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Гавриленко Ольга Сергеевна, Елсуков Владимир Сергеевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Updating of a method of analytical designing of the aggregated laws of the combined management by nonlinear objects is offered, the example of synthesis of nonlinear system of automatic control is considered.

Текст научной работы на тему «Аналитическое конструирование агрегированных законов комбинированного управления нелинейными объектами»

УДК 681.5.01:519.71

АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ АГРЕГИРОВАННЫХ ЗАКОНОВ КОМБИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

© 2010 г. О.С. Гавриленко, B.C. Елсуков

South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

Предложена модификация метода аналитического конструирования агрегированных законов комбинированного управления нелинейными объектами, рассмотрен пример синтеза нелинейной системы автоматического управления.

Ключевые слова: система автоматического управления; комбинированное управление; синтез; агрегированный закон.

Updating of a method of analytical designing of the aggregated laws of the combined management by nonlinear objects is offered, the example of synthesis of nonlinear system of automatic control is considered.

Keywords: system of automatic control; combined management; synthesis; aggregated law.

Введение

Синтез законов управления нелинейными объектами в условиях ограниченной неопределенности является достаточно актуальной задачей [1 - 5]. В настоящей статье данная задача решается путем синтеза такой системы автоматического управления, составляющие закона управления которой формируются с помощью дифференциальных бинарно-операторных связей.

Постановка задачи

Рассматривается класс нелинейных объектов, которые можно описать уравнением вида

у(п)^) = к (у, у,..., у(п-1), t )и^) -

Необходимо найти для объекта (1) такой закон управления и(^) = и(у, у,..., у(п)), чтобы движение САУ удовлетворяло, например, линейному дифференциальному уравнению:

1+1^ Iy(t) = g,

i =1

(3)

где g - сигнал задания, g = const; т,- i = (1, n) - неопределенные постоянные коэффициенты, которые подлежат определению путем решения задачи на условный экстремум функционала:

ад

J = J LK0) - y(t )]dt ^ 0, y(0) > 0,

-ф( y, y,..., y(n-1), X, t ):

(1)

\dk(...)/ dt| <Vj = const,

|d ф(...)/ dt| < V 2 = const,

(2)

y = y =... = y(n-1) = 0

причем к (...) = 0 при к1 < к (...) < к2.

Указанные функции представляют собой неопределенные характеристики объекта управления, причем зависимость их от времени t отражает действие параметрических возмущений.

y(i) (0) = 0 (i = 1, n -1)

где у(() - выходная величина; и(() - управляющее воздействие; X = - неизмеряемое внешнее

возмущающее воздействие; к ^у,у,...,у(п-1),t) ,

Ф^у,у,...,у(п-1),X,^ - неизвестные ограниченные

непрерывно-дифференцируемые нелинейные функции, скорость изменения которых является тоже ограниченной, т.е.

при ограничении

|A( p)|

p=J®

> 1,

(4)

(5)

где А(р) - характеристический полином линеаризованной системы; p=d/dt.

Алгоритм структурного синтеза

Из заданного уравнения движения системы (3) можно выразить требуемый закон изменения старшей (п-й) производной выходной величины объекта (1):

Fn(t) =—ig-Í1 + EIy(t)

(6)

Подставляя полученное выражение (6) в уравнение объекта (1) вместо у(п)(0, можно найти искомый закон управления в общем виде, который с учетом условий его реализации можно представить следующим образом [6]:

X

n

u(t) = k \t)

— {»Ъ( Р) g - ^д( p) y(t) +T „<p(t)}

(7)

где к , ф^) - оценки обратного значения текущего коэффициента усиления и эквивалентного аддитивного возмущения ф(...) старшей производной выходной величины объекта (1). В закон управления (7) введены дифференцирующий фильтр с передаточной

функцией Wд (р) = + ^ тгр ^ (1 + цр) для реализации форсирующего звена и инерционный фильтр с передаточной функцией WИ(р) = 1/(1 + цр)п и достаточно малой постоянной времени ц для согласования каналов формирования сравниваемых сигналов.

Для получения оценок к~1(Г) и ф(Г) можно

учесть следующее. Если продифференцировать по времени обе части уравнения (1), то получим

у(п+1) = к(...^и /dt + и(^к(...)/dt-dф(...)/dt . В силу ограничений (2) в синтезируемой системе можно создать две разнотемповые составляющие скорости изменения старшей производной выходной величины: одна, медленно меняющаяся, создается составляющими и(^к(...)/ dt и dф(...)/ dt, а другую, быстро меняющуюся, можно создать составляющей к(...^и / dt. Тогда оценку к-1 (Г) можно сформировать с помощью операции деления

k~\t)=\u(t)/ y (n+1)(t).

(8)

Реализация операции (8) может быть осуществлена при помощи дифференциальной бинарно-операторной обратной связи со следующим алгоритмом оператора [6]:

к^) = — {К( р)и (о|-СТо р И А 1

~k-\t) |^д2( p) y(t )|}+ k~\0),

(9)

через и0 входной сигнал преобразованного объекта, охваченного мультипликативной обратной связью (9). Введение данной связи приводит к тому, что коэффициент усиления прямой цепи преобразованного объекта становится равным единице.

Тогда с учетом ограничения функции ф(...), ее оценку ф(Г) можно получить с помощью применения

еще одной бинарно-операторной связи. Но в отличие от известных технических решений [6, 8], сигнал этой связи нами предложено формировать в виде двух составляющих. Одна из них пропорциональна сигналу «дифференциальной вилки», т.е. сигналу рассогласования между требуемым и текущим значениями старшей производной выходной величины.

8=^(р^ ^) р)у(),

где Wд3(р) - передаточная функция дифференцирующего фильтра, Wд3 (р) = тпрп / (1 + цр)п, который

служит для получения п-й производной выходной величины.

Другая фИ равна интегралу от суммы двух сигналов. Один из них - это сигнал £. Другой, знакопеременный, пропорционален модулю измеренного косвенным способом эквивалентного возмущения ф(...) старшей производной выходной величины. При этом знак указанного сигнала определяется полярностью сигнала «дифференциальной вилки», т.е.

тиф(0 = е + — {е + |фи (t)| signe} , стр

(10)

где к '(0) = д/к1 1к- 1 , Wд1 (р) - передаточная функция дифференцирующего фильтра,

Wд1(р) =хпстр / ((1 + стр)(1 + цр)п ) ,

с помощью которого осуществляется приближенная реализация производной сигнала и(/); о - постоянный коэффициент, значение которого будет определено при параметрическом синтезе; Wд2(p) - передаточная функция дифференцирующего фильтра, Wд2 (р) = тпстр(п+!) / ((1 + стр)(1 + цр)п), который служит для получения (п+1)-й производной выходной величины.

Если подключить к входу объекта (1) умножитель и подать на один его вход сигнал оценки (9), то другой вход последнего будет представлять собой вход преобразованного объекта управления. Обозначим

где Фи (0 = т^и (р)ио - Wдз (р)у^).

Структурная схема САУ, соответствующая уравнениям (1), (7), (9) и (10), приведена на рис. 1. На нем пунктирной линией обозначен контур стабилизации коэффициента усиления объекта управления с мультипликативной обратной связью по сигналу (9).

Синтезированная структурная схема САУ содержит три контура регулирования, которые имеют разные темпы протекания процессов. Первый, внешний контур регулирования с составляющей управляющего воздействия в виде требуемого закона измерения старшей производной выходной величины имеет относительно медленный темп протекания процессов. Второй контур регулирования, входящий в состав дифференциальной бинарно-операторной связи для формирования компенсирующего сигнала ф(Г), имеет

переменную структуру и работает в скользящем режиме. Он имеет более быстрый темп протекания процессов. А темп изменения процессов в третьем, интегральном контуре, который входит в состав дифференциальной бинарно-операторной связи для формирования оценки к-1 (Г) , на порядок выше темпа протекания процессов во втором контуре регулирования. Именно поэтому постоянная времени интегратора этого контура о0 на порядок выше постоянной времени о интегратора во втором контуре регулирования.

n

Wdp)

ХпФ

X„Uq

^ abs sign

« 1 • ^

I L

abs

i

—i

y !

\

X

abs

WM(p)

Wy(p)

Фи

Wдз(p)

Wд(p)

Рис. 1. Структурная схема системы автоматического управления

Алгоритм параметрического синтеза

Второй контур регулирования системы содержит инерционное звено с передаточной функцией 1/(1 + цр)п . Для его устойчивости необходимо, чтобы

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

характеристическое уравнение не содержало правых корней [4]. Это требование будет всегда выполняться, если постоянную о интегратора контура выбрать из условия его настройки по техническому оптимуму [7]: ст = . В этом случае второй контур регулирования системы можно аппроксимировать эквивалентным апериодическим звеном первого порядка с постоянной времени о. Если же еще учесть, что действие введенных в систему дифференциальных бинарно-операторных связей линеаризует объект управления и преобразует его в эквивалентное последовательное соединение инерционного звена первого порядка с постоянной времени о и п интегрирующих звеньев с единичным коэффициентом усиления, то с помощью схемы системы на рис. 1 можно записать ее характеристический полином, т.е.

А(р) = [(1 + цр)п (1 + стр) ]т пРп + Е ър' +1. (11)

¿=1

Подставляя выражение (11) в неравенство (5) и учитывая, что требование (4) в силу теоремы о предельном значении функции эквивалентно условию [8] т^тт, то можно найти неизвестные до сих пор параметры

1 / 2 при у = 1;

2

X! = 2 (ст + пц); х=-Пример синтеза

X j /2x j-1

при j = 2, n-1.

+k (y, y,..., y(n 1), t)u(t);

где в качестве неопределенных функций ф(...) и к (...)

приняты следующие: ф(у,у,...,у(п-1),X,t) = y3(t) + Х ,

к (у, у,..., у(п-1), t) = 1 + у(0 , 1 < к (...) < 20 .

Формируем требуемый закон движения системы

(l + tip + Х2p2) y(t) = g .

(13)

Из уравнения (13) выражаем требуемый закон изменения второй производной выходной величины объекта (12)

^(0 = -(1 + х1р)у«} . (14)

Х2

Подставляя выражение (14) в уравнение объекта (12), находим искомый закон управления в общем виде, который с учетом условий его реализации можно представить следующим образом:

u(t) = k 1(t)

1

1

X2 [ (1 + МР)

-g"

1 + X1 P

(1+mp)2

y(t) — ^2 5 + ^2Cp(t)

(15)

где к , ф^) - оценки обратного значения коэффициента усиления и эквивалентного возмущения ф(...) старшей производной выходной величины объекта (12).

Для получения оценки кприменяем дифференциальную бинарно-операторную связь с аналогичным (9) алгоритмом:

Рассмотрим задачу синтеза САУ для нелинейного объекта второго порядка, аналогичного приведенному в [3], но имеющего неопределенный коэффициент усиления

■у^) = 5-ф( у, у,..., у(п - X, t) +

k—1(t) i стоP [

X2CTP

(1 + ap)(1 + мр)2

-u(t)

— k-\t)

X2CTP

(1 + ap)(1 + mp)2

-y(t)

+ k_1(0):

(16)

(12) где k—1(0) =7V2Ö«0,22, ст = 4ц .

u

k

Оценку ф(?) получаем с помощью еще одной дифференциальной операторной связи. Сигнал этой дифференциальной связи формируем в виде суммы двух составляющих:

ф(0 = 8 + ^{8 + |фи(?)|, (17)

где фи - измеренное косвенным способом эквивалентное возмущение ф(...),

Фи<? ) =

u -

Т2 р'

y(t)

2 "0 2 (1+цр)2 (1+цр)2

12 ^(t)-т^У«

(1+ НР)

(1 + цр)'

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,1

2

1

0,5

1,0

1,5

t, с

Рис. 2. Переходные процессы

Параметры управляющего устройства синтезированной системы были выбраны следующими: ц = = 0,005 с; а = 0,02 с; Х1 = 0,12 с; Т2 = 0,0072 с2. Исследование системы (12), (15) - (17) выполнялось методом компьютерного моделирования. Исследовалась реакция синтезированной системы на единичное ступенчатое изменение возмущающего воздействия X. На рис. 2 представлены реакции синтезированной системы (кривая 1) и известной системы [6] (кривая 2).

Из сравнения полученных кривых видно, что динамическая точность управления синтезированной системы гораздо выше динамической точности управления известной системы [6]. В частности, интегральная ошибка в известной системе на порядок больше, чем в синтезированной системе.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 10-08-00254-а.

Литература

1. Morse A.S. High-order parameter tuners for adaptive control of nonlinear systems // Systems, Models and Feedback: Theory and Applications / eds A. Isodori, T.J. Tarn. Birkhauser, 1992.

2. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб., 2003.

3. Воронов К.В., Королева О.И., Никифоров В.О. Робастное управление нелинейными объектами с функциональными неопределенностями // Автоматика и телемеханика. 2001. № 2. С. 112 - 121.

4. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратных связей : управление при неопределенности. М., 1997.

5. Востриков А.С. Синтез систем регулирования методом локализации. Новосибирск, 2007.

6. Елсуков В.С., Лачин В.И. Синтез нелинейных систем управления с комбинированной знакопеременной обратной связью // Проблемы управления и моделирования в сложных системах : тр. XI междунар. конф. (Самара, 22-24 июня 2009 г.) / под ред. акад. Е.А. Федосова, акад. Н.А. Кузнецова, проф. В.А. Виттиха. Самара, 2009. С.103 - 109.

7. Фрер Ф., Орттенбургер Ф. Введение в электронную технику регулирования. М., 1973.

8. Елсуков В.С., Лачин В.И. Синтез агрегированных законов управления нелинейными объектами с функциональными неопределенностями // Проблемы управления и моделирования в сложных системах : труды X междунар. конф. (Самара, 23-25 июня 2008 г.) / под ред. акад. Е.А. Федосова, акад. Н.А. Кузнецова, проф. В.А. Виттиха. Самара, 2008. С. 87 - 94.

Поступила в редакцию

22 апреля 2010 г.

х

2

Б

0

Гавриленко Ольга Сергеевна - аспирант, кафедра «Автоматика и телемеханика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635) 25-52-97. E-mail: [email protected]

Елсуков Владимир Сергеевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Автоматика и телемеханика», ЮжноРоссийский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635) 25-52-97. E-mail: [email protected]

Gavrilenko Olga Sergeevna - post-graduate student, department «Automatics and Telemechanics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635) 25-52-97. E-mail: [email protected]

Elsukov Vladimir Sergeevich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Automatics and Telemechanics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635) 25-52-97. E-mail: [email protected]

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.