СИНТЕЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ВОЗМУЩЕНИЯ ВЫНУЖДЕННОГО ДВИЖЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 681.5.01

СИНТЕЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ВОЗМУЩЕНИЯ ВЫНУЖДЕННОГО ДВИЖЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Елсуков Владимир Сергеевич

доктор технических наук, профессор Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ)

имени М.И. Платова, г. Новочеркасск ЛачинВячеслав Иванович доктор технических наук, профессор Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ)

имени М.И. Платова, г. Новочеркасск Павлов Владимир Владимирович аспирант

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ)

имени М.И. Платова, г. Новочеркасск

SYNTHESIS AND STUDY OF A NON-LINEAR MANAGEMENT SYSTEM TAKING INTO ACCOUNT THE PERTURBATION OF FORCED MOVEMENT IN THE FACE OF UNCERTAINTY

Elsukov Vladimir

Doctor of technical sciences, professor Lachin Vjacheslav Doctor of technical sciences, professor Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI),

Novocherkassk Pavlov Vladimir graduate student

Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI),

Novocherkassk

Аннотация. Предложен алгоритм синтеза законов управления ограниченно неопределенными нелинейными объектами с неустойчивым состоянием равновесия и правыми собственными значениями в матрице выхода. Предложенный алгоритм отличается тем, что в синтезируемых с помощью него системах применяется дифференциальная компенсирующая связь по возмущению вынужденного движения системы.

Abstract. The algorithm of synthesis of laws of control is proposed limited to uncertain non-linear objects with unstable balance status and right own values in the exit matrix. The proposed algorithm differs in that in the systems synthesized by it uses differential compensating communication on the perturbation of forced movement of the system.

Ключевые слова: объект управления, неопределенность, нелинейность, закон управления, синтез. Keywords: plant, uncertainty, nonlinearity, law control, synthesis.

Введение. В статье [1] предложен алгоритм робастного управления линейным неминимально-фазовым объектом с неопределенными в ограниченном диапазоне параметрами. Решение задач адаптивного управления неминимально-фазовыми нелинейными объектами рассмотрены в работе [2]. В статье [3] предложены алгоритмы аналитического синтеза систем автоматического управления (САУ) для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с неустойчивым состоянием равновесия и правыми собственными значениями матрицы выхода. Но синтезированные по предложенному в [3] алгоритму САУ являются не грубыми. Они могут потерять устойчивость из-за того, что в них применяются дифференциальные компенсирующие связи по сигналу рассогласования между требуемым и вычисленным значениями производной лишь одной, п-й переменной состояния объекта управления. И влияние собственных положительных обратных связей ОУ не всегда может компенсироваться за счет указанной дифференциальной связи.

В работе [4] предложен новый алгоритм синтеза законов комбинированного управления для нелинейных объектов с функциональной неопределенностью в цепи их собственных обратных связей,

неустойчивым состоянием равновесия и правыми собственными значениями матрицы выхода. В синтезируемых по этому алгоритму САУ впервые применяется дифференциальная компенсирующая связь по возмущению вынужденного движения системы. Но при реализации указанной компенсирующей связи требуется дифференцирующий фильтр для получения производной п-й переменной состояния объекта управления. Но дифференцирующие фильтры имеют высокую чувствительность к высокочастотным помехам в своем входном сигнале.

В настоящей статье рассмотрена модификация предложенного в [4] алгоритма синтеза САУ без применения в них дифференцирующих фильтров.

Постановка задачи. Пусть объект управления описывается дифференциальными уравнениями в нормальной форме:

X,

г+1

при г = 1, п -1;

Ьи - ф(х) при г = п;

(1)

У = Сх ,

где ф(х) - ограниченно неопределенная нелинейная функция, причем скорость ее изменения тоже

ограничена, т.е.

|ф(х)| <ф0. дф(х)/ дх

<

У.

(2)

х - вектор состояния, х=[х1,..., хп]т; и - управляющее воздействие; у - выходная величина; С - матрица выхода, С= [1, С1,..., с/], причем 1<п и некоторые коэффициенты матрицы С могут быть меньше нуля; Ь -постоянный коэффициент.

Необходимо найти такой закон управления и = и(у, £) , чтобы движение соответствующей САУ с объектом (1) удовлетворяло желаемому уравнению

( п Л 1 +

V г=1

У =

( I Л 1 + Е СгР V г=1

£,

(3)

где g -сигнал задания, £ = СОПБ1;; Тг (г = 1, п) - постоянные коэффициенты, которые подлежат определению из условий [4]:

I = |[Х2 (0) - Х2 (г)]Л ^ ШШ, Х2 (0) > 0

(4)

\А( Р)|

р=/®

> 1

(5)

где А(р) - характеристический полином синтезированной алгоритмически линеаризованной системы. Алгоритм решения. Заметим, что желаемое уравнение движения САУ (3) эквивалентно следующему

Г „ Л

г

1 +Ттгр1 V г=1

Х1 = £

у

(6)

и определяет требуемый закон изменения производной п-й переменной состояния:

(п) _ 1

хпТ = Х1Т =-1 £

Т

( п-1

1 + Е ТгР1

. г=1

л

Х1

(7)

Если подставить выражение для производной XXпт в уравнение ОУ (1) и в силу ограничений (2) пренебречь влиянием неизмеримой функции ф(х), которое будет учтено позже, то можно сформировать для синтезируемой САУ искомый закон управления:

и = 1 (ХпТ + и, )

Ь ,

(8)

>

Т

0

где щ - компенсирующая составляющая управления, которую можно сформировать с помощью дифференциальной компенсирующей связи:

ик = — {(1- ф(Р))ё - ТпХпТ }

(9)

где Фф) - передаточная функция синтезируемой САУ по сигналу задания относительно

п-1

агрегированной переменной Хд = %1 + "Т^Х^+1; k- коэффициент усиления, k >10.

I=1

Правда, переменные состояния Х^ (| = 1, П) в законе (8) являются неизмеримыми. Однако если учесть, что влияние функции ф(х) компенсируется составляющей управления (9), то вместо

переменных состояния можно использовать их оценки, полученные с помощью соответствующего наблюдателя с уравнением

X = НХ + К(у - СХ) + В§, (10)

где B=[0, 0, ..., 1]T; H - матрица состояния ОУ, преобразованного компенсирующей составляющей

управления (9);

Н

0 1

0

............ ; K - искомая матрица постоянных коэффициентов. Причем

0 0 ... 1 0 0 ... 0

определить компоненты матрицы K можно по желаемому расположению корней характеристического полинома наблюдателя ай(р1 - н+кс), приравняв его, например, полиному биномиальной

( -1 V

формы (Ц + р ) . Причем д является достаточно малой величиной.

И если на основании выражения (7) и полученных с помощью наблюдателя оценок переменных состояния сформировать требуемый закон изменения производной п-й переменной состояния:

1

п—1

Х

пТ

§ - Х1-Е ах

а„

1+1

1=1

то можно найти характеристический полином синтезированной, алгоритмически линеаризованной системы

п-1

А(р) = (1 + пцр) ТпРп + " Т1р1 +1

I=1

(11)

С помощью полинома (11) и дополнительных условий (4) и (5) можно найти значения неизвестных до сих пор параметров [4]:

Т1 = 2 пц; Ту+! =

2

Т1 /2 при у = 1;

т2 / 2ту-1 при у = 2, п -1.

Пример синтеза. Рассмотрим объект управления с математическим описанием:

"Х!+! при I = 1, 2; и - ф(х) при I = 3; у = Х^ - с^Х2, Х^(0) = 0.5; Х2(0)= Х3(0)= 0,

Ху

где ^=0.2; ф(х) = Х-^ - Х3, причем

, х)| <^0, \dqts, х)/ <у (13)

Необходимо найти закон управления Ы = Ы (у, §) объектом (12), чтобы движение синтезированной САУ отвечало уравнению:

Г 3 Л

1 + Етрг у = (1- с\р к

г =1 У ,

(14)

где g - сигнал задания, § = СОШ1; коэффициенты Т г (г = 1, 3) подлежат определению

из

условий, аналогичных условиям (4) и (5).

Решение сформулированной задачи осуществляем в соответствии с предложенным выше алгоритмом. 1. Записываем уравнение наблюдателя преобразованного ОУ (12) с учетом того, что его функция обратных связей ф(х) компенсируется составляющей управления ик, т.е.

х = Ах +

к1 к 2

к 3 _

(у -[1 - 0,2 0]х)

+

0 0

(х зт + Ык \

(15)

"0 1 0

где А = 0 0 1

0 0 0

2. Характеристический полином наблюдателя приравниваем желаемому:

Г к11

р1 - Ах + к 2

_к3 _

[1 - 0,2 0]

г

1

Л

— + р

(16)

где полагаем д:=0.01,

и из равенства (16) находим значения коэффициентов наблюдателя: к1=4.6*104, к2=2.3*105, к3~1.0*106. 6. При помощи оценок переменных состояния и выражения (7) формируем требуемый закон изменения производной третьей переменной состояния:

■ 1 Г Л /V Л 1

Х3Т = — - Х1 - Т1Х2 - Т2Х3 /

Тз .

(17)

4. На основании соотношений (8), (9), вырожденных уравнений ОУ (12) и равенства (17), находим передаточную функцию синтезируемой САУ по сигналу задания g относительно оценки агрегированной

переменной Ха = Т2 Х3 - Т^Х2 - Ху.

Ф( р) = (Т2 р 2 +Т1 р + 1У^(ор + 1) р 3 +Т2 р 2 +Т1 р + 1)

где с = 3^1.

5. Формируем компенсирующую составляющую управления

Ык = к {(1 - Ф(р)§ - Т3Х3Т и Т3

где к - коэффициент усиления компенсирующего регулятора, полагаем к=20.

7. На основании соотношений (15) и (17)-(19) формируем искомый закон управления

(18)

(19)

Ы = — \ § - ЕТгХг+1 + к([1 - Ф(р)]§ - Т3Х3Т)! ^3 I г=0

(20)

3

где ХХ3Т определяется выражением (17), а Ф(р) выражением (18).

8. С помощью уравнений (12), (15) и (17)-(20) составляем структурную схему САУ и, полагая, что функция ф(х) объекта управления компенсируется составляющей управления ик, находим характеристический полином системы

3 2

А(Р) = тз(1 + °Р) Р +т2Р + ЧР +!. (21)

9. На основании полинома (21) и условий (4) и (5) находим значения подлежащих определению коэффициентов: Т1~ 0,4, Т2=0,08, тз=0,008.

Переходные процессы синтезированной САУ исследованы на ПК с помощью программного пакета БШиНпк . На рис. 1 приведены графики переходных процессов САУ по переменной состояния х1(/) и выходной величине уф при отработке системой заданных начальных условий. У х!

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

О 0.5 1.0 U с

Рис.1. Переходные процессы

Обработка результатов моделирования показала, что синтезированная САУ обеспечивает требуемые показатели качества переходных процессов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 19-08-00493.

Список литературы:

1. Гребенщиков Д.Е., Паршева А.И., Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления для одного класса неминимально-фазовых объектов // Вестник АГТУ. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2010, № 1. С. 89-94.

2. Фуртат И.Б. Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами // Изв. вузов. Приборостроение. 2013, № 3. С. 30- 37.

3. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Управление ограниченно неопределенными нелинейными объектами // Инженерный вестник Дона, 2017, №3 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2017/4392/.

4. Елсуков В.С., Лачин В.И. Синтез нелинейных систем комбинированного управления с функциональной неопределенностью // Технические науки - от теории к практике: сб. публикаций научного журнала "Globus" по материалам XXVII Международной научно-практической конференции, г. СПб., 19 янв. 2018 г. / СПб.: "Globus", 2018. Вып. 1(21). С. 17-22.

References:

1. Grebenshikov D.E., Parscheva A.I., Zykunov A.M. Vestnik AGTU. Serija: Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika. 2010, № 1, pp. 89-94.

2. Furtat I.B. Izv. vuzov. Priborostroenie. 2013, № 3, pp. 30-37.

3. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Inzenemyj vestnik Dona (Rus), 2017, №3. URL: ivdon.ru/magazine /archive/n3y2017/4392/.

4. Elsukov VS, Lachin V.I. Synthesis of non-linear systems of combined control with functional uncertainty // Technical sciences - from theory to practice: publications of the scientific journal "Globus" on materials XXVII International Scientific and Practical Conference, St. Petersburg, Jan. 19. 2018 / St. Petersburg: "Globus," 2018. Vol. 1(21), pp 17-22.

\4 \,У :

\ :

1