Управление ограниченно неопределенными нелинейными объектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Управление ограниченно неопределенными нелинейными объектами

В.С. Елсуков, В.И Лачин, С.М. Липкин

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск

Аннотация: Предложен алгоритм синтеза законов управления ограниченно неопределенными нелинейными объектами п-го порядка с математической моделью в нормальной форме и произвольным относительным порядком. Причем объекты управления могут обладать неустойчивым состоянием равновесия, а их матрица выхода может содержать правые собственные значения. Предложенный алгоритм синтеза основан на применении комбинированного принципа управления по производной п-й переменной состояния объекта управления. При этом ее требуемый закон изменения определяется из желаемого уравнения движения соответствующей системы автоматического управления с помощью оценок переменных состояния ее объекта.

Ключевые слова: объект управления, неопределенность, нелинейность, закон управления, синтез.

ВВЕДЕНИЕ

Для управления линейными стационарными неминимально-фазовыми объектами в работах [1, 2] приведены алгебраические методы синтеза систем автоматического управления. В [3] предложен алгоритм робастного управления линейным неминимально-фазовым объектом с неопределенными в ограниченном диапазоне параметрами. Причем вектор состояния объекта управления должен быть доступен измерению. В работах [4-6] рассмотрены задачи адаптивного управления неминимально-фазовыми линейными и нелинейными объектами. Однако существующие методы адаптивного и робастного управления достаточно сложны как при синтезе алгоритмов управления указанными объектами, так и при их технической реализации [7-10].

В работе [11] предложен алгоритм аналитического синтеза систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с произвольным относительным порядком, но с левыми собственными значениями матрицы выхода. А в работе [12] - для аналогичных объектов, но уже с правыми собственными значениями матрицы выхода.

В настоящей статье предлагается достаточно простой алгоритм синтеза законов управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов

J

с правыми собственными значениями матрицы выхода и неустойчивым состоянием равновесия.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматриваются объекты управления (ОУ), которые описываются дифференциальными уравнениями в нормальной форме:

xi =

(1)

хм при I = 1, п -1; Ьи - ф(х) при / = п; У = Сх ,

где ф(х) - ограниченно неопределенная нелинейная функция, причем ско-

рость ее изменения тоже ограничена, т.е.

|ф( x)| ^ф о; дф( x)/ dx

T

^ y ;

iT.

(2)

х - вектор состояния, х=[х1,_, хп] ; и - управляющее воздействие; у - выходная величина; С - матрица выхода, С= [1, с1,., с], причем п > I > 1 и некоторые коэффициенты матрицы С могут быть меньше нуля; Ь - постоянный коэффициент.

Необходимо найти такой закон управления u = u(у, g), чтобы движение соответствующей системы автоматического управления (САУ) с объектом (1) удовлетворяло желаемому уравнению

i

V i=i

y =

1 + S cp

V i=1

g,

которое эквивалентно следующему

in \

1

V i=1

x1 = g,

(3)

где g -сигнал задания, g = const; Ti (i = 1, n) - постоянные коэффициенты, которые подлежат определению из условий [12-13]:

I = j [x1 (0) - x1 (t)]dt ^ min, x1 (0) > 0;

(4)

:

И Р ) р = 1. (5)

где А(р) - характеристический полином синтезируемой линеаризованной системы.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ Заметим, что желаемое уравнение движения САУ (3) определяет требуемый закон изменения производной п-й переменной состояния:

хпт = х1т) = 1 8

1 I ( п-1 Л

1 + £т Р хх \, (6)

Т п I V I =1

Если подставить выражение для производной хпТ в уравнение ОУ (1) и учесть ограничения (2), то можно сформировать искомый закон управления:

и = Ь ^ ((пТ + ик ), (7)

где ик - компенсирующая составляющая управления, которая служит для компенсации функции ф(х) и которую можно сформировать с помощью дифференциальной компенсирующей связи

ик =-хпТ - хп , (8)

к (1+ МР)п

где Xп - оценка производной п-й переменной состояния; ^ - «малая» постоянная времени инерционного фильтра, который необходим для согласования по фазе сравниваемых сигналов.

Дифференциальная компенсирующая связь с сигналом (8) преобразует ОУ так, что он становится эквивалентным последовательному соединению п интеграторов и форсирующего звена с передаточной функцией

I

С (р) = 1 + ^ е1р1 . Для синтеза САУ с таким ОУ можно предложить следую-

I=1

щий алгоритм.

:

1. Полагая, что ОУ уже преобразован подключением к нему дифференциальной компенсирующей связи, записать уравнение наблюдателя его переменных состояния

х = ах + К (у - сх) + Ви, (9)

т

где А - матрица преобразованного ОУ; В = [0, 0, ..., Ь] ; К - искомая матрица постоянных коэффициентов.

2. Определить компоненты матрицы К по желаемому расположению корней характеристического полинома наблюдателя det (I - А + КС), приравняв его, например, полиному биномиальной формы (1 + ц-1 р) .

3. На основании выражения (6) для производной XпТ и полученных с

помощью наблюдателя оценок переменных состояния сформировать требуемый закон изменения производной п-й переменной состояния:

ХпТ =— | g - х1 т Д-+1 [ . (10)

Тп I г=1 ]

4. Найти оценку производной п-й переменной состояния с помощью инерционно-дифференцирующего фильтра, который подключается к выходу объекта управления и соответствующим выходам наблюдателя переменных состояния:

Х п =

1 ( 1-1 ^ 1 п-1

РП Ус14х п-г +1 - Х п-I+1 . (11)

г =1 )

с1 (1 + ЦР)

5. На основании уравнений (1), (7)-(11) найти характеристический полином синтезированной, алгоритмически линеаризованной системы

п-1

А( Р) = (1 + 2пцр) Т пРп + Е т гР1 +1. (12)

п

Л,

п

г =1

6. С помощью полинома (12) и дополнительных условий (4) и (5) найти значения неизвестных до сих пор параметров [11-13]:

Т1 = 2 n+ пц; т j+i =

i!2/2 при j = 1;

т22 /2т j-1 при j = 2, п -1.

ПРИМЕР СИНТЕЗА

Рассмотрим синтез закона управления для нелинейного объекта с неустойчивым состоянием равновесия и правым собственным значением матрицы выхода, математическая модель которого имеет вид:

у = х1 - 0,2 х 2.

Необходимо найти такой закон управления и = и (у, 8), чтобы движение соответствующей САУ с объектом (13) и сигналом задания удовлетворяло желаемому уравнению:

где g - сигнал задания, g = const; коэффициенты т1 и т2 подлежат определению из условий (4) и (5).

Согласно предложенному алгоритму на основании уравнения (14) формируем требуемый закон изменения производной второй переменной состояния

xi+j при i = 1; u - Xj + x2 при i = 2;

(13)

или, что то же,

(14)

(15)

искомый закон управления в общем виде

u = x2T + uk ,

(16)

и компенсирующую составляющую управления

(17)

где х 2 - оценка производном второй переменной состояния, причем постоянную времени инерционного фильтра полагаем ^=0,01.

Считая, что сигналы внутренних обратных связей объекта (13) компенсируются соответствующей составляющей закона управления, записываем для преобразованного объекта уравнение наблюдателя его переменных состояния

"0" 1

"0 1" " к'

X = XX +

0 0 к 2 _

(у -[1 - 0,2])+

х

2Т

(18)

и его характеристический полином полагаем равным желаемому полиному:

Л

01 00

+

к1

ко

[1 - 0,2]

5 2 + 200^ +10000.

Приравнивая в полученном уравнении коэффициенты при одинаковых степенях оператора 5 справа и слева от знака равенства, определяем значения коэффициентов наблюдателя: к1=2200, к2=10000.

Оценку производной второй переменной состояния находим с помощью инерционно-дифференцирующего фильтра, который подключается входами к выходам объекта управления и наблюдателя переменных состояния: ; {РУ-Х2}. (19)

х 2 =

С помощью выражения (15) и оценок переменных состояния ОУ формируем требуемый закон изменения производной второй переменной состояния:

х2Т = { Х1 Т1 х2}

(20)

На основании уравнений (13), (16)-(20) можно составить структурную схему синтезированной САУ и по ней найти ее характеристический полином

А( р) = (1 + ) т 2 р 2 +Т1 р +1.

2

Из условий (4) и (5) с помощью полинома А(р) определяем неизвестные до сих пор параметры: 11=0,2 и т2=0,01.

У

1

0.5 О

-0.5 -1

О 0.2 0.4 0.6 0.8 £ с

Рис. 1. - Переходные процессы Методом моделирования синтезированной САУ на ПК с помощью пакета БтпНпк получены переходные процессы по переменной состояния х^) и выходной величине у(1) (рис. 1) при отработке системой ступенчатого сигнала задания с начальными условиями: х1(0)=0,1 и х2(0)=0,5. Результаты моделирования свидетельствуют о том, что синтезированная предложенным методом САУ для объекта (13) имеет требуемые показатели качества переходных процессов.

ВЫВОДЫ

• Предложен алгоритм управления ограниченно неопределенными нелинейными объектами п-го порядка с неустойчивым состоянием равновесия и правыми собственными значениями матрицы выхода, отличающийся тем, что основан на применении комбинированного принципа управления по производной п-й переменной состояния.

тс1 ,у/

/ у

Рассмотрен пример синтеза системы автоматического управления для объекта второго порядка указанного класса, результаты компьютерного моделирования которой свидетельствуют о том, что она обеспечивает требуемые показатели качества переходных процессов.

Литература

1. Ким Д.П. Синтез неминимально-фазовых систем управления с заданным временем регулирования // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 4. С. 5-10.

2. Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 360 с.

3. Гребенщиков Д.Е., Паршева А.И., Цыкунов А.М. Алгоритм робастно-го управления для одного класса неминимально-фазовых объектов // Вестник АГТУ. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 1.С. 89-94.

4. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 1999. 467 с.

5. Фуртат И.Б. Адаптивное управление неминимально-фазовыми объектами определенного класса // Проблемы управления. 2013. № 1. С.19-25.

6. Фуртат И.Б. Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. № 3. С. 30- 37.

7. Целигоров Н.А., Мафура Г.М., Целигорова Е.Н. Математические модели неопределенностей систем управления и методы, используемые для их исследования // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2012/1277/.

8. Андрашитов Д.С., Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В., Ценных Б.М. Универсальный метод синтеза оптимальных управлений

нелинейными Лагранжевыми динамическими системами // Инженерный вестник Дона, 2014, №1 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2014/2251/.

9. Atassi A.N., Khalil H.K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Tras. Automat. Control. 1999. Vol. 44, N 9. pp. 16721687.

10. Keller H. Verefacht Ljapunov - Synthese fur nichtlineare system // Automatisierung. 1990. N 3. pp. 11-113.

11. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Синтез систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с произвольным относительным порядком по выходу // Изв. вузов. Электромеханика. 2014. № 1. С. 88-90.

12. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Синтез систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с правыми собственными значениями матрицы выхода // Изв. вузов. Электромеханика. 2015. № 5. С. 70-75.

13. Елсуков В.С., Лачин В.И., Демидов О.Ю. Синтез систем управления по выходу неминимально-фазовых нелинейных объектов с неустойчивым состоянием равновесия // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2017. № 1.С. 8-12.

References

1. Kim D.P. Mehatronika, avtomatizatsija, upravlenie. 2010. № 4. pp. 5-10.

2. Gayduk A.R. Teorija i metody analiticheskogo sinteza system avtomati-cheskogo upravlenija [Theory and techniques for feedback systems analytical synthesis]. M.: FIZMATLIT, 2012. 360 p.

3. Grebenshikov D.E., Parscheva A.I., Zykunov A.M. Vestnik AGTU. Serija: Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika. 2010. № 1. pp. 89-94.

4. Andrievskiy B.R., Fradkov A.L. Izbrannye glavy teorii avtomaticheskogo upravlenija s primerami na jazyke MATLAB [Control theory elements with MATLAB samples]. SPb.: Nauka, 1999. 467 p.

5. Furtat I.B. Problemy upravlenija. 2013. № 1. pp. 19-25.

6. Furtat I.B. Izv. vuzov. Priborostroenie. 2013. № 3. pp. 30-37.

7. Zeligorov N.A., Mafura G.M., Zeligorova E.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2009, №1. URL: idon.ru/magazine/archive/n4y2012/1277/.

8. Andrashitov D.S., Kostoglotov A.A., Kostoglotov A.I., Zennykh B.M. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, №1. URL: idon.ru/magazine /archive/n1y2014/2251/.

9. Atassi A.N., Khalil H.K. IEEE Tras. Automat. Control. 1999. Vol. 44, № 9. pp. 1672-1687.

10. Keller H. Automatisierung. 1990. № 3. pp. 11-113.

11. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Izv. vuzov. Elektromehanika. 2014. № 1. pp. 88-90.

12. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Izv. vuzov. Elektromehanika. 2015. № 5. pp. 70-75.

13. Elsukov V.S., Lachin V.I., Demidov O.Yu. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Tehn. nauki. 2017. № 1. pp. 8-12.